TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN VẬT LÝ
oOo
TẠ VU BÍCH NGỌC
Lớp DH5L KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGÀNH VẬT LÝ
SỬ DỤNG HÀM BESSEL ĐỂ GIẢI
BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT
Giảng viên hướng dẫn: Th.S HỒ XUÂN HUY
Long Xuyên, 5-2008
PHẦN II: NỘI DUNG Trang 3
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Trang 3
1.1 Lý luận về bài tập vật lý Trang 3
1.2 Bài toán biên Trang 6
1.3 Các chuỗi và hệ trực giao Trang 9
1.4 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng Trang 19
CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH BESSEL
VÀ HÀM BESSEL Trang 22
2.1 Khái niệm hàm Bessel Trang 22
2.2 Cơ sở cho việc xây dựng hàm Bessel, phương trình hàm Bessel Trang 25
2.3 Tính trực giao của hàm Bessel Trang 31
2.4 Các hệ thức liên quan đến hàm Bessel Trang 31
CHƯƠNG III: SỬ DỤNG HÀM BESSEL ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYẾN NHIỆT Trang 41
3.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt Trang 41
3.2 Các bài toán cho các toạ độ Trang 46
3.3 Các bài toán cho biên Trang 56
3.4 Một số bài toán dừng Trang 59
PHẦN III: KẾT LUẬN Trang 68
PHỤ LỤC 1 Trang 69
PHỤ LỤC 2 Trang 70
PHỤ LỤC 3 Trang 74
PHỤ LỤC 4 Trang 78
1
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
•
Xây dựng phương pháp hàm Bessel để tìm nghiệm của bài toán truyền nhiệt.
• Giải một số bài toán truyền nhiệt bằng phương pháp hàm Bessel.
5.Phương pháp nghiên cứu
• Đọc sách và tham khảo tài liệu.
• Phương pháp toán học.
• Phương pháp phân tích.
• Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên.
2
6.Giả thuyết khoa học
Dùng phương pháp hàm Bessel có thể tìm được nghiệm của bài toán truyền nhiệt.
7.Phạm vi nghiên cứu
Các bài toán truyền nhiệt.
8.Đóng góp của khóa luận
• Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên.
• Góp phần nâng cao kết quả học tập học phần phương pháp toán lý cho sinh viên.
9.Dàn ý của khóa luận
Phần I: Mở đầu
Phần II: Nội dung
Chương I: Cơ sở lý luận
1.1 Lý luận về bài t
ập vật lý.
1.2 Các loại bài toán biên.
1.3 Các chuỗi và hệ trực giao
1.4 Khái niệm toán tử, hàm riêng , trị riêng.
Tiểu kết chương 1: Đây là cơ sở lý luận toán học quan trọng, dựa vào đó để giải các
1.1.1 Khái niệm về bài tập vật lý
Bài tập vật lý là một yêu cầu đặt ra cho người học, được người học giải
quyết dựa trên cơ sở các lập luận logic, nhờ các phép tính toán, các thí nghiệm, dựa
trên các kiến thức về khái niệm, định luật và các thuyết vật lý.
1.1.2 Vai trò và tác dụng của bài tập vật lý
Xét về mặt phát triển tính tự lực c
ủa người học và nhất là rèn luyện kỷ năng
vận dụng kiến thức đã lĩnh hội được thì vai trò của bài tập vật lý trong quá trình học
tập có một giá trị rất lớn. Bài tập vật lý được sử dụng ở nhiều khâu trong quá trình
dạy học.
- Bài tập là một phương tiện nghiên cứu hiện tượng vật lý. Trong quá
trình dạy học vật lý người học được làm quen v
ới bản chất của các hiện tượng vật
lý bằng nhiều cách khác nhau như: Kể chuyện, biểu diễn thí nghiệm, làm bài thí
nghiệm, tiến hành tham quan. Ở đây tính tích cực của người học và do đó chiều sâu
và độ vững chắc của kiến thức sẽ lớn nhất khi “tình huống có vấn đề” được tạo ra,
trong nhiều trường hợp nhờ tình huống này có thể làm xuất hiện một kiể
u bài tập
mà trong quá trình giải người học sẽ phát hiện lại quy luật vật lý chứ không phải
tiếp thu quy luật dưới hình thức có sẵn.
- Bài tập là một phương tiện hình thành các khái niệm. Bằng cách dựa
vào các kiến thức hiện có của người học, trong quá trình làm bài tập, ta có thể cho
người học phân tích các hiện tượng vật lý đang được nghiên cứu, hình thành các
khái niệm về các hiện tượng vật lý và các đại lượng v
ật lý.
- Bài tập là một phương tiện phát triển tư duy vật lý cho người học. Việc
giải bài tập làm phát triển tư duy logic, sự nhanh trí. Trong quá trình tư duy có sự
phân tích và tổng hợp mối liên hệ giữa các hiện tượng, các đại lượng vật lý đặc
trưng cho chúng.
- Bài tập là một phương tiện rèn luyện kỷ năng vận dụng các kiến thức
lý ta có thể giới thiệu cho người học biết sự xuất hiện những tư tưởng, quan điểm
tiên tiến, hiện đại, những phát minh, những thành tựu của nền khoa học trong và
ngoài nước. Tác dụng giáo dục của bài tập vật lý còn thể hiện ở chổ: chúng là
phương tiện hiệu quả để rèn luyện đức tính kiện trì, vượt khó, ý chí và nhân cách
của người học. Việc giải bài tập vật lý có thể mang đến cho người học niềm phấn
khởi sáng tạo, tăng thêm sự yêu thích bộ môn, tăng cường hứng thú học tập.
- Bài tập vật lý cũng là phương tiện kiểm tra mức độ nắm vững kiến
thức và kỷ năng, kỷ xảo của người học. Đồng thời nó cũng là công cụ giúp người
h
ọc ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức.
1.1.3 Cơ sở định hướng giải bài tập vật lý
1.1.3.1 Hoạt động giải bài tập vật lý
+ Mục tiêu cần đạt tới khi giải một bài toán vật lý là tìm được câu trả lời
đúng đắn, giải đáp được vấn đề đặt ra một cách có căn cứ khoa học chặt chẽ. Quá
trình giải một bài toán thực chất là tìm hi
ểu điều kiện của bài toán, xem xét hiện
tượng vật lý được đề cập và dựa trên kiến thức vật lý toán để nghĩ tới mối liên hệ
có thể có của cái đã cho và cái cần tìm sao cho có thể thấy được cái phải tìm có mối
liên hệ trực tiếp hoặc gián tiếp với cái đã cho, từ đó đi đến chỉ rõ được mối liên hệ
tường minh trực tiếp của cái phả
i tìm chỉ với cái đã biết nghĩa là đã tìm được lời
giải đáp cho bài toán đặt ra.
Hoạt động giải bài toán vật lý có hai phần việc cơ bản quan trọng là:
1. Việc xác lập các mối liên hệ cơ bản cụ thể dựa trên sự vận dụng kiến thức
vật lý vào điều kiện cụ thể của bài toán đã cho.
2. Sự tiếp tục luậ
n giải, tính toán đi từ mối liên hệ đã xác lập được đến kết
luận cuối cùng của việc giải đáp vấn đề được đặt ra trong bài toán đã cho.
+ Sự nắm vững lời giải của một bài toán vật lý phải thể hiện ở khả năng trả
lời được câu hỏi: việc giải bài toán này cần xác lập được mối liên hệ nào? Sự xác
tích và tổng hợp. Phép giải bắt đầu bằng phân tích các điều kiện của bài toán để
hiểu đề bài và phải có sự tổng hợp kèm theo ngay để kiểm tra lại mức độ đúng đắn
của các sự phân tích ấy. Muốn lập kế hoạch giải phải đi sâu phân tích nội dung vật
lý của bài tập, tổng hợp những dữ kiện
đã cho với những quy luật vật lý đã biết ta
mới xây dựng được lời giải và kết quả cuối cùng.
1.1.3.3 Các bước chung của giải bài toán vật lý
Từ phân tích về thực chất hoạt động giải bài toán, ta có đưa ra một cách
khái quát các bước chung của tiến trình giải của một bài toán vật lý và các hoạt
động chính trong các bước, đó là:
Bước 1:
• Tìm hiểu đề bài.
• Đọc ghi ngắn gọn các dữ
liệu xuất phát và cái phải tìm.
• Mô tả lại tình huống đã nêu trong đề bài, vẽ hình minh họa.
• Nếu đề bài yêu cầu thì phải dùng đồ thị hoặc làm thí nghiệm để thu được các dữ
liệu cần thiết.
Bước 2: Xác lập những mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất phát và cái phải
tìm.
• Đối chiếu với các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm, xem xét bản ch
ất vật lý
của những tình huống đã cho để nghĩ đến các kiến thức, các định luật, các công
thức có liên quan.
• Xác lập các mối liên hệ cơ bản, cụ thể của các dữ liệu xuất phát và của cái
phải tìm
• Tìm kiếm lựa chọn các mối liên hệ tối thiểu cần thiết sao cho thấy được mối
liên hệ của cái phải tìm với các dữ liệu xuấ
t phát, từ đó có thể rút ra được cái
cần tìm.
Bước 3: Rút ra kết quả cần tìm.
đã học để giải những loại bài tập cơ
bản, hình thành phương pháp chung để giải các
loại bài tập đó.
• Lựa chọn các bài tập sao cho có thể kiểm tra được mức độ nắm vững tri thức của
người học.
1.2BÀI TOÁN BIÊN
Xét phương trình vi phân tuyến tính có dạng
)()()( )()()(
1
1
1
10
xFyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xayL
nn
n
n
n
n
=++++=
−
−
c
= C
1
y
1
(x)+C
2
y
2
(x)+…+C
n
y
n
(x), (1.21)
trong đó: C
1
, C
2, …,
C
n
là các hằng số tùy ý. 7
Tiếp theo tìm bất cứ nghiệm riêng y
p
nào của phương trình vi phân không thuần nhất
L(y) = F(x). Để giải phương trình này, ta thường dùng phương pháp hệ số bất định hoặc
phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng . Khi đó nghiệm tổng quát của
== ayay với
α
,
β
là các hằng số.
Phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được xem như là một bài toán cho trước
giá trị ban đầu. Bài toán giá trị ban đầu thường có nghiệm duy nhất. Khi phương trình vi
phân (1.22) bị hạn chế bởi hai điểm khác nhau, tức là x = a và x = b phương trình có dạng :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠+=+
≠+=+
0,)()(
0,)()(
2
22
2
21
/
2221
2
12
2
11
/
1211
ccaycayc
/
2221
/
1413
/
1211
aycaycbycbyc
bycbycaycayc
Trong đó: c
ij
, i= 1,2, j=1,2,3,4 và
α
,
β
là các hằng số; được gọi là điều kiện biên
hỗn hợp
.
Bài toán biên hỗn hợp thường khó giải. Xét phương trình tyến tính cấp 1:
)24.1().()()( xqyxp
dx
dy
yL =+=
Để giải phương trình (1.24), trước hết giải phương trình thuần nhất:
)25.1(0)()( =+= yxp
dx
dy
yL
CxPCxPCxPy
eCeCyeeee
CxP
==⇒==⇒
+−=
−−+−
1
)(
1
)()(ln
,
)(ln y
Vậy nghiệm tổng quát của (1.25) là
)(
1
xP
C
eCy
−
=
Dùng phương pháp biến thiên hằng số và giả thiết một nghiệm riêng có dạng
)(
)(
xP
p
exuy
−
=
p
deqxuuxqe
dx
du
xqyxp
dx
dy
0
)()(
.)()()()()(
ξξ
ξ
Suy ra nghiệm riêng
∫
−
=
x
PxP
p
deqey
0
)()(
.)(
ξξ
ξ
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.24) có dạng
)28.1()(
0
)(
a)Chuỗi lượng giác:
f(x)=
()
0
1
cos sin ,
2
nn
n
a
anxbnx
∞
=
++
∑
(3.1)
trong đó
0
, , ( 1,2, )
nn
aab n
=
là các hằng số, gọi là chuỗi lượng giác
b) Chuỗi Fourier:
Chuỗi lượng giác xác định trên [,]
π
π
−
với các hệ số:
[,]ab
, nếu có thể chia
[,]ab
bởi
một số hữu hạn điểm
12
, , ,
n
x
xx
12
( )
n
ax x x b
<
<<<< thành các
khoảng
112
( , ),( , ), ,( , )
n
ax x x x b sao cho
f
đơn điệu trên khoảng đó.
d)Điều kiện đủ để một hàm số khai triển được thành chuỗi fourier :
Định lí (Dirichlet
):
Giả sử hàm số
f
tuần hoàn với chu kì 2
π
−
++
⎪
⎩
,khi
f
liên tục tại
(
)
,x
π
π
∈−
•
(0)(0)
() ()
2
ff
SS
π
π
ππ
−
++ −
−= =
,khi
f
gian đoạn tại
()
==
∫∫
2
Nếu
f
là hàm lẻ trên [,]
π
π
−
thì:
0
0
2
0, 0, ( )sin ( 1,2,3, )
nn
aab fxnxdxn
π
π
=== =
∫
3
Nếu
f
là hàm tuần hoàn với chu kì 2
L
, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên
[,]
L
là một số đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [,]ab . Muốn khai
triển
f
thành chuỗi Fourier, ta xây dựng một hàm số tuần hoàn g có chu kì
2
L
ba≥− sao cho () ()gx f x
=
[
]
(,)
x
ab
∈
. Khi đó, nếu g khai triển được
thành chuỗi Fourier thì đó cũng là chuỗi Fourier của
f
. Vì có nhiều cách xây
dựng
g
nên cũng có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn
f
.
Ví dụ:Cho hàm ()
f
xx
π
=
y
2
π 11
Ta tính các hệ số Fourier :
()
∫
=−=
π
π
π
π
0
0
2
1
dxxa0
1
()cos
n
a x nxdx
π
π
ππ
π
−−
=− =−=
∫∫
f
) Tính hội tụ của chuỗi Fourier:
Ta thừa nhận định lý sau mà không chứng minh:
Định lý: Nếu hàm ()
f
x là hàm khả tích tuyệt đối có chu kì 2
π
trơn từng
khúc trên đoạn [,]ab , thì chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối với mọi
x
thoả mãn điều
kiện
a <
x
<b , trong đó tổng của nó bằng
()
f
x
tại các điểm liên tục và bằng giá trị
(
)
(
Khi
0
0
=x
và đặt
0
xxx
−
=
′
thì (1.3) có dạng
∑
∞
=0n
n
n
xc
(1.4)
b) Định lý
Nếu (1.4) hội tụ tại một điểm
0
0
≠
x
thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x thoả
mãn
0
xx <
.
Nếu (1.4) phân kỳ tại một điểm
∑
∫
∞
=
=
b
a
n
n
n
b
a
dxxcfxdx
0
F khả vi trên (-R;R) và
()
1
1
−
∞
=
∑
=
′
n
n
n
xncxf
có bán kính hội tụ bằng R.
=
gọi là chuỗi Taylor của f
tại
0
x .
Khi 0
0
=x được gọi là chuỗi Maclaurin của f.
e) Điều kiện khai triển
Giả sử
Hàm số f(x) khả vi mọi cấp trên
[
]
RxRx
+
−
00
,
; tồn tại M > 0 sao
cho
()
()
[
]
(
)
RxRxxMxf
n
+−∈≤
000
f) Khai triển một vài hàm sơ cấp thành chuỗi luỹ thừa
()
Rx
n
x
e
n
n
x
∈=
∑
∞
=0
!
13
()
()
()
Rx
n
x
x
n
n
n
∈
()
(
)
(
)
()()
1,1
!
1 1
11
1
−∈
+−−
+=+
∑
∞
=
xx
n
n
x
n
n
ααα
α
() () ()()
1,1
1
11ln
=
∑
x
n
x
acrtgx
n
n
n
1.3.2 Các hệ trực giao:
1.3.2.1 Định nghĩa. Các hệ chuẩn:
Một hệ vô hạn các hàm thực
(
)
(
)
(
)
(
)
012
, , , , ,
n
xx x x
ϕ
ϕϕ ϕ
(3.3)
được gọi là
trực giao trên đoạn [,]ab , nếu
a)
Hệ : 1,cos ,sin , ,cos ,sin ,
x
xnxnx trực giao trên đoạn
[
]
,
π
π
−
Ví dụ
:
sin cos
1.cos 0; 1.sin 0
nx nx
nxdx nxdx
nn
ππ
ππ
ππ
ππ
−−
−−
=
==−=
∫∫
() ()
1
sin .cos sin sin 0
2
nx mxdx n m x n m x dx
ππ
ππ
−−
=
++ − =⎡⎤
⎣⎦
∫∫
b) Hệ :
1,cos ,cos2 , ,cos ,
x
xnx
trực giao trên đoạn
[]
0,
π
c) Hệ :
sin ,sin2 , ,sin ,
x
xnx
trực giao trên đoạn
[
]
,
L
L− , hay
[
]
0,2
L
)
f) Hệ :
2
1,cos ,cos , ,cos ,
x
xnx
L
LL
π
ππ
trực giao trên đoạn
[]
0,1
g) Hệ :
2
sin ,sin , ,sin ,
x
xnx
L
LL
π
ππ
()
()
1
0
0
k
x
kexdxk
∞
−
−
Γ= >
∫
(4.6)
Tính chất của hàm
Γ
:
1)
(
)
(
)
1kkkΓ+=Γ
2)
(
)
1!kkΓ+=
Khi
k âm thì hàm
Γ
()
∫
+∞
a
dxxf
.
Như vậy
() ()
∫∫
+∞→
+∞
=
A
a
A
a
dxxfdxxf lim:
.
Nếu giới hạn này hữu hạn, ta nói tích phân suy rộng đó hội tụ và f khả tích
trên
[
)
+∞,a . Nếu giới hạn này vô hạn, hoặc không tồn tại thì tích phân suy rộng đó
phân kỳ.
Tương tự, tích phân suy rộng của hàm số f trên khoảng
(
]
a,∞−
được định
nghĩa là
∞−
+=
a
a
dxxfdxxfdxxf
với a là số thực bất kỳ.
Sự hội tụ của tích phân suy rộng với cận vô tận
Trường hợp
()
0≥xf
b.Định lý ( so sánh ).
Giả sử
(
)
(
)
xgxf
≤
≤
0
với
a
x
≥
. Khi đó, nếu
()
∫
+∞
a
=
A
A
A
A
dxxfdxxf lim: 16
Nếu
() ()
0, ≥xgxf
và
()
()
()
+∞<<=
+∞→
kk
xg
xf
x
0lim
Thì các tích phân
()
∫
+∞
a
∞
<
≤
cx
ϕ
thì
()
∫
+∞
a
dxxf
hội tụ.
•
Nếu
1≤
α
và
(
)
0>≥ cx
ϕ
thì
()
∫
+∞
a
dxxf
phân kỳ.
Giả sử hàm số f(x) là một vô cùng bé bậc
0>
()
∫
+∞
a
dxxf
hội tụ, cần và đủ là với mọi
0>
ε
tồn tại 0
0
>A sao cho với mọi
0
AA > và mọi
0
AA >
′
ta luôn có
()
ε
<
∫
′
A
A
dxxf
.
Định lý. Nếu
()
∫
+∞
dxxf
hội tụ tuyết đối và f là khả tích tuyệt đối trên
[
)
+∞,a . Còn nếu
()
∫
+∞
a
dxxf
hội tụ nhưng
()
∫
+∞
a
dxxf
phân kỳ thì ta nói
()
∫
+∞
a
dxxf
bán hội tụ.
Định lý. Nếu f(x) khả tích tuyệt đối trên
[
)
+
∞,a
, còn g(x) bị chặn, thì tích f(x)g(x)
khả tích tuyệt đối trên
[
]
(
)
0, >AAa
và tích phân
()
∫
A
a
dxxf
bị chặn với
mọi
[
)
+∞∈ ,aA
g(x) đơn điệu tiến về không khi
+
∞→
x
khi đó tích phân
()()
∫
+∞
a
dxxgxf
hội tụ.
Lưu ý : với các tích phân
()
Giới hạn (nếu có) của
()
∫
−
η
b
a
dxxf
khi 0→
η
gọi là tích phân suy rộng của f
trên
[]
ba,
và kí hiệu
()
∫
b
a
dxxf
.
Vậy
() ()
∫∫
−
→
=
η
η
b
[]
η
′
+
aa, (điểm a là điểm bất thường) thì
() ()
∫∫
′
+
→
′
=
b
a
b
a
dxxfdxxf
η
η
.0
lim:
Nếu f(x) không bị chặn tại c (a<c<b) thì
() () ()
∫∫∫
+=
b
c
c
a
(
)
xgxf
≤
≤
0 và
()
∫
b
a
dxxg
hội tụ thì
()
∫
b
a
dxxf
hội tụ
1.4 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng:
1.4.1Toán tử
:
Toán tử
là một qui tắc toán học dùng để biến đổi một hàm này sang hàm khác có
cùng bản chất:
trong đó toán tử
^
F
được kí hiệu bằng chữ có mũ, còn qui tắc tác dụng của nó được
viết dưới dạng một phép nhân
19
() () ()
^
x
xxxx
ϕψψ
==
(4.2)
Ví dụ 2: Toán tử vi phân
^
^
,
dd
F
dx dx
==
() () ()
^
dd
x
xx
dx dx
ϕψψ
==
(4.3)
Ví dụ 3: Toán tử Laplace:
ở trong biểu thức (4.1) nói chung là những hàm phức
cho nên các toán tử trong trường hợp tổng quát cũng là những toán tử phức. Trong
số tất cả những toán tử có thể có ta chỉ xét một lớp quan trọng những toán tử, đó là
những toán tử tuyến tính.
Tóan tử
^
F
được gọi là một toán tử tuyến tính nếu nó thoả mãn đòi hỏi sau:
()
^^^
11 22 1 1 2 2
FC C CF CF
ψ
ψψψ
+= +
(4.5)
trong đó
12
,
ψ
ψ
là hai hằng số tuỳ ý, còn
12
,CC là những hằng số phức tuỳ ý.
Từ định nghĩa (4.5) ta thấy tính chất tuyến tính của toán tử
^
F
biểu thị
nguyên lí chồng chất trạng thái. Thật vậy theo định nghĩa về toán tử ta có:
^^
x
;
^
d
dx
và
2
∇
trong các thí dụ (1), (2), (3) là
những toán tử tuyến tính. Còn toán tử chứa tác dụng lấy căn số ( hay toán tử
) 20
không phải là toán tử tuyến tính. Tất cả các toán tử dùng trong phương trình vật lý
toán là những toán tử tuyến tính ; do đó về sau này khi nói đến toán tử là ta ngụ ý
nói đến các toán tử tuyến tính.
1.4.2 Hàm riêng, trị riêng và phương trình trị riêng của toán tử.
Nói chung khi cho toán tử A tác dụng lên hàm
(
)
x
Ψ
thì ta được hàm số
() ()
xx
ψϕ
≠
. (Với
A
ˆ
() ()
xuAxu
nnn
=
Trong đó
()
xu là hàm riêng ứng với trị riêng
n
A (n = 1;2;3;4;5…). Số trị
riêng có thể có là hữu hạn hay vô hạn; có thể là gián đoạn hay liên tục.
Để tìm hàm riêng và trị riêng của một toán tử, ta phải giải phương trình trị
riêng của một toán tử đó.
Thí dụ: Cho toán tử
A
ˆ
=
()
x
i
∂
∂
− . Hãy tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử
A
ˆ
,
biết rằng hàm riêng tuần hoàn trong khoảng
(
u
n
n
n
∂=
∂
.lnln CxiAu
nn
==⇒
xiA
n
n
Ceu =⇒
Với C là hằng số được xác định từ điều kiện chuẩn hóa.
Vì hàm số tuần hoàn trong khoảng
(
)
L,0
nên ta có
(
)()
Luu
nn
=
0
. Tức là:
1=⇒=
LiALiA
Còn hàm riêng tương ứng với A
n
là:
()
x
L
ìn
n
Cexu
π
=
. TIỂU KẾT CHƯƠNG I
Nhìn chung cơ sở lý luận của đề tài, ta thấy chương I gồm bốn phần, đó là lý luận
về bài tập vật lý,các loại bài toán biên, các chuỗi và hệ trực giao, khái niệm toán tử, hàm
riêng, trị riêng.
Ngoài ra, cơ sở toán học của bài toán được trình bài khá cô đọng và ngắn gọn, tránh
đi sâu chi tiết vào việc chứng minh các công thức, định lý, mà chỉ nêu ra với mục đích là
sử dụng công thức, định luật đó trong bài toán, dựa vào đó
để giải các bài toán truyền nhiệt
trong phương trình toán lý. Hơn nữa chúng tôi còn đưa ra phần phụ lục ở cuối luận văn để
người đọc dễ tra cứu.
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
a
t
u
(2.1)
Phương trình truyền nhiệt trong vật thể đồng chất có dạng
x
u
a
t
u
(2.2)
Trong trường hợp khi hàm
u = u(x,y,z) không phụ thuộc vào t thì
0=
∂
∂
t
u
và
0
2
2
=
∂
∂
t
u
, ta có phương trình Laplace:
0
2
2
2
2
2
2
rx
ϕ
ϕ
sin
cos
Khi đó ta được các hàm u và toán tử Laplace cho toạ độ trụ là:
()
zruu ,,
ϕ
=
Và
2
2
2
2
2
1111
zrr
r
rr ∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
uu
r
r
u
r
rr
ϕ
(2.4)
Copyright: Tài liệu đại học ©