Ước và bội là hai trong số những khái niệm cơ bản nhất của số học. Tuy nhiên sự cơ bản
luôn luôn có sự thú vị riêng của nó. Những người học số học luôn cần phải năm vững vấn
đề này, không chỉ vì sự ứng dụng rộng rãi của nó mà nó còn là nền tảng xây dựng nên
những vấn đề phức tạp và đa dạng hơn.
Trước hết chúng ta hãy điểm qua một số khái niệm cơ bản.
A. Một số khái niệm cơ bản.
i) Ước số.
Một số nguyên
d
được gọi là ước số của một số nguyên
a
khi và chỉ khi tồn tại một số
nguyên
b
sao cho
abd
=
.
ii)Ước số chung.
Một số nguyên dương d được gọi là ước số chung của hai số nguyên dương a và b khi và
chỉ khi d là ước số của a và d cũng là ước số của b.
Tương tự ta cũng có định nghĩa uớc số chung của
n
số nguyên dương
12
,, ,
n
aaa


, kí hiệu
(
)
12
,, ,
n
aaa

iv)Nguyên tố cùng nhau.
Hai số nguyên
,
ab
được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi
(
)
,1.
ab
=

Tương tự ta định nghĩa các số
12
,, ,
n
aaa
được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ
khi
(
)
12
,, ,1.

chung của a và b và với mọi số nguyên
'
k
là bội số chung của a và b thì
'
kk
≤
.
Kí hiệu:
[
]
,.
qab
=
Tương tự ta cũng có định nghĩa bội số chung nhỏ nhất của
n
số nguyên dương
12
,, ,
n
aaa
, kí hiệu
[
]
12
,, ,
n
aaa
dab
dd

=⇔=



iii)Tồn tại các số nguyên
,
xy
sao cho
(
)
,.
abaxby
=+iv)
(,)1
ab
=
và
acb

thì
.
cb




[]
,,1.
kk
kab
ab

=⇔=



ix)
[
]
[
]
,,
cacbcab
=
x)
[
]
[
]
,,,,
abcabc

=



(trong trường hợp
abb
−>
) hay là
(,2)
abba
−−
( trong trường hợp
abb
−<
) . Nếu ta
tiếp tục làm như vậy thì các số nguyên dương cần tìm ước số chung sẽ nhỏ đi dần dần,
điều này có thể kéo dài vô tận và các số nguyên dương sẽ nhỏ dần vô hạn chăng ? Câu trả
lời là không vì ít ra các số nguyên dương cũng bị chặn dưới bởi 1. Như vậy tại sao quá
trình này lại không thể kéo dài vô hạn được, chỉ có thể là do
(*)
không đúng nữa, tức là
đến một lúc nào đó ta thu được hai số nguyên dương bằng nhau. Nghía là ta sẽ có:
(,)(,).
abccd
==
Như vậy
cd
=
. Từ đây ta có thuật tóan sau để tìm ước chung lớn nhất
của hai số nguyên
a
và
b
.

11
(,)(,)
(,)(,)
(,)(,)

(,)(,)
(,)
nnnnnnn
nnnnnn
abqrabbr
brqrbrrr
rrqrrrrr
rrqrrrr
rrqrrr
−−−−−−
−−
=+⇒=
=+⇒=
=+⇒=
=⇒=
=⇒=

Từ đây suy ra
(
)
11223211
(,)(,)(,)(,) ,(,)
nnnnn
abbrrrrrrrrrr
−−−

nkkkk
rrrxryr
++
==+ Khi đó:

1111
11
()
()(,)
kkkkkkkkk
kkknkk
rrqryryqxrxryr
yryqxrrrr
−+−+
−−
=+⇒=−++
⇒−−==

Như vậy theo nguyên lý qui nạp lùi, đối với các số
(,)
ab
cũng tồn tại các số nguyên
,
xy

sao cho
(
)
,
n

kN
∈
Câu a) chỉ là câu áp dụng phép chia Euclid, ta hãy giải quyết nhanh nào:

(34,56)(22,34)(12,22)(10,12)(2,10)2.
=====

Suy ra
[]
34.561904
34,56952.
(34,56)2
===

Câu b) cũng áp dụng phép chia Euclid, tuy nhiên hơi phức tạp một chút vì có chứa ẩn số
k
. Các bạn cũng thực hiện phép chia một cách bình thường, giống như là chia đa thức
vậy:

(21,94)(944(21),21)
(8,21)(212(8),8)
1(178)
(8,17)(8,17)
17(178)
kkkkk
kkkkk
km
kk
km
−+=+−−−

=−+
.Ta có:
2(94)9(21)
1
17
17
kkd
d
d
d
+−−
=

⇒⇒

=




Lời giải trên thật ngắn gọn.tuy nhiên nếu làm như vậy thì ta sẽ xác định cụ thể các trường
hợp mà ở đó
1
d
=
và
17
d
=
như thế nào. Trong trường hợp này, bạn phải giải phương

abkdbakcadbcpm
mp
=

+−+=−=⇒

=

 . Cả hai trường hợp đều có thể xảy ra bởi
lẽ phương trình
0(mod)
akcp
+≡
cho ta nghiệm duy nhất theo
mod
p
. Trong trường
hợp này
(,)
akcbkdp
++=
, trong các trường hợp còn lại ta đều thu được:
(,)1.
akcbkd
++=

Sau đây sẽ là phần bài tập áp dụng dành cho bạn đọc:
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị có thể của:

(65,83),.

trong
đó
2*
,(1)0,,
aZaamnN
∈−≠∈ .
Đặt
(,)
mnd
=
,ta dễ dàng nhận ra rằng:
11,11
mdnd
aaaa
−−−−

Thực vậy, đặt
mdk
=
ta có:
(
)
11()111
mkddkdd
aaaaAa
−=−=−=−−

trong đó:
12
1,.

m 2 3 4
n 4 5 6
A 3 2 15
B 1 1 1
Như vậy ta có thể dự đoán, ta mạnh dạn đưa ra giả thuyết
(
)
(,)
1,11.
mnmn
aaAa
−−==−

Ta sẽ cần chứng minh
(
)
,
1
mn
aA
−

và từ đó suy ra
(
)
m,n
a1
A
−=
do

−+=
. Ta chỉ xét trường hợp
(,)
xmynmn
−=
, trường hợp kia là hòan tòan tương tự.
()()
(1)
(1)(1)11
ynxmynxmyn
xmynmn
aaaa
aaaCaDA
−
−=−
=−−−=−−−


Mà
(
)
(
)
yn
a,11,1.
nyn
aaA
−=⇒=
Do đó theo tính chất iv) ta suy ra
(,)

nm
++=

b) Tìm
(
)
21,21
mn
−−

Bài 2: Cho
(,,)
amn
là các số tự nhiên lẻ.Chứng minh rằng:
(
)
(
)
,
1,11
mn
mn
aaa
++=+
.
Bài 3: Cho là
(
)
,
ab

−=−

−

trong đó
,1.
am
>

Bài 2:Nếu
,
ab
là các số nguyên dương và
ab
>
thì:

1
,((,),)
nn
n
ab
abnabab
ab
−

−
−=−

−

+
=∈
chứa những dãy vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.
b)
21
n
n
M
=−
chứa dãy vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.
Dãy
n
M
được gọi là dãy số
ecxen.
MMục chuyên đề về ước số và bội số xin được kết thúc ở đây. Chúc các bạn luôn đạt được
kết quả tốt nhất trong học tập. J
Tài liệu tham khảo
• 351 Bài toán số học chọn lọc Nguyễn Đức Tấn
Đặng Anh Tuấn-Trần Chí Hiếu.
• Bài giảng số học Đặng Hùng Thắng.