HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG SÁCH HNG DN HC TP
XÁC SUT THNG KÊ
(Dùng cho sinh viên ngành CNTT và TVT h đào to đi hc t xa)
Lu hành ni b
HÀ NI - 2006

HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG

cng chi tit chng trình qui đnh ca Hc vin Công ngh Bu Chính Vin Thông. Ni dung
ca cun sách bám sát các giáo trình ca các trng đi hc khi k thu
t và theo kinh nghim
ging dy nhiu nm ca tác gi. Chính vì th, giáo trình này cng có th dùng làm tài liu hc
tp, tài liu tham kho cho sinh viên ca các trng, các ngành đi hc và cao đng khi k thut.
Giáo trình gm 6 chng tng ng vi 4 đn v hc trình (60 tit):
Chng I: Các khái nim c bn v xác sut.
Chng II: Bin ngu nhiên và các đc trng ca chúng.
Chng III: Véc t
ngu nhiên và các đc trng ca chúng.
Chng IV: Lut s ln và đnh lý gii hn.
Chng V:.Thng kê toán hc
Chng VI: Quá trình ngu nhiên và chui Markov.
iu kin tiên quyt môn hc này là hai môn toán cao cp đi s và gii tích trong chng
trình toán đi cng. Tuy nhiên vì s hn ch ca chng trình toán dành cho hình thc đào to t
xa, do đó nhiu kt qu và đnh lý ch đc phát bi
u và minh ha ch không có điu kin đ
chng minh chi tit.
Giáo trình đc trình bày theo cách thích hp đi vi ngi t hc, đc bit phc v đc lc
cho công tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi tit, ngi đc nên xem phn
gii thiu ca mi chng đ thy đc mc đích ý ngha, yêu cu chính ca chng đó. Trong mi chng, mi ni dung, ngi đc có th t đc và hiu đc cn k thông qua cách din đt
và ch dn rõ ràng. c bit bn đc nên chú ý đn các nhn xét, bình lun đ hiu sâu hn hoc
m rng tng quát hn các kt qu và hng ng dng vào thc t. Hu ht các bài toán đc xây
dng theo lc đ: đt bài toán, chng minh s
tn ti li gii bng lý thuyt và cui cùng nêu
thut toán gii quyt bài toán này. Các ví d là đ minh ho trc tip khái nim, đnh lý hoc các
thut toán, vì vy s giúp ngi đc d dàng hn khi tip thu bài hc. Sau các chng có phn

ra có tính quy lut, tt đ
nh. Trái li khi tung đng xu ta không bit mt sp hay mt nga s xut
hin. Ta không th bit có bao nhiêu cuc gi đn tng đài, có bao nhiêu khách hàng đn đim
phc v trong khong thi gian nào đó. Ta không th xác đnh trc ch s chng khoán trên th
trng chng khoán… ó là nhng hin tng ngu nhiên. Tuy nhiên, nu tin hành quan sát khá
nhiu ln mt hin tng ngu nhiên trong nhng hoàn c
nh nh nhau, thì trong nhiu trng hp
ta có th rút ra nhng kt lun có tính quy lut v nhng hin tng này. Lý thuyt xác sut
nghiên cu các qui lut ca các hin tng ngu nhiên. Vic nm bt các quy lut này s cho phép
d báo các hin tng ngu nhiên đó s xy ra nh th nào. Chính vì vy các phng pháp ca lý
thuyt xác sut đc ng dng rng rãi trong vic gii quyt các bài toán thu
c nhiu lnh vc
khác nhau ca khoa hc t nhiên, k thut và kinh t-xã hi.
Chng này trình bày mt cách có h thng các khái nim và các kt qu chính v lý thuyt
xác sut:
- Các khái nim phép th, bin c.
- Quan h gia các bin c.
- Các đnh ngha v xác sut: đnh ngha xác sut theo c đin, theo thng kê.
- Các tính cht ca xác sut: công th
c cng và công thc nhân xác sut, xác sut ca
bin c đi.
- Xác sut có điu kin, công thc nhân trong trng hp không đc lp. Công thc xác
sut đy đ và đnh lý Bayes.
- Dãy phép th Bernoulli và xác sut nh thc
Khi nm vng các kin thc v đi s tp hp nh hp, giao tp hp, tp con, phn bù ca
mt tp con … hc viên s
 d dàng trong vic tip thu, biu din hoc mô t các bin c.
 tính xác sut các bin c theo phng pháp c đin đòi hi phi tính s các trng hp
thun li đi vi bin c và s các trng hp có th. Vì vy hc viên cn nm vng các phng
pháp đm - gii tích t hp (đã đc hc  lp 12 và trong ch

.
̇ Vi phép th tung xúc xc, các bin c s cp có th xem là s các nt trên mi mt xut
hin. Vy
{}
6,5,4,3,2,1=Ω .
̇ Phép th tung đng thi 2 đng xu có không gian mu là

{}
),(),,(),,(),,( NNSNNSSS
=
Ω .
Chú ý rng bn cht ca các bin c s cp không có vai trò đc bit gì trong lý thuyt xác
sut. Chng hn có th xem không gian mu ca phép th tung đng tin là
{}
1,0=Ω , trong đó 0
là bin c s cp ch mt sp xut hin và 1 đ ch mt nga xut hin.
1.1.2. Bin c (Event)
Vi phép th
C
ta thng xét các bin c (còn gi là s kin) mà vic xy ra hay không
xy ra hoàn toàn đc xác đnh bi kt qu ca
C .
Mi kt qu
ω
ca C đc gi là kt qu thun li cho bin c A nu A xy ra khi kt
qu ca
C là
ω
.
Ví d 1.2: Nu gi

Bin c
A kéo theo bin c
B
, ký hiu
B
A ⊂ , nu A xy ra thì
B
xy ra.
b. Quan h bin c đi
Bin c đi ca
A là bin c đc ký hiu là
A và đc xác đnh nh sau: A xy ra khi và
ch khi
A
không xy ra.
c. Tng ca hai bin c
Tng ca hai bin c
BA, là bin c đc ký hiu
B
A ∪ . Bin c
B
A ∪ xy ra khi và ch
khi có ít nht
A hoc
B
xy ra.
Tng ca mt dãy các bin c
{
}
n

là bin c
∏
=
n
i
i
A
1
. Bin c này xy ra khi tt
c các bin c
i
A cùng xy ra.
e. Bin c xung khc
Hai bin s
BA, gi là xung khc nu bin c tích
A
B là bin c không th. Ngha là hai
bin c này không th đng thi xy ra.
Chú ý rng các bin c vi phép toán tng, tích và ly bin c đi to thành đi s Boole
do đó các phép toán đc đnh ngha  trên có các tính cht nh các phép toán hp, giao, ly phn
bù đi vi các tp con ca không gian mu.
f. H đy đ các bin c
Dãy các bin c
n
AAA , ,,
21
đc gi là mt h đy đ các bin c nu:
i. Xung khc tng đôi mt, ngha là
φ
=

hai, th ba sn xut. Khi đó h ba bin c
321
,, AAA là h đy đ.
g. Tính đc lp ca các bin c
Hai bin c
A
và
B
đc gi là đc lp vi nhau nu vic xy ra hay không xy ra bin c
này không nh hng ti vic xy ra hay không xy ra bin c kia.
Tng quát các bin c
n
AAA , ,,
21
đc gi là đc lp nu vic xy ra hay không xy ra
ca mt nhóm bt k
k bin c, trong đó nk
≤
≤
1 , không làm nh hng ti vic xy ra hay
không xy ra ca các bin c còn li.
nh lý 1.2: Nu
BA,
đc lp thì các cp bin c:
BA,
;
BA,
;
BA,
cng đc lp.

Vic bin c ngu nhiên xy ra hay không trong kt qu ca mt phép th là điu không th
bit hoc đoán trc đc. Tuy nhiên bng nhng cách khác nhau ta có th đnh lng kh nng
xut hin ca bin c, đó là xác sut xut hin ca bin c.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

7
Xác sut ca mt bin c là mt con s đc trng kh nng khách quan xut hin bin c đó
khi thc hin phép th.
Da vào bn cht ca phép th (đng kh nng) ta có th suy lun v kh nng xut hin
ca bin c, vi cách tip cn này ta có đnh ngha xác sut theo phng pháp c đin.
Khi thc hi
n nhiu ln lp li đc lp mt phép th ta có th tính đc tn sut xut hin
ca mt bin c nào đó. Tn sut th hin kh nng xut hin ca bin c, vi cách tip cn này ta
có đnh ngha xác sut theo thng kê.
1.2.1. nh ngha c đin v xác sut
Gi s phép th
C tho mãn hai điu kin sau:
(i) Không gian mu có mt s hu hn phn t.
(ii) Các kt qu xy ra đng kh nng.
Khi đó ta đnh ngha xác sut ca bin c
A là
thÓ cã hîptr−êng sè
víièi lîi thuËn hîptr−êng sè A
AP
đ
)(
= (1.1)
Nu xem bin c A nh là tp con ca không gian mu
Ω
thì

2
x , ,
n
m cách
chn loi đi tng
n
x . Các cách chn đi tng
i
x không trùng vi cách chn
j
x nu
j
i
≠

thì có
n
mmm
+
++ 
21
cách chn mt trong các đi tng đã cho.
b. Qui tc nhân
Gi s công vic
H
gm nhiu công đon liên tip
k
HHH , ,,
21
và mi công đon

phn t ta đc mt chnh hp chp
k ca n phn t. S dng quy tc nhân ta có th tính đc s các chnh hp chp k ca n phn
t là

)!(
!
kn
n
A
k
n
−
= (1.2)
e. T hp
Mt t hp chp k ca n phn t là mt tp con k phn t ca tp n phn t. Cng có
th xem mt t hp chp k ca n phn t là mt cách chn đng thi k phn t ca tp n phn
t.
Hai chnh hp chp
k ca n phn t là khác nhau nu:
̇ có ít nht 1 phn t ca chnh hp này không có trong chnh hp kia.
̇ các phn t đu nh nhau nhng th t khác nhau.
Do đó vi mi t hp chp
k ca n phn t có !k chnh hp tng ng. Mt khác hai
chnh hp khác nhau ng vi hai t hp khác nhau là khác nhau.
Vy s các t hp chp
k ca n phn t là
)!(!
!
! knk
n

k
A là bin c " t mã có cha
k
bit 1" . Có th
xem mi t mã có cha
k bit 1 là mt t hp chp k ca 6 phn t, vy s trng hp thun li
đi vi
k
A là s các t hp 6 chp k . Do đó
)!6(!
!6
6
kk
CA
k
k
−
==

Vy xác sut ca các bin c tng ng
()
6, ,0,
2)!6(!
!6
6
=
−
= k
kk
AP

15CΩ= = .
a. Ch có 1 trng hp c 2 nam đu trúng tuyn do đó xác sut tng ng là
15/1=P
.
b. Có
6
2
4
=C cách chn 2 trong 4 n, vy xác sut tng ng 15/6
=
P .
c. Trong 15 trng hp có th ch có 1 trng hp c 2 nam đc chn, vy có 14 trng
hp ít nht 1 n đc chn. Do đo xác sut tng ng
15/14
=
P
.
1.2.3. nh ngha thng kê v xác sut
nh ngha xác sut theo c đin trc quan, d hiu. Tuy nhiên khi s các kt qu có th vô
hn hoc không đng kh nng thì cách tính xác sut c đin không áp dng đc.
Gi s phép th
C có th đc thc hin lp li nhiu ln đc lp trong nhng điu kin
ging ht nhau. Nu trong
n ln thc hin phép th C , bin c A xut hin )(Ak
n
ln thì t s
n
Ak
Af
n

Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

10
đnh ngha thng kê v xác sut cng ch áp dng cho các phép th mà có th lp li đc nhiu
ln mt cách đc lp trong nhng điu kin ging ht nhau. Ngoài ra đ xác đnh mt cách tng
đi chính xác giá tr ca xác sut thì cn tin hành mt s
n đ ln ln các phép th, mà vic này
đôi khi không th làm đc vì hn ch v thi gian và kinh phí.
Ngày nay vi s tr giúp ca công ngh thông tin, ngi ta có th mô phng các phép th
ngu nhiên mà không cn thc hin các phép th trong thc t. iu này cho phép tính xác sut
theo phng pháp thng kê thun tin hn.
1.2.4. nh ngha xác sut theo hình hc
nh ngha 1.3: Gi s không gian mu
Ω
có th biu din tng ng vi mt min nào
đó có din tích (th tích, đ dài) hu hn và bin c
A
tng ng vi mt min con ca
Ω
thì
xác sut ca bin c
A đc đnh ngha:
Ω
=)(
tÝch diÖn
tÝch diÖn A
AP

}
1515);( +≤≤+−Ω∈= xyxyx
.
16
7
16
9
1
60
45
1)(
2
2
=−=−=
Ω
=⇒
tÝch diÖn
tÝch diÖn A
AP
.
1.2.6. Các tính cht và đnh lý xác sut
1.2.6.1. Các tính cht ca xác sut
Các đnh ngha trên ca xác sut tho mãn các tính cht sau:
1. Vi mi bin c
A
:


n
AAA , ,,
21
là dãy các bin c xung khc tng đôi mt thì

∑
=
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
i
i
n
i
i
APAP
1
1
)(
∪
. (1.7)’
T công thc (1.6) và (1.7)’ ta có h qu: Nu

−
+
+=∪∪ (1.9)’
̇ Nu
{}
n
AAA , ,,
21
là dãy các bin c bt k
) ()1()()()(
21
1
1
1
n
n
kji
kji
ji
ji
n
i
i
n
i
i
AAAPAAAPAAPAPAP
−
<<<=
=

A
là bin c sn
phm đc chn đt tiêu chun cht lng. Vy
21
AAA ∪
=
.
8,055,025,0)()()(
21
=
+
=
+
=
APAPAP
.
Áp dng công thc (1.8) cho h đy đ
{
}
AA, ta đc quy tc xác sut bin c đi
1.2.6.3. Quy tc xác sut ca bin c đi
Vi mi bin c
A)(1)( APAP −=
. (1.10)
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

12

%100
β
⋅
trng hp.
Tng t nh vy ta có th đa ra “Nguyên lý xác sut ln”: “Nu bin c
A có xác sut
gn bng 1 thì trên thc t có th cho rng bin c đó s xy ra trong mt phép th”. Cng nh
trên, vic quy đnh mt mc xác sut th nào đc gi là ln s tùy thuc vào tng bài toán c
th.
1.3. XÁC SUT CÓ IU KIN
1.3.1. nh ngha cà các tính cht ca xác sut có điu kin
Xác sut ca bin c
B
đc tính trong điu kin bit rng bin c A đã xy ra đc gi
là xác sut ca
B
vi điu kin
A
. Ký hiu
(
)
ABP .
Tính cht
Ü Nu
0)( >AP
thì
()
)(
)(
AP

10≥ bit rng ít nht mt con đã ra nt 5.
Gii: Gi
A là bin c " ít nht mt con ra nt 5".
()
2
511
() 1 1
636
PA P A
⎛⎞
=− =− =
⎜⎟
⎝⎠
.
Gi
B
là bin c "tng s nt trên hai con
10≥
"
Bin c
A
B
có 3 kt qu thun li là (5,6), (6,5), (5,5).
Vy
()
3
3113
()
36 36 11
36

(
)
ABPAPABP )()( = (1.14)
̇
()
()
()
(
)
(
)
12 1 2 1 3 12 12 1

nnn
PAA A PA PA A PA AA PA AA A
−
= . (1.15)
Ví d 1.14: Túi I cha 3 bi trng, 7 bi đ, 15 bi xanh.
Túi II cha 10 bi trng, 6 bi đ, 9 bi xanh.
T mi túi ly ngu nhiên 1 bi. Tìm xác sut đ 2 bi đc rút t 2 túi là cùng màu.
Gii: Gi
xđt
AAA ,, ln lt là bin c bi đc rút t túi I là trng, đ, xanh.

xđt
BBB ,, ln lt là bin c bi đc rút t túi II là trng, đ, xanh.
Các bin c
xđt
AAA ,, đc lp vi các bin c
xđt

9
25
15
25
6
25
7
25
10
25
3
≈=++=
.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

14
Ví d 1.15: Mt th kho có mt chùm chìa khóa gm 9 chic, b ngoài chúng ging ht
nhau nhng trong đó ch có đúng 2 chic m đc kho. Anh ta th ngu nhiên tng chìa (chìa nào
không trúng thì b ra). Tính xác sut đ m đc kho  ln th ba.
Gii: Ký hiu
i
A là bin c "th đúng chìa  ln th i". Vy xác sut cn tìm là
()()
()
()
123 1 2 1 3 12
762 1
987 6
PAAA PA PA A PA AA===
.

ca
cùng mt phép th sao cho
0)( >BP ta có :
()
(
)
()
1
()
()
()
()
kk
k
k
n
ii
i
PA P BA
PAB
PA B
PB
PA PB A
=
==
∑
. (1.17)
Gii thích: Trong thc t các xác sut
{
}

A
T bin c "thu đc tín hiu A" và là
B
T bin c "thu đc tín hiu B".

() ()
8
1
,
7
1
;15,0)(,85,0)( ==== BTPATPBPAP
AB
.
a. Áp dng công thc xác sut đy đ ta có xác sut thu đc tín hiu A:
()
() ()
7473,0
8
1
15,0
7
6
85,0)()( =×+×=+= BTPBPATPAPTP
AAA
.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

15
b. Áp dng công thc Bayes ta có

b. c kt lun là đt cht lng thì li là ph phm.
c. c kt lun đúng vi thc cht ca nó.
Gii: Gi H là bin c “sn phm đc chn là ph phm”. Theo gi thit ta có:
()
()
() , ,PH p P AH P A H
α
β
== =.
a. Áp dng công thc đy đ cho h đy đ
{
}
,HH ta có:
()
(
)
(
)
() ( ) (1 )(1 )PA PHP AH P H P AH p p
α
β
=
+=+−−.
b.
()
()
()
(1 )
(1 ) (1 )
PHA

A
và xác sut
xut hin ca bin c
A không đi )10(,)(
<
<
=
ppAP đc gi là dãy phép th Bernoulli.
p
là xác sut thành công trong mi ln th.
Kí hiu
k
H là bin c "
A
xut hin ra đúng k ln trong n phép th".
t
)();(
kn
HPpkP = .
nh lý 1.1:
nkppCpkP
knkk
nn
, ,1,0;)1();( =−=
−
. (1.18)
Chng minh:
k
H là tng ca
k

nh lý 1.2:
(i).
);1(
)1(
);( pkP
kq
pkn
pkP
nn
−
+−
=
(1.19)
(ii). Khi
k tng t 0 đn n thì );( pkP
n
mi đu tng sau đó gim và đt giá tr ln nht
ti
mk = tho mãn:
pnmpn )1(1)1(
+
≤
≤
−
+ (1.20)
Nh vy,
̇ Khi
pn )1( + không nguyên thì
[
]

n
pkP
pkP
knk
knk
n
n
)1(
)!1()!1(
!
)!(!
!
);1(
);(
11
+−
=
+−−
−
=
−
+−−
−
, t đó có (1.19).
(1.19)
pkn
pk
pkP
pkP
n

pnk

⇒ );();( pmPpkP
nn
<

∀
1)1(
−
+
<
pnk .
và
);1();( pkPpkP
nn
+
> khi pnk )1(
+
≥

⇒ );();( pmPpkP
nn
<

∀
pnk )1(
+
> ,
trong đó
m là s t nhiên tha mãn pnmpn )1(1)1(

⇒ .
nh ngha 1.1:
m xác đnh bi công thc (1.20) hoc (1.20)’ đc gi là giá tr chc
chn nht ca s thành công hay giá tr có kh nng xy ra ln nht.
);( pmP
n
là s hng trung
tâm ca phân b nh thc.
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

17
Ví d 1.19: Tín hiu thông tin đc phát đi 3 ln đc lp nhau. Xác sut thu đc mi ln là
0.4.
a) Tìm xác sut đ ngun thu nhn đc thông tin đúng 2 ln.
b) Tìm xác sut đ ngun thu nhn đc thông tin đó.
c) Nu mun xác sut thu đc tin
9,0≥ thì phi phát đi ít nht bao nhiêu ln.
Gii: Có th xem mi ln phát tin là mt phép th Bernoulli mà s thành công ca phép th
là ngun thu nhn đc tin, theo gi thit xác sut thành công ca mI ln th là 0,4. Vy:
a) Xác sut đ ngun thu nhn đc thông tin đúng 2 ln là
(
)
(
)
288,06,04,0)4,0;3(
2
2
32
== CP .
b) Xác sut đ ngun thu nhn đc thông tin là

Phép th
Trong thc t ta thng gp nhiu thí nghim, quan sát mà các kt qu ca nó không th d
báo trc đc. Ta gi chúng là các phép th ngu nhiên. Mi kt qu ca phép th
C đc gi
là mt bin c s cp. Tp hp tt c các bin c s cp ca phép th đc gi là không gian mu,
ký hiu
Ω .
Bin c
Mi bin c
A
đc đng nht vi mt tp con ca không gian mu Ω bao gm các kt
qu thun li đi vi
A .
Xác sut
Xác sut ca mt bin c là mt con s đc trng kh nng khách quan xut hin bin c đó
khi thc hin phép th.
nh ngha c đin v xác sut
Xác sut ca bin c
A
là
thÓ cã hîptr−êng sè
víièi lîi thuËn hîptr−êng sè A
AP
đ
)( =

nh ngha thng kê v xác sut
Xác sut ca bin c
A là
n

A
là bin c đi ca
A
.
A
xy ra khi và ch khi
A
không xy ra.
Tng ca hai bin c
Bin c
B
A ∪ tng ca hai bin c BA, xy ra khi và ch khi có ít nht A hoc
B
xy ra.
Bin c tng
∪
n
i
i
A
1=
ca mt dãy các bin c
{
}
n
AAA , ,,
21
xy ra khi có ít nht mt trong
các bin c
i

H đy đ các bin c
Dãy các bin c
n
AAA , ,,
21
đc gi là mt h đy đ các bin c nu chúng xung khc
tng đôi mt và tng ca chúng là bin c chc chc.
Tính đc lp ca các bin c
Hai bin c
A
và
B
đc gi là đc lp vi nhau nu vic xy ra hay không xy ra bin c
này không nh hng ti vic xy ra hay không xy ra bin c kia.
Tng quát các bin c
n
AAA , ,,
21
đc gi là đc lp nu vic xy ra hay không xy ra
ca mt nhóm bt k
k bin c, trong đó nk
≤
≤
1 , không làm nh hng ti vic xy ra hay
không xy ra ca các bin c còn li.
Qui tc cng
Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut

19
Trng hp xung khc: )()()( BPAPBAP

+
=∪
)()()()()()()()( ABCPCAPBCPABPCPBPAPCBAP +
−
−
−
+
+
=∪∪
) ()1()()()(
21
1
1
1
n
n
kji
kji
ji
ji
n
i
i
n
i
i
AAAPAAAPAAPAPAP
−
<<<=
=

)()()( BPAPABP = .
(
)
(
)
(
)
(
)
nn
APAPAPAAAP
2121
=
.
Trng hp không đc lp:
()
ABPAPABP )()( = ;
()
()
(
)
(
)
(
)
12 1 2 1 3 12 12 1

nnn
PAA A PA PA A PA AA PA AA A
−

0)( >BP
ta có :
()
(
)
()
1
()
()
()
()
kk
k
k
n
ii
i
PA P BA
PAB
PA B
PB
PA PB A
=
==
∑
.
Dãy phép th Bernoulli
Dãy các phép th lp li, đc lp, trong mi phép th ch có 2 kt cc:
A
,

A
và
B
A
∪ là xung khc.
úng Sai .
1.3 Hai bin c
A và
B
xung khc thì )()()( BPAPBAP
+
=
∪ .
úng Sai .
1.4 Thông tin liên quan đn vic xut hin bin c
B
làm tng xác sut ca bin c
A
, tc là
)()( APBAP ≥ ?
úng Sai .
1.5 Hai bin c xung khc là hai bin c đc lp.
úng Sai .
1.6 Các bin c đi ca hai bin c đc lp cng là đc lp.
úng Sai .
1.7 Xác sut ca tng hai bin c đc lp bng tng xác sut ca hai bin c này.
úng Sai .
1.8 Xác sut ca tích 2 bin c xung khc bng tích 2 xác sut.
úng Sai .
1.9

n phm. Mi sn phm thuc mt trong hai loi:
Tt hoc Xu. Ký hiu
k
A (
10,1=k ) là bin c ch sn phm kim tra th k thuc loi xu.
Biu din các bin c sau theo
k
A :
a) C 10 sn phm đu xu.
b) Có ít nht mt sn phm xu.
c) Có 6 sn phm kim tra đu là tt, các sn phm còn li là xu.
d) Có 6 sn phm kim tra đu là xu.
1.15 Hai ngi cùng bn vào mt mc tiêu. Kh nng bn trúng ca tng ngi là 0,8 và 0,9.
Tìm xác sut:
a) Ch có mt ngi bn trúng mc tiêu.
b)
Có ngi bn trúng mc tiêu.
c) C hai ngi bn trt.
1.16 C cu cht lng sn phm ca nhà máy nh sau: 40% sn phm là loi I, 50% sn phm là
loi II, còn li là ph phm. Ly ngu nhiên mt sn phm ca nhà máy. Tính xác sut sn
phm ly ra là ph phm.
1.17 Có 1000 vé s trong đó có 20 vé trúng thng. Mt ngi mua 30 vé, tìm xác sut đ ngi
đó trúng 5 vé.
1.18  đc nhp kho, sn phm ca nhà máy phi qua 3 vòng kim tra cht lng đc lp nhau.
Xác sut phát hin ra ph phm  các vòng ln lt theo th t là 0,8; 0,9 và 0,99. Tính xác
sut ph phm đc nhp kho.
1.19 Mt th kho có mt chùm chìa khóa gm 9 chic trông ging ht nhau trong đó ch có mt
chic m đc kho. Anh ta th ngu nhiên tng chìa khóa mt, chic nào đc th
 thì không
th li. Tính xác sut anh ta m đc ca  ln th th 4.

b) c kt lu
n là đt tiêu chun thì li không đt tiêu chun.
c) c kt lun đúng vi thc cht ca nó. Chng 2: Bin ngu nhiên và các đc trng ca chúng 23
CHNG II: BIN NGU NHIÊN VÀ CÁC C
TRNG CA CHÚNG
PHN GII THIU
Trong chng này ta kho sát các bin c gn vi các giá tr nào đó, khi các giá tr này thay
đi ta đc các bin ngu nhiên.
Khái nim bin ngu nhiên (còn đc gi là đi lng ngu nhiên) và các đc trng ca
chúng là nhng khái nim rt quan trng ca lý thuyt xác sut.
i vi bin ngu nhiên ta ch quan tâm đn vn đ biên ngu nhiên này nhn mt giá tr
nào đó hoc nhn giá tr trong mt kho
ng nào đó vi xác sut bao nhiêu. Nói cách khác biên
ngu nhiên
X
có th đc kho sát thông qua hàm phân b xác sut ca nó
{
}
()
F
xPXx=<
.
Nh vy khi ta bit qui lut phân b xác sut ca mt bin ngu nhiên thì ta đã nm đc toàn b
thông tin v bin ngu nhiên này.