Chuyên đề 5: BẤT ĐẲNG THỨC
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Số thực dương, số thực âm:
• Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0
• Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0
• Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu
x ≥ 0

• Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu
0
≤
x

Chú ý:
• Phủ đònh của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề "
0
≤
a
"
• Phủ đònh của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề " "
a ≥ 0
II. Khái niệm bất đẳng thức:
1. Đònh nghóa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức
là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a
Ta có:
a>b⇔a−b>0

• Nếu a>b hoặc a=b, ta viết . Ta có:
a ≥ b

a-b ≥ 0

>
⎩
2. Tính chất 2:
a>b⇔a+c>b+c

Hệ quả 1:
a>
b
⇔
a
−
c
>
b
−
c

Hệ quả 2:
ac b a bc
+
>⇔>−

3.
Tính chất 3:
ab
ac bd
cd
⎧
>
⇒+>+

>⇔
⎨
⎪
<
⎪
⎩19

5. Tính chất 5:
0
0
ab
ac bd
cd
⎧
>>
⇒>
⎨
>>
⎩
6.
Tính chất 6:
11
ab00
ab
>>⇔< <

7.

( x )
nếu x < 0
⎧
≥
=∈
⎨
−
⎩
x
x
R
x

2.
Tính chất :
2
2
x≥0 , x =x , x ≤x , -x ≤x

3. Với mọi
a,b ∈ R
ta có :
•
a+b≤a+b

•
a−b≤a+b

•
a+b=a+b⇔a.b≥0

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b

Cho ba số không âm a; b; c ta có :
3
3
+
+
≥
abc
abc

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Tổng quát :
Cho n số không âm a
1
,a
2
, a
n
ta có :

12
12

.
n
n
n
aa a

2
≥ab+bc+ca
với mọi số thực a,b,c
2.
a
2
+b
2
+1≥ab+a+b
với mọi a,b

2.
Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp

Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng
minh.
Ví dụ 1: a) Cho hai số dương a và b thoả mãn
3a 2b 1
+
=
. Chứng minh:
1
ab
24
≤

b) Cho hai số dương a và b thoả mãn
ab 1
=
. Chứng minh:

Ví dụ 4: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng :
≥ 9
+ +
+
+
+
+
+
+
c
a b c
b
a b c
a
a b c

Ví dụ 5: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng : 3
bc ca ab
abc
abc
+
++
+
+≥+++

ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GTLN & GTNN CỦA MỘT HÀM SỐ

Ví dụ 1
: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số :
y(x2)(3x)


Hết
21

TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
ĐỀ SỐ 1:
Câu 1: Giátrò nhỏ nhất của hàm số
2
1
y2x ,x0
x
=+ >
là
(A)
3
(B) 1 (C)
22
(D)
3
33
Câu 2: Giá trò nhỏ nhất của hàm số
3
1
y3x ,x0
x
=
+>

−
là
(A)
22 5+
(B)
22 5−
(C)
22
(D)
22−

Câu 5: Giá trò lớn nhất của biểu thức
22
S45x 2y 2xy8x2y
=
−−+++ với là
x,y∈ \
(A) (B)
9−
1
9
(C)
1
9
−
(D)
9 Hết