Download Bổ sung Kiến thức về phương trình lượng giác miễn phí
Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ
Một số dấu hiệu nhận biết :
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)
Ví dụ: Giải các phương trình :
a. cos3x + cos2x - cosx - 1 =0
b. 4 cos^3x - cos2x - 4cosx + 1 = 0
* Phương trình có chứa (cos sin ) và sinx.cosx
/tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-33738/
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download choTóm tắt nội dung:
27
Chuyên đề 7 LƯỢNG GIÁC
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
A. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. Đơn vị đo góc và cung:
1. Độ:
bẹtgóc 01 Góc 180
1=
2. Radian: (rad)
rad 0180 π=
3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600
Radian 0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
5π π π2
II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Định nghĩa:
2. Đường tròn lượng giác:
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: qAM k2= α + π
M
ππ
π
ππ
ππ
ππ
π
k
CA
k
C
k
A
+→
→
+→
+→
+→
→
2 DB,
k ,
22- D
2k
22 B
2k
x
y
(tia gốc)
Z)(k 2),( ∈+= πα kOyOx
+
t
(tia ngọn)
O
α
.
y x
o180
O
+
−
x
y
OC A
B
D
x
y
B
α M
α
(điểm gốc)
+
t
O A
(điểm ngọn)
πα 2kAB +=
28
III. Định nghĩa hàm số lượng giác:
1. Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x'Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y'Oy : trục sin ( trục tung )
• t'At : trục tang
• u'Bu : trục cotang
2. Định nghĩa các hàm số lượng giác:
a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=α .
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox vàø y'Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu
Ta định nghĩa:
cos
sin
tan
cot
OP
OQ
AT
BU
α
α
α
α
=
=
=
=
b. Các tính chất :
• Với mọi α ta có :
1 sin 1 hay sin 1α α− ≤ ≤ ≤
1 cos 1 hay cos 1α α− ≤ ≤ ≤
• tan xác đinh
2
kπα α π∀ ≠ +
• cot xác đinh kα α π∀ ≠
c. Tính tuần hoàn
sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
k
k
k
k
α π α
α π α
α π α
α π α
+ =
+ =
+ =
+ =
)( Zk ∈
+
−
x
y
OC A
B
D
1
1
1=R1−
1−
'x
'u
u
t
't
'y
y t
'u
't
t
x
u
'y
'x O
t
1−
Q
B
T
α
M
α
AP
U
Trục cosin
Trục tang
Trục sin Trục cotang
+
−
29
IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
- 3
-1
- 3 /3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
xx'
uu'
- 3 -1 - 3 /3
1
1
-1
-1
-π/2
π
5π/6
3π/4
2π/3
-π/6
-π/4
-π/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2 3 /22 /21/2
3 /2
2 /2
1/2
A
π/3
π/4
π/6
3 /3
3
B π/2 3 /3 1 3
O
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Góc
Hslg
0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
5π π π2
sinα 0
2
1
2
2
2
3 1
2
3
2
2 2
1 0 0
cosα 1
2
3
2
2
2
1 0
2
1−
2
2−
2
3− -1 1
tanα 0
3
3
1 3 kxđ 3− -1
3
3− 0 0
cotα kxđ 3 1
3
3 0
3
3− -1 3− kxđ kxđ
+
−
30
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1. Cung đối nhau : và -α α (tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
ππ − ,…)
2. Cung bù nhau : và -α π α ( tổng bằng π ) (Vd:
6
5&
6
ππ ,…)
3. Cung phụ nhau : và
2
πα α− ( tổng bằng
2
π ) (Vd:
3
&
6
ππ ,…)
4. Cung hơn kém
2
π : và
2
πα α+ (Vd:
3
2&
6
ππ ,…)
5. Cung hơn kém π : và α π α+ (Vd:
6
7&
6
ππ ,…)
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :
sin( ) sin
tan( )
cos( ) c
tan
cot
o
( )
s
cot
α α
α α
α α
α α
− = −
− = −
− = −
− =
cos( ) cos
t
sin( ) s
an( ) tan
cot( )
i
ot
n
c
π α α
π α
α
α
π
α
α
α
π
− =
− = −
− = −
− = −
3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém
2
π
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
tan( ) cot
2
cot( ) tan
2
π α α
π α α
π α α
π α α
− =
− =
− =
− =
tan
cos( ) sin
2
sin( )
( ) cot
2
cot(
) ta
s
2
co
2
n
π α α
π α
π α α
α
α
π α
+ = −
+
+ −
+ = −
=
=
5. Cung hơn kém π :
tan(
cos( ) cos
sin( ) s
) tan
co
in
t( ) cot
π α
π α α
π
α
α
α
α
α
π
+
+ = −
+ =
+
−
=
=
Đối cos Bù sin
Phụ chéo
Hơn kém
2
π
sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Hơn kém π
tang , cotang
31
VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:
2 2cos sin 1
sintan =
cos
coscot =
sin
α α
αα α
αα α
+ =
2
2
2
2
11 tan =
cos
11 cot =
sin
tan . cot = 1
α α
α α
α α
+
+
Ví dụ: Chứng minh rằng:
1. 4 4 2 2cos x sin x 1 2 sin x cos x+ = −
2. xxxx 2266 cossin31sincos −=+
Chứng minh
( ) ( )
( )
2 24 4 2 2
22 2 2 2
2 2
1) cos x sin x cos x sin x
cos x sin x 2 sin x cos x
1 2 sin x cos x
+ = +
= + −
= −
( ) ( )
( ) ( )
3 36 6 2 2
32 2 2 2 2 2
2 2
2) cos x sin x cos x sin x
cos x sin x 3 sin x cos x cos x sin x
1 3 sin x cos x
+ = +
= + − +
= −
2. Công thức cộng :
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tan +tantan( + ) =
1 tan .tan
tan tantan( ) =
1 tan .tan
α β α β α β
α β α β α β
α β α β β α
α β α β β α
α βα β α β
α βα β α β
+ = −
− = +
+ = +
− = −
−
−− +
Ví dụ: Chứng minh rằng:
πα α α
πα α α
+ = −
− = +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )
4
Chứng minh
32
2 21) cos sin 2 cos sin
2 2
2 cos cos sin sin
4 4
2 cos
4
2 22) cos sin 2 cos sin
2 2
2 cos cos si
4
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟α + α = α + α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
π π⎛ ⎞⎟⎜= α + α ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
π⎛ ⎞⎟⎜= α − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟α − α = α − α⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
π= α − n sin
4
2 cos
4
π⎛ ⎞⎟⎜ α ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
π⎛ ⎞⎟⎜= α + ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
3. Công thức nhân đôi:
2 2
2
2
4 4
2
cos2 cos sin
2 cos 1
1 2sin
cos sin
sin 2 2sin .cos
2 tantan 2
1 tan
α α α
α
α
α α
α α α
αα α
= −
= −
= −
= −
=
= −
4 Công thức nhân ba:
3
3
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
α α α
α α α
= −
= −
5. Công thức hạ bậc:
2 2 21 cos2 1 cos2 1 cos2cos ; sin ; tan
2 2 1 cos2
α α − αα = α = α = +
+ −
α
6.Công thức tính sin ,cos ,tgα α α theo tan
2
α=t
2
2 2 2
2t 1 t 2tsin ; cos ; tan
1 t 1 t 1 t
−α = α = α =+ + −
2 1 cos2
2
cos + αα =
2 1 cos2sin
2
− αα =
ααα 2sin
2
1cossin =
4
cos33coscos3 ααα +=
4
3sinsin3sin 3 ααα −=
33
7. Công thức biến đổi tích thành tổng :
[ ]
[ ]
[ ]
1cos .cos cos( ) cos( )
2
1sin .sin cos( ) cos( )
2
1sin .cos sin( ) sin( )
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
= − − +
= + + −
8. Công thức biến đổi tổng thành tích :
cos cos 2 cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2 cos .sin
2 2
sin( )tan tan
cos cos
sin( )tan tan
cos cos
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α βα β α β
α βα β α β
+ −+ =
+ −− = −
+ −+ =
+ −− =
++ =
−− =
9. Các công thức thường dùng khác:
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
π πα α α α
π πα α α α
+ = − = +
− = + = − −
4 4
6 6
cos 4cos sin
cos 4c
3
os sin
4
5 3
8
+ αα + α =
+ αα + α =
34
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I. Định lý cơ bản: ( Quan trọng )
u = v+k2
sinu=sinv
u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv u = v + k2
u = -v+k2
tanu=tanv u = v+k (u;v )
2
cotu=cogv u = v+k (u;v k )
k
π
π π
π ππ
ππ π
π π
⎡⇔ ⎢⎣
⎡⇔ ⇔ ±⎢⎣
⇔ ≠ +
⇔ ≠
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và Zk ∈ )
Ví dụ : Giải phương trình:
1. sin3 sin( 2 )
4
x xπ= − 2.
4
3cos)
4
cos( ππ =−x
3. xx 2sin3cos = 4. 4 4 1sin cos (3 cos6 )
4
x x x+ = −
Bài giải
23 2 2 5 24 20 541) sin3 sin( 2 )
3 34 3 2 2 2 2
4 4 4
kx x k xx k
x x
x x k x k x k
π π πππ ππ
π π ππ π π π
⎡ ⎡⎡= − + = += +⎢ ⎢⎢⎢= − ⇔ ⇔ ⇔ ⎢⎢⎛ ⎞⎢ ⎢⎢= − − + = + = +⎜ ⎟⎢ ⎢⎢⎣ ⎣⎝ ⎠⎣
3 x k2x k2
3 4 42)cos(x ) cos
3 x k24 4 x k2 24 4
⎡ π π ⎡...
