Download miễn phí Đồ án Cặp toán tử liên hợp và bài toán giá trị ban đầu



Mục lục
Lời nói đầu. . . 2
Chương 1 Phương pháp thang Banach và bài toán giá trị ban đầu đối với hệ phương trình đạo hàm riêng cấp một 4
1.1 Đặt vấn đề 4
1.2 Thang không gian Banach 5
1.2.1 Định nghĩa thang không gian Banach 5
1.2.2 Toán tử Cauchy – Riemann tổng quát trong thang không gian Banach .5
1.3 Cặp toán tử liên hợp 6
1.4 Thang không gian Banach các hàm chỉnh hình 7
1.4.1 Xây dựng các không gian Banach 7
1.4.2 Xây dựng thang không gian Banach 9
1.4.3 Chứng minh các bổ đề Nagumo 13
1.5 Giải bài toán giá trị ban đầu 16
1.6 Bài toán giá trị ban đầu đối với biến thực 20
Chương 2 Các bài toán giá trị ban đầu đối với hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính hệ số hằng 23
2.1 Các trường hợp đặc biệt 23
2.1.1 Bài toán 1 23
2.1.2 Bài toán 2 28
2.1.3 Bài toán 3 31
2.2 Các trường hợp tổng quát 35
2.2.1 Bài toán 4: 35
2.2.2 Bài toán 5: 40
Chương 3 Bài toán giá trị ban đầu đối với hệ phương trình đạo hàm riêng có hệ số hàm 45
3.1 Bài toán 6 45
Kết luận 48
Tài liệu tham khảo 49
 
 


http://s1.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-09-26-do_an_cap_toan_tu_lien_hop_va_bai_toan_gia_tri_ban_dau.TNHQpLOK2F.swf /tai-lieu/do-an-cap-toan-tu-lien-hop-va-bai-toan-gia-tri-ban-dau-78179/


Để tải tài liệu này, vui lòng Trả lời bài viết, Mods sẽ gửi Link download cho bạn ngay qua hòm tin nhắn.

Ket-noi - Kho tài liệu miễn phí lớn nhất của bạn


Ai cần tài liệu gì mà không tìm thấy ở Ket-noi, đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

hệ thống hàm cho trước, là một toán tử vi phân tuyến tính hay phi tuyến, là một miền nào đó trong . Các ký hiệu trong (1.1) được hiểu như sau:
Giả sử là nghiệm của bài toán (1.1) và (1.2), còn là liên tục theo các biến của chúng, khi đó thoả mãn phương trình tích phân sau:
(1.3)
Dễ dàng chứng minh được bài toán (1.1) và (1.2) tương đương với phương trình vi tích phân (1.3).
Do đó, để giải bài toán giá trị ban đầu (1.1) và (1.2) ta cần giải phương trình vi phân (1.3). Để làm được điều này, ta cần xây dựng một không gian hàm thích hợp và một toán tử ánh xạ không gian hàm nói trên vào chính nó sao cho nghiệm của (1.3) là điểm bất động của toán tử đó. Đã có nhiều tác giả xây dựng không gian Banach và sử dụng nguyên lý điểm bất động của toán tử trong không gian Banach, nhưng trong trường hợp đó bài toán (1.3) chỉ giải được cho một lớp hạn chế các toán tử vi phân . Nếu chứa các toán tử dạng thì nói chung các toán tử này không giới nội (xem ví dụ của Lewy [3]), nên trong trường hợp này không thể dùng nguyên lý điểm bất động trong không gian Banach. Để khắc phục điều đó, ta sẽ dùng lý thuyết thang Banach và nguyên lý điểm bất động trong thang Banach để giải phương trình vi phân (1.3).
Thang không gian Banach
Định nghĩa thang không gian Banach
Định nghĩa 1.1:
Họ các không gian Banach được gọi là một thang không gian Banach nếu nó thoả mãn các tính chất sau:
Với mỗi cặp sao cho tồn tại một ánh xạ tuyến tính đơn ánh từ vào :
sao cho: .
Ví dụ: xem [6, t20 – t22].
Toán tử Cauchy – Riemann tổng quát trong thang không gian Banach
Định nghĩa 1.2:
Với mỗi cặp sao cho , toán tử từ thang không gian Banach , vào chính nó được gọi là toán tử Cauchy-Riemann nếu nó ánh xạ mỗi vào trong mỗi sao cho chuẩn của thỏa mãn:
.
trong đó là hằng số không phụ thuộc vào .
Ví dụ: xem [6, t22].
Cặp toán tử liên hợp
Để giải bài toán giá trị ban đầu (1.1) và (1.2) ta phải tìm nghiệm là hàm thuộc một không gian hàm nào đó. Như đã nhận xét ở trên, phải là một thang Banach nếu hàm vế phải phụ thuộc vào các toán tử vi phân kiểu . Tuy nhiên bài toán trong trường hợp đó cũng chỉ giải được khi thỏa mãn một số điều kiện bổ sung. Và kể cả trong trường hợp đó, bài toán giá trị ban đầu cũng chỉ giải được trong một lớp con của thang Banach. Để xác định lớp con này, ta dùng khái niệm cặp toán tử liên hợp sau:
Định nghĩa 1.2:
Toán tử vi phân tác động trong thang Banach được gọi là toán tử liên hợp với nếu:
.
Khi đó ta gọi là cặp toán tử liên hợp.
Để giải bài toán (1.1) và (1.2) ta giải phương trình vi phân (1.3) bằng cách áp dụng nguyên lý ánh xạ co.
Gọi
Giải phương trình vi phân (1.3) hay ta tìm điểm bất động của toán tử sau trong không gian (ứng với mỗi cố định):
Để áp dụng nguyên lý ánh xạ Co, ta cần các điều kiện:
i) Toán tử ánh xạ vào chính nó
ii)
iii) Nếu thì
Tác giả W.Walter đã chứng minh hoàn toàn bài toán (1.1) và (1.2) tồn tại nghiệm trong trường hợp tổng quát với toán tử vi phân là phi tuyến. Tuy nhiên, trong khuôn khổ đồ án tốt nghiệp này, ta chỉ trình bày cách xây dựng không gian và chứng minh các điều kiện trên theo cách làm của W.Walter có sử dụng các bổ đề Nagumo cho trường hợp toán tử vi phân là tuyến tính theo vectơ hàm và các đạo hàm của đối với các ().
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1), (1.2), trước hết ta chứng minh bài toán dạng (1.1), (1.2) là tồn tại duy nhất nghiệm trong trường hợp các biến phức . Sau đó ta chứng minh bài toán giá trị ban đầu (1.1), (1.2) cũng đúng đối với các biến thực .
Thang không gian Banach các hàm chỉnh hình
Xây dựng các không gian Banach
đánh giá là một miền giới nội trong không gian . Ta xét một họ miền vét cạn ( cố định) của miền thoả mãn các điều kiện sau:
i) và là hằng số cố định nào đó ii) Với mỗi điểm z thuộc , xác định duy nhất một số dương thoả
mãn: .
iii) Miền đóng là một miền con compact của miền nếu .
Với mỗi miền con , ta định nghĩa khoảng cách trong miền như sau:
(1.4)
Rõ ràng là một hàm số dương và tiến tới không khi dần tới biên của .
Bây giờ ta xét các hàm xác định và liên tục trên và chỉnh hình trên và thoả mãn điều kiện sau:
(1.5)
trong đó () là hằng số dương.
Xét là không gian tập hợp tất cả các hàm có tính chất trên. Trang bị cho không gian chuẩn sau:
(1.6)
Dễ thấy:
Và khi và chỉ khi triệt tiêu trên .
Ta chứng minh là không gian tuyến tính.
Với là một hằng số phức nào đó và là hàm thuộc thì:
Hay hàm cũng thuộc .
Cho hai hàm và thuộc , khi đó:
Vậy:
Hay hàm cũng thuộc không gian .
Ta chứng minh được không gian là không gian tuyến tính.
Bây giờ ta sẽ chứng minh là không gian đủ.
Xét là một miền con compact của . Khi đó tồn tại một số dương sao cho:
(1.7)
Từ định nghĩa (1.6) dễ thấy:
(1.8)
Từ (1.7) và (1.8) suy ra:
(1.9)
Giả sử có dãy Cauchy thuộc , tức là:
với mọi và đủ lớn.
Xét trong miền con compact . Theo (1.9) ta có:
Vậy hội tụ đều trong . Theo định lý hội tụ Weierstrass tồn tại hàm chỉnh hình là giới hạn của dãy tại mọi điểm trong . Mặt khác, do là miền con compact bất kỳ trong nên hàm giới hạn xác định tại mọi nơi trong và giải tích trong (Với một điểm bất kỳ thuộc , ta chọn được (ứng với đủ nhỏ) để cũng thuộc ).
Vì vậy từ:
Cho thì ta có bất đẳng thức:
(1.10)
Bất đẳng thức (1.10) tương đương với:
(1.11)
Mặt khác, ta có:
Vậy hàm thuộc hay là không gian Banach.
Xây dựng thang không gian Banach
Dựa trên họ miền vét cạn đã xét ở mục trên ta xây dựng không gian theo các bước như sau:
Bây giờ, ta xét một tập hợp kiểu hình nón sau:
(1.12)
với là mộ số dương sẽ xác định sau.
Dễ thấy tương giao của mặt phẳng với là:
(1.13)
Ta định nghĩa khoảng cách trong :
(1.14)
Gọi là hạn chế của trên (chú ý rằng là không gian các hàm thuộc một lớp hàm thích hợp mà ta sẽ định nghĩa dưới đây trên toàn miền ).
Xét các hàm xác định trên sao cho trong đó và thoả mãn (1.13). Với cố định, hàm là xác định, liên tục trong , chỉnh hình trong và thoả mãn biểu thức:
(1.15)
trong đó là một số dương.
Gọi là chuẩn trong không gian .
Gọi là không gian tất cả các hàm có tính chất trên. Ta định nghĩa chuẩn trong không gian :
(1.15)
Dễ dàng chứng minh được là không gian tuyến tính. Thật vậy, gọi là một hằng số phức nào đó và là hàm thuộc thì:
Hay hàm cũng thuộc .
Cho hai hàm và thuộc , khi đó:
Vậy:
Hay hàm cũng thuộc không gian .
Ta đã chứng minh được không gian là không gian tuyến tính.
Bây giờ ta chứng minh là một không gian Banach.
Xét là một tập con compact của . Khi đó tồn tại thoả mãn:
(1.17)
Tập hợp được xác định như sau:
(1.18)
Theo (1.17) dễ thấy:
(do )
Khi đó, với mọi ta có:
Hay:
Vậy ta có ước lượng, với mọi thì:
(1.19)
Bây giờ ta xét một chuỗi hàm Cauchy trong không gian , ký hiệu là , các hàm này có tính chất:
với mọi đủ lớn.
Theo công thức (1.19), với mọi thì:
Vậy là một chuỗi hội tụ đều trong tập compact .Theo định lý hội tụ Weierstrass, chuỗi này hội tụ tới một hàm giới hạn trong , ký hiệu hàm này là . Dễ thấy hàm là liên tục trong , chỉnh hình trong .
Mặt khác, do:
với mọi đủ lớn, nên với mọi :
(1.20)
Cho thì ta thu được bất đẳng thức:
(1.21)
với mọi .
Với mọi đi

---