Chương 4
Mô hình hồi qui đa biến
iiii
uXXY +++=
33221
βββ
iii
XbXbbY
33221
ˆ
++=
Mô hình hồi qui đa với 2 biến giải thích
Hệ số hồi qui cũng được ước lượng thông qua sử dụng phương pháp bình phương bé
nhất như trong phân tích hồi qui đơn. Giá trị ước lượng phù hợp của Y trong quan sát thứ i
phụ thuộc vào giá trị ước lượng b
1
, b
2
, và b
3
.
11
iiii
uXXY +++=
33221
βββ
iii
XbXbbY
33221
ˆ
++=

−−−==
2
33221
2
)(
iiii
XbXbbYeRSS
)2222
22(
323233122133
221
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
iiiiii
iiiiii
XXbbXbbXbbYXb
YXbYbXbXbbY
+++−
−−+++=
∑
∑∑

=
b
RSS
∂
∂
0
2
=
b
RSS
∂
∂
0
3
=
b
RSS
∂
∂
Mô hình hồi qui đa với 2 biến giải thích
Đầu tiên, chúng ta triển khai biểu thức RSS và sau đó chung ta sử dụng điều kiện đạo hàm
hay vi phân bậc một của biểu thức để tìm cực tiểu.
14
33221
XbXbYb −−=
Mô hình hồi qui đa với 2 biến giải thích
Chúng ta có 3 phương trình cho 3 tham số chưa biết. Giải phương trình để tìm b
1
, b
2

−−−−−
−−−−−
=
XXXXXXXX
XXXXYYXX
b
iiii
iiii
33221
XbXbYb −−=
Mô hình hồi qui đa với 2 biến giải thích
16
( )( ) ( )
∑∑
−−−
2
3322
XXYYXX
iii
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )
2
3322
2
33
2
22
332233
2

33
2
22
332233
2
∑∑∑
∑∑
−−−−−
−−−−−
=
XXXXXXXX
XXXXYYXX
b
iiii
iiii
Tuy nhiên, biểu thức cho các hệ số hồi qui tương đối phức tạp hơn so với hệ số hồi qui
trong mô hình hồi qui đơn.
33221
XbXbYb −−=
Mô hình hồi qui đa với 2 biến giải thích
18
( )( ) ( )
∑∑
−−−
2
3322
XXYYXX
iii
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )

+
S | 2.678125 .2336497 11.46 0.000 2.219146 3.137105
EXP | .5624326 .1285136 4.38 0.000 .3099816 .8148837
_cons | -26.48501 4.27251 -6.20 0.000 -34.87789 -18.09213

Mô hình hồi qui đa với 2 biến giải thích
Đây là kết quả hồi qui đối với 540 quan sát từ số liệu thực tế.
19
EXPSINGSNEAR 56.068.249.26
ˆ
++−=
. reg EARNINGS S EXP
Source | SS df MS Number of obs = 540
+ F( 2, 537) = 67.54
Model | 22513.6473 2 11256.8237 Prob > F = 0.0000
Residual | 89496.5838 537 166.660305 R-squared = 0.2010
+ Adj R-squared = 0.1980
Total | 112010.231 539 207.811189 Root MSE = 12.91

EARNINGS | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
+
S | 2.678125 .2336497 11.46 0.000 2.219146 3.137105
EXP | .5624326 .1285136 4.38 0.000 .3099816 .8148837
_cons | -26.48501 4.27251 -6.20 0.000 -34.87789 -18.09213

Mô hình hồi qui đa với 2 biến giải thích
20
EXPSINGSNEAR 56.068.249.26
ˆ
++−=


EARNINGS | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
+
S | 2.678125 .2336497 11.46 0.000 2.219146 3.137105
EXP | .5624326 .1285136 4.38 0.000 .3099816 .8148837
_cons | -26.48501 4.27251 -6.20 0.000 -34.87789 -18.09213

Mô hình hồi qui đa với 2 biến giải thích
22
EXPSINGSNEAR 56.068.249.26
ˆ
++−=
Rõ ràng, đây là điều không thể. Giá trị thấp nhất của S trong mẫu là 6. Chúng ta đã có một
ước tính không có ý nghĩa bởi vì chúng ta có ước tính quá xa từ số liệu thực tế.
Đặc điểm của hệ số hồi qui đa
A.1: Mô hình là tuyến tính trong các tham số và được xác định
rõ.
A.2: Không có mối quan hệ tương quan chính xác giữa các biến
độc lập ở trong mẫu.
A.3 Yếu tố ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0
A.4 Yếu tố ngẫu nhiên có phương sai đồng nhất
A.5 Giá trị của yếu tố ngẫu nhiên có phân bố độc lập
A.6 Yếu tố ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
Đặc điểm của hệ số hồi qui đa
uXXY
kk
++++=
βββ

221

uXXY
kk
++++=
βββ

221
3
Trong trường hợp các giả định của mô hình có hiệu lực, các ước lượng theo phương pháp
bình phương bé nhất trong mô hình hồi qui tổng thể là ước lượng không chệch và hiệu quả
giống như mô hình hồi qui đơn.
Đặc điểm của hệ số hồi qui đa
uXXY +++=
33221
βββ
33221
ˆ
XbXbbY ++=
4
( )( ) ( )
∑∑
−−−
2
3322
XXYYXX
iii
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )
2
3322

3322
XXYYXX
iii
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )
2
3322
2
33
2
22
332233
2
∑∑∑
∑∑
−−−−−
−−−−−
=
XXXXXXXX
XXXXYYXX
b
iiii
iiii
( ) ( )
( ) ( )
uuXXXX
uXXuXXYY
iii
iiii

( )
2
3322
2
33
2
22
332233
2
∑∑∑
∑∑
−−−−−
−−−−−
=
XXXXXXXX
XXXXYYXX
b
iiii
iiii
( ) ( )
( ) ( )
uuXXXX
uXXuXXYY
iii
iiii
−+−+−=
+++−+++=−
333222
3322133221
ββ

( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )
2
3322
2
33
2
22
332233
2
∑∑∑
∑∑
−−−−−
−−−−−
=
XXXXXXXX
XXXXYYXX
b
iiii
iiii
( ) ( )
( ) ( )
uuXXXX
uXXuXXYY
iii
iiii
−+−+−=
+++−+++=−
333222

XXYYXX
iii
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )
2
3322
2
33
2
22
332233
2
∑∑∑
∑∑
−−−−−
−−−−−
=
XXXXXXXX
XXXXYYXX
b
iiii
iiii
( ) ( )
( ) ( )
uuXXXX
uXXuXXYY
iii
iiii
−+−+−=

uXXY +++=
33221
βββ
33221
ˆ
XbXbbY ++=
9
( )( ) ( )
∑∑
−−−
2
3322
XXYYXX
iii
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )
2
3322
2
33
2
22
332233
2
∑∑∑
∑∑
−−−−−
−−−−−
=

*
22
*
222
ββββ
=+=+=+=
∑∑∑
iiiiii
uEauaEuaEbE
Yếu tố a* là yếu tố không ngẫu nhiên vì nó chỉ phụ thuộc vào giá trị của X
2
và X
3
, và
những giá trị này được giả định cũng là yếu tố không ngẫu nhiên. Vì thế yếu tố a* có thể
đưa ra người của biểu thức kỳ vọng.
Đặc điểm của hệ số hồi qui đa
uXXY +++=
33221
βββ
33221
ˆ
XbXbbY ++=
10
( )( ) ( )
∑∑
−−−
2
3322
XXYYXX

333222
3322133221
ββ
ββββββ
∑
+=
ii
uab
*
222
β
( )
( ) ( )
( )
2
*
22
*
22
*
222
ββββ
=+=+=+=
∑∑∑
iiiiii
uEauaEuaEbE
Bởi giả định A.3, E(u
i
) = 0 cho tất cả các i. Vì thế E(b
2

−−+++=
−−=
βββ