CHUYÊN ĐỀ 1
SO SÁNH HAI LUỸ THỪA
A. Mục tiêu.
- Khi học kiến thức về luỹ thừa với số mũ tự nhiên từ một trong loại bài
tập mà các em thường gặp là so sánh hai luỹ thừa.
- Giáo viên cần bổ sung cho học sinh về kiến thức so sánh hai luỹ thừa.
- Từ đó học sinh vận dụng linh hoạt vào giải bài tập.
B. Nội dung chuyền đạt.
I. Kiến thức cơ bản.
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số
hoặc cùng số mũ.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹu thừa nào có số mũ
lớn hơn sẽ lớn hơn.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn
sẽ lớn hơn.
2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu,
tính chất đơn điệu của phép nhân.
(a<b thì a.c<b.c với c>0).
Ví dụ: So sánh 32
10
và 16
15
, số nào lớn hơn.
Hướng dẫn:
Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm
cách đưa 32
10
và 16
15
về luỹ thừa cùng cơ số 2.
32

. b) 625
5
và 125
7
c) 5
36
và 11
24
d) 3
2n
và 2
3n
(n ∈ N
*
)
Hướng dẫn:
a) Đưa về cùng cơ số 3.
b) Đưa về cùng cơ số 5.
c) Đưa về cùng số mũ 12.
d) Đưa về cùng số mũ n
Bài 2: So sánh các số sau, số nào lớn hơn?
a) 5
23
và 6.5
22

b) 7.2
13
và 2
16

b) 3
39
và 11
21
.
Hướng dẫn :
a) 199
20
< 200
20
= (2
3
.5
2
)
20
= 2
60
. 5
40
.
2003
15
> 2000
15
= (2.10
3
)
15
= (2

-72
43
.
Hướng dẫn:
72
45
-72
44
=72
45
(72-1)=72
45
.71.
72
44
-72
44
=72
44
(72-1)=72
44
.71.
Bài5:Tìm x
N∈
biết:
a, 16
x
<128
4.


8
.
Hướng dẫn: 2S=2+2
2
+2
3
+2
4
+ +2
10
.

⇒
2S-S=2
10
-1(2
10
=2
2
.2
8
=4.2
8
<5.2
8
).
Bài7: Gọi m là các số có 9chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0.
Hãy so sánh m với 10.9
8
.

31
và 17
39
. b)
21
2
1
và
35
5
1

Hướng dẫn: a) 31
31
<32
31
=2
155
; 17
39
>16
39
= 2
156
.
b) So sánh 2
21
với 5
35
CHUYÊN ĐỀ 2:

c. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên.
- Các số có tận cùng 001 ; 376 ; 625 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0) cũng tận
cùng bằng 001 ; 376 ; 625.
- Số có chữ số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0) cũng tận
cùng bằng 0625.
3. Một số chính phương thì không có tận cùng bằng 2 ; 3 ; 7 ; 8.
II. áp dụng làm bài tập .
Bài1 : Chứng tỏ rằng các tổng sau chia hết cho 10.
a) 17
5
+ 24
4
- 13
21
.
b) 51
n
+ 47
102
.
Hướng dẫn: Chứng tỏ chữ số tận cùng của tổng bằng 0.
Bài2 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n :
a) 7
4n
- 1 chia hết cho 5.
b) 3
4n+1
+ 2 chia hết cho 5.

c) 2

N
*
)
Bài5 : Tìm hai chữ số tận cùng của .
99
a) 51
51
b) 99
99
c) 6
666
d) 14
101
. 16
101
Hướng dẫn : đưa về dạng (a
n
)
m
, trong đó a
n
có hai chữ số tận cùng là 01 hoặc
76 .
Bài 6: Tích của các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu
thừa số ?
* Hướng dẫn : Dùng P
2
để loại trừ.
- Nếu tích là 5 thừa số lẻ liên tiếp trở lên thì ít nhất cũng có một thừa số có chữ
số tận cùng là 5 do đó tích phải có tận cùng là 5 , trái đề bài ,vậy thừa số của tích

30
.
Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phương.
Hướng dẫn: 2S = 3S - S =3
31
-1 =3
28
. 3
3
-1.
= ( 3
4
)
7
. 27 -1 = 1. 27 -1 = 6.

⇒
2S = 6
⇒
S = 3.
Số chính phương không có tận cùng là 3
⇒
đpcm.
Bài 9: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 10 000, có bao nhiêu chữ số tận cùng
bằng 1 mà viết được dưới dạng 8
m
+5
n
(m,n
∈

+ 5
n
với n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có 5 số.

Bài10: Có số tự nhiên n nào thoả mãn:
n
2
= 20072007 2007không?
Hướng dẫn: n
2
= 20072007 2006.
n
2
là số chính phương có tận cùng là 6

2.

⇒
n
2


4. Mà 20072007 2006 không chia hết cho 4 ( vì 06 không
chia hết cho 4).
Vậy không có số tự nhiên nào
Bài 11: Tìm 4 chữ số tận cùng của số:
A = 5
1994
.
Hướngdẫn: 5

tận cùng là 0625
⇒
5
4m+2
tận cùnglà 5625
Mà 1994 có dạng 4m+2
⇒
5
1994
tận cùng là 5625
Bài 12: Chứng minh rằng chữ số tận cùng của các số tự nhiên n và n
5
là như
nhau.
Hướng dẫn: Cách 1: Xét chữ số tận cùng của n
⇒
chữ số tận cùng tương
ứng của n
5
.
Cách2: Đưa về chứng minh ( n
5
- n )

10
Biến đổi n
5
- n = n.(n-1).(n +1).(n
2+1
).

học sinh rèn khả năng tư duy sáng tạo để làm được những bài tập nâng cao.
B.Nội dung cần truyền đạt.
B. Kiến thức cơ bản.
Nếu nhốt a con thỏ vào b cái lồng mà a = b.q + r (0< r <q ) thì ít nhất cũng
có một lồng nhốt từ q+1 con thỏ trở lên.
* Chú ý cho học sinh: Khi giải bài toán vận dụng nguyên lí điriclê cần suy
nghĩ để làm xuất hiện " thỏ" và "lồng", khái niệm "nhốt thỏ vào lồng" nhưng khi
trình bày lời giải ta cố gắng diễn đạt theo ngôn ngữ toán học thông thường.
Ví dụ: Cho 9 số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng có thể chọn ra 2 số mà hiệu
của chúng chia hết cho 8.
Phân tích: Coi 9 số là 9 con thỏ. Chín con thỏ này được nhốt trong mấy
lồng ?
Ta biết rằng khi chia một số cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong8 số:0 ; 1 ;
2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 . Có 9 số tự nhiên chia cho 8 mà chỉ có 8 số dư nên theo
nguyên lí điriclê thì cũng có ít nhất 2 số chia cho 8 có cùng số dư . Hiệu 2 số này
chia hết cho 8.
Trình bày lời giải:
Khi chia một số tự nhiên bất kì cho 8 thì số dư r chỉ có thể lấy một trong 8
giá trị là:0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 mà có 9 số tự nhiên chia cho 8 mà chỉ có 8 số
dư nên theo nguyên lí điriclê thì ít nhất cũng có 2 số chia cho 8 có cùng số
dư.Hiệu 2 số này chia hết cho 8.
Đưa cho học sinh nhận xét trong n + 1 số tự nhiên , bao giờ cũng có thể chọn
ra hai số mà hiệu của chúng chia hết cho n ( n
∈
N
*
).
C.Bài tập áp dụng:
Bài 1:Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng có ít nhất hai
số có chữ số tận cùng giống nhau.

n


13 mà ( 10
n
, 13 ) =1.

⇒
22 2

13 ( đpcm ).
Bài 3: Cho dãy số : 10 ; 10
2
; 10
3
; ;10
20
.
Chứng minh rằng tồn tại một số chia cho 19 dư 1.
Hướng dẫn:
Dãy số có 20 số, xét trong phép chia cho 19
⇒
có ít nhất hai số có
cùng số dư
⇒
hiệu hai số chia hết cho 19. Mà hiệu hai số có dạng:
10
m
-10
n

chia 4 số dư này làm 2 nhóm ( hai lồng ).
Nhóm 1 dư 1 hoặc dư 7.
Nhóm 2 dư 3 hoặc dư 5.
Có ba số lẻ ( ba "thỏ" ) mà chỉ có hai nhóm số dư ( hai "lồng" ) nên tồn tại hai
số cùng thuộc một nhóm
⇒
đpcm.
Bài 5: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng
hoặc hiệu chia hết cho 12.
Hướng dẫn: Một số nguyên tố lớn hơ 3 chia cho 12 thì số dư chỉ có thể là một
trong 4 số 1 ; 5 ; 7 ; 11 chia thành 2 nhóm: nhóm dư 1 hoặc dư 11; nhóm dư 5
hoặc dư 7.

⇒
đpcm.
Bài 6: Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kì luôn chọn ra được hai số có
tổng chia hết cho 2.
Hướng dẫn: Có 2 lồng là chẵn - lẻ.
Và có ba thỏ là ba số.
Bài 7: Cho bảy số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng ta luôn chọn được 4 số có
tổng chia hết cho 4.
Hướng dẫn: Gọi 7 số đó là a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a

2
,k
3
ta lịa chọn được 2 số chia hết cho 2 chẳng hạn
k
1
+k
2
=2m như vậy:
2k
1
+2k
2
= 4m.
Hay a
1
+a
2
+a
3
+a
4
=4m chia hết cho 4
Bài 8: Chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kỳ luôn chọn được ba số có tổng
chia hết cho 3
Hướng dẫn: Bất kỳ số tự nhiên nào cũng chỉ có một trong ba dạng 3k,
3k+1, 3k+2 ( k∈N)
Trường hợp 1: Có ít nhất 3 số cùng một dạng ⇒ Tổng của 3 số này chia
hết cho 3.
Trường hợp 2: Có 2 số thuộc một dạng nào đó suy ra mỗi dạng có ít nhất

= a
1
+a
2
S
3
=a
1
+a
2
+a
3
.
S
4
=a
1
+a
2
+a
3
+a
4
.
S
4
=a
1
+a
2

+ +a
J
) = a
i+1
+a
i+2
+ +a
J
chia hết
cho 5
Bài 11. Có tồn tại hay không số có dạng
20072007 200700 0 chia hết cho 2005.
Hướng dẫn:
Xét dãy số 2007, 20072007, 200720072007, ,
  
20072006
2007 20072007
so
trong phép chia cho 2005 có it nhất hiệu hai số chia hết cho 2005 . Hiệu hai
số này ( số lớn trừ số nhỏ ) có dạng 20072007 200700 0.
Bai 12: Chứng minh tồn tại một số tự nhiên x < 17 sao cho
25
x
-1

17
Hướng dẫn : Xét dãy số gồm 17 số hạng sau :
25 ; 25
2
; 25

n
- 25
m


17

⇔
25
m
( 25
n - m
-1 )

17 vì ( 25
m
, 17 ) = 1
⇒
đpcm.
CHUYÊN ĐỀ 4
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT ĐỂ SO SÁNH HAI PHÂN SỐ
A. Đặt vấn đề:
Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu hoặc tử (các so sánh
"hai tích chéo" thực chất là quy đồng mẫu số), trong một số trường hợp cụ thể,
tuỳ theo đặc điểm của các phân số, ta còn có thể so sánh bằng một số phương
pháp khác. Tính chất bắc cầu của thứ tự thường được sử dụng, trong đó phát
hiện ra phân số trung gian để làm cầu nối là vấn đề quan trọng.
B. Nội dung cần truyền đạt.
I. Kiến thức cơ bản.
1. Dùng số 1 làm trung gian.

Ví dụ:
198
199
= 1 +
198
1
;
199
200
= 1 +
199
1
Vì
198
1
>
199
1
nên
198
199
>
199
200
c) Nếu
b
a
= 1- M ;
d
c

1
nên
2006
2005
<
2007
2006
2. Dùng một số phân số làm trung gian.
Ví dụ : So sánh
31
18
và
37
15
Giải: Xét phân số trung gian
37
18
( Phân số này có tử là tử của phân số thứ
nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ 2). Ta thấy:
31
18
>
37
18
và
37
18
>
31
15

trung gian.
Ta có:
47
12
>
48
12
=
4
1
77
19
<
76
19
=
4
1
Suy ra
47
12
>
77
19
II. Bài tập áp dụng:
Bài 1: So sánh
a)
85
64
và

2+n
n
) làm phân số trung gian.
Bài 2: So sánh
a)
77
67
và
83
73
b)
461
456
và
128
123
c)
2004.2003
12004.2003 −
và
2005.2004
12005.2004 −
Hướng dẫn: Mẫu của hai phân số đều hơn tử cùng một số đơn vị nên ta sử dụng
so sánh "phần bù"của hai phân số tới đơn vị .
Bài 3: So sánh:
a)
12
11
và
49

nên ta dùng phân số
3
2
làm
phân số trung gian .
Baì 4: So sánh các phân số .
A =
2323.353535
232323.2535
; B =
3534
3535
; C =
2322
2323
Hướng dẫn : Rút gọn A = = 1
B = 1 +
3534
1
C = 1 +
2322
1
Từ đó suy ra : A < B < C.
Bài 5: So sánh :
A =
52.4426.22
)26.2213.11.(5
−
−
và B =

và
571
531
; b)
26
25
và
26261
25251
Hướng dẫn :
a)
57
53
=
570
530
= 1 -
570
40
;
571
531
= 1 -
571
40
b)
26
25
= 1 +
26

a
> 1.
a) Trường hợp :
b
a
= 1
⇔
a = b thì
mb
ma
+
+
=
b
a
= 1
b) Trường hợp :
b
a
< 1
⇔
a < b
⇔
a + m = b + m

mb
ma
+
+
= 1 -

11
+
+
=
−
−
B
.
Hãy so sánh A với B.
Hướng dẫn: Dễ thấy A<1. áp dụng kết quả bài trên nếu
1<
b
a
thì
b
a
mb
ma
>
+
+
với
m>o.
Bài 9:So sánh các phân số sau mà không cần thực hiện các phép tính ở mẫu.
A =
54107.53
53107.54
+
−
. B =

.
Hướng dẫn:
a =(
28
77
3
1
)
81
1
()
80
1
=>
(
30
6
3
1
)
243
1
=
.
b,
15
5
2
243
)

15
1
6
5
.
Hướng dẫn:
Từ
45
15
30
15
6
2
6
3
6
5
+=+=
.
=
)
45
1

45
1
()
30
1


1
44
1

31
1
30
1
+++>+++
(Có 15 phân số).
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
CHUYÊN ĐỀ 5
TỔNG CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT.
A.Đặt vấn đề:
Khi học phép cộng phân số một dạng bài tập mà các em đã gặp là bài toán tính
tổng các phân số mà tử và mẫu của chúng được viết theo quy luật. Loại bài tập
này có thể coi là khó so với học sinh đại trà vì phải tìm ra quy luật của nó từ đó
tìm ra cách giải.
- Vì vậy giáo viên cần bổ sung cho học sinh kiến thức để phát hiện quy luật từ
đó đưa ra cách giải.
B. Nội dung cần truyền đạt:
I. Kiến thức cơ bản:
Cho học sinh chứng minh hai công thức:
.
11
)( mbbmbb
m
+
−=
+

b, B=
39.37
2

9.7
2
7.5
2
5.3
2
++++
.
c, C=
76.73
3

13.10
3
10.7
3
7.4
3
++++
.
Hướng dẫn: áp dụng công thức 1.
Bài 2: Tính các tổng sau:
a, C=
70.69
7


2222
++++
.
Hướng dẫn: áp dụng công thức 1.
Bài 3: Tính các tổng sau:
a, F =
75.73
1

31.29
1
29.27
1
27.25
1
++++
.
b, G =
150.146
15

102.98
15
98.94
15
94.90
15
++++
.
c, H =

++
++++
n
n
nn
.
Hướng dẫn: Biến đổi vế trái về bằng vế phải.
Vế trái =
)
)65).(15(
5

16.11
5
11.6
5
6.1
5
.(
5
1
++
++++
nn

( áp dụng công thức 1 để tính trong ngoặc ).
Bài 5:Tìm x
∈
N biết:
x-

=
+
++++
xx
.
Hướng dẫn:
Bài 7: Chứng minh rằng:
a, A =
20.19.18
1

5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
++++
<
4
1
.
b, B =
29.27.25
36

9.7.5
36
7.5.3
36

1
6
1
4
1
2222
<++++
n
(n
∈
N;n
≥
2).
c, P=
1
!
!2

!5
!2
!4
!2
!3
!2
<++++
n
( n
∈
N;n
≥

(áp dụng phần a làm tiếp).
c, P = 2!.
nnn ).1(
1

5.4
1
4.3
1
3.2
1
.(2
!
1

!5
1
!4
1
!3
1
−
++++≤++++
.)
Bài 9: Chứng minh rằng:

50
1
49
1

++++
= 1+
)
25
1

3
1
2
1
1(
50
1

3
1
2
1
++++−+++
= 1+
)
50
1

6
1
4
1
2
1