Chuyên đê : Bất đẳng thức

Nguyễn Công Minh
Chuyên đề : Bất đẳng thức
A- Mở đầu:
Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông .
Nhng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và sâu sắc
hơn về giải và biện luận phơng trình , bất phơng trình ,về mối liên hệ giữa các yếu tố
của tam giác về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Trong quá trình giải
bài tập , năng lực suy nghĩ , sáng tạo của học sinh đợc phat triển đa dang và phong phú
vì các bài tập về bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả.
Nó đòi hỏi ngời đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với
kiến thức mới một cách lôgíc có hệ thống.
Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu , không theo một phơng pháp
nhất định nên học sinh rât lúng túng khi giải toán về bất đẳng thức vì vậy học sinh sẽ
không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hơng nào .Do đó hầu hết học sinh không biết làm
toán về bất đẳng thứcvà không biết vận dụng bất đẳng thức để giải quyết các loại bài tập
khác.
Trong thực tế giảng dạy toán ở trờng THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh
bất đẳng thức và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài tập có liên quan là công
việc rất quan trọngvà không thể thiếu đợc của ngời dạy toán ,thông qua đó rèn luyện
T duy lôgic và khả năng sáng tạo cho học sinh .Để làm đợc điều đó ngời thầy giáo phải
cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản và một số phơng pháp suy nghĩ ban đầu
về bất đẳng thức .
Chính vì lí do trên nên tôi tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức nhằm mục
đích giúp học sinh học tốt hơn.

Danh mục của chuyên đề
S.t.t Nội dung trang
1.
Phần mở đầu

11.
Phơng pháp 7: dùmg bát đẳng thức tam giác 16
12.
Phơng pháp 8: dùng đổi biến
17
13.
Phơng pháp 9: Dùng tam thức bậc hai
18
14.
Phơng pháp 10: Dùng quy nạp toán học 19
15.
Phơng pháp 11: Dùng chứng minh phản chứng 21
16.
Các bài tập nâng cao 23
17. ứng dụng của bất dẳng thức
28
18.
Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 29
19.
Dùng bất đẳng thức để: giải phơng trình hệ phơng trình 31
20.
Dùng bất đẳng thức để : giải phơng trình nghiệm nguyên 33
21.
Tài liệu tham khảo
Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 2


Chuyên đê : Bất đẳng thức

Nguyễn Công Minh

Phần I : các kiến thức cần lu ý
1-Đinhnghĩa

0
0
A B A B
A B A B






2-tính chất
+ A>B
AB
<
+ A>B và B >C
CA
>
+ A>B

A+C >B + C
+ A>B và C > D

A+C > B + D
+ A>B và C > 0

A.C > B.C
+ A>B và C < 0

với n chẵn
+ m > n > 0 và A > 1

A
m
> A
n

+ m > n > 0 và 0 <A < 1

A
m
< A
n

+A < B và A.B > 0


BA
11
>
3-một số hằng bất đẳng thức

+ A
2


0 với

A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )


Nguyễn Công Minh
Phần II : một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Ph ơng pháp 1 : dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B
Ta chứng minh A B > 0
Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M
2


0 với M
Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng :
a) x
2
+ y
2
+ z
2


xy+ yz + zx
b) x
2
+ y
2
+ z
2

2xy 2xz + 2yz


1
[ ]
0)()()(
222
++
zyzxyx
đúng với mọi x;y;z
R
Vì (x-y)
2


0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)
2


0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)
2


0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x
2
+ y
2
+ z
2



2xy 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z
R
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu
x
2
+ y
2
+ z
2
+3 2( x+ y +z )
= x
2
- 2x + 1 + y
2
-2y +1 + z
2
-2z +1
= (x-1)
2
+ (y-1)
2
+(z-1)
2

0
Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a)


Chuyên đê : Bất đẳng thức

Nguyễn Công Minh
giải
a) Ta xét hiệu
2
22
22






+

+
baba

=
( )
4
2
4
2
2222
bababa
++


baba
Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu

2
222
33






++

++
cbacba
=
( ) ( ) ( )
[ ]
0
9
1
222
++ accbba
Vậy
2
222
33


n
aaa
nn
Tóm lại các bớc để chứng minh A

B tho định nghĩa
Bớc 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bớc 2:Biến đổi H=(C+D)
2
hoặc H=(C+D)
2
+.+(E+F)
2
Bớc 3:Kết luận A B
Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99)
Chứng minh m,n,p,q ta đều có
m
2
+ n
2
+ p
2
+ q
2
+1 m(n+p+q+1)
Giải:
01
4444
2
2



++








+
m
m
qmq
m
pmp
m
nmn
m
01
2222
2222








Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 6


Chuyên đê : Bất đẳng thức

Nguyễn Công Minh
Dấu bằng xảy ra khi











=
=
=
=
01
2
0
2
0
2
0
2

m
n




===
=
1
2
qpn
m
Bài tập bổ xung
Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 7


Chuyên đê : Bất đẳng thức

Nguyễn Công Minh
phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
L u ý:
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc
bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng.
Chú ý các hằng đẳng thức sau:

( )
22
2
2 BABABA
++=+

22222
Giải:
a)
ab
b
a +
4
2
2

abba 44
22
+
044
22
+
baa

( )
02
2

ba
(bất đẳng thức này luôn đúng)
Vậy
ab
b
a +
4
2

c)
( )
edcbaedcba
+++++++
22222


( ) ( )
edcbaedcba
+++++++
44
22222
( ) ( ) ( ) ( )
044444444
22222222
+++++++
cacadadacacababa


( ) ( ) ( ) ( )
02222
2222
+++
cadacaba
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng:

)(a
6
-b
6
)

0

a
2
b
2
(a
2
-b
2
)
2
(a
4
+ a
2
b
2
+b
4
)

0
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

2
+y
2


22
( x-y)


x
2
+y
2
-
22
x+
22
y

0

x
2
+y
2
+2-
22
x+
22
y -2

++
yxyyyx

Ryx

,
2)CM:
cbacba
++++
222
(gợi ý :bình phơng 2 vế)
3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:






++<++
=
zyx
zyx
zyx
111
1..
Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
(đề thi Lam Sơn 96-97)
Giải:
Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(

xyyx 2
22
+
b)
xyyx
+
22
dấu( = ) khi x = y = 0
c)
( )
xyyx 4
2
+
d)
2
+
a
b
b
a
2)Bất đẳng thức Cô sy:
n
n
n
aaaa
n
aaaa
....
....
321





CBA
cba



3
.
33
CBAcbacCbBaA
++++

++
Nếu





CBA
cba



3
.
33

bccb 4
2
+
;
( )
acac 4
2
+


( )
2
ba +
( )
2
cb +
( )
2
ac +

( )
2
222
864 abccba
=


(a+b)(b+c)(c+a)

8abc

,y
0

thỏa mãn
12
=
yx
;CMR: x+y
5
1


ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và
1
222
=++
cba
chứng minh rằng
3 3 3
1
2
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +
Giải:
Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 10


Chuyên đê : Bất đẳng thức







+
+
+
+
+
++

+
+
+
+
+
ba
c
ca
b
cb
acba
ba
c
c
ca
b
b

cb
a
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
3
1
ví dụ 4:
Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )
10
2222
+++++++++
acddcbcbadcba
Giải:
Ta có
abba 2
22
+

cddc 2
22
+
Do abcd =1 nên cd =
ab
1
(dùng
2
11
+
x
x




++






+
bc
bc
ac
ac
ab
ab
Vậy
( ) ( ) ( )
10
2222
+++++++++
acddcbcbadcba
ví dụ 5: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:

222222
)()( dcbadbca
++++++
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
tacó ac+bd

.1.1.1)(111 cbacba
++++++


3
( )
( )
acbcabcbacba
+++++++
2
222222


acbcabcba
++++
222
Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Ph ơng pháp 4 : Sử dụng tính chất bắc cầu
L u ý: A>B và b>c thì A>c
Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 11


Chuyên đê : Bất đẳng thức

Nguyễn Công Minh
0< x <1 thì x
2
<x
ví dụ 1:


ab> ad+bc (điều phải chứng minh)
ví dụ 2:
Cho a,b,c>0 thỏa mãn
3
5
222
=++
cba
Chứng minh
abccba
1111
<++
Giải:
Ta có :( a+b- c)
2
= a
2
+b
2
+c
2
+2( ab ac bc)

0


ac+bc-ab

2

(1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
Do c <1 nên 1- c >0 ta có


(1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c


(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)
=1-a-b-c-d+ad+bd+cd


(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
(Điều phải chứng minh)
ví dụ 4
1- Cho 0 <a,b,c <1 . Chứng minh rằng

accbbacba
222333
3222
+++<++
Giải :
Do a < 1


1
2
<
a
và
Ta có

a
>
3
a
,
2
b
>
3
b
Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 12


Chuyên đê : Bất đẳng thức

Nguyễn Công Minh
Từ (1) và (2)

1+
2
a
2
b
>
3
a
+
3
b
Vậy

+
Cộng các bất đẳng thức ta có :

accbbacba
222333
3222
+++++
b)Chứng minh rằng : Nếu
1998
2222
=+=+
dcba
thì ac+bd =1998
(Chuyên Anh 98 99)
Giải:
Ta có (ac + bd)
2
+ (ad bc )
2
= a
2
c
2
+ b
2222
2 daabcdd
++
22
cb
+

( ) ( )
2
22
1998
=++
bcadbdac


1998
+
bdac
2-Bài tập : 1, Cho các số thực : a
1
; a
2
;a
3
.;a
2003
thỏa mãn : a
1
+ a
2
+a
3
+ .+a
2003
=1
c


1

cba
Ph ơng pháp 5: dùng tính chấtcủa tỷ số
Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 13


Chuyên đê : Bất đẳng thức

Nguyễn Công Minh
Kiến thức
1) Cho a, b ,c là các số dơng thì
a Nếu
1
>
b
a
thì
cb
ca
b
a
+
+
>
b Nếu
1
<
b
a

<
++
+
++
+
++
+
++
<
bad
d
adc
c
dcb
b
cba
a
Giải :
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có

dcba
da
cba
a
cba
a
+++
+
<
++

ab
dcb
b
dcba
b
+++
+
<
++
<
+++
(4)

dcba
cb
adc
c
dcba
c
+++
+
<
++
<
+++
(5)

dcba
cd
bad

ví dụ 2 :
Cho:
b
a
<
d
c
và b,d > 0 .Chứng minh rằng
b
a
<
d
c
db
cdab
<
+
+
22
Giải: Từ
b
a
<
d
c
22
d
cd
b
ab

tìm giá trị lớn nhất của
d
b
c
a
+
Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 14


Chuyên đê : Bất đẳng thức

Nguyễn Công Minh
giải : Không mất tính tổng quát ta giả sử :
c
a

d
b

Từ :
c
a

d
b


d
b
dc

b, Nếu: b=998 thì a=1

d
b
c
a
+
=
dc
9991
+
Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999
Vậy giá trị lớn nhất của
d
b
c
a
+
=999+
999
1
khi a=d=1; c=b=999
Ph ơng pháp 6: Phơng pháplàm trội
L u ý:
Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 15