Download Chuyên đề Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm miễn phí



Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 thuộc (a;b )
Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0, ký hiệu là f'(x0) hay y'(x0) là giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỷ số giữa số gia của hàm số y và số gia của biến số x tại điểm x0 khi số gia của biến số dần tới 0
 


/tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-33774/
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

Chuyên đề 8: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
ĐẠO HÀM
Tóm tắt giáo khoa:
I. Đạo hàm của hàm số tại một điểm:
1. Số gia: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và 0x (a;b)∈
Gọi là số sao cho x xxΔ 0 (a;b)+ Δ ∈
0
• gọi là số gia tại điểm xxΔ 0
• Hiệu , ký hiệu 0f(x x) f(x )+ Δ − yΔ , gọi là số gia của hàm số tại điểm x0 ứng với số gia xΔ
0 0y f(x x) f(x )Δ = + Δ −
2. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và 0x (a;b∈ )
Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0, ký hiệu là f'(x0) hay y'(x0) là giới hạn hữu hạn (nếu có)
của tỷ số giữa số gia của hàm số yΔ và số gia của biến số xΔ tại điểm x0 khi số gia của
biến số dần tới 0
0 0
0 x 0 x 0
f(x x) f(x )yf '(x ) lim lim
x xΔ → Δ →
+ Δ −Δ= =Δ Δ
38
Ghi nhớ: Để tìm đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 theo định nghĩa, ta cần thực hiện hai bước sau
• Bước 1: Tính theo công thức yΔ 0 0y f(x x) f(x )Δ = + Δ −
• Bước 2: Tìm giới hạn
x 0
ylim
xΔ →
Δ
Δ
Chú ý:
• Nếu đặt x x thì và khi 0 x= + Δ 00y f(x) f(x )Δ = − xΔ → thì 0x x→
Khi đó ta có:
0
0 x x0 0
f(x) f(x )f '(x ) lim
x x→
−= −
• Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó
Ví dụ: Tìm đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa tại điểm x0
2
0
0
0
a) f(x) x 3x ; x 2
1b) f(x) ; x 1
2x 1
c) f(x) x 3 ; x 6
= − =
= =−
= − =
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
• Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 là f'(x0) . (C) là đồ thị của hàm số
và là tiếp tuyến của (C) tại M 0 0 0M (x ;f(x )) (C)∈ Δ
(C): y=f(x)
0x
x
0f(x )
y
0M Δ
a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
• Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại
điểm 0 0 0M (x ;f(x ))
0k f '(x )=
39
b) Phương trình tiếp tuyến:
• Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại
điểm M0(x0;f(x0)) là:
0 0 0y f '(x )(x x ) f(x )= − +
4) Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:
a) Vận tốc tức thời:
Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 (hay vận tốc tại thời điểm t0) của một chất điểm chuyển động
với phương trình là s s(t)= 0 0v(t ) s '(t )=
b) Cường độ tức thời:
Cường độ tức thời tại thời điểm t0 (hay cường độ tại thời điểm t0) của một dòng điện với điện
lượng q q là (t)= 0 0i(t ) q '(t )=
II. Đạo hàm một bên:
Định nghĩa:
1) Đạo hàm bên trái của hàm số ( )xfy = tại điểm , kí hiệu 0x ( )−′ 0xf
( )−′ 0xf = xylimx ΔΔ−→Δ 0 = ( ) ( )0 00 xx
xfxflim
xx −
−
−→
2) Đạo hàm bên phải của hàm số ( )xfy = tại điểm , kí hiệu 0x ( )+′ 0xf
( )+′ 0xf = xylimx ΔΔ+→Δ 0 = ( ) ( )0 00 xx
xfxflim
xx −
−
+→
Định lý:
Nếu hàm số tồn tại ( )xfy = ( )−′ 0xf = ( )+′ 0xf = M ( ) Mxf =′⇒ 0
III. Đạo hàm trên một khoảng:
Định nghĩa: Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng J nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x0 bất kỳ
thuộc J.
II. Các quy tắc tính đạo hàm:
1. Đạo hàm của tổng hiệu tích thương các hàm số:
1. Đạo hàm của tổng ( hiệu ): ( ) vuvu ′±′=′±
2. Đạo hàm của tích:
Đặc biệt ( ) v.uv.uv.u ′+′=′ ( )C.u C.u′ ′= Với C là hằng số.
3. Đạo hàm của thương:
2v
v.uv.u
v
u ′−′=
′
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Đặc biệt 21 1v v
′ −⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
4. Đạo hàm của hàm số hợp:
Cho hai hàm số và ( )ufy = ( )xgu = khi đó ( )[ ]xgfy = được gọi là hàm hợp của hai
hàm số trên, khi đó: xux u.yy ′′=′
2. Đạo hàm của các hàm số cơ bản:
( ) 0=′C ( C là hằng số ) Hàm số hợp ( )xfu =
( ) 1−αα α=′ xx ( ) u.uu ′α=′ −αα 1
2
11
xx
−=
′
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 21 u
u
u
′−=
′
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
( )
x
x
2
1=′ ( )
u
uu
2
′=′
( ) xx ee =′ ( ) u.ee uu ′=′
( ) alnaa xx =′ với ( )10 ≠< a ( ) alnu.aa uu ′=′ với ( )10 ≠< a
( )
alnx
xloga
1=′ với ( )10 ≠< a ( )
alnu
uuloga
′=′ với ( )10 ≠< a
( )
x
xln 1=′ (x > 0) ( )
u
uuln
′=′
( ) 1ln x
x
′ = (x 0)≠ ( ) uln u
u
′ ′=
( ) xcosxsin =′ ( ) ucosuusin ′=′
( ) xsinxcos −=′ ( ) usinuucos ′−=′
( ) xtg
xcos
tgx 22 1
1 +==′ ( ) u).utg(
ucos
utgu ′+=′=′ 22 1
( ) ( )xgcot
xsin
gxcot 22 1
1 +−=−=′ ( ) ( )u.ugcot
usin
ugucot ′+−=′−=′ 22 1
( )2dcx
b.cd.a
dcx
bax
+
−=
′
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
+ ( )211
111
2
1
11
2 2
bxa
cabbxbaxaa
bxa
cbxax
+
−++=
′
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
++ ....
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau
40
( )33 2 2
4 2
11) y x 4x 5x 11 2) y 2x 5x 1
3
2x 13) y= 4) y x 3x 7
3x 2
= − + − − = − +
− = − ++
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
4 3 2
2
2 3 2
1) y 3x 6x 2x 5x 2) y 3cosx 2sin x
3x 2x 63) y=(2x 5x)(x 2x ) 4) y
x 2
= − + + = +
+ ++ + = −
Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
1 x x1) y 2) y 2 cos
4 21 x
cosx sin x3) y= 4) y ln(cosx)
sinx cosx
+ π⎛ ⎞= = ⎜ ⎟− ⎝ ⎠
+ =−
−
Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
1) xxy −= 4 2)
12
3
+
+=
x
xy 3)
12
2
−
=
x
xy
4) 5) xxey +−= 2
x
xey = 6) xxy ln2
2
1 −=
7)
x
xy
ln
= 8) xxy −+−= 42 9) 22 xxy −+=
41
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Tóm tắt giáo khoa:
42
Định nghĩa: Cho hàm số )(xfy = xác định trên khoảng (a;b)
[ ] [ ])2()1(21:);(2,1 f xfxfxxbaxx <⇒<∈∀⇔đnb)(a; trên (tăng) biếnđồng
•
• [ ] [ ])2()1(21:);(2,1 f xfxfxxbaxx >⇒<∈∀⇔đnb)(a; trên (giảm) biếnnghịch
x
y
ĐỊNH LÝ LAGRANGE:
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [ ]a;b và có đạo hàm trong khoảng ( )a;b thì tồn tại điểm ( )c a;b∈
sao cho :
f(b) f(a)f '(c)
b a
−= −
Ví dụ:Tìm số c trong định lí Lagrange áp dụng cho hàm số 2y f(x) 2x 5x 3= = − + trên đoạn [ ]0;4
1. Điều kiện cần của tính đơn điệu:
Định lý 1: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)
• [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≥⇒ b)(a;x 'f b)(a; khoảngtrên (tăng) biếnđồng f 0)(x
• [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≤⇒ b)(a;x 0)('f xb)(a; khoảngtrên (giảm) biếnnghịch f
2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
Định lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)
• [ ]b)(a; trên (tăng) biếnđồngb)(a;x 0(x)'f f ⇒∈∀> ⎥⎦⎤⎢⎣⎡
• [ ]b)(a; trên (giảm) biếnnghịchb)(a;x 0(x)'f f ⇒∈∀< ⎥⎦⎤⎢⎣⎡
• [ ]b)(a; trên đổi khôngb)(a;x 0(x)'f f ⇒∈∀= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡
x a b
)(' xf
)(xf
+ x a b)(' xf
)(xf
−
)(f
(f
2x
)1x
a b1x 2x
)(:)( xfyC =
x
y
1x 2x
)( 1xf
)( 2xf
a bO
Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)
[ ]b)(a; trên (tăng) biếnđồng
b)(a; của điểm hạnhữu
sốmột tại raxảy chỉ thức đẳng
b)(a;x 0(x)'f
f ⇒
∈∀≥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
[ ]b)(a; trên (giảm) biếnnghịch
b)(a; của điểm hạnhữu
sốmột tại raxảy chỉ thức đẳng
b)(a;x 0(x)'f
f ⇒
∈∀≤
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
Minh họa định lý:
Định lý 4
43
: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)
• [ ] f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≥⇔ b)(a;x 0(x)'fb)(a; trên (tăng) biếnđồng
• [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≤⇔ b)(a;x 0(x)'fb)(a; trên (giảm) biếnnghịch f
• [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀=⇔ b)(a;x 0(x)'fb)(a; trên đổi không f
x a b
)(' xf
)(xf
+
0x
0 +
x a b
)(' xf
)(xf
−
0x
0 −
3. Phương pháp xét chiều biến thiên của hàm số:
y f )(x= ta có thể thực hiện như sau: Muốn xét chiều biến thiên của hàm số
Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số : D=?
Bước 2: Tính và xét dấu )(' xf...

---