Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang
103

CHỈÅNG 18
QUẠ TRÇNH QUẠ ÂÄÜ ÅÍ MẢCH PHI TUÚN

§1. Âàûc âiãøm ca quạ trçnh quạ âäü trong mảch phi tuún.
- Viãûc âọng ngưn hçnh sin vo mảch tuún tênh cọ chỉïa dung, cm v tråí cọ
thãø tảo dng, ạp quạ âäü cỉûc âải khäng vỉåüt quạ 2 láưn biãn âäü åí trảng thại xạc láûp.
Nhỉng khi âọng vo mảch khạng phi tuún thç cọ thãø xút hiãûn âiãûn ạp hay dng âiãûn
quạ âäü låïn hån trë säú xạc láûp nhiãưu láưn, trảng thại ny ráút dãù âỉa âãún sỉû cäú.
- Quạ trçnh quạ âäü åí mảch phi tuún ngoi sỉû thay âäøi âàûc biãût vãư
lỉåüng nhỉ
trãn nọ cn thay âäøi vãư cháút : QTQÂ trong mảch phi tuún cọ thãø phạt sinh nhỉỵng hiãûn
tỉåüng måïi nhỉ quạ trçnh tỉû dao âäüng cọ táưn säú ω ≠ ω
ngưn

- Quạ trçnh quạ âäü mảch phi tuún âỉåüc miãu t bàòng nhỉỵng phỉång trçnh vi
phán phi tuún viãút theo lût K1, K2. Bi toạn quạ trçnh quạ âäü l bi toạn gii hãû
phỉång trçnh vi phán phi tuún cho tha mn så kiãûn nãn khäng cọ phỉång phạp no
chung m chè cọ nhỉỵng phỉång phạp gáưn âụng dng cho nhỉỵng mảch củ thãø.
Ta xẹt mäüt säú phỉång phạp gáưn âụng gii quạ trçnh quạ âäü mảch phi tuún.
§2. Phỉång phạp tuún tênh họa säú hảng phi tuún nh.
I. Tinh tháưn phỉång phạp :
1. Trong trỉåìng håüp quạ trçnh ca mảch âi âãún äøn âënh thç nãúu cọ thay âäøi êt
no âọ cạc säú hảng hay hãû säú ca phỉång trçnh thç nghiãû
m cng thay âäøi nh tỉång
ỉïng, lục âọ ta cọ thãø coi säú hảng phi tuún l nh trong hãû phỉång trçnh mảch nãn cọ
thãø gáưn âụng cho nọ bàòng 0 m khäng nh hỉåíng nhiãưu âãún nghiãûm ca quạ trçnh.
Vê dủ : Khi phi tuún nh cọ thãø coi gáưn âụng nhỉ sau :
'i.a'i ).i.ba('i).i(LU

3
3
0
+ψ+ψ=ψ
++=ψ
Phỉång trçnh vi phán mä t QTQÂ ca mảch l :

)t(e
d
t
d
i.r =
ψ
+

h.18-1
Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang
104
Âáy l phỉång trçnh vi phán cáúp 1 liãn hãû hai biãún trảng thại ψ, I nãn r rng
mún gii phỉång trçnh ta phi chuøn tỉì biãún ny sang biãún kia âãø âỉåüc phỉång trçnh
vi phán cáúp 1 theo mäüt biãún. Hai biãún ψ, I liãn hãû våïi nhau trong hm âàûc tênh phi
tuún nãn nãúu dng quan hãû ny âỉa vo phỉång trçnh thç hãû phỉång trçnh s phỉïc tảp
khọ gii. Khi mảch cọ tênh phi tuún nh b qua säú hảng phi tuún trong quan hãû hm
ψ(i) thay vo hãû phỉång trçnh s âỉåüc phỉång trçnh vi phán cáúp mäüt tuún tênh theo
mäüt biãún thç gii âỉåüc dãù dng. Ta chuøn âäøi cạc biãún trong trỉåìng håüp củ thãø nhỉ
sau :
a. Khi quạ trçnh trong mảch cọ tiãu tạn êt nãn cọ
d
t

>>
lục âọ tênh biãún ψ theo biãún i
âỉåüc gáưn âụng : ψ(i) ≈ L
0
.i nãn cọ : 'i.L
d
t
di
.
id
t
d
0
≈
∂
ψ
∂
=
ψ
v phỉång trçnh mä t QTQÂ
l :
)t(e
d
t
di
Li.r
0
=+ l phỉång trçnh tuún tênh. Gii phỉång trçnh cho tha mn så
kiãûn i(0) âỉåüc dng âiãûn quạ âäü i(t) v dỉûa vo quan hãû ψ(i) xạc âënh âỉåüc ψ(t).
II. Cạc bỉåïc ca phỉång phạp tuún tênh họa säú hảng phi tuún nh :

Ta phán têch v gäüp cạc säú hảng ca phỉång trçnh thnh hai nhọm säú hảng :
H(x, µ, t) = H
1
(x, t) + µ.H
2
(x, µ, t) = 0 (18-1)
Trong âọ : H
1
(x, t) l táûp håüp táút c cạc säú hảng tuún tênh trong hãû, cn H
2
(x,
µ, t) l táûp håüp táút c cạc säú hảng phi tuún trong hãû. Trong âọ tham säú µ quút âënh
tênh cháút, mỉïc âäü phi tuún ca quạ trçnh phi tuún trong mảch. Khi µ = 0 säú hảng phi
tuún khäng cn.
Lục ny phỉång trçnh mảch chè cn H
1
(x, t) = 0 gi l phỉång trçnh tuún tênh
suy biãún. Nghiãûm ca H
1
(x, t) = 0 kê hiãûu l x
0
(t) gi l nghiãûm tuún tênh suy biãún.
Nghiãûm ca H(x, µ , t) = 0 kê hiãûu l x(t), nọi chung x(t) ≠ x
0
(t) såí dé cọ sai khạc âọ l
do cọ sỉû tham gia ca säú hảng phi tuún. Tỉïc l mỉïc sai khạc ty thüc µ.
Âäúi våïi cạc quạ trçnh âi âãún äøn âënh, khi µ bẹ cọ thãø coi nghiãûm x(t) cọ quan hãû
gii têch våïi tham säú µ, nãn cọ thãø khai triãøn x(t, µ) theo chùi ly thỉìa våïi tham säú µ .
Ta cọ nghiãûm dỉåïi dảng khai triãøn l :
k

x
.)
t
(
x
)t,(
x
k
k
2
2
10
µ++µ+µ+=µ
(18-2b)
Trong âọ x
1
(t), x
2
(t), , x
k
(t) gi l cạc hm hiãûu chènh sỉû sai khạc giỉỵa x(t) v
x
0
(t) âãø x
0
(t) tiãún dáưn âãún x(t). Nãn ta cn gi âáy l phỉång phạp nhiãùu loản.
Tỉì âọ dáùn âãún tinh tháưn ca phỉång phạp l :
Tçm âỉåüc nghiãûm quạ trçnh phi tuún x(t) bàòng cạch gii tçm nghiãûm phỉång
trçnh tuún tênh suy biãún x
0

0
+ µ.u
1
(våïi mäüt hm hiãûu chènh u
1
) thç
u' = u'
0
+ µu'
1
v
2
110
2
0
2
u
u
u
2
u
u
µ+µ+=
. Vç u = u
0
+ µ.u
1
l nghiãûm nãn thay vo
phỉång trçnh mảch phi nghiãûm âụng nãn cọ :


Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang
106
Ta bióỳt caùc sọỳ haỷng cuớa khai trióứn luợy thổỡa õọỹc lỏỷp tuyóỳn tờnh, nón thay nghióỷm
khai trióứn vaỡo phổồng trỗnh maỷch õóứ nghióỷm õuùng phổồng trỗnh maỷch phaới coù nhổợng
phổồng trỗnh cỏn bũng rióng reợ theo tổỡng bỏỷc cuớa à. Tổỡ õoù ta õổồỹc caùc phổồng trỗnh
cỏn bũng rióng reợ :
ặẽng vồùi à = 0 coù C.u'
0
+ a.u
0
= 0 laỡ phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh suy bióỳn.
ặẽng vồùi à coù : 0buau'C
u
2
011
=++ .
Vỗ ta chố cỏửn mọỹt haỡm hióỷu chốnh nón khọng cỏửn nhổợng phổồng trỗnh bỏỷc cao
hồn cuớa à.
1.
Giaới phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh suy bióỳn õóứ xaùc õởnh nghióỷm tuyóỳn tờnh suy
bióỳn u
0
(t). Tổỡ phổồng trỗnh vi phỏn theo thồỡi gian : C.u'
0
+ a.u
0
= 0 vồùi sồ kióỷn u
C
(0) =

0)
p
(aU)0(u.C)p(CpU
00
0
0C0
0C0
+
=
+
=
==+
=
+
giaới õổồỹc nghióỷm aớnh toaùn tổớ :
Tổỡ nghióỷm aớnh suy ra gọỳc: U
0
(p)
t
C
a
2
2
0
2
0
t
C
a
00

apC)p(U
0
a2pC
CU
b)p(aU)p(CpU
2
0
1
2
0
11
+
=+
=
+
++
ồớ õỏy lổu yù sồ kióỷn õóứ tờnh caùc haỡm hióỷu
chốnh laỡ 0, tổỡ laỡ u
1
(0) = 0, , u
k
(0) = 0.
Giaới õổồỹc nghióỷm aớnh :
()( )
)p(F
)p(F
a2pCapC
bCU
)p(U
2

2
2
t
C
a
11
eAeA)t(u

+=

trong õoù :
a
bU
aC
bCU
)p('F
)
p
(F
A,
a
bU
aC
bCU
)p('F
)p(F
A
2
0
2

1
e
a
bU
e
a
bU
)t(u

+=

Daỷng nghióỷm quaù õọỹ laỡ : u(t) = u
0
(t) + u
1
(t).
Bióứu thổùc õióỷn aùp QTQ laỡ :
t
C
a
2
2
0
t
C
a
2
0
t
C

(t), x
2
(t), , x
k
(t).
5.
Cọỹng nghióỷm tuyóỳn tờnh suy bióỳn vồùi caùc haỡm hióỷu chốnhta seợ õổồỹc nghióỷm
quaù trỗnh quaù õọỹ phi tuyóỳn cỏửn tỗm x(t).
Đ4. Phổồng phaùp bión, pha bióỳn thión chỏỷm (PP VanderPol)
ỏy thổỷc chỏỳt laỡ phổồng phaùp bióỳn thión hũng sọỳ tờch phỏn - laỡ mọỹt thuớ thuỏỷt õóứ
giaới hóỷ phổồng trỗnh vi phỏn phi tuyóỳn. Duỡng tờnh cho hóỷ õồn giaớn, tióỷn lồỹi õóứ khaớo saùt
maỷch dao õọỹng gọửm hai phỏửn tổớ khaùng phi tuyóỳn (hóỷ tọnọm).
I. Tinh thỏửn chung caùc phổồng phaùp bióỳn thión hóỷ sọỳ tờch phỏn.
Ta õaợ bióỳt phổồng trỗnh maỷch phi tuyóỳn coù thóứ vióỳt vaỡ sừp xóỳp dổồùi daỷng :
H(x,t) = H
1
(x,t) + H
2
(x,à,t) (18-3a)
Trong õoù : H
2
(x,à,t) laỡ nhoùm caùc sọỳ haỷng phi tuyóỳn gỏy khoù khn cho vióỷc tỗm nghióỷm
quaù trỗnh, coỡn H
1
(x,t) = 0 laỡ phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh suy bióỳn dóự daỡng tỗm õổồỹc nghióỷm
tọứng quaùt x(t,c) vồùi c laỡ hóỷ sọỳ tờch phỏn.
Vỗ maỷch coù phỏửn tổớ phi tuyóỳn nón nghióỷm tuyóỳn tờnh suy bióỳn x(t,c) khaùc
nghióỷm quaù trỗnh phi tuyóỳn nón coù thóứ coi nghióỷm cuớa quaù trỗnh phi tuyóỳn cuợng dổồùi
daỷng x(t,c) nhổng c(t) bióỳn thión theo thồỡi gian õóứ õióửu chốnh nghióỷm tuyóỳn tờnh suy
bióỳn õóỳn nghióỷm quaù trỗnh phi tuyóỳn. Tổùc laỡ nghióỷm quaù trỗnh phi tuyóỳn coù daỷng

Thổồỡng H(x,t) phi tuyóỳn ờt nón nghióỷm cuớa H(x,t) khaùc chuùt ờt so vồùi nghióỷm cuớa
phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh suy bióỳn H
1
(x,t) = 0.
Giaớ thióỳt
coù nghióỷm õióửu hoỡa laỡ :0xx)t,x(H
2
01
=+=

)
t
cos(.
A
)
t
(
x
0
+
=

Trong õoù : A, laỡ hai hóỷ sọỳ tờch phỏn.
Ta bióỳt trong õaùp ổùng maỷch phi tuyóỳn ngoaỡi õióửu hoỡa cồ baớn coỡn coù caùc õióửu hoỡa bỏỷc
cao nổợa song chuớ yóỳu laỡ õióửu hoỡa cồ baớn coỡn caùc õióửu hoỡa bỏỷc cao laỡ nhoớ, nón coù thóứ
õỷt vỏỳn õóử bióứu dióựn nghióỷm QTQ phi tuyóỳn dổồùi daỷng õióửu hoỡa cồ baớn nhổng coù
bión õọỹ vaỡ goùc pha thay õọứi theo thồỡi gian. Tổùc laỡ dao õọỹng coù bión õọỹ A(t), vaỡ goùc
pha (t).
Luùc naỡy nghióỷm QTQ coù daỷng :
[

=
cos
A
)
t
(x nón coù :
+






+=

cosAsin)t()t(Ax
0

Vỗ A, bióỳn thión chỏỷm nón
<<

sinAsinAcosA
0

nón gỏửn õuùng coù :
(18-5) =

sinAx
0
=+=



à
=


à
=


sinA,cosAf
sinA,cosAfA
0
0
0
0
(18-7)
Nhổ vỏỷy thay vỗ phaới giaới mọỹt phổồng trỗnh vi phỏn bỏỷc 2 laỡ :

ta õổa ra õổồỹc 2 phổồng trỗnh vi phỏn bỏỷc 1 vồùi hai bióỳn
nhổ (18-7). Vóỳ phaới
)x,x(fxx
2
0


à=+
)t(),t(A



0
00
2
0
0
0
dcossinA,cosAf
A2
dsinsinA,cosAf
2
A
(18-8)
Bàòng 2 phỉång trçnh ny xạc âënh biãn âäü A, gọc pha θ âãø thay vo nghiãûm x(t)
= A(t)cosψ = A(t).cos[ω
0
t + θ(t)].
Trong âọ :
[]
C
2
0
0
FdcossinA,cosAf
2
1
=ψψψω−ψ
π
∫
π
: giạ trë trung bçnh bçnh

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θ+θ+ω
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
∫∫
t
0
00
t
0
0
dt)t(tcosdt)t(AA)t(x
Trong âọ A
0
, θ
0
l biãn, pha ca nghiãûm tuún tênh suy biãún cho tha mn så
kiãûn ca bi toạn.
Vê dủ : Xẹt tủ âiãûn C âỉåüc nảp âiãûn âãún âiãûn ạp U
0

0
.
Tỉì phỉång trçnh mảch :
0idt
C
1
=ψ+
•
∫
âảo hm c hai vãú âỉåüc phỉång trçnh :
0
C
i
=ψ+
••
thay theo biãún ψ cọ :
0
C
b
C
a
3
=
ψ
+
ψ
+ψ
••

h.18-3

ψ−Ψ−Ψ↔ψΨ↔ψ
m ψ(0) = 0, ψ'(0) = - U
0

nãn cọ phỉång trçnh nh toạn tỉí l : 0)
p
(U)
p
(
p
2
00
2
=Ψω++Ψ gii ra nghiãûm nh :

2
0
2
0
0
0
2
0
2
0
p
U
p
U
)p(

=ψ

Váûy ta cọ :
0
0
0
0
0
90,
U
A =θ
ω
=
. Tỉì dảng nghiãûm : ψ
=
ψ
cos)
t
(
A
)
t
(
thay vo phỉång trçnh mảch ta cọ :
ψµ−ψµ−=ψµ−=ψωθ−ψω−
••
3cos
4
1
Acos

ω
µ=θ
=
•
•
0
2
A
4
3
0A

nãn cọ :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
ω
µ
+=
ω
µ
+=θ+θ=θ
ω
==+=
∫∫
∫

0
t
0
0

Làõp A(t) v θ(t) vỉìa tênh âỉåüc vo biãøu thỉïc nghiãûm
[]
)
t
(
t
cos)
t
(
A
)
t
(
0
θ
+ω
=
Ψ
ta
âỉåüc nghiãûm :
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

0
2
0
0
0
0
3
0
2
0
0
0
0
0

III. Cạc bỉåïc thỉûc hiãûn phỉång phạp biãn pha biãún thiãn cháûm :
1.
Viãút phỉång trçnh mảch dỉåïi dảng vi phán phi tuún.
2.
Gii phỉång trçnh tuún tênh suy biãún cho tha mn så kiãûn xạc âënh âỉåüc
A
0
, θ
0
tỉì nghiãûm
[
]
000
t
cos

]
)
t
(
t
cos)
t
(
A
)
t
(
x
0
θ+
ω
=
âỉåüc nghiãûm
quạ trçnh quạ âäü l :
[]
[
]
)
t
(
t
cos)
t
(
A

),
x(t
1
), x(t
2
), , x(t
n
) cạc thåìi âiãøm t
0
, t
1
, t
2
, , t
n
láưn lỉåüt cạch nhau mäüt khong thåìi gian
∆t = h gi l bỉåïc thåìi gian h do ta tỉû chn. Cạc nghiãûm x(t
0
), x(t
1
), x(t
2
), , x(t
n
) láưn
lỉåüt khạc nhau mäüt lỉåüng ∆x gi l säú gia ca biãún säú. Tỉì âọ tháúy ràòng nãúu biãút
nghiãûm tải t
0
(l så kiãûn ca bi toạn), chn bỉåïc h v cọ säú gia ∆x thç ta tênh âỉåüc
x(t

2
) = x
2
= x
1
+ ∆
1
x.
. . . . . . . . .
Tải t
n
= t
0
+ nh cọ x(t
n
) = x
n
= x
n-1
+∆
n-1
.x
Váûy âãø xạc âënh nghiãûm dỉåïi dảng phán bäú råìi rảc theo thåìi gian cáưn phi tênh
så kiãûn x
0
tải thåìi âiãøm âọng måí t
0
, chn bỉåïc thåìi gian h, chn säú gia ∆x.
R rng nãúu chn bỉåïc h cng nh thç cạc nghiãûm s åí cạc âiãøm thåìi gian sêt
nhau, âäü chênh xạc cng cao.

h
x
x
)t(
h
x
)t(
dt
d
x
)t(x
n1n
nnn
−
=
∆
≈=
+
•
(18-9)
dt = h l bỉåïc thåìi gian ty chn v âảo hm cáúp 2 l :

)xx2x(
h
1
)xx(
h
1
h
1

++
+++
•
+
•
•
••
(18-10)
tỉång tỉû nhỉ trãn ta xạc âënh biãøu thỉïc gáưn âụng ca âảo hm cáúp cao hån.
Nhỉ váûy thay phẹp âảo hm bàòng phẹp tênh âải säú gáưn âụng ta s chuøn âỉåüc
hãû phỉång trçnh vi phán thnh hãû phỉång trçnh âải säú liãn hãû giạ trë ca biãún åí nhỉỵng
thåìi âiãøm kãú cáûn nhau. Tỉì phỉång trçnh ny dng phỉång phạp thêch håüp tçm bàòng säú
dáưn tỉìng bỉåïc nghiãûm gáưn âụng (biãút giạ trë biãún åí bỉåïc k, tênh âỉåüc giạ trë áøn åí bỉåïc
tiãúp theo k + 1 cỉï thãú tênh dáưn âỉåüc giạ trë nghiãûm råìi rảc gáưn
âụng åí cạc bỉåïc kãø tỉì k = 0 l så kiãûn)
h.18-4
r
i(ψ)
e(t)
K
Ta minh ha phỉång phạp bàòng vê dủ sau âáy :
Vê dủ : Âọng cün dáy li thẹp vo ngư
n e(t) nhỉ hçnh
(h.18-4). Hy xạc âënh ψ(t), i(t) trong mảch.
Så kiãûn bi toạn :
Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang
112
0L0L
)0()0(,i)0(i)0(i

=
ψ
−
ψ
+
+

Rụt ra phỉång trçnh âải säú :
[
]
kk1k
i.
r
)
t
(e.
h
−
+
ψ
=
ψ
+
(*)
Tỉì phỉång trçnh (*) xạc âënh tỉìng giạ trë ψ tải nhỉỵng thåìi âiãøm cạch nhau bỉåïc h.
Tải thåìi âiãøm âọng måí : t = 0, k = 0 cọ :

0)0(ii,0)0(
00
=

cong quan hãû ψ(i), cọ ψ
1
, i
1
ta tiãúp tủc xạc âënh
[
]
112
i.
r
)h(e.h −
+
ψ
=
ψ
tải t
2
= t
1
+ h,
tỉì ψ
2
xạc âënh i
2
qua ψ(i) v ta âỉåüc ψ
1
(t
1
), ψ
2

3.
Nghiãûm råìi rảc tênh åí mäùi bỉåïc cọ mäüt sai säú no âọ gọp pháưn gáy sai säú cho
bỉåïc sau. Nãúu sai säú mäùi bỉåïc khäng gáy nhỉỵng sai säú ngy cng låïn vä hản trong
tỉìng bỉåïc sau ta nọi nghiãûm sai phán l äøn âënh, ngỉåüc lải l khäng äøn âënh. Táút nhiãn
nghiãûm l äøn âënh måïi cọ nghéa. Ta s tháúy våïi mäüt bi toạn nãúu tênh máùu sai phán
ny thç äøn âënh cn tênh theo máùu sai phán khạc cọ thãø khäng äøn âënh.
4.
Cọ thãø dng mạy tênh säú âãø gii phỉång trçnh sai phán mäüt cạch nhanh
chọng. Âáy chênh l ỉu âiãøm näøi báût ca phỉång phạp säú.
§6. Phỉång phạp gii têch âäư thë trãn màût phàóng pha :
I. Biãøu diãùn quạ trçnh ca hãû trong khäng gian trảng thại :
Táút c cạc phỉång phạp tênh mảch â hc cho phẹp tênh âỉåüc phán bäú thåìi gian
ca nghiãûm : x(t) l âỉåìng cong cọ thãø biãøu diãùn trong màût phàóng gäưm trủc honh l
trủc thåìi gian, trủc tung l nghiãûm x, khäng gian âọ l khäng gian trảng thại thåìi gian.
Qua x(t) trãn màût phàóng âọ tháúy âỉåüc cỉåìng âäü åí mäùi thåìi âiãøm, cng xạc âënh
âỉåüc
•
x
nhỉ l âäü däúc ca âỉåìng cong. Nãúu biãút thãm sỉû phủ thüc ca x(t) vo så kiãûn
(thãø hiãûn trãn âỉåìng cong)thç s biãút âỉåüc ton bäü tênh cháút ca hãû kãø c äøn âënh.
Song vç nhiãưu bi toạn khọ gii ra nghiãûm x(t), khọ tçm sỉû phủ thüc ca x(t)
vo så kiãûn v âàûc biãût khi chè cáưn xẹt tênh cháút ca quạ trçnh chỉï khäng cáưn gii
nghiãûm x(t) củ thãø. Lục ny nãn tçm mäüt âỉåìng cong khạc (ỉïng våïi mäüt khäng gian
Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang
113
khaùc) õóứ bióứu dióựn quaù trỗnh thỗ tióỷn lồỹi hồn laỡ phaới duỡng nhổợng phổồng phaùp õaợ hoỹc õóứ
giaới ra nghióỷm x(t).
Ta coù thóứ duỡng khọng gian traỷng thaùi laỡ khọng gian
chố coù sổỷ lión hóỷ giổợa caùc bióỳn (loaỷi õi bióỳn thồỡi gian) õóứ

) trong khọng gian
traỷng thaùi, gọửm 1 truỷc x
2
vaỡ truỷc kia laỡ x
1
, tỗm quyợ õaỷo
traỷng thaùi x
2
(x
1
) bũng caùch lỏỳy caùc õióứm thồỡi gian t
0
, t
1
,
t
2
, , t
n
thay vaỡo x
1
(t), x
2
(t) õổồỹc x
20
(x
10
), x
21
(x

(
t
)
h.18-5
x
2
x
1
0
h.18-6
II. Bióứu dióựn quaù trỗnh trón mỷt phúng pha :
Trổồỡng hồỹp õỷc bióỷt cuớa khọng gian traỷng thaùi khi x
1
= x vaỡ ta coù quan
hóỷ
goỹi laỡ quyợ õaỷo pha, õổồỹc xaùc õởnh trong khọng gian pha. Vồùi truỷc tung laỡ
coỡn truỷc hoaỡnh laỡ x.

= xx
2
)x(x


x
Vờ duỷ : Coù x(t) = X
m
sint laỡ phỏn bọỳ thồỡi gian maỡ quyợ õaỷo traỷng thaùi - thồỡi gian
laỡ mọỹt dao õọỹng chu kyỡ õióửu hoỡa theo t õaợ bióỳt thỗ coù
. tcosX)t(x
m

)X(
x
tsin
X
x
tcos)X(x
tsinXx
2
2
m
2
2
2
m
2
22
m
2
22
m
2

ổồỹc quan hóỷ quyợ õaỷo pha laỡ:
x
x
.
)X(
x
X
x

III. Âc tin tỉïc vãư quạ trçnh qua qu âảo pha :
Chụng ta biãút ràòng bàòng cạch phỉång phạp gii mảch â hc tçm nghiãûm x(t) räưi
dỉûa vo phán bäú x(t) xẹt cạc âàûc âiãøm, tênh cháút ca quạ trçnh trong mảch. Váûy våïi
phỉång phạp v qu âảo pha
ta phi âạnh giạ âỉåüc âàûc âiãøm, tênh cháút ca quạ
trçnh trong mảch qua âỉåìng cong qu âảo pha
. Vç thãú ráút cáưn thiãút phi rụt ra mäúi
quan hãû giỉỵa tỉìng âàûc âiãøm ca phán bäú qu âảo pha
våïi tỉìng âàûc âiãøm, tênh cháút
ca quạ trçnh mảch âiãûn. Âãø tỉì âọ nhçn dạng âiãûu phán bäú ca
ta âạnh giạ ngay
tênh cháút ca quạ trçnh mảch âiãûn.
)x(x
•
)x(x
•
)x(x
•
)x(x
•
Dỉåïi âáy ta dáùn ra mäüt säú quan hãû âãø tỉì dảng ca qu âảo pha
âạnh giạ
ngay tênh cháút ca quạ trçnh trong mảch.
)x(x
•
1.
Vãư chiãưu chuøn âäüng âiãøm trảng thại.
Ta biãút trủc tung
biãøu diãùn täúc âäü chuøn âäüng ca âiãøm trảng thại, nãn cạc
âiãøm trảng thại nàòm åí nỉía màût phàóng trãn trủc honh cọ

xd
dt
dx
.
x
x
dt
xd
x ==
δ
δ
==
•
•••
••
trong âọ :
d
x
xd
d
x
dy
•
=
l âäü däúc ca qu âảo
pha,
l gia täúc ca quạ trçnh.
••
x
Nãn tỉì

2
2
m
2
=

+

xem hỗnh (h.18-7)
Qua õổồỡng quyợ õaỷo pha trón hỗnh (h.18-7) ta thỏỳy noù tióỳn õóỳn cừt truỷc ngang
(truỷc x) dổồùi mọỹt goùc bũng /2 õóứ quaù trỗnh coỡn tióỳp dióựn. Quaù trỗnh chu kyỡ.
b.
Ta bióỳt õióứm õỷc bióỷt trón quyợ õaỷo pha laỡ õióứm cỏn bũng, õióứm maỡ taỷi õoù tọỳc
õọỹ, gia tọỳc cuớa bióỳn bũng 0,
0
dt
dy
xvaỡ0y
dt
d
x
x =====


.
Taỷi õióứm cỏn bũng (õióứm nũm trón truỷc ngang x) quợy õaỷo pha phaới tióỳn õóỳn noù
dổồùi mọỹt goùc khọng vuọng : vỗ goùc /2 thỗ
d
x
dy

x
.
x
0
M
ióứm 0 laỡ õióứm cỏn bũng
h.18-8a
ióứm M laỡ õióứm cỏn bũng
h.18-8b
c.
Quaù trỗnh tng, giaớm vọ haỷn khi quyợ õaỷo pha ngaỡy caỡng õi xa dỏửn gọỳc toỹa õọỹ
tióỳn õóỳn vọ haỷn trong goùc phỏn tổ thổù 1 vaỡ 3 nhổ hỗnh (h.18-9a,b).
d.
Quaù trỗnh tng, giaớm dỏửn dao õọỹng khi quyợ õaỷo pha dao õọỹng cừt truỷc ngang
nhióửu lỏửn dổồùi nhổợng goùc khọng vuọng nhổ hỗnh (h.18-10a,b).
Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn
e.
Coù thóứ dổỷa vaỡo quyợ õaỷo pha õóứ õaùnh giaù ọứn õởnh cuớa quaù trỗnh.
Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang
116


0
x
x
.
Quaù trỗnh tng dỏửn dao õọỹng
h.18-10a
IV. Caùch giaới phổồng trỗnh trón mỷt phúng pha :
Baớn chỏỳt cuớa vỏỳn õóử laỡ chuyóứn hóỷ phổồng trỗnh vi phỏn trong khọng gian (x, t)
vóử phổồng trỗnh trong khọng gian (
) giaới ra quan hóỷ õổồỹc quyợ õaỷo pha.
x,x

)x(x

1.
Coù thóứ xỏy dổỷng quyợ õaỷo pha maỡ khọng cỏửn phỏn tờch phổồng trỗnh vi phỏn
maỷch bũng phổồng phaùp õổồỡng õúng nghióng nhổ sau :
Tổỡ phổồng trỗnh traỷng thaùi cuớa maỷch :
)y,x(Q
dt
dy
);y,x(P
dt
d
x
==
.
Khổớ thồỡi gian trong 2 phổồng trỗnh lỏỷp mọỳi lión hóỷ giổợa caùc bióỳn x, y :
)y,x(P
)y,x(Q

dt
xd
x,y
dt
dx
xcoù
x)x,x(Qx)x,x(Px
=====
+=






Thay vaỡo phổồng trỗnh õóứ tỗm quan hóỷ quyợ õaỷo pha y(x) =
ta coù phổồng
trỗnh :
)x(x

y
x
)y,x(Q)y,x(P
dx
dy
raruùtx)y,x(Qy)y,x(P
dt
dy
y +=+=


Ta xeùt mọỹt sọỳ phổồng phaùp gỏửn õuùng veợ y(x).
a.
Phổồng phaùp veợ dỏửn tổỡng õoaỷn quyợ õaỷo pha.
Ta xeùt cho maỷch cỏỳp 2. Tổỡ phổồng trỗnh vi phỏn cỏỳp 2 theo thồỡi gian chuyóứn
sang phổồng trỗnh vi phỏn cỏỳp 1 y(x) laỡ :
y
x
)y,x(Q)y,x(P
dx
dy
+=
(18-12)
Khi khọng tờch phỏn phổồng trỗnh vi phỏn cho ra nghióỷm dóự daỡng thỗ ta thổỷc
hióỷn veợ gỏửn õuùng quyợ õaỷo pha y(x) nhổ sau :
Ta thỏỳy
d
x
dy
laỡ õọỹ dọỳc cuớa quyợ õaỷo pha, xaùc õởnh õổồỹc noù khi bióỳt toỹa õọỹ y, x
trong mỷt phúng pha. Thổồỡng ồớ baỡi toaùn quaù trỗnh quaù õọỹ bióỳt õổồỹc sồ kióỷn : x(0) = x
0
,
tổùc laỡ bióỳt õióứm M
0
y)0(x =

0
(x
0
, y

Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang
118
)M(
d
x
dy
0
. Mụt ca âoản thàóng ty âọ l âiãøm M
1
ta âäü y
1
, x
1
thüc qu âảo pha.
Biãút âiãøm M
1
(y
1
, x
1
) thay vo biãøu thỉïc ta âỉåüc âäü däúc tải âiãøm M
1
l
1
1
11111
y
x
)y,x(Q)y,x(P)M(
dx

M
2
y
2
y
1
0
x
y
M
0
M
1
x
2
x
1
Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
b.
Phỉång phạp Liena :
Phỉång phạp ny gii mảch dao âäüng phi tuún
cáúp 2 trong âọ säú hảng phi tuún l hm riãng ca
•
x

dảng :
(18-13)
0)x(fxx =−+
•
••

Q
P'
P
M
1
M
0
x
0
α
V theo trủc ngang x hm f(y) nhỉ hçnh (h.18-12).
 cọ âiãøm M
0
(y
0
, x
0
) xạc âënh tỉì så kiãûn, tỉì âiãøm M
0
k âỉåìng thàóng song
song våïi trủc x càõt âỉåìng f(y) tải P ta âỉåüc : x
0
- f(y
0
) = M
0
P chênh l tỉí säú ca âäü däúc
tải M
0
.

keớ õổồỡng song song truỷc y cừt truỷc x taỷi Q xaùc õởnh =
0
MQP
)
, tổỡ õióứm M
0
xaùc õởnh
õióứm M
1
nhổ sau : õỷt óke õốnh vuọng ồớ õióứm M
0
, mọỹt caỷnh vuọng qua õióứm Q. Tổỡ
õióứm M
0
keớ õoaỷn thúng theo phổồng caỷnh kia cuớa óke lỏỳy õọỹ daỡi tuỡy yù õổồỹc õióứm M
1

toỹa õọỹ x
1
, y
1
, tổỡ M
1
keớ song song truỷc x cừt f(y) taỷi P', tổỡ P' keớ truỷc song song y cừt x taỷi
Q', xaùc õởnh ', duỡng óke õỷt goùc vuọng taỷi M
1
, mọỹt caỷnh qua Q', tổỡ M
1
keớ theo caỷnh
kia õổồỹc õióứm M

U
).
h.18-13
Tổỡ phổồng trỗnh vi phỏn cuớa maỷch : L.i' + r.i = U.
ỷt
y
dt
di
'i ==
nón coù phổồng trỗnh : L.y + r.i = U hay
L
U
L
ri
y +=
tổỡ õoù veợ
õổồỹc quyợ õaỷo pha i'(i) = y(i) nhổ hỗnh (h.18-14) laỡ mọỹt õổồỡng thúng. Veợ õổồỡng i'(i)
bũng caùch xaùc õởnh hai õióứm, trong õoù õióứm thổù nhỏỳt laỡ M
0
(i
0
= 0, i'(0) =
L
U
) ổùng vồùi
sồ kióỷn, õióứm thổù hai laỡ õióứm M
1
coù toỹa õọỹ i
1
vaỡ i'

hóỷ i'(i) coù õổồỹc i(t), i'(t) :
t
L
r
e
r
U
r
U
i
vaỡ

=
i
0
U/
r
h.18-14
M
1
U/L
i' =
y
M
0
t
L
r
e
L