Download miễn phí Khóa luận Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và ứng dụng



MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN.
PHẦN MỞ ĐẦU. 1
I. Lí do chọn đềtài . . 1
II. Đối tượng nghiên cứu. 2
III. Nhiệm vụnghiên cứu . 2
IV. Mục đích nghiên cứu . 2
V. Phương pháp nghiên cứu . 2
VI. Giảthuyết khoa học. 2
VII. Lợi ích của luận văn . 2
VIII. Cấu trúc của luận văn . 2
PHẦN NỘI DUNG. .4
A. Cơsởlí luận . 4
I. Định nghĩa giá trịlớn nhất, giá trịnhỏnhất của hàm số. 4
II. Các phương pháp tìm giá trịlớn nhất, giá trịnhỏnhất. 4
1. Phương pháp đạo hàm – khảo sát hàm số. 4
2. Phương pháp dùng các bất đẳng thức. 6
2.1. Bất đẳng thức Cauchy . 6
2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski. 7
2.3. Các bất đẳng thức lượng giác . 8
2.4. Các bất đẳng thức trịtuyệt đối cơbản. 9
3. Phương pháp miền giá trịcủa hàm số. 9
4. Phương pháp dùng lũy thừa với sốmũchẵn. 10
5. Phương pháp dùng tính chất hàm lồi, hàm lõm . 11
6. Phương pháp tọa độ- vectơ. 13
7. Phương pháp lượng giác hóa . 14
B. Một sốbài toán minh họa cách dùng các phương pháp tìm giá trịlớn
nhất, giá trịnhỏnhất. 17
C. Ứng dụng của giá trịlớn nhất, giá trịnhỏnhất vào việc giải toán . 33
I. Ứng dụng vào việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình, . 33
II. Ứng dụng vào việc tìm điều kiện đểhàm sốcó chứa tham số đồng
biến hay nghịch biến trên một khoảng xác định . 37
III. Ứng dụng vào một sốbài toán trong thực tế. 40
D. Khảo sát thực tế. 50
I. Mục đích của việc nghiên cứu . 50
II. Biện pháp nghiên cứu . 50
III. Kết quả. 50
PHẦN KẾT LUẬN . 56
HỆTHỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO. 58
PHỤLỤC .
TÀI LIỆU THAM KHẢO.


http://s1.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-01-02-khoa_luan_cac_phuong_phap_tim_gia_tri_lon_nhat_gi.0j9lRfBcbR.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-53447/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của ( )
6
32
1 xy =
1 x
+
+
.
Giải :
Đặt x tan= α , ta có :
( ) ( )
( )
2 4
6 2 4 2 4
3 22 2
4
4 2 2 4
22 2 2 2
2
sin sin11 tan 1 tan tan cos cosy 11 tan 1 tan
cos
cos sin .cos sin
sin cos 3sin .cos
31 sin 2 .
4
α α− ++ α − α+ α α α= = = =
+ α + α α
= α− α α+ α =
= α+ α − α α =
= − α
Vì 20 sin 2 1≤ α≤ nên 21 31 sin 2 1
4 4
≤ − α≤ .
Vậy, max y = 1 khi và chỉ khi sin 2 0α= hay k (k )
2
πα= ∈ và min y = 1
4
khi và chỉ khi 2 2sin 2 1 cos 2 0 k
4 2
π πα = ⇔ α = ⇔ α = + .
Ví dụ 2 : Cho x, y thỏa 2 2x 2y 4+ = . Tìm giá trị lớn nhất của
2f (x, y) x y
2
= − .
Giải
Ta có:
22
2 2 x yx 2y 4 1
2 2
⎛ ⎞⎛ ⎞+ = ⇔ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . Đặt x 2cos a, y 2 sin a= = .
Khi đó :
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát
SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 16
( ) 2 2 1f x, y 2cos a . 2 sin a 2cos a sin a 5 cos a sin a
2 5 5
⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ .
Mà
2 2
2 1 1
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ nên có thể đặt
2 1cos b, sin b
5 5
= − = .
Do đó : ( ) ( ) ( )f x, y 5 cos b.cos a sin b.sin a 5 cos a b 5= + = − ≤ .
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 2 4 5 10a b k2 x 2. , y
5 55
− = π ⇒ = = = − .
Vậy max f (x, y) 5= .
# Các phương pháp nêu trên đều có ưu, nhược điểm riêng. Tùy theo đặc điểm
của từng bài mà ta có thể lựa chọn phương pháp phù hợp nhất.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát
SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 17
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA CÁCH DÙNG
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ
TRỊ NHỎ NHẤT :
I. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM :
Bài 1: Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a b c 3+ + ≤ . Tìm giá trị lớn nhất
của
2 2 2
2 2 2
a 1 a a 1 b 1 b b 1 c 1 c c 1
P
a 1 b 1 c 1
+ + + + + + + + += + ++ + + .
Giải :
Ta có :
2 2 2
2 2 2
a 1 a a 1 b 1 b b 1 c 1 c c 1
P
a 1 b 1 c 1
+ + + + + + + + += + ++ + + =
=
2 2 2
a 1 b 1 c 1 a b c
a 1 b 1 c 1
+ + ++ + + + ++ + + .
Đặt T =
2 2 2
a 1 b 1 c 1
a 1 b 1 c 1
+ + ++ ++ + + .
Xét hàm số
2
x 1f (x)
x 1
+= + có tập xác định là D = .
2
2
2 2 2
xx 1 (x 1)
x 1 1 xf '(x)
x 1 (x 1) x 1
+ − ++ −= =+ + + .
f '(x) 0 x 1= ⇔ = .
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy : f (x) 2≤ với mọi x∈ .
Suy ra :
2
a 1 2 . (1)
a 1
+ ≤+
1 +∞−∞
f(x)
x
f (x)′ 0 −+
2
1 − 1
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát
SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 18
2
b 1 2 . (2)
b 1
+ ≤+
2
c +1 2 . (3)
c 1
≤+
Cộng (1), (2) và (3) theo vế, ta được : T 3 2≤ . (4)
Theo giả thiết : a b c 3+ + ≤ . (5)
Cộng (4) và (5) theo vế, ta được : P 3 2 3≤ + .
Đẳng thức xảy ra khi a b c 1= = = .
Vậy max P 3 2 3= + .
Bài 2: Giả sử (x; y) là một nghiệm của hệ
2 2
x y 2 a
x y x y 3
+ = −⎧⎨ + + =⎩
. Tìm a để biểu
thức 2 2M x y x y= + − đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Giải :
Ta có : (*)
2 2 2 2
x y 2 a x y 2 a x y 2 a
x y xy 3 (x y) xy 3 x y (2 a) 3
+ = − + = − + = −⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ + = + − = = − −⎩ ⎩ ⎩
.
Hệ (*) có nghiệm khi và chỉ khi 2 2(2 a) 4[(2 a) 3] 0− − − − ≥
2
2
12 3(2 a) 0
(2 a) 4
2 2 a 2
0 a 4.
⇔ − − ≥
⇔ − ≤
⇔ − ≤ − ≤
⇔ ≤ ≤
Do đó, với a [0; 4]∈ thì hệ (*) có nghiệm.
Xét 2 2 2 2M x y xy (x y xy) 2xy= + − = + + −
2 23 2[(2 a) 3] 2a 8a 1 f (a)= − − − =− + + = .
f '(a) 4a 8.
f (a) 0 a 2.
f (2) 9; f (0) 1; f (4) 1.
= − +
′ = ⇔ =
= = =
Vậy : Giá trị nhỏ nhất của M là 1, đạt được khi a = 0 hay a = 4.
Giá trị lớn nhất của M là 9, đạt được khi a = 2.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát
SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 19
II. SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC :
1. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY :
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 2 2A x y z u= với điều kiện x, y,
z, u là những số dương và 2x xy z yzu 4+ + + = .
Giải :
Ta có : 2 2 2 1A x y z u .2x.xy.z.yzu
2
= = .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 4 thừa số dương 2x, xy, z, yzu ta được :
42x xy z yzu2x.xy.z.yzu 1
4
+ + +⎛ ⎞≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ .
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi :
y 2
1u
22x x y z yzu
1x
2
z 1
=⎧⎪⎪ =⎪= = = ⇔ ⎨⎪ =⎪⎪ =⎩
.
Vậy, giá trị lớn nhất của A là 1
2
, đạt được khi 1x u , y 2, z 1
2
= = = = .
Bài 4: Cho điểm M nằm trong góc tam diện vuông (Oxyz) có khoảng cách
đến (yOz), (zOx), (xOy) tương ứng là a, b, c. Tìm thể tích bé nhất của tứ
diện OABC được tạo thành do mặt phẳng qua M cắt Ox, Oy, Oz tại A, B,
C.
Giải :
Từ M hạ MI, MJ, MK tương ứng vuông góc với 3 mặt phẳng (yOz), (zOx),
(xOy). Theo đề, ta có : MI = a, MJ = b, MK = c.
Nối MA, MB, MC, MO. Tứ diện OABC bị chia thành 3 tứ diện đỉnh M, ba
mặt là OBC, OCA, OAB, với chiều cao lần lượt là a, b, c. Do đó :
OABC M BOC MCOA M AOBV V V V .
1 1 1 1OA.OB.OC OB.OC.a OC.OB.b OA.OB.c.
6 6 6 6
= + +
⇔ = + +
a b c1
OA OB OC
⇒ = + + .
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát
SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 20
x
y
z
K
O
A
B
C
MJ I
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số a b c, ,
OA OB OC
ta được :
3
a b c abc1 3
OA OB OC OA.OB.OC
OA.OB.OC 27abc
9V abc.
2
= + + ≥
⇔ ≥
⇔ ≥
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
OA 3a
a b c 1 OB 3b
OA OB OC 3
OC 3c
=⎧⎪= = = ⇔ =⎨⎪ =⎩
.
Vậy thể tích bé nhất của tứ diện OABC được tạo thành do mặt phẳng qua M
cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C là 9 abc
2
.
2. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPSKI :
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số u y 2x 5= − + biết rằng
x và y thỏa mãn phương trình 2 236x 16y 9+ = .
Giải :
Ta có : 1 1u 5 4y. 6x.
4 3
⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠ .
mà ( ) ( )2 2 21 1 1 14y. 6x. 4y 6x .
4 3 16 9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤− ≤ + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
(Bất đẳng thức Bunhiacopski)
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát
SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 21
hay ( )2 2 21 1 25 25 254y. 6x. 16y 36x 9.
4 3 16.9 16.9 16
⎛ ⎞− ≤ + = =⎜ ⎟⎝ ⎠ .
nên 5 1 1 54y. 6x.
4 4 3 4
− ≤ − ≤ .
5 55 5 y 2x 5
4 4
15 25u .
4 4
⇒ − ≤ + − ≤ +
⇔ ≤ ≤
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
2 2
2 36 6 636x 16y 9 x x x
225 15 154y 6x
9 9 91 1 y x y y
8 20 204 3
⎧ + = ⎧ ⎧ ⎧= = =−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨ ⎨= −⎪ ⎪ ⎪ ⎪=− =− =⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎩ ⎩⎩
.
Vậy : Giá trị nhỏ nhất của u là 15
4
, đạt được khi 6 9x , y
15 20
= = − .
Giá trị lớn nhất của u là 25
4
, đạt được khi 6 9x , y
15 20
= − = .
Bài 6: Trong những nghiệm của hệ sau :
2 2
2 2
x y 9
z t 16
xt yz 12
⎧ + =⎪ + =⎨⎪ + ≥⎩
.
Hãy tìm nghiệm để x z+ đạt giá trị lớn nhất.
Giải :
Ta có: ( ) ( )( )2 2 2 2 2xt yz x y z t 9.16 144+ ≤ + + = = (theo bất đẳng thức
Bunhiacopski).
xt yz 12⇒ + ≤ (1). Dấu “ = ”xảy ra khi x y k
t z
= = . (2)
2 2 2 2
2
2 2 2 2
3kx y x y 9 4k
3t z z t 16 k
4
⎧ = −⎪+ ⎪⇒ = = = = ⇒ ⎨+ ⎪ =⎪⎩
.
Theo giả thiết ta có xt yz 12+ ≥ nên kết hợp với (1) ta có xt yz 12+ = .
Từ (2) xz yt⇒ = . Do đó : 2 2 2 2 2 2 2 2x y z t x 2xz z y 2yt t+ + + = + + + − + .
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 225 x z y t x z 25 y t 25⇒ = + + − ⇒ + = − − ≤ x z 5⇒ + ≤ .
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát
SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 22
Vậy,
9y t x
5x kt
12max(x z) 5 khi y t3 5k
4 16zy kz 5
⎧=⎧ =⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪+ = ⇒ = =⎨ ⎨=⎪ ⎪⎪ ⎪ ==⎪ ⎪⎩ ⎩
.
3. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC :
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
( )3 2 21y cos x sin x cos x. sin x= + + .
Giải :
Ta có : ( )3 3sin x cos x 2 2 cos x 2 2
4
π⎛ ⎞+ = − ≥ −⎜ ⎟⎝ ⎠ ( do cos x 14
π⎛ ⎞− ≥−⎜ ⎟⎝ ⎠ ).
Dấu “ = ” xảy ra khi 5x k2
4
π= + π .
Ngoài ra : 2 2 2
1 4 4
cos x. sin...

---