Download miễn phí Khóa luận Sử dụng phương pháp hàm green để giải một số bài toán truyền nhiệt



MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU .Trang 1
1. Lý do chọn đềtài.Trang 1
2. Mục đích nghiên cứu.Trang 1
3. Đối tượng nghiên cứu .Trang 1
4. Nhiệm vụnghiên cứu .Trang 1
5. Phương pháp nghiên cứu.Trang 2
6. Giảthuyết khoa học .Trang 2
7. Phạm vi nghiên cứu.Trang 2
8. Đóng góp của khóa luận.Trang 2
9. Cấu trúc khóa luận .Trang 2
PHẦN II: NỘI DUNG.Trang 3
CHƯƠNG I: CƠSỞLÝ LUẬN CỦA ĐỀTÀI .Trang 3
1.1 Lý luận vềbài tập vật lý .Trang 3
1.2 Bài toán biên .Trang 6
1.3 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trịriêng .Trang 8
1.4 Phương pháp tách biến .Trang 11
1.5 Phương pháp biến thiên tham số.Trang 15
CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN .Trang 17
2.1 Khái niệm hàm Green, tính đối xứng của hàm Green.Trang 17
2.2 Xây dựng phương pháp hàm Green .Trang 20
2.3 Hàm riêng, trịriêng cho hàm Green .Trang 21
2.4 Hàm điều hòa. Biễu diễn Green .Trang 23
CHƯƠNG III: SỬDỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ĐỂ
GIẢI MỘT SỐBÀI TOÁN TRUYẾN NHIỆT .Trang 27
3.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt .Trang 27
3.2 Bài toán biên phụthuộc thời gian .Trang 30
3.2.1 Phương pháp tách biến Fourier cho bài toán truyền nhiệt .Trang 30
3.2.2 Phương pháp hàm Green cho bài toán truyền nhiệt .Trang 33
3.2.3 Bài toán truyền nhiệt trong miền tròn .Trang 35
3.3 Bài toán biên truyền nhiệt dừng .Trang 38
PHẦN III: KẾT LUẬN.Trang 45
PHỤLỤC 1.Trang 46
PHỤLỤC 2.Trang 48


http://s1.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-01-05-khoa_luan_su_dung_phuong_phap_ham_green_de_giai_mo.TdX9PijOLr.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-53485/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

m w ta xét phương trình
đạo hàm riêng
( ) uww =∆ γ (1.4.14)
Ta đoán rằng nghiệm w có dạng
αxw = với hằng số α sẽ được xác định
sau. Khi đó
- 14-
( ) ( ) 22 −−=−=∆− αλαγ αγαγ xnxuwuw (1.4.15)
Vì vậy, để (1.4.14) thỏa mãn trong nℜ , trước hết ta đòi hỏi rằng 2−= αγα và từ
đó
1
2
−= γα (1.4.16)
Tiếp theo, từ (1.4.15) dễ thấy rằng cần đặt
( ) 02 >−+= nαγαγµ (1.4.17)
Tóm lại, với mỗi 0>λ hàm
( )( ) αγλγµ xut −+−= 1 11
Thỏa mãn phương trình ( )1.4.11 , các tham số µα , được xác định bởi (1.4.16),
(1.4.17).
Trong các ví dụ trên, sự tách biến được thực hiện dựa vào tính thuần nhất phi
tuyến tương thích với hàm µ có dạng tích (1.4.12). Ở trường hợp khác, ta sẽ tìm
nghiệm, trong đó các biến được tách dưới dạng một tổng các hàm số.
Ví dụ 3: Xét phương trình Hamilton- Jacobi.
( ) 0=+ DuHtµ trong ( )∞×ℜ ,0n (1.4.18)
Và tìm một nghiệm µ có dạng
( ) ( ) ( )xwtvtx +=,µ ).0,( ≥ℜ∈ tx n
Khi đó
( ) ( )( ) ( ) ( )( )xDwHtvtxDuHtxt +=+= ,,,0 µ
Nếu và chỉ nếu
( )( ) ( )tvxDwH ,−= ( ),0, >ℜ∈ tx n
Với hằng số µ nào đó. Vì thế, nếu
( ) µ=DwH
Với ,R∈µ thì
( ) ( ) butxwtx +−=,µ
Sẽ thõa mãn ( ) 0== DuHttµ với hằng số b nào đó. Đặc biệt, nếu chọn ( ) xaxw .= với na ℜ∈ và đặt ( )aH=µ , tìm được nghiệm
( ) btaHxa =−= .µ .
Dựa vào tích phân đầy đủ và hàm bao tìm được nghiệm.
- 15-
1.5. Phương pháp biến thiên tham số:
Để trực tiếp thu được nghiệm của phương trình
2
2 ( )
d u f x
dx
= , ta xét bài toán
không thuần nhất tổng quát:
( ) ( )L u f x=
Xác định trong khoảng a <x < b, phụ thuộc vào hai điều kiện thuần nhất, trong đó
L là toán tử Sturm –Liouville có dạng
.d duL p q
dx dx
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
Khi p = 1, q = 0 ta được toán tử của phương trình truyền nhiệt trong trạng thái
dừng
2
2
d uL
dx
=
Phương trình vi phân thường không thuần nhất luôn có thể giải bằng phương pháp
biến thiên tham số, nếu biết hai nghiệm của phương trình không thuần nhất 1( )u x và
2 ( )u x . Theo phương pháp biến thiên tham số, nghiệm riêng của phương trình
( ) ( )L u f x= được tìm dưới dạng
1 1 2 2u u v u v= +
Khi đó 1v và 2v là hàm phụ thuộc vào x chưa được xác định. Phương trình vi
phân gốc có một hàm chưa biết, vì rằng có một bậc tự do thêm vào là du/dx. Nếu 1v và
2v là hằng số thì
1 2
1 2
du dudu v v
dx dx dx
= +
Vì 1v và 2v không phải là hằng số nên
1 2
1 2 0
dv dvu u
dx dx
+ =
Vi phân ( ) ( )L u f x= được thoã mãn nếu
1 1 2 2 ( ).dv du dv dup p f x
dx dx dx dx
+ =
Phương pháp biến thiên tham số tạo ra hai phương trình vi phân cho các hàm
chưa biết 1 /dv dx và là:
- 16-
1 2 2
2 1
1 2
2 1 1
2 1
1 2
;dv fu fu
du dudx cp u u
dx dx
dv fu fu
du dudx cp u u
dx dx
− −= =⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
− −= =⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
Trong đó
2 1
1 2
du duc p u u
dx dx
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ , hằng số c tuỳ từng trường hợp vào việc lựa chọn 1u
và 2u .
Nghiệm tổng quát ( ) ( )L u f x= được cho bởi 1 1 2 2u u v u v= + , ở đây 1v và 2v
được xác định bởi tích phân của 1 /dv dx và 2 /dv dx ở trên.
Ta định nghĩa Wronskian w là đại lượng
2 1
1 2
du duW u u
dx dx
= −
Nó thoả mãn phương trình vi phân cơ bản
2 2
2 1 2 1
1 2 1 22 2
/ /d u d u du dudW dp dx dp dxu u u u W
dx dx dx p dx dx p
⎛ ⎞= − = − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
Trong đó, các phương trình vi phân thuần nhất 1( ) 0L u = và 2( ) 0L u = được
dùng đến. Giải phương trình trên suy ra /W c p= hay là pW c= .
Tiểu kết :
Trong chương này chúng tui đã nêu lên khái niệm về bài tập vật lý, tầm quan
trọng của bài tập vật lý. Trình bày các cơ sở toán học cơ bản, cần thiết cho việc xây
dựng phương pháp hàm Green.
- 17-
CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP
HÀM GREEN
2.1. Khái niệm hàm Green. Tính đối xứng của hàm Green
Để đưa vào khái niệm hàm Green, chúng ta bắt đầu với các toán tử vi phân cấp 2
có dạng đồng nhất với hàm Green. Mọi toán tử vi phân cấp 2 có dạng
)1.1.2()()()()( 212
2
0 yxadx
dyxa
dx
ydxayLx ++=
Các toán tử liên hợp đồng dạng với nó là:
)2.1.2()()]()(2[)()(
)(])([])([)(
21
/
02
2
0
*
2102
2
*
yxa
dx
dyxaxa
dx
ydxayL
yxayxa
dx
dyxa
dx
dyL
x
x
+−+=⇒
+−=
Cho hai hàm u(x) và v(x) là hai hàm liên tục tùy ý cùng với đạo hàm cấp 1 và cấp
2 của nó. Dùng hai toán tử (2.1.1) và (2.1.2) để xác định đồng nhất thức Lagrange của
hai hàm u(x) và v(x) như sau
)3.1.2()],([)()( * vuP
dx
dvuLuvL xx =−
Trong đó )4.1.2()()()()(),( /0010 uvxadx
dvxavuxa
dx
duxavuP ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
Được gọi là hàm song tuyến.
Đồng nhất thức Lagrange của 2 hàm khả vi u(x) và v(x) được xác định trên miền { }bxaxI ≤≤= / . Tích phân đồng nhất thức (2.1.3) ta có đồng nhất thức các hàm
Green.
[ ] )5.1.2(,),()]()([ *∫ =−b
a
b
axx vuPdxvuLuvL
Trong đó
[ ]
)()]()()()([)()]()()()([
)()]()()()([)()]()()()([),(
/
0
/
01
/
0
/
0
/
01
/
0
auavaaavaaavauaaauaa
bubvbabvbabvbubabubavuP ba
+−+−
−+−+=
Định nghĩa tích hàm của đồng nhất thức Green:
∫= b
a
xx dxuvLuLv )6.1.2(.)())(,(
Tích phân từng phần tích hàm thu được
+= ))(,())(,( * vLuuLv xx các hạng thức trên biên.
- 18-
Sử dụng đồng nhất thức Green cho thích hợp để tìm nghiệm phương trình với biên
ở hai điểm như sau
)7.1.2(
)(;)(
);()(
2211⎩⎨
⎧
==
=
gyBgyB
xfyLx
Trong đó: Lx là toán tử tuyến tính cho bởi (2.1.1); g1; g2 là các hằng số và B1, B2
là các toán tử biên tuyến tính dạng Robin:
bx
ax
xy
dx
xdyyB
xy
dx
xdyyB
=
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
)()()(
;)()()(
222
111
βα
βα
(2.1.8)
Sử dụng đồng nhất thức Green để giải bài toán biên Dirichlet
1 2
( ) ( ); (2.1.9)
( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0 (2.1.10)
xL y f x
B y y a B y y b
=
= = = =
Để giải phương trình này, đổi biến x trong phương trình (2.1.1) và (2.1.5) thành
biến mới ξ và viết đồng nhất thức Green theo biến mới
[ ] )11.1.2(,))(),(()]()()()([ *∫ =−b
a
b
avuPdvLuuLv ξξξξξ ξξ
Trong phương trình (2.1.11), biến ξ được dùng như một biến giả của phép lấy
tích phân và vì thế các toán tử *ξξ LvàL là toán tử đạo hàm đối với ξ .
Để giải phương trình (2.1.9) với điều kiện (2.1.10), đặt u(ξ ) = y(ξ ) là nghiệm
của phương trình (2.1.9) với x thay bằng ξ và u thay bằng y trong đồng nhất thức
Green. Như vậy, đồng nhất thức Green (2.1.11) thay )()( ξξ fyL = ta có
∫∫ =− b
a
b
a
b
a
vyPdvLydfv )12.1.2())](),(([)()()()( * ξξξξξξξ ξ
Trong đó:
[ ]
)()]()()()([)()]()()()([
)()]()()()([)()]()()()([),(
/
0
/
01
/
0
/
0
/
01
/
0
ayavaaavaaavayaaayaa
bybvbabvbabvbybabybavyP ba
+−+−
−+−+=
(2.1.13)
Chọn v(ξ ) = G*(ξ ;x) là hàm Green thỏa mãn điều kiện
)14.1.2(,),());(( ** baxxGL ≤≤−= ξξδξξ
Nó là phương trình liên hợp với đạo hàm trong *ξL (đạo hàm theo biến ξ ),
)( ξδ −x là hàm Delta Dirac có tính chất
- 19-
∫
+=
−=
=−
εξ
εξ
ξξδξ
x
x
xydxy )15.1.2()()()(
Thay v(ξ )=G*(ξ ;x) vào đồng nhất thức Green (2.1.12),rút gọn thành
)16.1.2());(),(());(),(()()()();( *** xaGayPxbGbyPxydfxG
b
a
∫ −=−ξξξ
Nghiệm y(x) trong bài toán (2.1.9) có thể thu được bằng kết quả của tích phân
(2.1.16) . Chúng ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn tích phân (2.1.16). Hàm f(ξ ) đã cho từ
phương trình (2.1.9), hàm G*(ξ ;x) thu được từ việc giải phương trình (2.1.14) có dạng
).());(( ** ξδξξ −= xxGL Theo điều kiện (2.1.10) ta có
)17.1.2(0);(][,0);(][
);()]()([);()]()([)];(),([
***
2
***
1
*/
0
*/
0
*
=...

---