Download Chuyên đề Khảo sát hàm số - Ôn thi Toán đại học miễn phí



(II) PHẦN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.
6) Tìm điểm cố định của (Cm). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vuông góc nhau.
7) Định m để (Cm) có 2 điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị.
8) Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
9) Định m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2). b) hàm số nghịch biến trong (0, +).
10) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.
11) Tìm điều kiện giữa k và m để (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để (Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau.
12) Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) và đi qua điểm (-1, 1).
13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
 


/tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-33487/
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

OÂN TAÄP VEÀ HAØM SOÁ BAÄC 3
(Trung taâm Luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)
Giaû söû : y = ax3 + bx2 + cx + d vôùi a ¹ 0 coù ñoà thò laø (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b
1) y” = 0 Û x = (a ¹ 0 )
x = laø hoaønh ñoä ñieåm uoán. Ñoà thò haøm baäc 3 nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng.
2) Ñeå veõ ñoà thò 1 haøm soá baäc 3, ta caàn bieát caùc tröôøng hôïp sau :
i) a > 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm Þ haøm soá taêng treân R (luoân luoân taêng)
ii) a < 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm Þ haøm soá giaûm (nghòch bieán) treân R (luoân luoân giaûm)
iii) a > 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2
Þ haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x1 vaø ñaït cöïc tieåu taïi x2.
Ngoaøi ra ta coøn coù :
+ x1 + x2 = 2x0 vôùi x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán.
+ haøm soá taêng treân (-¥, x1)
+ haøm soá taêng treân (x2, +¥)
+ haøm soá giaûm treân (x1, x2)
iv) a < 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2
Þ haøm ñaït cöïc tieåu taïi x1 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x2 thoûa ñieàu kieän x1 + x2 = 2x0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán). Ta cuõng coù :
+ haøm soá giaûm treân (-¥, x1)
+ haøm soá giaûm treân (x2, +¥)
+ haøm soá taêng treân (x1, x2)
3) Giaû söû y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y = k(Ax + B)y’ + r x + q vôùi k laø haèng soá khaùc 0;
thì phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò laø y = r x + q
4) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät
Û
5) Giaû söû a > 0 ta coù :
i) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät > a
Û
ii) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät < a
Û
Töông töï khi a < 0 .
6) Tieáp tuyeán : Goïi I laø ñieåm uoán. Cho M Î (C).
Neáu M º I thì ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M.
Neáu M khaùc I thì ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M.
Bieän luaän soá tieáp tuyeán qua 1 ñieåm N khoâng naèm treân (C) ta coù nhieàu tröôøng hôïp hôn.
7) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät caùch ñeàu nhau Û y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y(x0) = 0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán)
8) Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a ¹ 0) khi x = a laø 1 nghieäm cuûa (1).
Neáu x = a laø 1 nghieäm cuûa (1), ta coù
ax3 + bx2 + cx + d = (x - a)(ax2 + b1x + c1)
nghieäm cuûa (1) laø x = a vôùi nghieäm cuûa phöông trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta coù caùc tröôøng hôïp sau:
i) neáu (2) voâ nghieäm thì (1) coù duy nhaát nghieäm x = a
ii) neáu (2) coù nghieäm keùp x = a thì (1) coù duy nhaát nghieäm x = a
iii) neáu (2) coù 2 nghieäm phaân bieät ¹ a thì (1) coù 3 nghieäm phaân bieät
iv) neáu (2) coù 1 nghieäm x = a vaø 1 nghieäm khaùc a thì (1) coù 2 nghieäm.
v) neáu (2) coù nghieäm keùp ¹ a thì (1) coù 2 nghieäm
BAØI TAÄP OÂN VEÀ HAØM BAÄC 3
Cho hoï ñöôøng cong baäc ba (Cm) vaø hoï ñöôøng thaúng (Dk) laàn löôït coù phöông trình laø
y = -x3 + mx2 - m vaø y = kx + k + 1.
(I) PHAÀN I. Trong phaàn naøy cho m = 3. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.
1) Goïi A vaø B laø 2 ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C) vaø M laø ñieåm baát kyø treân cung AB vôùi M khaùc A , Bø . Chöùng minh raèng treân (C) ta tìm ñöôïc hai ñieåm taïi ñoù coù tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M vôùi (C).
2) Goïi D laø ñöôøng thaúng coù phöông trình y = 1. Bieän luaän soá tieáp tuyeán vôùi (C) veõ töø E Î D vôùi (C).
3) Tìm E Î D ñeå qua E coù ba tieáp tuyeán vôùi (C) vaø coù hai tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau.
4) Ñònh p ñeå treân (C) coù 2 tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng p, trong tröôøng hôïp naøy chöùng toû trung ñieåm cuûa hai tieáp ñieåm laø ñieåm coá ñònh.
5) Tìm M Î (C) ñeå qua M chæ coù moät tieáp tuyeán vôùi (C).
(II) PHAÀN I I.Trong phaàn naøy cho tham soá m thay ñoåi.
6) Tìm ñieåm coá ñònh cuûa (Cm). Ñònh m ñeå hai tieáp tuyeán taïi hai ñieåm coá ñònh naøy vuoâng goùc nhau.
7) Ñònh m ñeå (Cm) coù 2 ñieåm cöïc trò. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò.
8) Ñònh m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät.
9) Ñònh m ñeå : a) haøm soá ñoàng bieán trong (1, 2). b) haøm soá nghòch bieán trong (0, +¥).
10) Tìm m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm coù hoaønh ñoä taïo thaønh caáp soá coäng.
11) Tìm ñieàu kieän giöõa k vaø m ñeå (Dk) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät. Tìm k ñeå (Dk) caét (Cm) thaønh hai ñoaïn baèng nhau.
12) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) vaø ñi qua ñieåm (-1, 1).
13) Chöùng minh raèng trong caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát.
BAØI GIAÛI
PHAÀN I : m = 3
Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (ñoäc giaû töï laøm)
1) Goïi n laø hoaønh ñoä cuûa M. Vì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x = 0 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2 neân 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x Þ heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán taïi M laø k1 = – 3n2 + 6n Î (0, 3] (vì n Î (0, 2)). Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M coù heä soá goùc laø k2 = (vôùi 0 < k1 £ 3). Hoaønh ñoä cuûa tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán M laø nghieäm cuûa – 3x2 + 6x = (= k2) Û 3x2 – 6x = 0. Phöông trình naøy coù a.c < 0, " k1 Î (0, 3] neân coù 2 nghieäm phaân bieät, " k1 Î (0, 3]. Vaäy treân (C) luoân coù 2 ñieåm phaân bieät maø tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M.
2) E (e, 1) Î D. Phöông trình tieáp tuyeán qua E coù daïng y = h(x – e) + 1 (D). (D) tieáp xuùc (C) Û heä coù nghieäm.
Þ Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø :
– x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1 (1)
Û – x3 + 3x2 – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)
Û (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)
Û x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex
Û x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0 (2)
(2) coù D = (3e – 1)2 – 16 = (3e – 5)(3e + 3)
(2) coù nghieäm x = 2 Û 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 Û e = 2
Ta coù D > 0 Û e .
Bieän luaän :
i) Neáu e 2
Þ (1) coù 3 nghieäm phaân bieät Þ coù 3 tieáp tuyeán.
ii) Neáu e = – 1 hay e = hay e = 2
Þ (1) coù 2 nghieäm Þ coù 2 tieáp tuyeán.
iii) Neáu – 1 < e < Þ (1) coù 1 nghieäm Þ coù 1 tieáp tuyeán.
Nhaän xeùt : Töø ñoà thò, ta coù y = 1 laø tieáp tuyeán taïi (2, 1) neân phöông trình (1) chaéc chaén coù nghieäm x = 2, " e.
3) Vì y = 1 laø tieáp tuyeán qua E (e, 1), " e vaø ñöôøng x = a khoâng laø tieáp tuyeán neân yeâu caàu baøi toaùn.
Û (2) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa : y'(x1).y'(x2) = – 1
Û
Û
Û
Û e = . Vaäy E
4) Tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán (vôùi (C)) coù heä soá goùc baèng p laø nghieäm cuûa :
y' = p Û 3x2 – 6x + p = 0 (3)
Ta coù D' = 9 – 3p > 0 Û p < 3
Vaäy khi p < 3 thì coù 2 tieáp tuyeán song song vaø coù heä soá goùc baèng p.
Goïi x3, x4 laø nghieäm cuûa (3).
Goïi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) laø 2 tieáp ñieåm. Ta coù :
Vaäy ñieåm coá ñònh (1, –1) (ñieåm uoán) laø trung ñieåm cuûa M3M4.
5) Caùch 1 : Ñoái vôùi haøm baäc 3 (a ¹ 0) ta deã daøng chöùng minh ñöôïc raèng :
" M Î (C), ta coù :
i) Neáu M khaùc ñieåm uoán, ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M.
ii) Neáu M laø ñieåm uoán, ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M.
Caùch 2 : Goïi M(x0, y0) Î (C). Phöông trình tieáp tuyeán qua M coù daïng :
y = k(x – x0) (D)
Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø :
( 5 )
Û
Û
Û
Û
Û
Do ñoù, coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M (x0, y0) Î (C)
Û
Suy ra, y0 = 1. Vaäy M(1, –1) (ñieåm uoán).
Nhaän xeùt : vì x0 laø 1 hoaønh ñoä tieáp ñieåm neân pt (5) chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x0
Phaàn II : Tham soá m thay ñoåi. y' = – 3x2 + 2mx
6) (Cm) qua (x, y), "m
Û y + x3 = m (x2 – 1) , "m
Û
Vaäy (Cm) qua 2 ñieåm coá ñònh laø H(1, –1) vaø K(–1, 1).
Vì y' = – 3x2 + 2mx neân tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi H vaø K coù heä soá goùc laàn löôït laø :
a1 = y'(1) = – 3 + 2m vaø a2 = y'(–1) = –3 – 2m.
2 tieáp tuyeán taïi H vaø K vuoâng goùc nhau.
Û a1.a2 = ...

---