Download miễn phí Giáo trình Lý thuyết hàm ngẫu nhiên trong khí tượng thủy văn



Khi giải quyết nhiều bài toán người ta thường gặp tình huống làkết quả thí
nghiệm được mô tả không phải chỉ bởi một, màlàmột số đại lượng ngẫu nhiên. Ví dụ,
hình thế synop phụ thuộc vào nhiều đại lượng ngẫu nhiên: nhiệt độ không khí, áp suất,
độ ẩm.
Trong các trường hợp này ta sẽ nói rằng có một hệ các đại lượng ngẫu nhiên. Các
tính chất của hệ đại lượng ngẫu nhiên không được mô tả hết bởi những tính chất của các
đại lượng ngẫu nhiên riêng rẽ, chúng còn bao hàm cả những mối quan hệ tương hỗ giữa
các đại lượng ngẫu nhiên của hệ.
Chúng ta sẽ xem hệ hai đại lượng ngẫu nhiên nhưlàcác toạ độ của điểm ngẫu
nhiên trên mặt phẳng, còn hệ ba đại lượng ngẫu nhiên nhưlàtoạ độ của điểm ngẫu
nhiên trong không gian ba chiều. Một cách tương tự, hệ n đại lượng ngẫu nhiên sẽ được
xem nhưtoạ độ của điểm ngẫu nhiên trong không gian n chiều.


http://s1.liketly.com/flash/edoc/-images-nopreview.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-60810/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

mật độ phân bố đó đ−ợc gọi lμ đại l−ợng ngẫu nhiên phân bố
chuẩn.
Trong nhiều hiện t−ợng tự nhiên vμ kỹ thuật, một quá trình đang xét lμ kết quả
tác động tổng hợp của hμng loạt các nhân tố ngẫu nhiên. Khi đó đại l−ợng ngẫu nhiên
đặc tr−ng bằng số của quá trình đang xét lμ tổng của một chuỗi các đại l−ợng ngẫu nhiên
mμ mỗi một trong chúng tuân theo một luật phân bố nμo đó. Nếu đại l−ợng ngẫu nhiên
lμ tổng của một số lớn các đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập hay phụ thuộc yếu, vμ mỗi một
trong các đại l−ợng ngẫu nhiên thμnh phần có tỷ trọng đóng góp không lớn lắm so với
tổng chung, thì luật phân bố của đại l−ợng ngẫu nhiên tổng lμ chuẩn hay gần chuẩn,
không phụ thuộc vμo phân bố của các đại l−ợng ngẫu nhiên thμnh phần.
Điều nμy rút ra từ định lý nổi
tiếng của Liapunov: nếu đại l−ợng
ngẫu nhiên X lμ tổng của các đại l−ợng
ngẫu nhiên độc lập X1, X2,..., Xn,

=
=
n
1i
iXX vμ thoả mãn điều kiện:
Hình 1.7
0
]X[
]X[
lim
n
1i
3
i3
n
=
σ
μ
=
∞→
, (1.5.2)
thì khi n→∞ luật phân bố của đại l−ợng ngẫu nhiên X tiến vô hạn đến luật chuẩn.
Điều kiện (1.5.2) phản ánh sự tiến dần đến không của tỷ số giữa tổng các mômen
trung tâm tuyệt đối bậc ba μ3[Xi] của các đại l−ợng ngẫu nhiên Xi vμ lập ph−ơng độ lệch
bình ph−ơng trung bình của đại l−ợng ngẫu nhiên tổng cộng X khi tăng dần số các số
hạng, vμ đặc tr−ng cho sự nhỏ t−ơng đối của từng số hạng ngẫu nhiên trong tổng chung.
Đ−ờng cong phân bố của luật phân bố chuẩn dẫn ra trên hình 1.7 có tên lμ lát cắt
Ơle, hay đ−ờng cong Gauxơ.
Đ−ờng cong phân bố đối xứng qua đ−ờng thẳng x=a vμ có cực đại bằng 1
2σ π
tại
19
điểm x=a.
Để xác định ý nghĩa của các tham số a vμ σ, ta tính kỳ vọng toán học vμ ph−ơng sai
của đại l−ợng ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn:
∞
∞−
−
−
= dxxem
ax
x
2
2
2
)(
2
1 σ
πσ
. (1.5.3)
Thay biến trong tích phân (1.5.3):
x a t− =
σ 2
(1.5.4)
ta đ−ợc:

+∞
∞−
−+σ= dte)at2(
2
1m
2t
x = 
+∞
∞−
−
+∞
∞−
−
π
+
π
σ dteadtte2
22 tt . (1.5.5)
Tích phân thứ nhất trong (1.5.5) bằng không vì đó lμ tích phân của hμm lẻ trên
miền giới hạn đối xứng, tích phân thứ hai lμ tích phân Poatxông đã biết, bằng π . Từ
đó mx=a, tức lμ tham số a trong hμm (1.5.1) lμ kỳ vọng toán học của đại l−ợng ngẫu
nhiên.
Tiếp theo:
Dx = ( )
( )

∞+
∞−
σ
−
−
−
πσ
dxeax
2
1 2
2
2
ax
2
, (1.5.6)
Thực hiện việc đổi biến (1.5.4) trong tích phân (1.5.6) ta đ−ợc:
Dx = 
∞+
∞−
−
π
σ dtet2
2t2
2
. (1.5.7)
Lấy tích phân từng phần (1.5.7) ta đ−ợc:
Dx = σ
2 (1.5.8)
Do đó, tham số σ lμ độ lệch bình ph−ơng trung bình của đại l−ợng ngẫu nhiên.
Tham số a chỉ vị trí tâm đối xứng của đ−ờng cong phân bố, thay đổi a có nghĩa lμ dịch
chuyển tâm nμy dọc theo trục 0x. Tham số σ xác định tung độ đỉnh đ−ờng cong phân bố,
bằng
1
2σ π
. Trị số σ cμng nhỏ thì đỉnh cμng cao, tức lμ đ−ờng cong phân bố cμng nhọn.
Nh− vậy, mật độ xác suất của luật phân bố chuẩn đ−ợc xác định bởi hai tham số lμ
kỳ vọng toán học của đại l−ợng ngẫu nhiên vμ độ lệch bình ph−ơng trung bình hay
ph−ơng sai của nó.
Ta tính mômen trung tâm của phân bố chuẩn:
μk= ( )
( )
+∞
∞−
−
−
− dxeax
ax
k 2
2
2
2
1 σ
πσ
, (1.5.9)
Sử dụng phép thay biến (1.5.4) vμo tích phân ta nhận đ−ợc:
20
μk=
( ) ∞+
∞−
− dtet tk
k
22
π
σ
, (1.5.10)
Lấy tích phân từng phần ta có:
μk=
( )( ) ∞+
∞−
−−
− dtetk tk
k
22
2
21
π
σ
, (1.5.11)
Vì:
μk-2=
( ) ∞+
∞−
−−
−
dtet tk
k
22
2
2
π
σ
, (1.5.12)
nên ta nhận đ−ợc công thức truy hồi:
μk = (k−1)σ2μk-2, (1.5.13)
Vì μo=1 vμ μ1=0 đối với bất kỳ đại l−ợng ngẫu nhiên nμo, nên tất cả các mômen
trung tâm bậc lẻ của phân bố chuẩn bằng không. Đối với các mômen trung tâm bậc chẵn
ta có:
μ2=σ2; μ4=3σ4; ... μ2l = (2l −1)!!σ2l
Từ đó thấy rằng, đối với phân bố chuẩn độ bất đối xứng vμ độ nhọn bằng không:
,03
3
==
σ
μS ,0344 =−= σ
μE
Ta hãy tính xác suất rơi của đại l−ợng ngẫu nhiên phân bố chuẩn vμo khoảng (α,β).
Theo (1.1.5) ta có
P(α<X<β) =
( )

−
−
β
α
σ
πσ
dxe
ax
2
2
2
2
1
(1.5.14)
Thay (1.5.4) vμo ta đ−ợc:
P(α<X<β) = σ
−β
σ
−α
−
π
2
a
2
a
t dte1
2
(1.5.15)
Hμm
Φ(x) =  −
π
x
0
t dxe2
2
(1.5.16)
đ−ợc gọi lμ hμm Laplas.
Từ đẳng thức (1.5.15) có thể biểu diễn xác suất rơi vμo khoảng (α;β) qua hμm
Laplas:
P(α<X<β) =








π
−
π
 σ
−α
−
σ
−β
−
2
a
0
t
2
a
0
t dte2dte2
2
1 22
=
21
= 

 

 −Φ−

 −Φ
222
1
σ
α
σ
β aa
(1.5.17)
Hμm Laplas có các tính chất sau:
1. Φ(0) = 0;
2. Φ(∞) = ∞ −
0
22 dte t
π
=1;
3. Φ(−x) = −Φ(x).
Hình 1.8
Thực vậy:
Φ(−x) = 
−
−
π
x
0
t dte2
2
Thay t = −u ta có:
Φ(−x) =  −
π
−
x
0
u due2
2
= − Φ(x)
Nếu tính xác suất rơi trong khoảng đối xứng qua kỳ vọng toán học (a-h, a+h), thì
P(a−h<X<a+h) =
1
2 2 2
Φ Φa h a a h a+ −

 −
− −






σ σ
=
1
2 2 2
Φ Φh h
σ σ



 − −







 = Φ
h
σ 2



 (1.5.18)
Hμm phân bố của đại l−ợng ngẫu nhiên X phân bố chuẩn đ−ợc xác định d−ới dạng:
F(x) =
( )

∞−
σ
−
−
πσ
x
2
ax
dxe
2
1 2
2
=
= 
∞−
−
π
0
t dte1
2
+ σ
−
∞−
−
π
2
ax
t dte1
2
=
1
2
1
2
+
−






Φ
x a
σ
(1.5.19)
Đồ thị của F(x) đ−ợc biểu diễn trên hình 1.8. Điểm x=α t−ơng ứng với F(x)=1/2.
1.6. Luật phân bố Rơle vμ Macxoen
Đại l−ợng ngẫu nhiên X đ−ợc gọi lμ tuân theo luật phân bố Rơle nếu hμm mật độ
phân bố có dạng:
22



<
≥
=
−
0khi0
0khi)(
2
2
2
2
x
xexxf
x
σ
σ (1.6.1)
Trong mục 1.11 sẽ chỉ ra rằng modul của vectơ ngẫu nhiên phân bố chuẩn hai chiều
có các độ lệch bình ph−ơng trung bình của các thμnh phần bằng nhau vμ các kỳ vọng
bằng không lμ đại l−ợng ngẫu nhiên có luật phân bố Rơle. Đồ thị hμm (1.6.1) có dạng nh−
trên hình 1.9. Theo (1.1.8), hμm phân bố (hình 1.10) bằng:



<
≥−=
−
0khi0
0khi1)(
2
2
2
x
xexF
x
σ
(1.6.2)
Ta hãy xác định đặc tr−ng số của phân bố Rơ le:
∞ −=
0
22
2
2
2
1 dxexm
x
x
σ
σ
(1.6.3)
Sau khi lấy tích phân từng phần ta nhận đ−ợc:
mx = 
∞
σ
−
∞
σ
−
+−
0
2
x
0
2
x
dxexe 2
2
2
2
(1.6.4)
Số hạng thứ nhất trong (1.6.4) bằng 0, số hạng thứ hai sau khi thay biến
x t= 2σ sẽ dẫn đến tích phân Poatxông. Từ đó:
mx = σ
π
=σ
∞
−
2
dte2
0
t 2 (1.6.5)
Theo (1.2.12), ph−ơng sai bằng:
Dx =
2
0
2
x2
2 2
2dxxe
2
x1 2
2
σ

 π
−=



σ
π
−
σ

∞
σ
−
(1.6.6)
T−ơng tự, nếu sử dụng các đẳng thức thứ hai vμ thứ ba trong (1.2.15) vμ sau khi
tính các tích phân t−ơng ứng ta nhận đ−ợc giá trị của mômen trung tâm ...

---