Download miễn phí Chuyên đề ôn thi Đại học - Hệ phương trình đại số



II. Hệ phương trình đối xứng loại 2:
1. Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn:
A. Định nghĩa:
f(x,y) = 0 (1)
f(y,x) = 0 (2)
Cách giải: Lấy (1)  (2) hay (2)  (1) ta được: (xy)g(x,y)=0. Khi đó xy=0 hay g(x,y)=0.
+ Trường hợp 1: xy=0 kết hợp với phương trình (1) hay (2) suy ra được nghiệm.
+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm.
 


http://s1.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-01-02-chuyen_de_on_thi_dai_hoc_he_phuong_trinh_dai_so.Xfuh4FTOZN.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-53366/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN
I. Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.
- Phương trình n ẩn x1, x2, ..., xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi xi thì phương trình không thay đổi.
- Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:
x1 + x2 + ... + xn
x1x2 + x1x3 + ... + x1xn + x2x1 + x2x3 + ... + xn-1xn
...............................
x1x2 ... xn
- Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.
- Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.
* Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn-1 +... an, a0 ≠ 0, ai Î P có nhgiệm trên P là c1, ..., cn thì:
(Định lý Viét tổng quát)
Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:
A. LÝ THUUYẾT
1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2:
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:
Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có thì x1, x2 là nghệm của phương trình X2 - SX + P = 0.
2. Định nghĩa:
, trong đó
3.Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và .
Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y.
Chú ý:
+ Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
4. Bài tập:
Loại 1: Giải hệ phương trình
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình .
GIẢI
Đặt , điều kiện . Hệ phương trình trở thành:
.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình .
GIẢI
Đặt , điều kiện Hệ phương trình trở thành:
.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình .
GIẢI
Điều kiện .
Hệ phương trình tương đương với:
Đặt ta có:
.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình .
GIẢI
Điều kiện . Đặt , ta có:
và .
Thế vào (1), ta được:
Suy ra:
.
Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và (*).
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v.
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
.
GIẢI
Điều kiện ta có:
Đặt , Hệ phương trình trở thành:
.
Từ điều kiện ta có .
Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực.
GIẢI
.
Đặt S = x + y, P = xy, Hệ phương trình trở thành: .
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình
.
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm .
Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm.
GIẢI
Đặt hệ trở thành:
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của (*).
Hệ có nghiệm (*) có 2 nghiệm không âm.
.
Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực.
GIẢI
.
Đặt . Hệ phương trình trở thành:
(S = u + v, P = uv).
Điều kiện.
Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Ví dụ. Giải phương trình: .
GIẢI
Đặt: . Vậy ta có hệ: Û Û
u, v là hai nghiệm của phương trình:
Þ Þ
Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} = .
B. BÀI TẬP
I. Giải các hệ phương trình sau:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10)
II. Gải hệ phương trình có tham số:
. Tìm giá trị của m:
a) có nghiệm.
b) có nghiệm duy nhất.
c) có đúng hai nghiệm.
(1II)
a. Giải hệ phương trình khi m = 5.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
(7I)
a Giải hệ phương trình khi m = 7/2.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
(40II)
a. Giải hệ phương trình khi m=2.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0.
III. Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình:
1. Giải phương trình: .
2. Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:
a. b. c.
Phần 3 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 ba ẩn: (Đọc thêm)
a. §Þnh nghÜa: Lµ hÖ ba Èn víi c¸c ph­¬ng tr×nh trong hÖ lµ ®èi xøng.
b. §Þnh lý Vi-et cho ph­¬ng tr×nh bËc 3:
Cho 3 sè x, y, z cã:
Th× x, y, z ;µ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh X3 - αX2 + βX - γ = 0. (*)
ThËy vËy: (X - x)(X - y)(X - z) = 0
[ X2 - (x + y)X + xy ](X - z) = 0
X3 - X2z - X2(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0
X3 - αX2 + βX - γ = 0.
(*) cã nghiÖm lµ x, y, z Þ ph­¬ng tr×nh X3 - αX2 + βX - γ = 0 cã 3 nghiÖm lµ x, y, z.
c.C¸ch gi¶i:
+ Do c¸c ph­¬ng tr×nh trong hÖ lµ ®èi xøng nªn ta lu«n viÕt ®­îc d­íi d¹ng α, β, γ
Khi ®ã ta ®Æt
Ta ®­îc hÖ cña α, β, γ.
+ Gi¶i ph­¬ng tr×nh X3 - αX2 + βX - γ = 0 (1) t×m ®­îc nghiÖm (x, y, z) cña hÖ.
Chó ý: (1) cã nghiÖm duy nhÊt Þ hÖ v« nghiÖm.
cã 1 nghiÖm kÐp duy nhÊt Þ hÖ cã nghiÖm.
cã 2 nghiÖm : 1 nghiÖm kÐp, 1 nghiÖm ®¬n Þ hÖ cã 3 nghiÖm.
(1) cã 3 ngiÖm Þ hÖ cã 6 nghiÖm.
d. Bµi tËp:
VD1: Gi¶i hÖ:
Gi¶i: ¸p dông h»ng ®¼ng thøc ta cã:
x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx).
x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz.
VËy 6 = 22 - 2(xy + yz + zx) Þ xy + yz + zx = -1.
8 = 23 - 3.2.(-1) + 3xyz Þ xyz = -2.
Þ x, y, z lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:t3 - 2t2 - t + 2 = 0 Û
VËy hÖ cã 6 cÆp nghiÖm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1).
VD2: Gi¶i hÖ
Gi¶i: §K: x, y, z ≠ 0. Tõ (3) Û
Do (2) Þ xyz = 27
VËy hÖ Û
Do ®ã (x; y; z) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: X3 - 9X2 + 27X - 27 = 0
Û (X - 3)3 = 0
Û X = 3.
VËy hÖ cã nghiÖm lµ (3; 3; 3).
VD3: Gi¶i hÖ
Gi¶i: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx) Þ xy + yz + zx = 0.
x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz Þ xyz = 0.
VËy cã:
Þ (x; y; z) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: X3 - aX2 = 0 Þ
VËy hÖ cã nghiÖm lµ {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)}
e.Chó ý: Cã nhiÒu vÊn ®Ò cÇn l­u ý khi gi¶i hÖ lo¹i nµy
+ Víi c¸ch gi¶i theo ®Þnh lý Vi-et tõ hÖ ta ph¶i ®­a ra ®­îc x + y + z; xy + yz + zx; xyz cã thÓ nã lµ hÖ qu¶ cña hÖ nªn khi t×m ®­îc nghiÖm nªn thö l¹i.
+ V× lµ hÖ ®èi xøng gi÷a c¸c Èn nªn trong nghiÖm cã Ýt nhÊt 2 cÆp nghiÖm cã cïng x, cïng y hoÆc cïng z nªn cã thÓ gi¶i hÖ theo ph­¬ng tr×nh céng, thÕ.
VD:
Gi¶i: Râ rµng x = 0, y = 0, z = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña hÖ
Víi x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nh©n hai vÕ cña (3) víi xyz ta cã xy + yz + zx = xyz (4).
Tõ (2) vµ (4) Þ xyz = 27 (5)
Tõ (2) Þ x2(y + z) + xyz = 27x (6)
Tõ (1), (5), (6) ta cã: x2(9 - x) + 27 - 27x = 0
x3 - 9x2 + 27x - 27 = 0
(x - 3)3 = 0 Û x = 3
Thay x = 3 vµo (1), (5) ta cã: Þ y = z = 3.
VËy hÖ cã nghiÖm lµ x = y = z = 3.
II. Hệ phương trình đối xứng loại 2:
1. Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn:
A. Định ghĩa:
Cách giải: Lấy (1) - (2) hay (2) - (1) ta được: (x-y)g(x,y)=0. Khi đó x-y=0 hay g(x,y)=0.
+ Trường hợp 1: x-y=0 kết hợp với phương trình (1) hay (2) suy ra được nghiệm.
+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm.
B. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình (I)
GIẢI
Lấy (1) - (2) ta được:
Trường hợp 1: (I) .
Trường hợp 2: (I) (hệ này vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
GIẢI
Đặt:
Hệ phương trình trở thành (Do u, v ≥ 0) .
Vậy hệ có nghiệm (1,1)
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình (I)
a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
b. Tìm m để ...

---