A. ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH:
I. SỐ PHỨC:
1. Định nghĩa:
(i: đơn vị ảo)
2. Phép toán:
- Cộng, trừ:

- Nhân:
- Chia:
3. Dạng lƣợng giác:
Cho = a + bi thì xác định nếu:
- Độ dài (môđun) của . Ký hiệu:
- Góc giữa Ox và gọi là arcgument của
.xác định hoặc
.=> a = rcos
.gọi là dạng lƣợng giác của
4. Khai căn số phức:
- Nếu có dạng lƣợng giác thì
Chú ý:
Ví dụ: tính
Giải
- Đổi 1 ra dạng lƣợng giác
II.ÁNH XẠ:
1. Định nghĩa:
Cho 2 tập X, Y . Một quy tắc f từ X Y, đặt tƣơng ứng mỗi phần tử x X với 1 phần tử duy nhất y Y
thì gọi là 1 ánh xạ X Y
Ký hiệu: f
X: TXĐ (tập nguồn)
Y: TGT (tập đích)
.thì viết y = f(x)
.x: tạo ảnh của y

( 1 3 2): vòng xích có độ dài 3
(4 6 7): vòng xích có độ dài 3
(5): vòng xích có độ dài 1
(8): vòng xích có độ dài 1
Vòng xích có độ dài 1 thì bỏ
Lúc đó:
.g = (1 3 2) (4 6 7)
.s(g) g chẳn (dấu của g = (-1) mũ độ dài từng vòng xícg + 1)
- Các kết quả:
Mệnh đề 1:
Dấu của tích của các phép thế bằng tích các dấu s(fg) = s(f).s(g)
Hệ quả: tích 2 phép thế chẳn là 1 phép thế chẳn.
Mệnh đề 2:
.s(f)
Mệnh đề 3:
Số phép thế chẳn = số các phép thế lẻ
III. MA TRẬN:
1. Định nghĩa:
Ma trận cở (m,n) trên trƣờng K là 1 bảng m hàng, n cột các số thuộc K, dạng
A =
Viết gọn
2. Phép toán:
- Cộng ma trận:
- Nhân 1 số với 1 ma trận:
- Nhân ma trận:
.trong đó mỗi hay tức là mỗi phần tử nằm ở hàng i, cột j của ma trận tích là đƣợc tính bằng
tổng của tích hàng i của ma trận A với các phần tử ở cột j của ma trận B
3. Các tính chất:
a) Cộng ma trận giao hoán: A + B = B + A
b) Cộng ma trận kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C

3. Cách tìm
- Phƣơng pháp 1:
Cho thì
Ví dụ:
Cho . Tìm
Ta có:
Vậy:
- Phƣơng pháp 2:
Dùng biến đổi sơ cấp để tìm với
Ta viết A cạnh ma trận đơn vị I cùng cấp dạng (A/I)
Sau đó dùng 3 phép biến đổi sơ cấp trên đồng thời các hàng của A và I
a) Đổi chỗ 2 hàng bất kỳ
b) Nhân 1 hàng nào đó với 1 số khác 0
c) Nhân 1 hàng nào đó với 1 số rồi cộng tƣơng ứng vào 1 hàng khác.
Sau 1 số hữu hạn phép biến đổi ta đƣa A thành I thì I biến thành
Ví dụ;
Vậy:
V.HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH:
1. Hệ Cramer:
Là hệ phƣơng trình gồm n hàng, n cột dạng:
Trong đó: thì có nghiệm duy nhất
Với mà mỗi là định thức thu đƣợc từ định thức D sau khi đã thay cột thứ j bởi cột các hệ tử tự do.
2. Hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát:
Hệ phƣơng trình (II) có thể viết gọn thành ma trận mở rộng của hệ phƣơng trình là:
Dùng 3 phép biến đổi sơ cấp sau đây trên các hàng của ma trận B
- Đổi chổ 2 hàng.
- Nhân 1 hàng với 1 số khác 0
- Nhân 1 hàng nào đó với 1 số rồi cộng tƣơng ứng vào 1 hàng khác thì ta đƣa ma trận B về
dạng và dể tính đƣợc nghiệm của hệ phƣơng trình.
Định lý: (Cronce-Kapely)

.gọi là tổng của x và y.
- Phép nhân vô hƣớng với các phần tử thuộc K là 1 ánh xạ
K
.gọi là tích của k với vectơ x.
Hai phép toán trên thỏa mãn 8 tiên đề sau:
a) x + y = y + x
b) x + (y + z) = (x + y) + z
c) : x + 0 = 0 + x = x
d) : x + (-x) = (-x) + x = 0
e) .k(x + y) = kx + ky
f) (k + l)x = kx + lx
g) (kl)x = l(kx)
h) 1x = x
2. Một số mô hình của không gian vectơ:
a) .
b) 2 phép toán:
c) = đa thức 1 ẩn x bậc tùy ý trên trƣờng R
d) = đa thức 1 ẩn x trên trƣờng R bậc n cho trƣớc
3. Cơ sở, số chiều, tọa độ:
- Định nghĩa cơ sở:
Hệ vectơ: e
1
,………….,e
n
(1) trong không gian vectơ V (trên K) gọi là hệ cơ sở của V nếu
thỏa mãn 2 điều kiện sau:
a) Hệ (1) là hệ độc lập tuyến tính. Nếu k
1
e
1

2

+…………. +a
n
e
n

- Tọa độ:
Nếu hệ (1) là hệ cơ sở của không gian V và x = a
1
e
1
+ ………+ a
n
e
n
thì bộ số
[a
1
,……… ,a
n
] gọi là tọa độ của x đối với cơ sở (1).
- Số chiều:
Số chiều của không gian vectơ V là số vectơ trong 1 cơ sở bất kỳ của V, ký hiệu là dimV.
Ví dụ 1:
R
n
có cơ sở chính tắc:
.=> dimR
n

Ma trận chuyển vị các hệ số trong sự biểu thị tuyến tính các vectơ trong hệ cơ sở (2) qua hệ cơ sở
(1) là gọi là ma trận chuyển cơ sở từ (1) sang (2).
5. Không gian con:
- Định lý: (tiêu chuẩn KGC):
Tập con A của không gian V (trên K) là không gian con của V
- Không gian con sinh bởi 1 hệ vectơ:
Cho 1 hệ vectơ thì tập hợp tầt cả các tổ hợp tuyến tính của hệ đã cho, ký hiệu: là 1 không
gian con của không gian V và là không gian con bé nhất của V chứa hệ. Không gian con đó
gọi là không gian con của V sinh bởi hệ vectơ
- Cơ sở của: là bộ phận độc lập tuyến tính tối đại trong hệ sinh
Muốn tìm một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của hệ (1) ta tìm hạng của ma trận tọa độ
của hệ (1) đối với 1 cơ sở nào đó của không gian V.
Sau đó lấy 1 hệ con độc lập tuyến tính của hệ (1) có số vectơ bằng hạng của hệ (1). Bộ
phận đó là cơ sở của
6. Tổng và tổng trực tiếp các không gian con:
- Tổng của 2 không gian con:
Cho 2 không gian con A,B V
Gọi tổng của A và B là không gian con
- Tồng trực tiếp:
Cho 2 không gian con A,B V mà:
V = A + B và thì V gọi là phân tích đƣợc thành tổng trực tiếp của các không gian con A,B.
Ký hiệu:
Ta cũng nói; B là không gian con bù của không gian con A trong V
- Định lý:
Mọi không gian con A của V đều tồn tại không gian con bù trong V
Chú ý:
Không gian con bù của A V không duy nhất.
.dimV = dimA + dimB
7. Không gian thƣơng:
Cho không gian con

Nếu S thì nhóm con của G sinh bởi S tức là nhóm con G sinh bởi a là <a> gọi là nhóm con Xiclic
của G sinh bởi a
Nếu nhóm G mà sao cho thì G gọi là nhóm Xiclic.
Cấu trúc của nhóm Xiclic:
. nhóm G thì
Có 2 loại nhóm Xiclic:
Nếu ta có nhóm Xiclic vô hạn
Nếu bé nhất sao cho thì ta có nhóm Xiclic hữu hạn cấp n
Ví dụ 1:
. là 1 nhóm Xiclic hữu hạn cấp n.
Giải:
1 có dạng là 1= cos0 + isin0
Khai căn:
Chứng minh là 1 nhóm
Phép nhân các số phức là phép toán đại số hai ngôi trên
Phép nhân trên có tính chất kết hợp
Ta có:
Do đó:
Vậy:
Ví dụ 2:
. thì là 1 nhóm, đơn vị là
Mệnh đề:
a) Mọi nhóm Xiclic vô hạn đều đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Z.
b) Mọi nhóm Xiclic hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với nhóm
Mệnh đề:
- Nhóm con của nhóm Xiclic là nhóm Xiclic.
- Nhóm thƣơng của nhóm Xiclic là nhóm Xiclic.
Mệnh đề;
Nếu G là nhóm Xiclic hữu hạn cấp n sinh bởi a thì cũng sinh ra G
Chứng minh:

e. Đồng cấu nhóm:
Định nghĩa:
Một ánh xạ f: gọi là đồng cấu nhóm nếu
( f bảo toàn phép toán của G, G’)
Một đồng cấu nhóm là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh thì gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu
nhóm G G’ ánh xạ đẳng cấu G G’ hoặc G’ G
Tính chất cơ bản của đồng cấu:
Cho f: G G’ là đồng cấu nhóm thì:
1. f(e) = e’
2. Tích 2 đồng cấu nhóm là 1 đồng cấu nhóm.
3. Ảnh của nhóm con là nhóm con, tạo ảnh toàn phần của nhóm con chuẩn tắc là nhóm con
chuẩn tắc.
4. f: G G’ là đơn cấu Kerf =
Hệ quả tính chất 3:
5. Định lý đồng cấu nhóm:
Nếu f: G G’ là toàn cấu nhóm thì
Nếu f: G G’ là đồng cấu nhóm thì
Ứng dụng để mô tả nhóm thƣơng của 1 nhóm G theo 1 nhóm con chuẩn tắc H G
Cụ thể là: Cho H G để tìm nhóm thƣơng G/H
Ta tìm 1 nhóm G’ và 1 toàn cấu nhóm f: G G’ sao cho Kerf = H
Theo định lý đồng cấu nhóm thì và ta xem G/H là G’.
Ví dụ:
Tìm
Giải:
Lập f: f là toàn cấu nhóm
. và f(A) =
Ta có:
Kerf =
Theo định lý đồng cấu nhóm thì
f. Định lý Lagrange và hệ quả:

3. Trƣờng:
Một vành X giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn 1 phần tử mà mọi phần tử khác 0 trong X đều
khả nghịch thì gọi là 1 trƣờng.
Ví dụ:
Vành là 1 trƣờng p là 1 số nguyên tố
.là 1 vành, giao hoán, có đơn vị là p nguyên tố thì mà
Giả sử 0<a<p
Do p nguyên tố và 0<a<p
(mà )
.cần tìm
Vậy là 1 trƣờng.
Ngƣợc lại, là 1 trƣờng thì p>1 thì
Đặt
.=> p nguyên tố
b. Vành con, trƣờng con:
Định lý tiêu chuẩn vành con:
Tập con A của vành V
Định lý tiêu chuẩn trƣờng con:
Tập con A của trƣờng X:
c. Iđêan:
1. Định lý tiêu chuẩn Iđêan:
Tập con A của 1 vành V
Với mọi vành V đều tồn tại 2 vành con , V là 2 vành con tầm thƣờng và là 2 Iđêan tầm
thƣờng của V
2. Iđêan sinh bởi 1 tập:
- Định lý:
Giao của 1 họ tùy ý các Iđêan của 1 vành v là 1 Iđêan của V
- Định nghĩa Iđêan sinh bởi 1 tập:
Cho B là 1 tập con của vành V: B V. Giao của tất cả các Iđêan của V chứa B sẽ là Iđêan bé nhất
của V chứa B, Iđêan đó đƣợc gọi là Iđêan sinh bởi B

4. f đơn cấu vành
5. Định lý đồng cấu vành:
Nếu f : X Y là 1 toàn cấu vành thì
f. Vành chính, vành Euclide, vành Gauxơ:
1. Iđêan chính:
Một Iđêan A của vành X giao hoán, có đơn vị đƣợc gọi là Iđêan chính nếu A đƣợc sinh bởi 1
phần tử a A
Một vành X đƣợc gọi là vành chính nếu mọi Iđêan của X đều là Iđêan chính.
Ví dụ:
Z là vành chính
Chứng minh;
(<=) A=mZ thì vì
(=>) Cho A X bất kỳ. Xét 2 trƣờng hợp:
A = => A = 0Z
A =>
Từ a A=> -a A vì A Z
Trong 2 phần tử a,-a A thì có 1 phần tử là số tự nhiên >0
Xét tập con các số nguyên dƣơng Athì do N sắp thứ tự tốt nên mọi tập con của nó đều có
phần tử bé nhất, gọi số đó là m
Ta chứng minh A=mZ
.do do
Ta chia a cho m
.a = mq + r ,0 r < m => r = a – mq A do giả thuyết về m thì r = 0
.=> a = mq mZ => A mZ
Vậy A = mZ => Z là vành chính
Mệnh đề 1:
Trong 1 vành chính X thì UCLN của các phần tử luôn luôn tồn tại
Mệnh đề 2:
Nếu d = UCLN thì sao cho d =
Mệnh đề 3: