Download miễn phí Khóa luận Một số tìm hiểu về hình học phi Euclide



MỤC LỤC
Lời nói đầu .1
Mục lục .2
Các ký hiệu .5
Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.6
1.Vài nét vềlịch sửra đời của Hình học phi Euclide . 6
1.1 .Hình học Euclide. .6
1.2 .Về định đề5 của Euclide. .7
1.3 .Sựra đời của Hình học phi Euclide. .7
2.Kiến thức bổtrợ.8
2.1. Tứgiác saccheri: . 8
2.2. Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương trong không gian vectơ8
2.2.1. Dạng song tuyến tính: . 8
2.2.2. Dạng toàn phương: . 8
3. Thểhiện khái niệm cơbản của hình học Euclide. . 9
3.1. Mô hình xạ ảnh của không gian Euclide. 9
3.2. Cái tuyệt đối. 9
3.3. Khái niệm vuông góc của hai đường thẳng. . 10
3.4. Khái niệm siêu cầu: . 10
Chương II. HÌNH HỌC PHI EUCLIDE. 12
1. Không gian vectơgiảEuclide. 12
1.1. Định nghĩa. 12
1.2. Định lý. . 13
2. Hình học giảEuclide . 14
2.1. Định nghĩa không gian giảEuclide bằng tiên đề. 14
2.2. Mục tiêu trực chuẩn. . 14
2.2.1. Định lý . 14
2.2.2. Định lý . 15
2.3. Định nghĩa. 16
2.4. Định nghĩa. 16
2.4.1. Mệnh đề. . 16
2.4.2. Định lý . 16
2.4.3. Hệquả: . 17
2.4.4. Định lý. . 17
2.5. Modul của vectơ– độdài đoạn thẳng. 19
2.5.1. Biểu thức tọa độcủa tích vô hướng. . 19
2.5.2. Modul của vectơ. . 19
2.5.3. Độdài đoạn thẳng. . 19
2.5.4 . Một sốkhái niệm khác. 20
2.6. Định nghĩa. 21
2.6.1. Định lý . 21
2.6.2. Mệnh đề. . 22
2.6.3. Định lý. . 22
2.7. Mô hình xạ ảnh của không gian giảkn Ε . 23
2.7.1. Xây dựng mô hình. . 23
2.7.2. Thểhiện khái niệm giảEuclide trên mô hình. 24
2.8. Phép đồng dạng trong không gian kn Ε – Hình học giảEuclide. . 27
2.8.1. Phương trình của phép đồng dạng – phép dời trong kn Ε . . 27
2.8.2. Định lý. .29
3. Hình học Lobachevsky . 31
3.1 Định nghĩa. 31
3.2. Một sốquy ước. . 31
3.3. Các định nghĩa. . 32
3.4. Khái niệm vuông góc. 32
3.5. Phương trình của phép dời hình trong Hn. . 33
3.6. Khoảng cách giữa hai điểm trong Hn. 33
3.7. Góc giữa hai đường thẳng. 34
Chương III: MẪU ĐĨA POINCARE VÀ MẪU NỬA TRÊN .35
1. Mẫu đĩa Poincare và hình học Lobachevsky. .35
1.1. Mặt phẳng Hyperbolic trong mẫu đĩa Poincare.35
1.1.1. Các định nghĩa. .35
1.1.2. Khoảng cách mêtric trên mặt Hyperbolic.37
1.1.3. Định nghĩa khoảng cách Hyperbolic từA đến B.37
1.1.4. Những đường thẳng song song. .38
1.1.5. Định lý. .38
1.1.6. Định lý. .39
1.1.7. Định lý Lobachevsky. .39
1.1.8. Định lý. .41
1.1.9. Định lý .41
1.1.10. Định lý. .42
1.1.11. Định lý .42
1.1.12. Định lý Pythagorean Hyperbolic. .42
2. Mẫu nửa trên mặt phẳng Poincare. .42
2.1. Các định nghĩa. .42
2.1.1. Điểm.42
2.1.2. Đường thẳng. .43
2.1.3. Phép nghịch đảo.43
2.1.4. Góc.43
2.1.5. Sựbằng nhau của các đoạn thẳng và các góc .44
Kết luận.47
Tài liệu tham khảo. .48


http://s1.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-01-02-khoa_luan_mot_so_tim_hieu_ve_hinh_hoc_phi_euclide.DC86MQtwXr.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-53433/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

tiêu của knΕ ta gọi mục tiêu đó là mục tiêu afin). Mục tiêu nói trên
gọi là mục tiêu trực chuẩn nếu:
2.2.1. Định lý
với mọi i
với i≠ j.
(1)
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 15
Trong không gian knΕ luôn có một mục tiêu trực chuẩn.
Chứng minh
Ta lấy một điểm E0 bất kỳ của knΕ và chọn các Ei sao cho:
ii
i
i0
a*a
aEE = , với i ≤ k,
)a*a(
aEE
ii
i
i0 −
= , với i > k.
trong đó ia
r , i = n,1 là các vectơ trong tiên đề (E*4).
Khi đó rõ ràng rằng mục tiêu { } n1,i0 E;E thỏa mãn điều kiện (1), và do đó
là một mục tiêu trực chuẩn.
Trong cơ sở trực chuẩn này có k vectơ i0EE sao cho =i0i0 EE*EE 1 và (n
– k) vectơ j0EE sao cho 1EE*EE j0j0 −= .ˆ
Đối với mọi cơ sở trực chuẩn điều đó cũng đúng, bởi vì ta có định lý sau
đây:
2.2.2. Định lý
Nếu ta có n vectơ n1,i,bi = sao cho ib * ib ≠ 0 với mọi i và ib * jb = 0 với i
≠ j, thì ta sẽ có đúng k vectơ ib sao cho ib * ib > 0, và (n – k) vectơ jb sao cho
jb * jb < 0.
Chứng minh
Giả sử ib * ib > 0, với i≤ l và jb * jb l. Ta chứng minh
l = k.
Dễ thấy rằng l vectơ lb,...b,b 21 , độc lập tuyến tính, bởi vậy chúng sinh ra
một không gian vectơ con l chiều Vl. Tương tự, ta gọi Vn–k là không gian vectơ
con sinh ra bởi n– k vectơ độc lập tuyến tính n2k1k a,...a,a ++ nói trong tiên đề (E
*
4).
Nếu l > k thì Vl và Vn–k sẽ giao nhau theo một không gian vectơ có số
chiều ít nhất là l – k, ta gọi cθ ≠ ∈ Vl ∩ Vn–k thì: ∑ ∑
= +=
== l
1i
n
1ki
iiii aµbλc .
Do đó ∑∑ ∑
== =
>== ll l
1i
ii
2
i
1i 1i
iiii 0b*bλ)bλ(*)bλ(c*c
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 16
Mặt khác 0a*aµ)aµ(*)aµ(c*c i
n
1ki
i
2
i
n
1ki
ii
n
1ki
ii <== ∑∑∑
+=+=+=
(vô lý).
Tương tự như vậy, ta chứng minh rằng l < k là không thể được. Tóm lại,
l = k và định lý đã được chứng minh. ˆ
2.3. Định nghĩa
Cho hai không gian con P và Q của không gian vectơ giả Euclide knΕ (P là
không gian con của knΕ nếu P cùng với tích vô hướng trên knΕ cũng làm thành
không gian vectơ giả Euclide n- chiều chỉ số k) , P và Q gọi là vuông góc nhau
nếu với mọi vectơ ∈x P đều vuông góc với vectơ ∈y Q, tức là ∈x P, ∈y Q thì
⊥x y ( ⊥x y ⇔ x 0y∗ =r r ) . Kí hiệu P⊥Q.
Nếu hai không gian con P và Q vuông góc với nhau và knΕ = P⊕Q thì ta
nói rằng P là phần bù vuông góc của Q và ngược lại. Ký hiệu: P = ⊥Q .
2.4 . Định nghĩa
Cho hai không gian con P và Q của knΕ (các không gian con cũng là
không gian vectơ giả Euclide với tích vô hướng như không gian vectơ giả
Euclide knΕ ), P và Q gọi là đối vuông góc nếu phần bù vuông góc của P vuông
góc với phần bù vuông góc của Q. Ký hiệu: P đối ⊥Q.
Nếu hai không gian con P và Q đối vuông góc với nhau và PIQ = (O ) thì
ta nói P đối bù vuông góc với Q. Ký hiệu: P đối bù⊥Q.
2.4.1 . Mệnh đề
1). P đối ⊥Q⇔ Q đối ⊥ P.
2). P đối bù⊥Q⇔ Q đối bù⊥ P.
3). P đối bù⊥Q⇒P đối ⊥Q.
2.4.2 . Định lý
Trong không gian knΕ , µ là dạng song tuyến tính không suy biến của knΕ ,
P và Q là hai không gian con không suy biến. P đối bù vuông góc với Q khi và
chỉ khi P bù vuông góc với Q.
Chứng minh
P đối bù⊥Q⇒ P đối ⊥Q
PIQ = (O ) ⎩⎨
⎧
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 17
P đối ⊥Q⇒ ⊥P ⊥ ⊥Q ⇒ ⊥P ⊂ ( ⊥Q ) ⊥ .
Mặt khác ta có: ⊥Q ⊂ ( ⊥Q ) ⊥ và vì µ không suy biến ⇒dimQ + dim ⊥Q = n.
Mà dim ⊥Q + dim( ⊥Q ) ⊥ = n ⇒ dimQ = dim( ⊥Q ) ⊥
Do đó Q = ( ⊥Q ) ⊥ ⇒ ⊥P ⊂Q (*).
PIQ = (O ) ⇒ dim(PIQ ) = 0.
Từ (*) ⇒P + Q ⊃ P + ⊥P .
Vì P không suy biến nên ta có ∈x PI ⊥P ⇒ ∈x ⊥P ⇒ ⊥x y , ∀ ∈y P ⇒
µ ( ,x y ) = 0 ⇒ x 0=r r ⇒ PI ⊥P = (O ) .
Mặt khác: dimP + dim ⊥P = n ⇒P + ⊥P = knΕ
⇒ knΕ ⊂P + Q.
Ta lại có: P+Q⊂ knΕ . Do đó P+Q = knΕ ⇒ dim(P + Q ) = dim knΕ
⇒ dim knΕ = dimP + dimQ – dim (PIQ ) = dimP + dimQ (1’)
Ta có: P + ⊥P = knΕ và PI ⊥P = (O )
Nêndim knE =dim(P+ ⊥P ) = dimP+dim ⊥P –dim(PI ⊥P )=dimP+dim ⊥P (2)
Từ (1’) và (2’) ⇒dimQ = dim ⊥P (**).
Từ (*) và (**) ta suy ra: Q = ⊥P
Mặt khác: P bù ⊥ ⊥P ⇒ P bù ⊥Q .
Ngược lại ta có: P bù ⊥Q thì PIQ = (O ) và ⊥P = Q.
Tương tự: ⊥Q = P.
Do đó: Từ P⊥Q ⇒ ⊥P ⊥ ⊥Q ⇒ P đối ⊥Q và PIQ = (O ) ⇒ P đối bù ⊥Q.
Vậy định lý đã được chứng minh.‰
2.4.3 . Hệ quả
Tồn tại duy nhất một không gian con đối bù vuông góc với không gian đã
cho của knΕ với giả thiết dạng song tuyến tính của knΕ không suy biến.
2.4.4. Định lý
Trong không gian knΕ cho mục tiêu giả trực chuẩn { } n1,i0 E;E , , và mục
tiêu { }' '0 j 1,nE ;E , ({ } n1,i0 E;E là mục tiêu giả trực chuẩn khi :
: dim knΕ =dim(P+ ⊥P ) = dimP + dim ⊥P – dim(PI ⊥P )=dimP + dim ⊥P (2’)
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 18
0 j 0 jE' E' *E' E' =
uuuuur uuuuur
1 nếu j ≤ k
0 i 0 jE' E *E' E' =
uuuuur uuuuur
0 nếu i≠ j
0 j 0 jE' E' *E' E' =
uuuuur uuuuur
–1 nếu j > k)
Gọi A là ma trận chuyển từ { } n1,i0 E;E sang { }'0 j 1,nE ;E' thế thì{ }'0 j 1,nE ;E' là
mục tiêu giả trực chuẩn khi và chỉ khi A là ma trận giả trực giao, tức là
A* knI A = knI , knI là ma trận giả đơn vị cấp n, chỉ số k có dạng
Chứng minh
Gọi i0 E'E' có tọa độ là (ai1, ai2, …, ain) đối với mục tiêu { } n1,i0 E;E . Khi đó
A chính là ma trận [ aij].
Mục tiêu { }' '0 j 1,nE ;E là mục tiêu giả trực chuẩn khi
0 j 0 jE' E' *E' E' =
uuuuur uuuuur
1 nếu j ≤ k
0 i 0 jE' E *E' E' =
uuuuur uuuuur
0 nếu i≠ j
0 j 0 jE' E' *E' E' =
uuuuur uuuuur
–1 nếu j > k
Ta có k0
1
jkj0 EEaE'E' ∑
=
= n
k
h0
1
jhj0 EEaE'E' ∑
=
= n
h
Vì 0 j 0 jE' E' *E' E' i ijε δ=
uuuuur uuuuur
(với iε = 1 nếu i ≤ k, iε = –1 nếu i > k)
k
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
kn −
⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎬
⎫
dòng
dòng
1 0 . . 0
. 1 0 . . . 0
. 0 .
. . .
. .
. 1 0 . . . 0
0 1 0 . . 0
. 0
. . . .
. .
0 0 0 0 . . 0 1
k
nI
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 19
Nên suy ra: ik jh 0 k 0 h i ik jh i
, 1 1
a a E E *E E a a
n n
ij ij
h k k
ε δ ε δ
= =
= ⇔ =∑ ∑uuuuur uuuuur
⇔ A* knI A = knI . Tức A là ma trận giả trực giao.
Với ijδ : các ký hiệu kronecker ⎢⎢⎣
⎡
=
=
1δ
0δ
ij
ij
2.5 . Modul của vectơ – độ dài đoạn thẳng
2.5.1 . Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Giả sử trong knΕ đã chọn một mục tiêu trực chuẩn thỏa điều kiện (1).
Nếu u và v là hai vectơ có tọa độ (u 1, u2,…, un) và (v1,v2,…, vn ) thì rõ ràng là
tích vô hướng u * v cho bởi công thức:
u* v = ∑ ∑
= +=
−k
1i
n
1ki
iiii vuvu (2)
Đặc biệt u * u =∑ ∑
= +=
−k
1i
n
1ki
2
i
2
i uu (3)
Như vậy tích vô huớng u * u có thể là một số dương, số âm hay bằng 0.
2.5.2 . Modul của vectơ
Ta định nghĩa modul của u là số | u | sao cho: | u | = u*u , nếu u * u > 0
| u | = i )u*u(− , nếu u * u < 0 .(trong đó i là đơn vị ảo) (4)
Trong cả hai trường hợp ta đều ký hiệu | u | = u*u
Như vậy modul của một vectơ có thể là một số thực dương, bằng 0, hay
một số thuần ảo.
2.5.3 . Độ dài đoạn thẳng
Trong knΕ , ta chọn một mục tiêu giả trực chuẩn { iEE ;0 } và giả sử A, B đối
với mục tiêu đó có toạ độ lần lượt là ( ix ), ( iy ). Khi đó vectơ ABcó toạ độ là
( iy – ix ). Nên độ dài của ...

---