Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ mơn Tốn ứng dụng

Đại số tuyến tính
Chương 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ (tt)
• Giảng viên TS. Đặng Văn Vinh
Nội dung

I – Toạ độ của véctơ.
II – Không gian con.
III - Tổng và giao của hai không gian con.
I. Toạ độ của véctơ

Cho E ={e
1
, e
2
, …, e
n
} là cơ sở sắp thứ tự của K-kgvt V
Định nghĩa toạ độ của véctơ
1 1 2 2

    
n n
x x e x e x e
1
2
[ ]
E
n

2
E
p x
l c s ca khụng gian
2
[x]
P
3
[ ( )] 5
2
E
p x
2 2 2
( ) 3( 1) 5( 2 1) 2( 2)

p x x x x x x x
( ) 5 2


x x e x e x e
1 2 3
(3,1, 2) (1,1,1) (1,0,1) (1,1,0)

x x x
1 2 3
1 3
1 2
3
1
2








x x x
x x
x x
4
[ ] 2
5
p x a e b e c e
2 2
3 4 1 ( 1) ( 1) (2 1)
         
x x a x x b x c x
3
2 4
1



  


   

a
a b c
a b c
3
[ ( )] 9
5
 
 
  
 
 
 
E
p x













1
2
[ ]
E
n
y
y
y
y


Tớnh cht ca ta vộct
I. Tọa độ của véctơ

Ý nghĩa của toạ độ véctơ.
Trong khơng gian n chiều V cho một cơ sở
E ={e
1
, e
2
, …, e
n
}.
Tất cả các vectơ của V đều biễu diễn qua E dưới dạng tọa độ.
Hai phép tốn cơ bản: cộng hai vectơ và nhân vectơ với một
số, và sự bằng nhau trong V có thể phức tạp.
Theo tính chất của tọa độ, ta thấy các phép tốn này giống
hồn tồn trong R
n
.
Suy ra cấu trúc của khơng gian vectơ V hồn tồn giống R
n
.
Chứng minh được V và R

[ ]x x
 
 
  
 
 
 
2
3
2 1 2
1
E
[3 ]x x
 
 
  
 
 
 
2
2
1
0
E
[2 ]x x
 
 
 
 
 

 
    
f F K f F
Định lý
II. Khoâng gian con



1 2 3 3 1 2 3
( , , ) | 2 0
F x x x R x x x
    
Ví dụ
1. Chứng tỏ F là không gian con của R
3
2. Tìm cơ sở và chiều của F.
Giải câu 2.
1 2 3
( , , )
  
x x x x F
1 2 3
2 0
   
x x x
3 1 2
2
  
x x x
Khi đó

Giải câu 2.
2
( )
    
p x ax bx c F
(1) 0 (2) 0
&
  
p p
Suy ra là tập sinh của F.
2
3 2
{ }
  
E x x
Hiển nhiên E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F.
dim( ) 1
 
F
0
4 2 0
  



  

a b c
a b c
; 3 ; 2


1. Chứng tỏ F là không gian con M
2
[R]
2. Tìm cơ sở và chiều của F.
II. Khoâng gian con

L(M)=Span
1 2 1 1 2 2
{ , , , } { }
n n n i
v v v v v v R
   
     

1 2
{ , , , }
n
M v v v V
 

1. L(M) là không gian con của V
2. dim(L(M)) = Hạng của họ M.
II.
Không gian con

Giả sử dim(V) = n
1 2
{ , , , }
m

II. Khoâng gian con

Ví dụ
2
,
2
 


 
 
 
 
 


a b a b
F a b R
b a
Tìm cơ sở và chiều của F.
II. Khoâng gian con

Ví dụ
1 1 2 1 3 1 1 0
, , ,
2 1 0 1 2 1 2 0
F
       

       

Tng ca hai khụng gian con F v G l tp hp con ca V,
ký hiu bi
nh ngha tng ca hai khụng gian con
{ | vụựi vaứ }
F G f g f F g G

III. Toồng vaứ giao cuỷa hai khoõng gian con

2.
nh lý
1. l hai khụng gian con ca V.
&
F G F G


dim( ) dim( ) dim( ) dim( )
F G F G F G


Kt qu
F G F F G V


F G G F G V


III. Toồng vaứ giao cuỷa hai khoõng gian con

Cỏc bc tỡm khụng gian con F+G
1. Tỡm tp sinh ca F. Gi s l {f