BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………

LUẬN VĂN

Ứng dụng bài toán nội suy
Lagrange và khai triển Tatlor 1
Mo
.
’
d¯ ˆa
`
u
Trong qua´ trı`nh tı´nh toa´n, nhiˆe
`

’
m´o
.
i cho biˆe
´
tmˆo
.
tsˆo
´
gia´ tri
.
(r`o
.
ira
.
c) cu
’
a ha`m sˆo
´
va`cu
’
ad¯a
.
o ha`m ha`m sˆo
´
d¯ ˆe
´
ncˆa
´
p na`o d¯o´cu

.
.
pnhu
.
vˆa
.
y, ngu
.
`o
.
itathu
.
`o
.
ng tı`m ca´ch xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t ha`m sˆo
´
P (x)
da
.
ng d¯o
.
n gia
’
nho
.

1
,x
2
, ···,x
k
, thı` P (x) ≈ f (x) (xˆa
´
pxı
’
theo mˆo
.
td¯ˆo
.
chı´nh xa´c na`o d¯o´).
Ha`m sˆo
´
P (x)d¯u
.
o
.
.
c xˆay du
.
.
ng theo ca´ch v`u
.
amˆota
’
trˆen d¯u
.

.
i suy va` ba`i toa´n xˆay du
.
.
ng
ha`m P (x)nhu
.
vˆa
.
yd¯u
.
o
.
.
cgo
.
ila`Ba`i toa´n nˆo
.
i suy.
Su
.
’
du
.
ng ha`m (d¯a th´u
.
c) nˆo
.
i suy P(x), ta dˆe
˜

n d¯u´ng gia´ tri
.
d¯ a
.
oha`mva` tı´ch phˆan cu
’
a no´ trˆen R.
Ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’
d¯ i ˆe
’
nrad¯`o
.
it`u
.
rˆa
´
ts´o
.
mva`d¯o´ng vai tro` rˆa
´
t quan tro
.
ng trong
thu
.
.
ctˆe

.
o
.
.
c d¯ ˆe
`
cˆa
.
p, nhu
.
ng nh˜u
.
ng
´u
.
ng du
.
ng so
.
cˆa
´
pcu
’
a no´ cu
˜
ng ”ˆa
’
nhiˆe
.
n” khˆong ı´t, ch˘a

cva`d¯˘a
.
cbiˆe
.
t
la` viˆe
.
c´u
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange va` khai triˆe
’
n Taylor d¯ˆe
’
gia
’
imˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n
kho´ trong ca´c d¯ˆe
`
thi ho
.

`
ca´c ba`i
toa´n nˆo
.
i suy, du
.
´o
.
i go´c d¯ˆo
.
toa´n phˆo
’
thˆong, d¯˘a
.
cbiˆe
.
tla`nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng cu
’
a no´ trong qua´
trı`nh gia
’
imˆo
.
tsˆo

’
abˆa
.
c
d¯ a
.
iho
.
c.
´
Ytu
.
o
.
’
ng muˆo
´
n thu
.
.
chiˆe
.
n luˆa
.
n v˘an na`y hı`nh tha`nh tru
.
´o
.
c khi cuˆo
´

ne´t m´o
.
i cho luˆa
.
n v˘an cu
’
a ta´c gia
’
, vı` cuˆo
´
n sa´ch trˆen la` mˆo
.
t ta`i liˆe
.
urˆa
´
t quı´ gia´, trong khi
d¯ o´ hˆa
`
unhu
.
chu
.
a co´ mˆo
.
t ta`i liˆe
.
u toa´n so
.
cˆa

g˘a
´
ng tı`m kiˆe
´
mnh˜u
.
ng
´u
.
ng du
.
ng cu
’
ano´va`o viˆe
.
c gia
’
iva` sa´ng ta´c ca´c ba`i tˆa
.
po
.
’
phˆo
’
thˆong, d¯˘a
.
cbiˆe
.
tla`nh˜u
.

`
nMo
.
’
d¯ ˆa
`
u, ba chu
.
o
.
ng nˆo
.
i dung, kˆe
´
t
luˆa
.
nva`Ta`i liˆe
.
u tham kha
’
o.
Chu
.
o
.
ng 1: Ca´c ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’

i suy Taylor, Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton va`
Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite.
Chu
.
o
.
ng 2: Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy.
D
-
ˆay la` mˆo
.
t trong nh˜u

ng cu
’
a no´ d¯u
.
o
.
.
c d¯ ˆe
`
cˆa
.
p tha`nh
mˆo
.
t phˆa
`
n riˆeng trong chu
.
o
.
ng na`y v´o
.
inh˜u
.
ng phu
.
o
.
ng pha´p gia
’

ng phˆan th´u
.
c
co´ nguˆo
`
ngˆo
´
ct`u
.
cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c luˆa
.
n v˘an pha´t hiˆe
.
n. Nhiˆe
`
u ba`i
toa´n thi cho
.
nho

.
icu
’
a chu
.
o
.
ng trı`nh ba`y mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
’
a ca´c cˆong th´u
.
c
nˆo
.
i suy co`n la
.
i. Mˆo
.
tsˆo
´
ba`i tˆa
.

.
ng 3:
´
U
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
isuyd¯ˆe
’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng va` xˆa
´
pxı
’
ha`m sˆo
´
.
Chu

’
ha`m sˆo
´
.Mˆo
.
tsˆo
´
da
.
ng toa´n kho´ o
.
’
phˆo
’
thˆong liˆen quan d¯ˆe
´
nvˆa
´
n d¯ ˆe
`
na`y d¯a
˜
d¯ u
.
o
.
.
c d¯ ˆe
`
cˆa

d¯ u
.
o
.
.
c d¯˘ang ta
’
i trong ca´c ky
’
yˆe
´
uhˆo
.
i nghi
.
chuyˆen nga`nh, ch˘a
’
ng
ha
.
n [1].
Luˆa
.
n v˘an d¯u
.
o
.
.
c hoa`n tha`nh nh`o
.

`
yrˆa
´
t nghiˆem kh˘a
´
cva`tˆa
.
n tˆam trong cˆong viˆe
.
c, truyˆe
`
nd¯a
.
t
nhiˆe
`
ukiˆe
´
nth´u
.
c quı´ ba´u cu
˜
ng nhu
.
kinh nghiˆe
.
m nghiˆen c´u
.
u khoa ho
.

´o
.
ng dˆa
˜
n-Tiˆe
´
nsy
˜
Tri
.
nh D
-
a`o Chiˆe
´
n.
Nhˆan d¯ˆay, ta´c gia
’
xin d¯u
.
o
.
.
c ba`y to
’
lo`ng biˆe
´
to
.
n chˆan tha`nh d¯ˆe
´

.
n, cu`ng quı´
thˆa
`
y cˆo gia´o d¯a
˜
tham gia gia
’
ng da
.
yva`hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n khoa ho
.
c cho l´o
.
p cao ho
.
c toa´n kho´a 8.
UBND tı
’
nh, So
.
’
gia´o du
.

.
`o
.
ng d¯a
˜
d¯ ˆo
.
ng viˆen, se
’
chia cˆong viˆe
.
cva`ta
.
omo
.
i d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
n thuˆa
.
nlo
.
.
i d¯ ˆe
’
ta´c gia
’
nghiˆen c ´u
.

.
em trong ca´c l´o
.
p cao ho
.
c kho´a VII, VIII, XIX cu
’
a
tru
.
`o
.
ng D
-
a
.
iho
.
c Qui Nho
.
n. Ta´c gia
’
xin chˆan tha`nh ca
’
mo
.
ntˆa
´
tca
’

.
u khoa ho
.
c, cu
˜
ng nhu
.
rˆa
´
tcˆa
’
n thˆa
.
n trong nhˆan chˆe
´
ba
’
n. Trong d¯o´ ı´ t n h i ˆe
`
uha
.
n chˆe
´
vˆe
`
th`o
.
i gian cu
˜
ng nhu

.
.
csu
.
.
chı
’
ba
’
ocu
’
a quı´ thˆa
`
ycˆova`nh˜u
.
ng
go´p y´ cu
’
aba
.
nd¯o
.
c d¯ ˆe
’
luˆa
.
n v˘an d¯u
.
o
.

nv˘and¯ˆe
`
cˆa
.
pmˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n nˆo
.
i suy cˆo
’
d¯ i ˆe
’
nse
˜
su
.
’
du
.
ng o
.
’
ca´c chu
.
o
.
ng sau, d¯o´ la`: Ba`i toa´n nˆo
.

o
.
.
c trı`nh ba`y trong [2]
1.1 B`ai to´an nˆo
.
i suy Lagrange
1.1.1 Ba`i toa´ n nˆo
.
i suy Lagrange
Cho ca´c sˆo
´
thu
.
.
c x
i
,a
i
,v´o
.
i x
i
= x
j
,v´o
.
imo
.
i i = j, i, j =1, 2, ···,N.Ha

L
i
(x)=
N

j=1,j=i
x − x
j
x
i
− x
j
; i =1, 2, ···,N.
Khi d¯o´,d¯ath´u
.
c
L(x)=
N

i=1
a
i
L
i
(x)
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho

thu
.
.
c x
0
,a
i
, v´o
.
i i =0, 1, ···,N − 1.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c T (x) co´bˆa
.
c
degT (x) ≤ N − 1 va` tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
T
i
(x

´
t tho
’
ama
˜
n d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Taylor va`go
.
i d¯a th´u
.
c na`y
la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor.
1.3 Ba`i toa´n nˆo
.
i suy Newton
1.3.1 Ba`i toa´ n nˆo
.
i suy Newton
Cho ca´c sˆo

(x
i
)=a
i
, ∀i =1, 2, ···,N.
1.3.2 D
-
ath´u
.
cnˆo
.
i suy Newton
Ky´ hiˆe
.
u
R
i
(x
1
,x
2
, ···,x
i
,x)=

x
x
1

t

i−1
(x
1
,x
2
, , x
i−1
,x)
= a
1
+ a
2
R(x
1
,x)+a
3
R
2
(x
1
,x
2
,x)+···+ a
N
R
N −1
(x
1
, ···,x
N −1

n xe´ t 1.1. V´o
.
i x
i
= x
0
, v´o
.
imo
.
i i =1, 2, ···,N, thı`
R
i
(x
0
,x
1
, ···,x
i−1
,x)=R
i

x
0
, ···,x
0
  
i lˆa
`
n

(x − x
0
)
i
i!
; v´o
.
i i =1, 2, ···,N
Khi d¯o´
N(x)=
N

i=1
a
i
R
i

x
0
, ···,x
0
  
i lˆa
`
n
,x

=
= a

+ a
1
(x − x
0
)+a
2
(x − x
0
)
2
2
+ ···+ a
N −1
(x − x
0
)
N −1
(N − 1)!
=
N −1

i=0
a
i
(x − x
0
)
i
i!
≡ T(x).

i
,a
ki
,i=1, 2, ···,n; k =0, 1, ···,p
i
−1 va` x
i
= x
j
,v´o
.
imo
.
i i = j,
trong d¯o´ p
1
+ p
2
+ ···+ p
n
= N.Ha
˜
y xa´c d¯i
.
nh d¯a th´u
.
c H(x) co´bˆa
.
c degH(x) ≤ N −1 va`
tho

j=1
(x − x
j
)
p
j
;
W
i
(x)=
W (x)
(x − x
i
)
p
i
=
n

j=1,j=i
(x − x
j
)
p
j
; i =1, 2, ···,n
7
Go
.
i d¯oa


1
W
i
(x)

(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
=
p
i
−1−k

l=0

1
W
i
(x)

(l)
(x=x
i
)
(x − x
i

(x)

(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
.
la` d¯a th´u
.
c duy nhˆa
´
t tho
’
ama
˜
n d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a ba`i toa´n nˆo
.
i suy Hermite va`tago
.
id¯ath´u
.
c

’
n
T

1
W
1
(x)

(N −1−k )
(x=x
1
)
= T

1

(N −1−k )
(x=x
1
)
=1.
Khi d¯o´, ta co´
H(x)=
N −1

k=0
a
k1
(x − x

p
1
+ p
2
+ ···+ p
n
= N,
hay n = N. Do d¯o´, ta co´
W (x)=
N

j=1
(x − x
j
);
W
i
(x)=
N

j=1,j=i
(x − x
j
),i=1, 2, ···,N.
8
khi d¯o´, d¯oa
.
n khai triˆe
’
n Taylor

.
y,taco´
H(x)=
N

i=1
a
0i
N

j=1,j=i
x −x
j
x
i
− x
j
≡ L(x).
Vˆa
.
y, v´o
.
i k = 0, thı` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite chı´nh la` d¯a th´u
.
cnˆo
.

.
`o
.
ng ho
.
.
p riˆeng d¯o
.
n gia
’
n kha´c cu
’
a d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Hermite, khi hˆe
.
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
nchı
’
ch´u
.
ad¯a
.
o ha`m bˆa
.

(x=x
i
)
= T

1
W
i
(x)

(1)
(x=x
i
)
=
1

l=0

1
W
i
(x)

(l)
(x=x
i
)
(x − x
i

(x
i
)

1 −
W

i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
(x − x
i
)

, v´o
.
i i =1, 2, ···,n.
+V´o
.
i k = 1, ta co´
T

1
W

(l)
(x=x
i
)
(x − x
i
)
l
l!
=
1
W
i
(x
i
)
−
W

i
(x
i
)
W
2
i
(x
i
)
(x − x

i
(x)

(p
i
−1−k)
(x=x
i
)
=
n

i=1

a
0i
W
i
(x)T

1
W
i
(x)

(1)
(x=x
i
)
+a

(x
i
)

1 −
W

i
(x
i
)
W
i
(x
i
)
(x − x
i
)

+a
1i
(x − x
i
)
1
W
i
(x
i

(x − x
i
)

+a
1i
(x − x
i
)

=
n

i=1
W
i
(x)
W
i
(x
i
)

a
0i
−

a
0i
W

L
i
(x)=
n

j=1,j=i
x −x
j
x
i
− x
j
; i =1, 2, ···,n
va`
L
i
(x
j
)=



1, khi i = j
0, khi i = j.
Do d¯o´
L
i
(x
i
) ≡ 1, ∀i = 1,n.

-
a
.
o ha`m theo x hai vˆe
´
cu
’
ad¯˘a
’
ng th´u
.
c trˆen, ta d¯u
.
o
.
.
c
W

i
(x)
W
i
(x
i
)
=2L
i
(x)L


a
0i
−

2a
0i
L

i
(x
i
) − a
1i

(x − x
i
)

.
Du
.
´o
.
i d¯ˆay la` mˆo
.
tva`i minh ho
.
achoviˆe
.
cvˆa

(3)
(−2) = −48;
P
(4)
(2008) = 24.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
Q(x)=P (x)+P

(x)+P

(x)+P
(3)
(x)+P
(4)
(x) > 0. ∀x ∈ R.
Ba`i toa´ n 1.2. Cho d¯a th´u
.
c P (x) bˆa
.
c n, tho
’
ama
˜
n:
P (2007) < 0; −P


.
o
.
ng 2
Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
˙’
a cˆong th´u
.
c
nˆo
.
i suy
Chu
.
o
.
ng na`y trı`nh ba`y mˆo
.
tsˆo
´
´u
.

.
n g d¯ ˆe
’
gia
’
imˆo
.
t
sˆo
´
ba`i toa´n kho´ o
.
’
hˆe
.
phˆo
’
thˆong chuyˆen toa´n.
Vˆa
´
n d¯ ˆe
`
´u
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.

ng ky
˜
thuˆa
.
tch´u
.
ng minh kha´ ph´u
.
cta
.
p, d¯u
.
o
.
.
c trı`nh
ba`y o
.
’
chu
.
o
.
ng sau.
2.1 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.

tva`n sˆo
´
a
1
,a
2
, ···,a
n
tu`y y´. Thˆe
´
thı` tˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´
tmˆo
.
t d¯a th´u
.
c P (x) v´o
.
ibˆa
.
c khˆong vu
.
o
.
.
t qua´ n − 1, tho

(2.2)
D
-
ath´u
.
c (2.2) d¯u
.
o
.
.
cgo
.
i la` d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange ho˘a
.
c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange.
Ca´c sˆo
´
x
1
,x
2
, ···,x

, ···,x
n
phˆan biˆe
.
t. Thˆe
´
thı` mo
.
i d¯a th´u
.
c P(x) v´o
.
ibˆa
.
c
khˆong vu
.
o
.
.
t qua´ n − 1 d¯ ˆe
`
uco´ thˆe viˆe
´
tdu
.
´o
.
ida
.

ath´u
.
c (2.3) va` (2.4) kha´ quen thuˆo
.
c trong chu
.
o
.
ng trı`nh toa´n phˆo
’
thˆong. Ta thu
.
’
d¯ i
tı`m y´ nghı
˜
a hı`nh ho
.
ccu
’
a chu´ng, ch˘a
’
ng ha
.
n (2.4).
Gia
’
su
.
’

2
.x
3
kha´c nhau t`u
.
ng d¯ˆoi mˆo
.
t.
Thˆe
´
thı`, theo (2.1) va` (2.2) tˆo
`
nta
.
i duy nhˆa
´
tmˆo
.
td¯u
.
`o
.
ng cong y = P(x), trong d¯o´la`
d¯a th ´u
.
cv´o
.
i degP (x) ≤ 2, tho
’
ama

)=y
3
(nghı
˜
ala`d¯u
.
`o
.
ng cong qua d¯iˆe
’
mC).
Ho
.
nn˜u
.
a, d¯u
.
`o
.
ng cong co`n co´ phu
.
o
.
ng trı`nh cu
.
thˆe
’
la` y = P (x), tro`n d¯o´ P(x) co´ da
.
ng

ng d¯i qua 3 d¯iˆe
’
m A, B, C, khˆong
cu`ng phu
.
o
.
ng v´o
.
i tru
.
c hoa`nh.
+V´o
.
i degP (x) = 0, d¯ˆo
`
thi
.
y = P (x)la`d¯u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng d¯i qua 3 d¯iˆe
’
m A, B, C, cu`ng
phu
.
o

.
`o
.
ng th˘a
’
ng) d¯i qua ca´c d¯iˆe
’
m cho tru
.
´o
.
c trong m˘a
.
t ph˘a
’
ng to
.
ad¯ˆo
.
.
Nhˆa
.
n xe´ t 2.2.
V´o
.
i d¯a th´u
.
c P (x)co´degP (x) ≤ n − 1 cho tru
.
´o

ng cu
’
a (2.5).
Gia
’
su
.
’
x
1
,x
2
, ···,x
n
la` n sˆo
´
thu
.
.
c phˆan biˆe
.
t, n ≥ 2. Xe´t d¯a th´u
.
c
P (x)=x
n
−
n

i=1

.
, ta ha
˜
y tı`m mˆo
.
t´u
.
ng du
.
ng cu
’
a (2.15) d¯ˆe
’
ta
.
o ra nh˜u
.
ng d¯˘a
’
ng th´u
.
cm´o
.
i.
Tro
.
’
la
.
iv´o

n
.
V´o
.
i n gia´ tri
.
phˆan biˆe
.
t x
1
,x
2
, , x
n
,a´pdu
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯ˆo
´
iv´o
.
id¯a
th´u
.
c f (x)=x
k
, k  n − 1, ta co´

)
= a
n
n

j=1
x
k
j

n
i=1,i=j
(x − x
i
)
P

(x
j
)
.
Biˆe
’
uth´u
.
c cuˆo
´
i cu`ng la` mˆo
.
td¯ath´u

a d¯a th´u
.
c x
k
, ta d¯u
.
o
.
.
c ca´c d¯˘a
’
ng th´u
.
c sau:
n

j=1
x
k
j
P

(x
j
)
=0, ∀k ∈{0, 1, 2, , n − 2}; (2.6)
n

j=1
x

`
n na`y tˆa
.
p trung va`o viˆe
.
ca´pdu
.
ng mˆo
.
t ca´ch kha´ linh hoa
.
t
cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯ˆe
’
gia
’
imˆo
.
tsˆo
´
ba`i toa´n kho´, trong d¯o´ co´ ca´c d¯ˆe
`
thi cho
.
nho
.

`
ng −1; 0; 3
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng.
Ba`i toa´ n 2.2. Cho a
1
,a
2
, , a
n
la` n sˆo
´
kha´c nhau. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
ud¯ath´u
.
c f(x)
co´bˆa
.
c khˆong l´o
.

− a
2
) (a
n
− a
n−1
)
=0.
Ba`i toa´ n 2.3. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
ud¯ath´u
.
cbˆa
.
c hai nhˆa
.
n gia´ tri
.
nguyˆen ta
.
i ba gia´ tri
.
nguyˆen liˆen tiˆe
´
pcu
’

du
.
trong phe´p chia d¯a th´u
.
c f(x) cho x − a
i
.Ha
˜
y tı`m phˆa
`
ndu
.
r(x) trong phe´p chia f(x)
cho (x − a
1
)(x − a
2
) (x − a
n
).
Ba`i toa´ n 2.5. (Vˆo d¯i
.
ch Chˆau
´
A Tha´ i Bı`nh Du
.
o
.
ng, 2001)
Trong m˘a

.
p
nˆe
´
umˆo
.
t trong hai tha`nh phˆa
`
nto
.
ad¯ˆo
.
cu
’
ad¯iˆe
’
md¯o´ la` sˆo
´
h˜u
.
utı
’
, tha`nh phˆa
`
n kia la` sˆo
´
vˆo
tı
’
. Tı`m tˆa

˜
nho
.
.
pna`oca
’
.
Ba`i toa´ n 2.6. Tı`m tˆa
´
tca
’
ca´cc˘a
.
pd¯ath´u
.
c P (x) va` Q(x) co´bˆa
.
cbav´o
.
ica´c hˆe
.
sˆo
´
thu
.
.
c
tho
’
ama

.
c P (4) = 0, thı` Q(2) = Q(4) = 0;
d) Nˆe
´
u P(3) = 1 ho˘a
.
c P(4) = 1, thı` Q(1) = 0.
Ba`i toa´ n 2.7. (Vˆo d¯i
.
ch My
˜
- 1975)
D
-
ath´u
.
c P(x) bˆa
.
c n tho
’
ama
˜
nca´c d¯˘a
’
ng th´u
.
c P(k)=
1
C
k

khi x h˜u
.
utı
’
.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng, tˆa
´
tca
’
ca´chˆe
.
sˆo
´
c
0
,c
1
,c
2
, , c
n
la` nh˜u
.
ng sˆo
´
h˜u

.
cco´sˆo
´
du
.
b˘a
`
ng 1,v´o
.
imo
.
i n ∈ Z
+
.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng: s ≥ p − 1.
Ba`i toa´ n 2.10. Tı`m tˆa
´
tca
’
ca´cd¯ath´u
.
c P (x) co´bˆa
.
c nho
’
ho

n
(x) co´bˆa
.
c khˆong vu
.
o
.
.
t s. Gia
’
thiˆe
´
tr˘a
`
ng ha`m sˆo
´
g(x) xa´c d¯i
.
nh trong (0; 1) va` thoa
’
ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
| g(x) − P
n
(x) |<

ng d¯ˆoi mˆo
.
t kha´c nhau x
1
,x
2
, , x
n
.Go
.
i p
j
=
P

(x
j
), trong d¯o´
P (x)=
n

j=1
(x − x
j
).
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng da

c n v´o
.
ica´c hˆe
.
sˆo
´
thu
.
.
cva`hˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa
´
t
b˘a
`
ng a. Gia
’
su
.
’
f(x) co´ n nghiˆe
.
m phˆan biˆe
.
t x

2
k
f

(x
k
)
.
14
2) Co´ tˆo
`
nta
.
i hay khˆong mˆo
.
td¯ath´u
.
c f (x) bˆa
.
c n le
’
v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa


(x
2
)
+ +
1
x
n
f

(x
n
)
+
1
x
1
x
2
x
n
=0?
2.2 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.

xa´c
d¯ i
.
nh phˆa
`
n chı´nh cu
’
a ha`m sˆo
´
. Do d¯o´ , d¯ ˆe
’
tı`m gi´o
.
iha
.
n, ngu
.
`o
.
itathu
.
`o
.
ng du`ng cˆong th´u
.
c
khai triˆe
’
n Taylor t´o
.

5
.
Ba`i toa´ n 2.15. Tı´nh gi´o
.
iha
.
n
lim
x→0
(cos(x.e
x
) − ln(1 − x) − x)
cot x
3
.
Mˆo
.
t´u
.
ng du
.
ng kha´ quan tro
.
ng cu
’
a cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Taylor la` viˆe

.
i suy Newton
Ba`i toa´ n 2.16. Cho 3 bˆo
.
sˆo
´
thu
.
.
c (x
1
; a
1
), (x
2
; a
2
), (x
3
; a
3
). Tı`m d¯a th´u
.
c N (x) v´o
.
i
degN(x) ≤ 2 va` tho
’
ama
˜

.
i i = k ta d¯i
.
nh nghı
˜
a
[x
i
,x
k
]=
y
i
− y
k
x
i
− x
k
([x
i
,x
k
] d¯ u
.
o
.
.
cgo
.

i+p−1
, ,x
i+1
,x
i
] d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
i la` sai phˆan ta´ch bˆa
.
c p).
Cho x
0
<x
1
< <x
n
va` cho ha`m sˆo
´
y(x) la` ha`m kha
’
vi liˆen tu
.
cd¯ˆe
´
nbˆa

)
n!
,
v´o
.
i x
∗
la` mˆo
.
td¯iˆe
’
m na`o d¯o´ trong (x
0
,x
n
).
15
Ba`i toa´ n 2.18. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d¯a th´u
.
c
P
n
(x)=y
0
+[x
1

’
ma
˜
nca´c hˆe
.
th´u
.
c
P
n
(x
j
)=y
j
∀j ∈{0, ,n}.
Nhˆa
.
n xe´ t 2.3. Cˆong th´u
.
c (2.8) cu
˜
ng chı´nh la` mˆo
.
tca´ch viˆe
´
t kha´c cu
’
a d¯a th´u
.
cnˆo

.
’
p
1
=1va` p
2
=3.Thˆe
´
thı` p
1
+ p
2
=4=N.
Khi d¯o´
+Nˆe
´
u i =1, thı` k =0, 1, ,P
1
− 1.Vˆa
.
y k =0.
+Nˆe
´
u i =2, thı` k =0, 1, ,P
2
− 1.Vˆa
.
y k =0,k=1,k=2.
Bˆay gi`o
.

nh d¯a th´u
.
c H(x) co´bˆa
.
cdegH(x) ≤ 3
va` tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
H(x
1
)=1,H(x
2
)=H

(x
2
)=H

(x
2
)=0.
Mˆo
.
t ca´ch tˆo

. Tı`m tˆa
´
tca
’
ca´cd¯ath´u
.
c P (x) v´o
.
i
degP (x) ≤ n (n ∈ N
∗
) tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
P (x
0
)=1
P
(
k)(x
1
)=0,k∈{0, 1, ,n−1}.
Nhˆa
.

´
u i =2, thı` k =0, 1, ,P
2
− 1.Vˆa
.
y k =0,k=1,k=2.
Bˆay gi`o
.
, gia
’
su
.
’
a
01
= a
11
=1,a
02
= a
12
= a
22
=0.
Ta d¯u
.
o
.
.
c ba`i tˆa




H(x
1
)=H

(x
1
)=1
H(x
2
)=H

(x
2
)=H

(x
2
)=0.
Mˆo
.
t ca´ch tˆo
’
ng qua´t, ta cu
˜
ng co´ ba`i toa´n du
.
´o

’
ca´cd¯ath´u
.
c P (x) v´o
.
i
degP (x) ≤ n +1(n ∈ N
∗
) tho
’
ama
˜
nca´c d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
P (x
0
)=1,P

(x
0
)=1,
P
(
k)(x
1
)=0,k∈{0, 1, ,n−1}.
2.3 Ba`i tˆa

ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy d¯ˆe
˙’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng v`axˆa
´
pxı
˙’
h`am sˆo
´
Mˆo
.
t trong nh˜u
.
ng ´u
.
ng du

.
i dung quan tro
.
ng trong ly´ thuyˆe
´
t ha`m. Nh˜u
.
ng tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p
nho
’
cu
’
avˆa
´
n d¯ ˆe
`
na`y d¯a
˜
tro
.
’
tha`nh nh˜u
.

.
o
.
ng trı`nh phˆo
’
thˆong chuyˆen toa´n, chu
.
o
.
ng na`y se
˜
d¯ ˆe
`
cˆa
.
p d¯ ˆe
´
n
ca´c ´u
.
ng du
.
ng nˆeu trˆen
3.1 U
.
´o
.
clu
.
o

ukiˆe
.
n:
| f(x) | 1, khi | x | 1.
Chu´ng minh r˘a
`
ng v´o
.
imo
.
i M ≥ 1,taco´:
| f(x) | 2M
2
− 1, khi | x | M.
Ba`i toa´ n 3.2. Cho d¯a th´u
.
c P (x) bˆa
.
c khˆong vu
.
o
.
.
t qua´ 2n va` thoa
’
ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe

ng minh r˘a
`
ng v´o
.
imo
.
i M>1 cho tru
.
´o
.
ctad¯ˆe
`
uco´
| f(x) |
32
3
M
4
−
32
3
M
2
+1, khi | x | M.
Ba`i toa´ n 3.4. Gia
’
su
.
’
cho tru

+ + a
n
ta
.
ica´c d¯iˆe
’
m x
0
,x
1
, , x
n
luˆon tı`m
d¯ u
.
o
.
.
cmˆo
.
tsˆo
´
ma` gia´ tri
.
tuyˆe
.
td¯ˆo
´
icu
’

3.1.2 U
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng h`am sˆo
´
theo c´ac n´ut nˆo
.
i suy Chebyshev
3.1.2.1 D
-
ath´u
.
c Chebyshev
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 3.1. Ca´c d¯a th´u
.
c T
n
(x)(n ∈ N) d¯ u

.
ila`ca´c d¯a th ´u
.
c Chebyshev (loa
.
i 1).
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 3.2. Ca´c d¯a th´u
.
c U
n
(x) (n ∈ N) xa´c d¯i
.
nh nhu
.
sau



U
0
(x)=0; U
1
(x)=1,
U

n
(x) = cos(n arccosx) v´o
.
imo
.
i x ∈ [−1, 1]
Tı´nh chˆa
´
t 3.2. T
n
(x) ∈ Z[x] bˆa
.
c n co´hˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa
´
tb˘a
`
ng 2
n−1
va` la` ha`m ch˘a
˜
n khi
n ch˘a
˜
n; la` ha`m le

´
t 3.5. D
-
ath´u
.
c T
∗
(x)=2
1−n
T
n
(x) la` d¯a th´u
.
cbˆa
.
c n v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
bˆa
.
c cao nhˆa
´
t
b˘a
`
ng1va`co´d¯ˆo
.

3.1.2.3 Tı´nh chˆa
´
tcu
’
ad¯ath´u
.
c U
n
(x)
Tı´nh chˆa
´
t 3.6. U
n
(x)=
sin(n arccos x)
√
1 − x
2
v´o
.
imo
.
i x ∈ (−1, 1).
19
Tı´nh chˆa
´
t 3.7. U
n
(x)=
1

khi n ch˘a
˜
n.
Tı´nh chˆa
´
t 3.8. T
n
(x) co´ d¯u´ng n nghiˆe
.
m phˆan biˆe
.
ttrˆen [-1, 1 ] la`
x
k
= cos
2k +1
2n
π (k =0, 1, ,n− 1).
Tı´nh chˆa
´
t 3.9. |U
n
(x)|  n ∀x ∈ [−1, 1] va` |T

n
(x)|  n
2
∀x ∈ [−1, 1].
Du
.

˜
n
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
n

1 − x
2
|P
n−1
(x)|  1, ∀x ∈ [−1, 1].
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
|a
0
|  2
n−1
.
Ba`i toa´ n 3.7. Cho d¯a th´u
.
c P
n−1
(x) bˆa
.
c  n − 1 v´o

`
ng khi d¯o´
|P
n−1
(x)|  n, ∀x ∈ [−1, 1].
Ba`i toa´ n 3.8. Cho d¯a th´u
.
clu
.
o
.
.
ng gia´c
P (t)=a
1
sin t + a
2
sin 2t + + a
n
sin(nt)
thoa
’
ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
|P (t)|  1 ∀t ∈ R \{ ,−2π, −π, 0,π,2π, }.

sin jx)
thoa
’
ma
˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n |P (x)|  1 v´o
.
imo
.
i x ∈ R.
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng |P

(x)|  n v´o
.
imo
.
i x ∈ R.
20
Ba`i toa´ n 3.10. Cho d¯a th´u
.
c
P

n
(x)|  n
2
, ∀x ∈ [−1, 1]. (3.1)
Nhˆa
.
n xe´ t 3.1. Du
.
.
a va`o kˆe
´
t qua
’
cu
’
a Ba`i toa´n 3.10, sau khi a´p du
.
ng liˆen tiˆe
´
pkˆe
´
t qua
’
cu
’
ad¯i
.
nh ly´ na`y, ta se
˜
thu d¯u

, ∀x ∈ [−1, 1].
3.2 Mˆo
.
tsˆo
´
phu
.
o
.
ng ph´ap kh´ac d¯ˆe
˙’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng h`am sˆo
´
Ba`i toa´ n 3.11. Cho a
1
,a
2
, ,a
n
1a` ca´c sˆo
´

co´ d¯u´ng mˆo
.
t nghiˆe
.
mdu
.
o
.
ng duy nhˆa
´
t.
Ba`i toa´ n 3.12. Cho a
1
,a
2
, ,a
n
1a` ca´c sˆo
´
thu
.
.
c  0 va` khˆong d¯ˆo
`
ng th`o
.
ib˘a
`
ng 0. Gia
’

.
ng minh r˘a
`
ng khi d¯o´
A
A
 R
B
.
Ba`i toa´ n 3.13. Cho da
˜
yca´c d¯a th´u
.
c {P
n
(x)}(n =0, 1, 2, ) xa´c d¯i
.
nh nhu
.
sau
P
0
(x)=0,P
n+1
(x)=P
n
(x)+
1
2
(x − P

imo
.
i x ∈ R.Ch´u
.
ng
minh r˘a
`
ng
n

k=0
f
(k)
(x)  0. (3.4)
21
3.3 Xˆa
´
pxı
’
ha`m sˆo
´
theo d¯a th´u
.
cnˆo
.
i suy
Trong sˆo
´
ca´c ha`m sˆo
´

.
o
.
ng diˆe
.
n nhˆa
´
tla`vˆe
`
m˘a
.
t tı´nh toa´n. Bo
.
’
ivˆa
.
y, mˆo
.
tvˆa
´
n d¯ ˆe
`
d¯ u
.
o
.
.
c chu´ng
ta quan tˆam nhiˆe
`

n (cˆa
`
nva`d¯u
’
) d¯ ˆe
’
mˆo
.
t ha`m sˆo
´
cho tru
.
´o
.
c co´ thˆe
’
xˆa
´
pxı
’
d¯ u
.
o
.
.
cbo
.
’
imˆo
.

.
cd¯a
.
isˆo
´
ho˘a
.
cd¯a
th´u
.
clu
.
o
.
.
ng gia´c ho˘a
.
c la` ca´c d¯a th´u
.
cda
.
ng d¯˘a
.
cbiˆe
.
t kha´c). Go
.
i R[f,P,n]=|f(x) −P
n
(x)|

(x)d¯u
.
o
.
.
cgo
.
i la` d¯a th ´u
.
cxˆa
´
pxı
’
tˆo
´
t nhˆa
´
t
cu
’
a f(x) trˆen d¯oa
.
n[a, b]d¯o´va`d¯u
.
o
.
.
c ky´ hiˆe
.
ula`f (x) ≈ P

(k)
(0)
k!
x
k
+ R(x, n)
v´o
.
i phˆa
`
ndu
.
R(x, n)=o(x
n
).
Nhu
.
vˆa
.
y
f(x) ≈ P
n
(x)=
n

k=0
f
(k)
(0)
k!

ul´o
.
p ha`m sˆo
´
liˆen tu
.
c quen biˆe
´
tnhu
.
ha`m sˆo
´
f(x)=
3
√
x, x ∈ [−1, 1].
D
-
ˆo
´
iv´o
.
i ca´c ha`m sˆo
´
liˆen tu
.
c trˆen [a, b] ta vˆa
˜
n co´ ca´c d¯i
.

n hai vˆa
´
n d¯ ˆe
`
sau:
Mˆo
.
t la` xˆay du
.
.
ng ca´c d¯a th´u
.
cxˆa
´
pxı
’
thˆong qua ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
isuyva` hai la` xˆay du
.
.
ng
cˆong th´u
.
c tı´nh d¯ˆo
.
lˆe
.

< ···<x
n
) trong tˆa
.
p xa´c d¯i
.
nh cu
’
a ha`m sˆo
´
f(x).
Ha
˜
y tı`m mˆo
.
t d¯a th ´u
.
c P
n
(x),bˆa
.
c khˆong qua´ n sao cho
P (x
j
)=f(x
j
)(j =0, ,n).
Ba`i toa´ n 3.16. Ch´u
.
ng minh r˘a

(x)=
n

k=0
a
k
x
k
,
thı` ca´c hˆe
.
sˆo
´
a
k
d¯ u
.
o
.
.
c xa´c d¯i
.
nh mˆo
.
tca´ch duy nhˆa
´
tt`u
.
hˆe
.

˜
nd¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
x
0
<x
1
<x
2
< ···<x
n
.
Tı`m d¯a th ´u
.
c P
m
(x) bˆa
.
cm(m  2n +1) sao cho
P
m
(x
j
)=y
j
; P


.
nh theo cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange trˆen tˆa
.
p
X = {x
j
| j =0, ,n}⊆(0, 1).
Ha
˜
yxa´cd¯i
.
nh d¯ˆo
.
lˆe
.
ch sai sˆo
´
R
n+1
(x):=|y(x) − P
n
(x)|
trˆen tˆa
.
p {(0, 1) \X}.
Ba`i toa´ n 3.20. Cho d¯oa

c nhˆa
´
t xa´c d¯i
.
nh theo cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange.
Ha
˜
yxa´cd¯i
.
nh gia´ tri
.
l´o
.
n nhˆa
´
tcu
’
ad¯ˆo
.
lˆe
.
ch sai sˆo
´
trong phe´p xˆa
´
pxı

’
co´d¯ˆo
.
lˆe
.
ch sai sˆo
´
nho
’
nhˆa
´
ttaco´thˆe
’
su
.
’
du
.
ng mˆo
.
t trong
ca´cca´ch ho˘a
.
c la` t˘ang bˆa
.
cxˆa
´
pxı
’
n, ho˘a

p
Luˆa
.
n v˘an d¯a
˜
d¯ ˆe
`
xuˆa
´
t 12 ba`i tˆa
.
p do ta´c gia
’
tu
.
.
sa´ng ta´c ho˘a
.
csu
.
utˆa
`
m.
23
Kˆe
´
tluˆa
.
ncu
’

’
´u
.
ng du
.
ng va`o viˆe
.
c gia
’
i ca´c ba`i toa´n phˆo
’
thˆong.
2.
´
U
.
ng du
.
ng cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange d¯ˆe
’
tı`m d¯u
.
o
.
.
cba

gia
’
imˆo
.
t
sˆo
´
ba`i toa´n kho´, trong d¯o´ co´ ca´c d¯ˆe
`
thi ho
.
c sinh gio
’
i trong nu
.
´o
.
c, khu vu
.
.
cva` quˆo
´
ctˆe
´
.
3. Mˆo
.
tsˆo
´
´u

c Chebyshev d¯ˆe
’
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng ha`m sˆo
´
.
5. Xˆay du
.
.
ng ca´c d¯a th´u
.
cxˆa
´
pxı
’
thˆong qua ca´c cˆong th´u
.
cnˆo
.
i suy va` xˆay du
.
.

nh D
-
a`o Chiˆe
´
n-Huy`nh Minh Thuˆa
.
n, 2007, Ky
’
yˆe
´
u”Mˆo
.
tsˆo
´
chuyˆen d¯ˆe
`
toa´n ho
.
chˆe
.
THPT, Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cˆong th ´u
.

.
ng du
.
ng, NXB Gia´o du
.
c.
[3] Nguyˆe
˜
n V˘an Mˆa
.
u, 2001, D
-
ath´u
.
cd¯a
.
isˆo
´
va` phˆan th´u
.
ch˜u
.
utı
’
, NXB Gia´o du
.
c.
[4] Lˆe Hoa`nh Pho`, 2003, Chuyˆen kha
’
od¯ath´u

’
yˆe
´
u”Mˆo
.
tsˆo
´
chuyˆen d¯ˆe
`
toa´n ho
.
chˆe
.
THPT, Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cˆong th ´u
.
cnˆo
.
i suy Lagrange, NXB Tru
.
`o
.
ng D