________________________________________________________Chương 7 Tần số
phức
-
1
Ñ CHƯƠNG 7
TẦN SỐ PHỨC

Ñ TÍN HIỆU HÌNH SIN CÓ BIÊN ĐỘ THAY ĐỔI THEO HÀM MŨ
Ñ TẦN SỐ PHỨC
Ñ TỔNG TRỞ VÀ TỔNG DẪN
Ñ HÀM SỐ MẠCH

Cực và Zero của hàm số mạch
 Xác định đáp ứng tự nhiên nhờ hàm số mạch
 Hàm số ngã vào và hàm số truyền
___________________________________________________________________________

Chương này xét đến đáp ứng ép của mạch với kích thích là tín hiệu hình sin có biên độ
thay đổi theo hàm mũ. Các tín hiệu đã đề cập đến trước đây (DC, sin, mũ . . .) thật ra là các
trường hợp đặc biệt của tín hiệu này, vì vậy, đây là bài toán tổng quát nhất và kết quả có thể
được áp dụng để giải các bài toán với các tín hiệu vào khác nhau.
Chúng ta cũng sẽ nghiên cứu kỹ hơn về hàm số mạch, nhờ
khái niệm cực và zero, để
thấy vai trò quan trọng của nó trong việc xác định đáp ứng của mạch.

7.1 TÍN HIỆU HÌNH SIN CÓ BIÊN ĐỘ THAY ĐỔI
THEO HÀM MŨ
Tín hiệu xác định bởi
v(t)= Ve
σt
cos(ωt+φ) (7.1)


________________________________________________________Chương 7 Tần số
phức
-
2
(H 7.1)
Nhắc lại đơn vị của ω là rad/s, φ là radian hay độ. σ có đơn vị là 1/s(s
-1
).
σ có quan hệ với tần số tự nhiên , σt có đơn vị là Neper (Np) và ta gọi σ là tần số Neper với
đơn vị Np/s.

Thí dụ 7.1
Tìm đáp ứng ép i(t) của mạch (H 7.2). Cho v(t)=25e
-t
cos2t

Phương trình mạch điện
cos2t25e5
dt
d
2
t−
=+ i

v(t)= Vcos(ωt+φ) (7.2)
Có thể đặc trưng bởi vectơ pha
V=Ve
jφ
=V∠φ (7.3)
Thực chất v(t) chính là phần thực của Ve
jωt
v(t) = Vcos(ωt+φ)
= Re[Ve
jφ
e
jωt
] (7.4)
Bây giờ xét đến nguồn kích thích
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
MẠCH________________________________________________________Chương 7 Tần số
phức
-
3
v(t)= Ve
σt
cos(ωt+φ) (7.5)
Do tính chất và các phép tính trên hàm sin có biên độ thay đổi theo hàm mũ không
khác gì với hàm sin nên ta có thể mở rộng khái niệm vectơ pha cho trường hợp này.
Viết lại (7.5)
v(t) = Ve

o
với s=σ +jω=-1+j2
Do s là một số phức có thứ nguyên là tần số nên được gọi là tần số phức.
Các thành phần của s là
σ = Re[s] Np/s
ω =Im[s] rad/s

Thí dụ 7.2
Tìm đáp ứng ép v
O
(t) của mạch (H 7.3). Cho i(t)=e
-t
cost
Viết KCL cho mạch
(H 7.3)

(t)3
dt
d
O
O
iv
v
=+

Thay các vectơ pha tương ứng
sV
O
(s)+3V
O


°−∠= 26,5
5
1
)s(
O
V và )26,5cos(te
5
1
(t)
t
O
°−=
−
v

7.3 TỔNG TRỞ VÀ TỔNG DẪN PHỨC
Với các kết quả có được khi mở rộng khái niệm vectơ pha trong đó jω đã được thay
thế bởi s=σ +jω, ta có thể mở rộng khái niệm tổng trở và tổng dẫn phức.
Trong lãnh vực tần số phức (gọi tắt là lãnh vực s) Các đại lượng được ký hiệu với
chữ s để phân biệt với trường hợp khác

(s)
(s)
(s)
I
V
Z =

___________________________________________________________________________

⇒ Z
C
(s)= 1/sC
Tổng dẫn phức:
(s)
(s)
(s)
(s)
V
I
Z
Y ==
1

] Điện trở Y
R
(s)=1/R
] Cuộn dây Y
L
(s)= 1/sL
] Tụ

điện Y
C
(s)= sC
Đến đây chắc chúng ta thấy ngay một điều hiển nhiên là tất cả các định luật và định lý
mạch điện cũng như các phương trình vòng, nút . . . đều áp dụng được trong lãnh vực tần số.

Thí dụ 7.3
Giải lại Thí dụ 7. 1 bằng cách dùng tổng trở phức.

=
++
°
∠
= 53,15
53,15
025
j43
025
j2)2(-15
025
(s)I

suy ra i(t)= 5e
-t
(cos2t-53,1
o
)
Thí dụ 7.4
Tìm đáp ứng ép v
O
(t) của mạch (H 7.5). Cho v
g
(t)=e
-2t
cos4t (V)


O2g1
=−−−++ VVVV
(1)
0)
4
s
(1
12
=+ V -V
(2)
Giải hệ phương trình
Để ý
2
O
2
V
V =
(3)
(s)
82ss
16
g
2
O
VV
+
+
=)s(
(4)
Với v

V
H =
của mạch (H 7.7a)
Tìm đáp ứng ép v
O
(t)ứng với
* v
i
(t)= 5e
-3t
(cost-10
o
) (V)
* v
i
(t)= 10(cos10t-20
o
) (V)
* v
i
(t)= 10e
-t
(V)
* v
i
(t)= 10 (V)
Vẽ lại mạch trong lãnh vực s (H 7.7b) (a) (H 7.7) (b)

VV
+++
++
=

Dùng cầu phân thế
(s)
500200s20ss
10)25(s
(s)
s/5
1/2
(s)
i
23
O
VVV
+++
+
=
+
=
1

500200s20ss
10)25(s
(s)
(s)
(s)
23

500j)200(-3j)20(-3j)(-3
10)j25(-3
j)(-3
23
H

V
O
(s)=H(s).V
i
(s)=1,55∠-60,3
O
. 5∠-10
O
=7,75∠-70,3
O

v
O
(t)= 7,75e
-3t
(cost-70,3
o
) (V)

b. v
i
(t)= 10(cos10t+20
o
) (V)

(t)= 1,96(cos10t-81,3
o
) (V)

c.
v
i
(t)= 10e
-t
(V)
V
i
(s)=10 và s=-1+j0=-1
Hàm số mạch H(s) trở thành

0,70
5
500200(-1)20(-1)(-1)
10)25(-1
(-1)
23
=
+++
+
=H

V
O
(s)=H(s).V
i

v
O
(t)= 5 (V)

___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
MẠCH________________________________________________________Chương 7 Tần số
phức
-
7
7.4 HÀM SỐ MẠCH

7.4.1 Cực và Zero của hàm số mạch
Khái niệm hàm số mạch được mở rộng cho lãnh vực tần số và nó vẫn được xác định như
trước đây (chương 5)

01
n
n
01
m
m
asa sa
bsb sb
(s)
+++
+++

z
1
, z
2
,. . . z
m
được gọi là các Zero của H(s)
p
1
, p
2
, . . . .p
n
được gọi là các Cực của H(s)
Biểu diễn trên mặt phẳng s, với trục thưc σ và trục ảo jω
Zero được ký hiệu bởi vòng tròn nhỏ (o) và Cực bởi dấu (x)

Thí dụ 7.6
Vẽ giản đồ Cực và Zero của hàm số mạch
(H 7.8)

13)s2)(ss(s
2)2s1)(s6(s
(s)
2
2
+++
+++
=
4


Thí dụ 7.7
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
MẠCH________________________________________________________Chương 7 Tần số
phức
-
8
Vẽ giản đồ Cực và Zero của hàm số mạch
(H 7.9)

22
2
j)1sj)-1(s
3)7s(s
(s)
+++
+
=
(
HHàm số mạch này có:
* Zero bậc 1 tại s=0 và Zero bậc 2 tại s=-3

* Cực bậc 2 tại s=-1+j và -1-j

a
d
t
yd
a
01
1m
1m
1m
m
m
m01
1n
1n
1n
n
n
n
++++=++++
−
−
−
−
−
−

Phương trình đặc trưng tương ứng
a
n
s


7.4.3 Hàm ngã vào và hàm truyền (Driving point & Transfer function)
7.4.3.1 Hàm ngã vào

(H 7.10)
Xét một lưỡng cực (H 7.10)
Nếu kích thích là nguồn dòng điện thì đáp ứng là hiệu thế và Hàm ngã vào là tổng trở
Z(s)
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
MẠCH________________________________________________________Chương 7 Tần số
phức
-
9
(s)
(s)
(s)
I
V
Z =

Nếu kích thích là nguồn hiệu thế thì đáp ứng là dòng điện và Hàm ngã vào là tổng dẫn
Y(s).
(s)
(s)
(s)
(s)

(s)(s)
2
21
+
+=
V
II (1)
Với (2)
(s)g(s)
1m2
VI =
Và
(3)
(s)-(s)(s)
112
IVV =−
Thay (2) và (3) vào (1)
mm1
1
2g)s5g(1
26s
(s)
(s)
(s)
++
+
==
I
V
Z


________________________________________________________Chương 7 Tần số
phức
-
10
7.4.3.2 Hàm truyền

(H 7.12)
Xét một tứ cực (H 7.12). Tùy theo tín hiệu vào và tín hiệu ra, hàm số mạch có thể là
một trong bốn lượng sau:

(s)
(s)
1
2
I
V
,
(s)
(s)
1
2
V
V
,
(s)
(s)
1
2
I
(H 7.13)
Vẽ lại mạch ở lãnh vực tần số (H 7.14)

(H 7.14)
Viết KCL cho mạch
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
MẠCH________________________________________________________Chương 7 Tần số
phức
-
11
1
22222
1
A
1/21/ss/2
I
VVVVV
=
−
+++
(1)
Hàm truyền
2A)s(3s
s

2
-3s+2=0 có nghiệm s
1,2
=-1 & -2
H(s) có 2 Cực phân biệt nằm trên phần âm của trục thực
p
1
=-1 và p
2
=-2

* 0<A<3-2
2

- Khi A tăng từ 0 đến 3-2
2
phương trình (3) vẫn có 2 nghiệm âm phân biệt, các Cực
p
1
và p
2
nằm trên phần âm của trục thực và tiến lại gần nhau.

(H 7.15)
* Khi A=3-2
2
=0,172 phương trình (3) có nghiệm kép,
H(s) có một Cực bậc 2 tại p
1
= p

1
2
= (
2
)
2
=2
- Khi A thay đổi, quỹ tích nghiệm là vòng tròn tâm O bán kính
2
, nói cách khác Cực
của H(s) di chuyển trên vòng tròn này
* A=3 , phương trình (3) có 2 nghiệm ảo liên hiệp, ±j
2
p
1
và p
2
nằm trên trục ảo
* A=3+2
2
=5,828, phương trình (3) có nghiệm kép,
H(s) có một Cực bậc 2 tại p
1
= p
2
=
2

* A>3+2
2

) V và i
g2
=2e
-t
A
7.2 Mạch (H P7.2). Xác định H(s)=V
o
(s)/V
i
(s). Suy ra đáp ứng ép v
o
(t) nếu v
i
=5cost V
(H P7.1) (H P7.2)
7.3 Mạch (H P7.3). Xác định Z(s), tổng trở vào của mạch, và v(t). Cho v
g
=16e
-4t
cos2t V
7.4 Mạch (H P7.4). Xác định H(s)=V
o
(s)/V
i
(s). Suy ra đáp ứng ép v
o
(t) nếu v

+
+
+=

7.6 Dùng kết quả bài 7.5 để xác định tổng trở vào của
mạch (H P7.6), sau đó xác định đáp ứng ép v(t). Cho i
g
=5e
-2t
cost (A) (
H P7.5
)

MẠCH________________________________________________________Chương 7 Tần số
phức
-
13

(H P7.6)
7.7 Dùng định lý Thevenin xác định dòng điện i(t) trong mạch (H P7.7).
Cho i
g
(t)=8e
-2t

7.10 Mạch (H P7.10). Xác định H(s)=V
o
(s)/V
i
(s) và đáp ứng ép v
o
(t) nếu v
i
=6e
-2t
cost V (H P7.10)

___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
MẠCH________________________________________________________Chương 7 Tần số
phức
-
14