Chơng 6.
Đạo hàm10
0
Chứng minh
Nếu f có đạo hàm thì
0lim
0
=

f
x

(vì ngợc lại thì f không thể có
đạo hàm hữu hạn). Điều này có nghĩa là
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=

, hay
f
liên tục tại
0
x
.
Chú ý
)()(
lim
0

mà chỉ cần tính đợc đạo hàm của
đơn thức
và cách lấy đạo hàm của
tổng
, của
thơng
, Đồng thời ta cũng tính đợc đạo hàm của các hàm
lôgarit
, hàm
lũy thừa
tổng
quát, hàm
lợng giác
, hàm
lợng giác ngợc
, thông qua việc tính đạo hàm của hàm
số exp(.), hàm số sin(.) và các quy tắc lấy đạo hàm của hàm hợp, hàm ngợc, Trớc
hết ta lu ý
Nhận xét

Đạo hàm của hàm hằng
(
f
(


.
(iii)
Nếu

0)(
0
xg

thì

g
f

cũng có đạo hàm tại

0
x

và

)(
)()()()(
)()(
0
2
0000
0
xg
xgxfxfxg

g(x),
từ đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.
(iii) Chứng minh bằng những lập luận tơng tự.
Mệnh đề đã đợc chứng minh đầy đủ.
Hệ quả
1)
Nếu
f
có đạo hàm tại
0
x
và c là hằng số, thì c
f
có đạo hàm tại
0
x
và
)(')()'(
00
xcfxcf =
.
(Đây là hệ quả của (ii) trong trờng hợp
g
là hàm hằng).
2)
Nếu g có đạo hàm tại
0
x
và
0)(


.
(Đây là hệ quả của (iii) khi
f
bằng 1).
6.3.2. Đạo hàm của hàm hợp
Cho
UXf :
có đạo hàm tại
0
x
,
ZUg :
có đạo hàm tại
)(
0
o
xfu =
. Dới đây
là cách tính đạo hàm của hàm hợp
g
[
f
(
x
)] (hay còn đợc ký hiệu là
fg
D
) thông qua
đạo hàm

=

D
.
(Vế phải là: đạo hàm của
y
theo
u
nhân với đạo hàm của
u
theo
x
).
Chứng minh Ta chú ý rằng
)]()(.[
)()(
)]([)]([
)]([)]([ xfhxf
xfhxf
xfghxfg
xfghxfg +
+
+
=+

Đặt
)(
00
xfy =
và

Đạo hàm10
2
6.3.3. Đạo hàm của hàm ngợc
Mệnh đề

Giả sử
)(yfx =
có đạo hàm tại
),(
0
bay
và
0)(
0


yf
. Nếu tồn tại hàm ngợc
)(xgy =

liên tục tại
)(
00
yfx =
thì tồn tại đạo hàm
)(
0

2
)( yyfx ==
,
),0( y
. Dễ dàng thấy rằng
f
có hàm ngợc
xxfxgy ===

)()(
1
. Ta áp dụng định lý trên và có ngay kết quả
x
yyf
xg
2
1
2
1
)('
1
)(' ===

đúng nh đã biết trớc đây bằng cách tính trực tiếp theo định nghĩa.
6.3.4. Đạo hàm các hàm sơ cấp
Dựa vào các kết quả tính đạo hàm (bằng định nghĩa) đối với các hàm
đơn thức
, hàm số
sin
, hàm số

=

n
xny

4.
x
y
1
=

.0,
1
2
=

x
x
y

5.
xy =

.0,
2
1
>=

x
x

x
x
y

Chơng 6.
Đạo hàm

10
3

)(log xy
a
=

.0,
)ln(
1
>=

x
ax
y

8. )sin(
xy =
.)cos(
xxy =


9.

= cot(
x
)

=

kx
x
y
,
)(sin
1
2
(
k
nguyên).
12.
)arcsin(
xy =

.11,
1
1
2
<<

=

x
x


15.
y= arccot(x).
1
1
2
x
x
y
+
=


6.4. Các định lý cơ bản
_____________________________

6.4.1. Định lý Fermat (về điều kiện cực trị)
Trớc hết ta trình bày định lý về giá trị cực tiểu, cực đại của hàm số mà ta gọi chung là
cực trị. Cho hàm số
f
xác định trên khoảng
(
a,b
).
Ta nói rằng
f
đạt

tồn tại, thì
0)( =

cf

Chứng minh Ta chứng minh định lý này cho trờng hợp cực đại, trờng hợp cực tiểu
chứng minh hoàn toàn tơng tự.
Giả sử rằng

f
(
c
)
là giá trị cực đại của hàm
f
trên
(
a,b
),
và
f
'
(c) tồn tại.
Xét đại lợng
x
cfxcf

+
)()(
,


+
x
cfxcf
.
Khi
0
x
thì đại lợng này tiến tới

f'
(
c
).
Vậy
0
)()(
lim)('
0


+
=

x
cfxcf
cf
x
.
Khi

. Định lý đã đợc chứng minh.
6.4.2. Định lý Rolle
Xét hàm số
f
xác định và liên tục trên đoạn
[
a
,
b
].
Đoạn đồ thị nối hai điểm
(
a,f
(
a
))
và
(
b,f
(
b
))
đợc gọi là cung. Ta giả sử
)()(
bfaf =
và hàm số
f

có đạo hàm trên khoảng
(

Nếu
)()(
bfaf =
thì tồn tại ít nhất một điểm
),(
bac

để
f'
(
c
)
= 0
.
Chứng minh
Từ giả thiết liên tục của
f
trên đoạn đóng
[
a,b
],
theo Định lý
Weierstrass,

hàm

f

phải đạt giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trên [
a


m = M
.
Khi ấy
constxf =
)(
trên [a,b], do đó
0)(
=

xf
với mọi
),(
bax
.
b)m
<
M
.
Khi ấy vì
)()(
bfaf =

nên ít nhất một trong 2 điểm
1
x
,

xx =
trên toàn đoạn
)5,(

nên ta lấy

5,
== ba
thì mọi điều kiện của định lý trên đều đợc thỏa mãn.
Theo định lý này ta suy ra tồn tại điểm
)5,(

c
để
0)]'[cos(
=x
. Đó chính là các
điểm

4,3,2
=x
.
Chơng 6.
Đạo hàm

10
5
6.4.3. Định lý Lagrange về giá trị trung bình
Đây là sự tổng quát hóa Định lý Rolle. Ta biết rằng hệ số góc của đờng thẳng qua hai
điểm

a, f
(
a
))
và
(
b
,
f
(
b
))
thì phải có
ab
afbf
cf


=

)()(
)(
.
Định lý
(Lagrange):
Cho hàm
f
liên tục trên đoạn

[

afbf
xfxg


=
.
Ta có
g
(
a
) =
g
(
b
)
.
Hàm số
g
thỏa mãn mọi điều kiện của Định lý Rolle. Theo định lý
này ta suy ra tồn tại ít nhất một điểm
c
(
a,b
)
để
g'
(
c
)
=


là
vận tốc trung bình
của ô tô trong khoảng từ
a
đến
b
. Theo định lý giá trị trung bình
tồn tại ít nhất tại một thời điểm
c

nào đó giữa (
a,b
)

sao cho
vận tốc tức thời
của ô tô
đúng bằng
vận tốc trung bình
này.
6.4.4. Các hệ quả
Định lý
(Cauchy):
Cho các hàm
f
,
g
liên tục trên đoạn
[

afbf
=


.
Chứng minh
Từ Định lý Lagrange và điều kiện
0)('
xg
trên

(
a,b
)
ta suy ra rằng
0)()(
agbg
. Xét hàm số
Chơng 6.
Đạo hàm10
6
)]()([
)()(
)()(
)()()(
agxg
agbg


(
a,b
)
để
0)(
)()(
=

=


cf
ab
afbf
.
Từ đây suy ra
)()(
afbf =
. Cho nên
f
là hàm hằng.
Hệ quả
Nếu hai hàm số có cùng một đạo hàm trên đoạn cho trớc thì chúng chỉ sai khác nhau
một hằng số
.
Chứng minh Suy ra từ hệ quả trên bằng cách xét hiệu của hai hàm.
107
_________________________________
Bài tập và

)
là một hàm lẻ (chẵn).
b) Điều ngợc lại có đúng không ?
2. Tính đạo hàm của hàm số thông thờng
___________

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1)
3
23
2
35
x
xxy =
; 2)
x
ey
1
2
sin
=
;
3)
1
22
+= xxy
; 4)
42
4
++= xxy

tại (2,1) ;
2)
12
22
=+ xyyx
tại (3,1) ;
3) 742
23
=++ xxyy tại (1,1) ;
4)
4
5235
=+++ yyxxyx
tại (1,1) ;
Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 610
8
5)
2)sin(
2
=+

y
xy
tại
)

>
0 còn
a,b,c
là ba số bất kỳ thoả mãn điều kiện
0
12
=+
+
+
+ m
c
m
b
m
a
. Chứng
minh rằng phơng trình
0
2
=++ cbxax
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0,1).
Bài 4
Chứng minh bất đẳng thức
b
ba
b
a
a
ba
<



.
Bài 6
Chứng minh rằng biểu thức






+
+
2
1
2
arcsin)arctan(2
x
x
x

nhận giá trị

nếu
x1
và nhận giá trị


nếu
1x

ne
xx
n
2
1
1 <
với mọi
x
thuộc (0,1) .
5. Bài tập nâng cao

______________________________

Bài 1
Cho
7
)7sin(
5
)5sin(
3
)3sin(
)sin()(
xxx
xxf +++=
. Chứng minh rằng:
2
1
9
' =



là hàm Dirichlet, tức là
)(x

=0 khi x là số vô tỷ và
)(x

=1
khi x là số hữu tỷ.
Suy ra
)(x

gián đoạn tại mọi điểm x.
6. Thực hành tính toán đạo hàm
____________________

Để thực hành tính đạo hàm , hãy đa vào dòng lệnh có cú pháp nh sau:
[>

diff(f(x),x);

Trong đó
f
(
x
) là hàm số và
x
là biến số mà ta cần tính đạo hàm. Sau dấu (;), ấn phím
"Enter" thì việc tính đạo hàm sẽ đợc thực hiện và sẽ có ngay đáp số.
Thí dụ

f_prim:=value(");
Muốn rút gọn biểu thức này ta dùng lệnh:
[>
simplify(");
Thí dụ
[>

f:=x->5*x^3-3*x^2-2*x^(-3);
3
23
2
35:
x
xxxf =

[>

Diff(f(x),x);







3
23
2
35
x

2
x
x
xf →=

[>

Diff(f(x),x);

)2sin(
)cos(
2
x
x
x
∂
∂

[>

f_prim:=value(");

2
2
)2sin(
)2cos()cos(
2
)2sin(
)sin()cos(
2:prim

ứng dụng
của đạo hàm
7.1. Vi phân
________________________________________

7.1.1. Khái niệm
Vi phân là một khái niệm độc lập nhng có quan hệ mật thiết với khái niệm đạo hàm.
Để trình bày khái niệm này ta đa ra
Định nghĩa Hàm số r(x) đợc gọi là một đại lợng vô cùng bé bậc cao tại lân cận
điểm a nếu nh nó thỏa mãn điều kiện sau
0
)(
lim =


a
x
xr
ax
.
Khi ấy, với
axx =
, ngời ta nói rằng
r
(
x
) là
vô cùng bé
bậc cao hơn


xo
x
.
Nhớ lại rằng số gia của hàm số
y = f
(
x
) (tơng ứng với số gia
x
của biến số) thờng
đợc ký hiệu là y, chúng ta đa ra
Định nghĩa

Hàm
f
đợc gọi là khả vi tại điểm
),(
0
bax
nếu tồn tại một số
K
sao
cho
xKy .
là một đại lợng vô cùng bé bậc cao tại lân cận điểm x
0
, nghĩa là
)(.)()(:
00
xoxKxfxxfy +=+=
11
2
7.1.2. Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân
Định lý

f
khả vi tại
x
khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại
x
.
Chứng minh Giả sử
f
khả vi tại
x
, khi đó ta có
)(. xoxKy +=

Suy ra
x
xo
K
x
y


+=


0
xf
x
y
x
=



, hay đại lợng
)(')(
xf
x
y
xu


= (*)
sẽ tiến tới 0 khi

x tiến tới 0. Nh vậy đại lợng
)(.:)( xuxxr =
sẽ là vô cùng bé
bậc cao khi

x tiến tới 0. Biểu thức (*) có thể viết lại thành
)().(')()(
xoxxfxrxxfy +=+

=

dx
dy
, . Xin lu ý
rằng đây là những ký hiệu mang tính hình thức (mà không có nghĩa là thơng của 2
đại lợng).
7.1.3. Vi phân và phép tính xấp xỉ
Định nghĩa của vi phân cho thấy rằng nó là một xấp xỉ tốt của số gia hàm số tại lân cận
điểm đang xét. Độ lệch giữa nó và số gia hàm số là không đáng kể so với độ lệch của
biến số so với điểm đang xét, cho nên đại lợng
dyxf +
)(
0
sẽ là một xấp xỉ tốt của
)(
0
xxf +
. Nghĩa là
xxfxfdxxfxfdyxfxxf +=+=++
).(')()(')()()(
000000
.
Nh vậy, để có một xấp xỉ tốt của giá trị hàm số tại các điểm lân cận x
0
ta chỉ cần biết
đợc giá trị và đạo hàm của hàm số tại đúng điểm x
0
. Chúng ta hãy minh họa điều này
qua các ví dụ dới đây.
Chơng 7.
ứng dụng của đạo hàm

và áp dụng công thức
xafafxaf ++ )(')()(
ta đợc
2)27(')27(29
3
ff +

0741,30741,03
27
2
3 =+=+=
.
Vậy
0741,329
3

.
Tổng quát
Muốn tính giá trị hàm số
f
tại một điểm
b
nào đó thì:
1) Chọn điểm
a
gần điểm
b
mà
f
(

.
Ta có
1)
4
tan()
4
( ==

f
,
)(sec)('
2
xxf =
,


2)2()
4
(sec)
4
('
22
===

f
.
Vậy tại các điểm gần
4

hàm

là một xấp xỉ khá tốt của hàm
f
trong lân cận của điểm
0
x
. Đây là cách xấp xỉ đơn
giản, dễ tính toán, tuy nhiên độ chính xác không thật cao (chỉ là vô cùng bé bậc cao
hơn 1 mà thôi). Khi có nhu cầu tìm một xấp xỉ với độ chính xác cao hơn, ta phải tìm ở
ngoài lớp hàm affine, và lớp hàm tự nhiên đợc để ý tới sẽ là lớp các hàm đa thức, tức
là hàm số có dạng
n
no
xaxaaxP +++= )(
1
.
Lớp hàm này tuy là phi tuyến, nhng dễ tính toán, cho nên cũng rất phổ biến. Mở rộng
trực tiếp phơng pháp xấp xỉ một hàm bằng vi phân đã đa đến phơng pháp dùng đa
thức Taylor mô tả dới đây.

Chơng 7.
ứng dụng của đạo hàm11
4
7.2.2. Đa thức Taylor
Cho hàm số
f
có đạo hàm cấp cao hơn n tại
0

đợc gọi là đa thức Taylor bậc
n
tơng ứng với hàm
f
tại
0
x
.
Thí dụ
Tìm đa thức Taylor bậc 5 của hàm
xxf sin)( =
tại điểm
0
x
=0.
Ta có bảng tính đạo hàm cấp cao của hàm số
xsin
tại điểm
x = 0
nh sau:
.1)0cos()0()cos()(
,0)0sin()0()sin()(
,1)0cos()0()cos()(
,0)0sin()0()sin()(
,1)0cos()0()cos()(
,0)0sin()0()sin()(
)5()5(
)4()4(
===
===

!3
!3
)0(
)0()0()(
3
5
)3(
3
x
x
x
f
xffxP
=
+

+=

!5!3
!5
)0(
)0()0()(
53
5
)5(
5
xx
x
x
f

);();( axRaxP
nn
+
thờng đợc gọi là khai triển Taylor (bậc n) của hàm
f
(x).
Mệnh đề
Nếu
f
có đạo hàm liên tục tới cấp (n+1) trên [a,b] , thì tồn tại số
),( bac
sao cho
1
)1(
)(
)!1(
)(
),(
+
+

+
=
n
n
n
ab
n
cf
baR

=

+
+
+
=

nk
n
k
k
ab
n
ab
n
af
afbf

.
Xét hàm số
1
1
)(
)(
)!1(
)(
!
)(
)()()(
+

, tức là
nnn
cb
n
cbcf
n
ch )(
!
))((
!
1
)(0
)1(
+=

=
+

.
Suy ra
)(
)1(
cf
n+
=

và mệnh đề đã đợc chứng minh xong.
Nhận xét
Định lý trên cho thấy rằng khi đạo hàm cấp n+1 của
f

thì cũng tồn tại giới hạn
L
xg
xf
ax
=

)(
)(
lim
.
Chứng minh

Sử dụng Định lý Rolle cho hàm
)()]()([)()]()([)( ygxfafyfagxgyF +=

ta tìm đợc điểm

nằm giữa
a
và
x
sao cho
)()]()([)()]()([


fagxggafxf

=


a
và theo định lý giá trị trung bình
g(x)


0 tại những điểm
x

a
trong một
lân cận đủ bé của
a
.
Nh vậy từ đẳng thức trên ta suy ra
)(
)(
)(
)(


g
f
xg
xf


=
.
Để ý rằng khi
x

,g là các hàm khả vi liên tục trong lân cận điểm a và thỏa mãn
điều kiện
==

)(lim)(lim
xgxf
axax
. Khi đó nếu tồn tại giới hạn
L
xg
xf
ax
=



)(
)(
lim
thì cũng
tồn tại giới hạn
L
xg
xf
ax
=

)(
)(
lim

xg
xf
<
)('
)('
khi
1
||

< ax
.
Chú ý rằng với mỗi
0
x
thoả mãn
10
||

< ax
ta có
)(/)(1
)(/)(1
.
)()(
)()(
)]()()[(
)]()()[(
.
)()(
)()(


Đặt
)(/)(1
)(/)(1
),(
0
0
0
xfxf
xgxg
xxI


=
ta thấy
1),(lim
0
=

xxI
ax
cho nên tồn tại số dơng
1



sao cho
)2/(|1),(|
0
MxxI


< || ax

thì
+= .]11),([
)('
)('
),(
)('
)('
)(
)(
00
LxxI
xg
xf
LxxI
xg
xf
L
xg
xf





=++
M
MxxI

f
đạt cực trị trên (a,b) tại
),(
bac

thì nó cũng đạt cực trị địa phơng tại c, nhng điều ngợc lại không đúng.
Thí dụ hàm
|1|)(
2
=
xxf
đạt cực đại địa phơng tại x = 0, nhng không đạt cực đại
trên khoảng (-2,2) tại điểm đó.
Chơng 7.
ứng dụng của đạo hàm

11
7
Định lý
Cho hàm f xác định trên (a,b) và đạt cực trị địa phơng tại
),(
bac

. Nếu f khả vi
tại
c
thì
.0)( =

cf

0
x
và giả sử rằng
f
có
đạo hàm tại mọi điểm trong lân cận ấy.
i. Nếu khi x đi qua
0
x
mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dơng thì hàm số đạt cực
tiểu tại
0
x
.
ii. Nếu khi x đi qua
0
x
mà đạo hàm đổi dấu từ dơng sang âm thì hàm số đạt cực đại
tại
0
x

iii. Nếu khi x đi qua
0
x
mà đạo hàm không đổi dấu thì
0
x
không phải là cực trị .
Chứng minh Giả thiết điều kiện đầu tiên của định lýthoả mãn. Nếu


thì
f
(
c
) > 0, và nếu
x
>
0
x

thì
f
(
c
) < 0.
Chứng tỏ
f
(x) không thể đổi dấu từ âm sang dơng khi qua
0
x
, điều này trái với giả thiết.
Các điều kiện khác chứng minh tơng tự.
7.4.3. Điều kiện cực trị bậc 2
Mệnh đề
Cho hàm
f
khả vi liên tục trên (a,b) và có đạo hàm bậc hai liên tục tại điểm
),( bac
:

cf
thì
f
có cực đại địa phơng tại c.
Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh phần (i), phần còn lại chứng minh tơng tự.
Điều kiện cần: Tính suy biến của đạo hàm bậc nhất tại điểm c đã đợc chỉ ra trong Định
lý Fermat. Ta chỉ cần chứng minh tính không âm của đạo hàm bậc 2 tại điểm c. Từ khai
triển Taylor ta có
2
"
'
)(
!2
)(
))(()()(
cx
f
cxcfcfxf
++=


trong đó

là điểm nằm trong khoảng (x,c). Do
0)(
'
=
cf
nên với
c



luôn nằm giữa
x
và
c
). Điều
này có nghĩa rằng
f
(c) là không âm và điều kiện cần đã đợc chứng minh xong.
Điều kiện đủ: Giả sử
f
'
(
c
)
=
0
và
0)( >

cf
. Vì
0)("
)(')('
lim
)('
lim
00
>=

Mệnh đề
Hàm khả vi là đơn điệu tăng (giảm) khi và chỉ khi đạo hàm của nó không âm
(không dơng).
Chứng minh

()
Nếu f là hàm khả vi và đơn điệu tăng thì ta có
0
)()(


+
x
xfxxf
với mọi
0>
x
.
Suy ra
0
)()(
lim)(
0


+
=

+
x

với c là một điểm nào đó trên khoảng
),(
21
xx
. Từ đây ta suy ra rằng
)]()([
12
xfxf

là cùng dấu với
)(
cf

, và do đó
f
sẽ là đơn điệu tăng khi
f
' là không âm, và là đơn điệu
giảm khi
f
' là không dơng. Mệnh đề đã đợc chứng minh.
7.5.2. Tính lồi
Mệnh đề
Hàm khả vi là lồi khi và chỉ khi đạo hàm của nó là một hàm đơn điệu tăng.
Chứng minh
()
Nếu
f
là hàm lồi thì với mọi
)1,0(,,




.
Chơng 7.
ứng dụng của đạo hàm

11
9
Tơng tự ta cũng có
))(()()(
12112
xxxfxfxf



.
Bằng cách cộng 2 bất đẳng thức trên theo vế ta thu đợc
))](()([))(())((0
1221212121
xxxfxfxxxfxxxf



=

+


.

+>+
.
Đặt
bac )1(


+=
, ta có
a
<
c
<
b
và


=

(
b-c
)
/
(
b-a
)
. Nh vậy,
)()()(
bf
ab
ac

)()()()(
)(
21

f
ab
afbf
ac
afcf
f

=


>


=

.
Điều này mâu thuẫn với tính đơn điệu tăng của hàm

f'
(.), vì rõ ràng là
21

<
.
Mệnh đề đã đợc chứng minh đầy đủ.
Hệ quả

cc


và lồi trên khoảng
),(

+cc
.
Nhận xét
Có thể nói một cách ngắn gọn nh sau: Điểm uốn là điểm mà tại đó đồ thị hàm số
chuyển từ lõm sang lồi hoặc ngợc lại.
Từ mệnh đề ở phần trên, ta dễ dàng suy ra:
Mệnh đề
Giả sử tồn tại một số
0>

sao cho hàm số
)(
xfy
=
có đạo hàm bậc hai trên khoảng
),(


+
cc
. Khi ấy
i. Nếu
"
f

xxy
.
Ta có:
23
124'
xxy
=
;
xxy
2412"
2
=
;
0"=
y
khi
0=
x
hoặc
2=
x
. Vì y là tam
thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt nên qua điểm nghiệm
0
=x
và
2
=x
nó đổi
dấu. Chứng tỏ hàm số đổi miền lồi sang lõm hoặc lõm sang lồi. Đồ thị hàm số có hai

x
x
y
; 3)
x
xy
1
2 =
;
4)
xy =
; 5)
x
x
y
)sin(
=
; 6)
)tan(
2
xy =
;
7)
x
x
y
21
)3tan(
+
=

Bài 4
Giả sử
f
(
x
) là một hàm chẵn, hai lần khả vi liên tục và
f"
(
0
) khác 0. Chứng minh rằng
x =
0 là điểm cực trị của hàm số.
Bài 5
Cho







=
x
exf
1
)(
khi
0>x
và
f

y =
tan
(
x
) +
cot(x)

;

5)
)(
2
x
ey

=
; 6)
y =
arcsin
(
x
)

+

sin(
x
)
.
Bài 2 Tìm khai triển Taylor bậc 6 của các hàm số sau đây tại điểm

x
e
x
x
e
y
)sin(
)sin(
+=
; 6)
)1arcsin(
)2(
+=
+
xxey
x
.
3. Khảo sát hàm số và ứng dụng
____________________

3.1. Tính đơn điệu
Bài 1
Tính đạo hàm bậc nhất và khảo sát tính đơn điệu của các hàm số sau:
1)
x
exy
2
=
; 2)
)1ln(

Bài 1
Tìm các nghiệm âm của phơng trình
032
56
= xx
.
Bài 2
Giải bất phơng trình
).16()4(6
282
++< xxxx

Bài 3
Giải hệ phơng trình





=+++
=+++
=+++
xzzxz
zyyxy
yxxxx
)1ln(33
)1ln(33
)1ln(33
23
23

2
xaxx +

Bài 3
Chứng minh rằng với mọi
x
dơng thì
)cos(
2
1
2
x
x
<
.
Bài 4
Cho
2
0

<<< ba
. Chứng minh rằng
)sin()sin()]cos()[cos(2 bbaaab <
.
Bài 5
Chứng minh rằng
y
x
yxyx
+

2
+=
.
Bài 2
1)

2
x
xey

=
; 3)
x
exy += )
tan( .
3.5. Khảo sát các điểm đặc biệt của hàm số
Tìm các điểm đặc biệt (điểm cực trị,điểm uốn) của các hàm số sau:
Bài 1

1)

234
64 xxxy +=
; 2)
264
234
++= xxxy
.
Bài 2
1)

xx
y
++
+
= .
Bài 2
Chứng minh rằng với mọi
0a
, hàm số
1
2)1(
2
2
++
+++
=
xx
xax
y
luôn có cực trị.
Bài 3

Dùng đạo hàm cấp hai để tìm cực trị của các hàm số sau:
1)
22
)( xaxy =

2)
)(2
x

lim)1
0
2
0



x
xe
x
x
x
xx

)ln(
)ln(
lim)4;
1)cos(
)sin(
lim)3
00
ax
xx
ee
ax
x
xx




4
)sin(
)
1
sin(
lim)4;
1
lim)3
2
0
2
x
x
x
x
x
xx
+

.
Bài 3

Tính
)(cot
)sin(
lim
0
x
xx
x

xxx .
[>
diff(",x);
6x 6 2 cos(x).
Muốn có công thức tờng minh biểu diễn quá trình tính đạo hàm bậc 2 của một hàm
số, ta có thể thực hiện các thủ tục tơng tự nh đối với hàm
1
)(
+
=
x
x
xf dới dây:
[>
f:=x->x/(x+1);
[>

Diff(f(x),x);

[>
f_prime:=value(");

[>
simplify(");
[>
Diff(",x);
[>
f_prime:=value(");
(Các bạn hãy tự thực hiện trên máy và xem kết quả).