CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
1. Các công thức cơ bản
sin
tan
cos
a
a
a
với
2
a k
cos
cot
sin
a
a
a
với
a k
tan .cot 1
a a
sin
a
a
2. Công thức cộng và trừ
a. Với sin và cos
sin sin .cos cos .sin
a b a b a b
cos cos .cos sin .sin
a b a b a b
sin sin .cos cos .sin
a b a b a b
cos cos .cos sin .sin
a b a b a b
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
1
cos .sin sin( ) sin( )
2
a b b a a b
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
a. Công thức sin và cos
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
sin( )
cot cot
sin .sin
b a
a b
a b
5. Công thức nhân đôi và nhân ba, nhân bốn
2 2
sin 2 2sin .cos
(sin cos ) 1 1 (sin cos )
a a a
a a a a
2 2 2 2
4 4
cos2 2cos 1 1 2sin cos sin
cos sin
3 2
2
sin3 3sin 4sin sin 3 4sin
sin 4cos 1 sin 2cos 1 2cos 1
a a a a a
a a a a a
3 2
2
cos3 4cos 3cos cos 4cos 3
cos 1 4sin cos 1 2sin 1 2sin
a a a a a
a a a a a
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
2
4 2
sin 4 4sin 2sin
a a a
4 2
a
a
2
2
2
cos 1 cos2
cot
1 cos2
sin
a a
a
a
a
3
cos3 3cos
cos
4
a a
a
3
2. Bỏ pi hay lẻ lần pi thì thành cộng biến thành trừ
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
x x
x x
x x
x x
TQ:
sin( 2 ) sin
k x x
TQ:
sin( 2 ) sin
k x x
cos( 2 ) cos
k x x
3. Bỏ pi trên hai
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
x x
x x
x x
x x
d. Đổi dấu
sin sin
cos cos
x x
x x
t
a
t
t t
a a
t
t
t
a
t
Một số công thức khác
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
Tương tự: cos sin 2 cos 2 cos 2 sin 2sin
4 4 4 4
a a a a a a
3 3 2 2
sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cos
x x x x x x x x x x x x
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
2
2 2
1 sin 2 sin cos 2sin cos sin cos
x x x x x x x
2 2 2
1 sin 2 sin cos 2sin cos (sin cos )
x x x x x x x
2 2
sin 2
sin cos ,1 cos2 2cos ,1 cos2 2sin
2
x
x x x x x x
/2
5/6
3/4
2
/3
-/6
-
/4
-/3
-1/2
- 2/2
- 3/2
-1/2- 2/2- 3/2
3/2
2/2
1/2
3/2
2/2
1/2
A
/3
/4
/6
3
/3
Hoặc: Đường tròn lượng giác
Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ
cos ;sin
M
ứng với mỗi góc
ta sẽ được
một điểm M cụ thể trên đường tròn
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
2
3
3
4
5
6
2
sin
0
1
2
2
2
3
2
2
3
2
-1 1
tan
0
3
3
1
3
kxđ
3
-1
3
3
0 0
cot
Để giải được phương trình lượng giác chúng ta nắm được các bước giải sau
Bước 1: Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa (nếu có). Điều kiện gồm, phương trình chứa
mẫu, chứa cot hoặc tan, chứa căn bậc chẵn…
Cụ thể:
- Phương trình chứa
tan
x
, điều kiện: cos 0 ,
2
x x k k
.
- Phương trình chứa
cos cos
2 2
1 1
sin sin
2 2
x x
x x
ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm,
khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là:
2
2
2
2
1
cos
2cos 1 0 cos2 0
2
1 cos2 0
2sin 1 0
sin 1 sin 1
cos 1
cos 1
x x
x
x
ta không nên hạ bậc, mà nên biến đổi dựa vào
công thức
2 2
sin cos 1
x x
. Lúc đó:
2 2
2 2
sin 1 cos 0 cos 0
sin 0
cos 1 sin 0
x x x
cos2 2cos 1
x x
để phương trình trở thành phương trình bậc hai với cosx
Tương tự với phương trình
sin cos2 0
x x
Khi đặt ẩn phụ
sin , cos
t x t x
thì điều kiện của t là
1
t
. Khi đặt ẩn phụ
2 2
sin , cos
t x t x
thì điều kiện của t là
0 1
t
. Khi đặt ẩn phụ
sin cos
t x x
Dạng 2:
2
cos cos ,
2
u v k
u v k
u v k
Dạng 3:
tan tan
,
,
2
u v u v k
k
u v k
Đặc biệt:
tan 0
,
tan 1
4
x x k
Đặc biệt:
cot 0
2
,
cot 1
4
x x k
k
x x k
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
7
a b c
phương trình vô nghiệm
- Nếu
2 2 2
a b c
khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2
Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho
2 2
a b
, ta được
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
Vì
2 2
2 2 2 2
1
a b
a b a b
x k k
thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không?
Bước 2: Với cos 0 2 ,
2
x
x k k
Đặt
tan
2
x
t suy ra
2
2 2
2 1
sin , cos
1 1
t t
x x
t t
.
sin cos 0
x x k k
sử dụng công thức sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau
2 2 2 2
sin cos
a b a x b x a b
từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các
hàm số có dạng
sin cos
y a x b x
,
sin cos
sin cos
a x b x
sin , cos
10 10
. Lúc đó phương trình viết được dưới dạng
cos sin 2 sin cos2 sin sin(2 ) sin
2 2
,
2 2
2
x x x x
x k
x k
k
x k
x k
sin 2 , cos2
1 1
t t
x x
t t
Phương trình sẽ có dạng
2
2 2
2 2
2 1
3 3 2 3(1 ) 3(1 ) 3
1 1
t t
t t t t
t t
Hay tan 3 tan ,x x k k
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Chú ý:
Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có
một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau:
Thí dụ 2: (Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội 2000) Giải phương trình sau:
2 2 sin cos cos 3 cos2
x x x x
Giải:
Phương trình
2 2 sin cos cos 3 cos2
x x x x
2sin 2 1 cos2 3 2
x x
Ta có
32 36
(đúng)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn
chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau
Thí dụ 3: Giải phương trình
(1 3)sin (1 3)cos 2
x x
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
9
Giải:
Cách 1:
Thực hiện phép biến đổi
PT
1 3 1 3 2 1
sin cos
2 2 2 2 2 2 2
x x
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Cách 2:
Biến đổi phương trình về dạng
(sin cos ) 3(sin cos ) 2 2 sin 6 cos 2
4 4
1 3 1 1
sin cos sin cos cos sin
2 4 2 4 4 3 4 3
2 2
2
2
312 4
sin sin
4 3 4
2
12 4
x x x x x x
x x x x
x k
x k
,
5
2
6
k
k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn.
Bài trên cũng có thể sử dụng cách đặt
tan
2
x
t
và ta cũng thu được nghiệm chẵn
Thí dụ 4: (ĐH – D 2007) Giải phương trình:
2
x x
1
sin
3 2
x
2 2
3 6
6
,
5
2 2
3 6 2
x k x k
k
x k x k
thoả mãn
2 2 2 2
0
a b c d
và
,
P x Q x
không đồng thời là các hàm hằng số. Bằng phép chia cho
2 2
a b
ta có (*)
sin ( ) sin ( )P x Q x
hoặc
(*)
k
x x k x
k
k
x x k x
Vậy phương trình có nghiệm là
, ,
18 3 6 2
k k
x x k
Thí dụ 6: Giải phương trình:
x x k
2 2
6 12
,
3
12 2
8 62
x k x k
k
x x
và
2 3sin cos 3sin 2
x x x
, không
còn hệ số tự do và chuyển cung 2x sang một bên, cung 1x sang một bên thì bài toán trở thành bài toán cơ
bản nhưng mở rộng của bài phương trình bậc nhất đổi với sin và cos nên ta có lời giải sau
Cách 1:
2 cos 3sin cos cos 3sin 1 cos2 3sin2 cos 3 sin
x x x x x x x x x
(*)
Chia hai vế cho 2 và biến đổi thành
2
2
3
cos 2 cos 2 2 ,
2
3 3 3 3
3
x k
x x x x k k
x k
3
sin 2 sin ,
2
6 6
2 2
6 6
3
x x x x
x x k
x k
x x k
x x k
x k
tan 3 2
2 3
x x x x
x x x x
x
x k
k
x
x k
2cos 1 cos 1 3sin 2cos 1 0 2cos 1 3sin cos 1 0
x x x x x x x
2
2
1
cos
3
2cos 1 0
2
2 ,
1
3sin cos 1 0
cos
2
3 2 2
3
x k
x
x
x k k
Sử dụng đường tròn lượng giác tổng hợp nghiệm ta thấy
Với nghiệm
2
x k
tương ứng trên đường tròn là điểm
M
1
Với nghiệm
2
2
3
x k
tương ứng trên đường tròn là điểm M
2
Với nghiệm
2
2
Chú ý:
- Ta cũng có thể biến đổi về sin như sau
1
3sin cos 1 0 sin sin
6 2 6
x x x
- Ta có bài toán tổng quát như sau khi xuất hiện
cos2
x
(hoặc
2
sin
x
hoặc
2
cos
x
),
sin 2 ,sin ,cos
x x x
và
Từ đó sẽ xuất hiện nhân tử chung (với các hệ số
, , , ,
a b c d e
theo một tỉ lệ nào đó), với dạng bài này đề
thi khối D năm 2010 (xem ở mục kĩ năng đưa về phương trình tích)
Tương tự: Giải phương trình
6 6
8 sin cos 3 3sin 4 3 3 cos2 9sin 2 11
x x x x x
Phương trình
2
3
8 1 sin 2 6 3sin 2 cos2 3 3cos2 9sin 2 11 0
4
x x x x x
x
x x
x
x k
x k
x k
x k
sin cos sin 2 3cos3 2 cos4 sin
x x x x x x
Giải:
Phương trình
2
sin 1 2sin cos .sin2 3cos3 2cos4
x x x x x x
1 3
sin3 3 cos3 2cos4 sin3 cos3 cos4
2 2
x x x x x x
cos4 cos 3
6
x x
4 3 2
6
x x k
1 3 1
sin sin3 sin 3 cos3 2 cos4 sin sin3
2 4 4
x x x x x x x
1 3 3 1
sin3 sin 3cos3 2cos4 sin sin3
2 2 2 2
x x x x x x
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
13
1 3
sin3 3 cos3 2cos4 sin3 cos3 cos4
2 2
x x x x x x
Vậy phương trình có nghiệm là
2
, 2 ,
42 7 6
k
x x k k
2
8sin 4cot 2
6 sin2
x x
x
2 2
4sin sin 2 1 2cos2 2 3sin cos .sin 2 3sin – cos 0
6
x x x x x x x x
( 3sin cos )(2sin 2 3sin cos ) 0
3sin cos 0
2sin2 3sin cos 0
x x x x x
x x
x x x
x
Các nghiệm trên đều thỏa mãn (*). Vậy phương trình có 3 nghiệm trên
Thí dụ 10: Giải phương trình
tan 3cot 4 sin 3cos
x x x x
Giải:
x x x
x x x
3 3
2cos cos cos 0
2 6 2 6 2 2
3
4cos sin sin 0
2 6 3 2 6
x x x
x x
x
cos
x
là phương trình.
2 2
sin sin .cos cos
a x b x x c x d
(1) trong đó a, b, c, d
b. Cách giải :
Cách 1:
Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử
2
sin
x
hoặc
2
cos
x
hoặc
sin .cos
x x
.
Chẳng hạn nếu chia cho
2
cos
x
.
Cách 2:
Dùng công thức hạ bậc
2 2
1 cos2 1 cos2 sin 2
sin ;cos ;sin .cos
2 2 2
x x x
x x x x
đưa phương trình đã
cho về phương trình sin 2 ( )cos 2
b x c a x d c a
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải (dạng 1)
Chú ý:
- Khi
0
d
thì
2 2
sin sin .cos cos 0
a x b x x c x
gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2
- Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n
3) với dạng tổng quát
Giải:
Nhận xét 1: Đây là phương trình đẳng cấp bậc 3 nên ta giải như sau
Cách 1:
Thay
cos 0 ,
2
x x k k
vào phương trình ta được
3
sin 0 sin 0
x x
nên ,x k k
không phải là nghiệm của phương trình
Khi
cos 0
x
chia cả hai vế của phương trình cho
3
cos
x
3
x k
k
x k
Nhận xét 2: Ta nhận thấy có các nhân tử chung và các hệ số tương ứng tỉ lệ nên ta có lời giải sau
Cách 2:
Phương trình
3 2 3 2
sin sin cos 3 cos 3sin cos 0
x x x x x x
Vậy phương trình có các nghiệm là ; ,
2 2 2 2
sin sin cos 3 cos cos sin 0
sin cos2 3cos cos2 0
cos2 sin 3cos 0
cos2 0
2 2
;
sin 3 cos
3
x x x x x x
x x x x
x x x
x k
x
k
x x
x k
1 3 4sin cos cos 3sin 4sin cos
cos
x
x x x x x x
x
Nhận xét: Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho
3
cos
x
Ta được
2 2
2 2
3 2 2
1 tan
3 4tan 1 tan 3tan 1 tan 4tan
cos cos
3tan tan tan 1 0 tan 1 3tan 2tan 1 0
x
x x x x
x x
x x x x x x
tan 1 ,
sin 2
sin cos 1 tan
x x x
x
x x x
hoặc
2
2
2
2sin cos
2tan
cos
sin 2 2sin cos
1
1 tan
cos
x x
x
x
x x x
x
x
từ đó ta đặt
tan
t x
(thỏa mãn (*))
Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm ,
4
x k k
Cách 3: Phân tích hệ số
3 1 2
Ta có phương trình
1 tan 2tan 4sin cos
x x x x
2
sin cos 2cos 1
2sin 0
cos cos
x x x
x
x x
,
4
x k k
(Vì phương trình
sin 2 cos2 2
x x
vô nghiệm)
Cách 4: Phân tích hệ số
1 3 2
Ta có phương trình
3 1 tan 2 1 sin
x x
2
2
x k k
(Vì phương trình
sin 2 cos2 2
x x
vô nghiệm)
Thí dụ 3: (ĐHQG HCM – 1998) Giải phương trình:
3
sin 2 sin
4
x x
Giải:
Cách 1:
Ta nhận thấy sin
4
x
Xét với cos 0 2 ,
2
x x k k
. Khi đó phương trình có dạng
3
sin 4sin
2 2
k k
mâu thuẫn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
17
Vậy phương trình không nhận
2
2
x k
làm nghiệm
Từ phương trình (*)
3 2
(*) (sin cos ) 4sin (sin cos )(sin cos ) 4sin
x x x x x x x x
2 2
(sin cos )(1 2sin cos ) 4sin cos 3sin 2sin cos 2sin
cos 0
x x x x x x x x x x x
2 2
cos ( 2sin 1) sin (2cos 3) 0 cos (cos2 2) sin (cos2 2
) 0
x x x x x x x x
(cos2 2)(cos sin ) 0 cos2 2
x x x x
(loại) hoặc tan 1 ,
4
x x k k
Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm ,
4
t t t t k k
Với
3
,
2 4
t k x k k
Cách 3.1: Từ phương trình (**) ta thấy nếu
sin 0 cos 1
x x
thì phương trình (**) vô nghiệm nên
sin 0
x
. Chia cả hai vế của (**) cho
3
sin
x
ta được phương trình
Giải:
Điều kiện
cos 0
2
,
tan 1
4
x k
x
k
x
x k
2 2
3 2 2
1 tan 1 tan tan 1 tan
tan tan 2tan 0 tan tan 2 tan 0 (*)
x x x x
x x x x x x
(do
2
tan tan 2 0
x x
vô nghiệm) nên:
Phương trình (*) tan 0 ,x x k k
Cách 2:
Biến đổi phương trình về dạng
2
2
2
cos
cos sin 2
4
cos sin 2sin cot
ta được:
3 2
2
2
2 0 1 2 0 1
1
t t t t t t t
t
Hay
cot 1 ,
4 4 4
x x k x k k
Vậy phương trình có một họ nghiệm là ,x k k
sin 0 ,x x k k
(Vì phương trình
sin 2 cos2 3 0
x x
vô nghiệm)
Cách 4: Đặt
2
2
tan sin 2
1
t
t x x
t
ta được phương trình
3 2
2
1 2
1 2 0
1
1
t t
Giải:
PT
3 3
sin 2sin cos 3sin 4sin 6cos
x x x x x x
3 2 3
4sin 3sin 2sin cos 6cos 0
x x x x x
(*)
Nếu
cos 0
x
là nghiệm (*) của thì:
3
3
sin 1
cos 0
sin 1
4sin 3sin 0
4sin 3sin 0
x
x
x
x x
* tan 2tan 3tan 6 0 tan 2 tan 3 0
x x x x x
tan 2 tan
,
tan 3 tan
3 3
x x k
k
x x k
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
19
Vậy phương trình có các nghiệm là
; ,
3
x k x k k
x
Phương trình
cos2 .sin sin
sin 2 cos2 0
sin cos cos
x x x
x x
x x x
sin 1
cos2 1 sin 2cos 0
sin cos cos
cos2 .cos sin .cos2
0
sin cos cos
x
x x x
x x x
x x x x
2
(1) ,
4 2
1 5 1 5
(2) tan tan 1 0 tan arctan ,
2 2
x k k
x x x x l l
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình là:
4
1 5
arctan
2
x k
x l
(sin cos ) sin cos 0
a x x b x x c
trong đó , ,a b c
b. Cách giải:
Cách 1:
Do
2
(sin cos ) 1 sin cos
a x x x x
nên ta đặt
sin cos 2sin 2 cos
4 4
t x x x x
. Điều kiện
| | 2
t
Suy ra
2
1
sin cos sin 2 cos 2 cos2 cos
2 2 2 2 2
x x x x t t
nên phương trình trở thành
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
20
2
cos 2 cos 0
2
b
b x x c
. Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải
Chú ý:
Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình
(sin cos ) sin cos 0
a x x b x x c
bằng cách đặt
sin cos
t x x
và lúc đó
2
x x
Khi đó phương trình có dạng
2
2
1
1
2 1 0 2 0 (*)
2
2
t
t
t t t
t
Với
2
t
Cách 2:
Đặt
4
z x
. Khi đó phương trình có dạng
2 cos sin 2 1 0
4
x x
2 cos sin 2 1 0 2cos sin 2 1 0
4 2
z z z z
2
2 cos cos2 2 0 2 cos (2cos 1) 1 0
z z z z
32
2
4
z k
z
z k
3
2
2
4 4
,
2
3
2
2
4 4
2 , 2 ,
2
x k x k k
Thí dụ 2: (ĐH – A 2007) Giải phương trình:
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2
x x x x x
Giải:
Nhận xét:
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
21
Phương trình có tính chất đối xứng, điều đó gợi ý cho ta biến đối về phương trình đối xứng với sin và cos
bằng cách đặt
sin cos
t x x
Phương trình
Với phương trình thứ nhất ta có ;
4
x k k
Với phương trình thứ hai đặt
sin cos
t x x
ta được
2
2 1 0 1
t t t
1
sin
4
2
x
2
;
Đây là phương trình đối xứng với sin và cos ngoài cách giải trên ta có nhận xét do các hệ số đều là 1 hoặc
– 1 nên ta có thể nhóm về phương trình tích như sau
sin cos sin cos 1 0 (sin 1) cos (1 sin ) 0
2
sin 1
(sin 1)(1 cos ) 0 ,
cos 1
2
2
x x x x x x x
x k
x
x x k
x
x k
( sin cos ) ( sin cos ) sin .cos 0
a x b x a x b x c x x
sin cos 0
sin cos sin .cos 0
a x b x
a x b x c x x
Quy ước:
Khi có nhiều dấu
trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng
dưới
Thí dụ 3: Giải phương trình
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
22
sin 3 cos 0
sin 3 cos sin 2 0
x x
x x x
TH 1:
sin 3 cos 0
x x
tan 3 ,
3
x x k k
thỏa mãn (*)
TH 2:
thỏa mãn (*)
Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm
Bài toán 2: Giải phương trình:
(tan sin ) (cot cos ) ( ) 0
a x x b x x a b
với , , ,a b c d
(1)
Cách giải:
Ta có:
(tan sin 1) (cot cos 1) 0
a x x b x x
Đến đây chúng ta đã biết cách giải
Tương tự cho phương trình
(tan sin ) (cot cos ) 0
a x x b x x a b
Thí dụ 4: Giải phương trình
tan 3 cot sin 3cos 1 3 0
x x x x
Giải:
Điều kiện:
sin 0
sin 2 0 ,
cos 0
2
x
k
1 3
0
cos sin
sin sin .cos cos 0
x x
x x x x
TH1:
1 3
0
cos sin
x x
tan 3 ,
3
x x k k
2
1
0 1 0 1 2
2
t
t t t t
hoặc
1 2
t
(loại)
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
23
Với
1 2
t
ta có
1 2
2 cos 1 2 cos cos
4 4
2
x x
4 4 2 2 2 2
cos sin cos sin cos sin cos
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
x
Phương trình có dạng
cos sin2 cos 2sin .cos
x x x x x
2
6
1
sin 2
5
cos (1 2sin ) 0 2 ,
2
6
cos 0
2
2
x k
x
x x x k k
x
2 2
sin cos
8 tan cot
sin 2
x x
x x
x
Giải:
Điều kiện:
sin 2 0
x
Phương trình
2 2
2
2 2
3 sin cos
8 1 sin 2 2sin 2
4
cos sin
x x
x x
x x
sin 2 1
1 7
sin 2
3
7 1
sin 2 sin
3
x
x
x
(loại)
4 4
sin cos sin2 0
a x x b x c
Đặt
4 4 2
1
sin 2 , 1 sin cos 1 sin 2
2
t x t x x x
Dạng 2:
4 4
sin cos cos2 0
a x x b x c
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
24
Đặt
4 4 2 2
1 1
cos2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 2
2 2
cos2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 2
4 4
t x t x x x x
Dạng 5:
sin cos sin cos 0
a x x b x x c
Đặt
2
1
sin cos , 2 sin cos
2
t
t x x t x x
Dạng 6:
sin cos sin cos 0
a x x b x x c
Đặt
2
Thí dụ 7: (ĐHSP HCM – 2000) Giải phương trình
4 4
4(sin cos ) 3 sin 4 2
x x x
Giải:
2
1
4 1 sin 2 3sin 4 2
2
x x
2
2 2
tan cot 2(tan cot ) 6 (*)
x x x x
Giải:
Cách 1:
Điều kiện:
sin cos 0 sin 2 0 ,
2
k
x x x x k
2
(*) (tan cot ) 2 2(tan cot ) 6
x x x x
2
(tan cot ) 2(tan cot ) 8 0
x x x x
tan cot 2
tan cot 4
x x
x x
x x
1
2sin 2 1 sin2 sin
2 6
x x
Copyright: Tài liệu đại học ©