Triệu Quang Phục , ngày 22 tháng 4 năm 2013
MỤC LỤC
Nội dung Trang
I. Đặt vấn đề………………………………………………. 1
II. Giải quyết vấn đề………………………………………. 2
1. Cơ sở lý luận của vấn đề……………………………… 2
2. Thực trạng của vấn đề………………………………… 3
3. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết……………… 3
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………………… 15
III. Kết luận……………………………………………… 15
Tài liệu tham khảo
MỤC LỤC
Nội dung Trang
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT TRIỆU QUANG PHỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
DẠY HỌC TÌM CỰC TRỊ BIỂU THỨC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Người viết SKKN
ĐỖ XUÂN VƯỢNG
Hiệu Trưởng
LÊ THỊ NGUYỆT.
Triệu Quang Phục , ngày 22 tháng 4 năm 2013
I. Đặt vấn đề………………………………………………. 1
II. Giải quyết vấn đề………………………………………. 2
1. Cơ sở lý luận của vấn đề……………………………… 2
2. Thực trạng của vấn đề………………………………… 3
3. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết……………… 3
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………………… 16
III. Kết luận……………………………………………… 17
Tài liệu tham khảo 18

D
M f x x D
M f x
x D M f x
≥ ∀ ∈

= ⇔

∃ ∈ =

+
0 0
( ),
min ( )
: ( )
D
m f x x D
m f x
x D m f x
≤ ∀ ∈

= ⇔

∃ ∈ =

- Định lý: Nếu hàm số
( )y f x=
liên tục trên đoạn
[ ]
;a b

n
là các số thực không âm, ta có:
1 2 1 2

n
n n
a a a n a a a+ + + ≥
; đẳmg thức khi
1 2

n
a a a= = =
+ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
Với hai bộ số thực
1 2
, ,
n
a a a
và
1 2
, ,
n
b b b
, ta có
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2


- Không linh hoạt khi chuyển biểu thức cần tìm cực trị về dạng hàm một biến
qua phép đặt biến phụ.
- Khi đặt được biến phụ, thường không các định được miền GT của biến phụ
theo điều kiện ban đầu, dẫn đến sai kết quả.
3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết.
3.1 Hình thành phương pháp sử dụng khảo sát hàm số để tìm GTLN, GTNN.
- Yêu cầu học sinh hiểu thấu đáo định nghĩa, nhấn mạnh là GTLN, GTNN của
hàm số đạt được trên tập D phải là GT của hàm số tại ít nhất 1 điểm của tập D.
Do đó, khi tìm được GTLN, GTNN của hàm sô, nhất thiết phải chỉ ra giả trị đó
đạt tại điểm nào trên tập hợp D
- Hình thành cho học sinh quy tắc rõ ràng theo các bước, áp dụng từng TH cụ thể
khi tập D là hay không là một đoạn.
- Rèn luyện kỹ cho học sinh kỹ năng lập bảng BT của hàm số, xác định TGT của
hàm số dựa trên BBT.
- Hình thành và rèn luyện kỹ năng vận dụng vào bài toán tìm cực trị của biểu thức
hai biến, ba biến:
5
+ K nng i bin s:
+ K nng tỡm iu kin ca bin mi thụng qua cỏc con ng: ỏnh giỏ
nh cỏc bt ng thc, phng phỏp min giỏ tr, phng phỏp dựng BBT
+ K nng s dng cụng c hm s xỏc nh tp giỏ tr ca hm.
- a ra cỏc vớ d mu in hỡnh cú phõn tớch li gii, h thng bi tp a dng
hỡnh thc, phong phỳ v ni dung, phự hp v mc , giỳp hc sinh c t rốn
luyn k nng t d n khú.
3.2 H thng vớ d v bi tp
a. Tìm cực trị hàm một biến
GV cần lu ý cho học sinh:
- Xác định tập xác định: Tìm GTLN, GTNN trên tập nào? ( Xác định D)
- Chọn cách giải phù hợp khi D là một đoạn, D không là một đoạn
Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y =
2
1
1
x
x
+
+
Li gii: TX: D = R
Ta cú : y=
(
)
3
2
1
1
x
x

+
; y= 0
1x
=
BBT:
thiên hàm số:
x

1
+
f + 0 -

[ ]
2
3 2 / 10;10x x +
. T ú kt lun
GTLN ca hm s bng 132 khi x =-10.
Cỏch 2: Lp BBT ca hm s y =
2
3 2x x +
/
[ ]
10;10x -10 1
3
2
2 10
f - + 0 - +
f 132
0
1
4
0
72
Kt lun giỏ tr LN, NN nh cỏch 1.
NHN XẫT:
Sai lm: Lp BBT khụng chun xỏc: im o hm khụng tn ti x =1, x =2.
Hoc kt lun giỏ tr nh nht sai.
b. Tìm cực trị của hàm một biến phức tạp hoặc biểu thức có nhiều hơn một biến
Giáo viên lu ý cho học sinh, tìm cách đổi biến để có đợc một hàm số với biến mới

y
x x
x x
+ + + +

= = = +
ữ
+ +

+ +
Đặt
2
1
x
t
x
=
+
Để tìm điều kiện của t, có thể sử dụng công cụ bất đẳng thức, hoac phơng pháp
miền giá trị nh sau:
Cách1: Dùng BĐT Cô-si
+ Với x=0 thì t=0.
+ Với
0x

, xét
2
1 1 1 1 1 1 1
2 ;
2 2

1 1
;
2 2
t

Hàm đạt cực tiểu tại:
1
2
t =

1 1 1 3 3 1
( ) ; ( ) ;
2 4 2 4 4 4
g g GTLN GTNN = = = =
Ví dụ 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4 2 2
2 2
2 1 1 1 3
1 1 1
x x x
y
x x
+ + + +
=
+ + +
Điều kiện:
1 1x

, với
2;2t



Kết quả: Maxy=
7
3
tại x=0; Miny=
2 2 1
tại x=1
8
Vídụ6: Cho x,y là hai số thực dơng thoả mãn 4x+9y=6. Tìm GTLN của
1
2
2
P xy
xy
= +
+
.
Hng dn
Cỏch 1: Rỳt xy theo x ri th vo P, thu c hm mt bin s
Cỏch 2: Coi xy l bin s, vy phi tỡm iu kin cho xy :
- Cú th thụng qua ỏnh giỏ:
1 1
6 4 9 2 4 .9 12
2 4
x y x y xy xy xy= + =
. Vậy đk của xy là:

t
Ví dụ 7:
Cho
cos2 cos2 1, ,x y x y+ = Ă
; Tìm GTNN của biểu thức
2 2
tan tanA x y= +
Lời giải:
Biến đổi biểu thức A để sử dụng đợc điều kiện:
2 2 2 2
2 2
1 1
tan tan (tan 1) (tan 1) 2 2
cos cos
A x y x y
x y
= + = + + + = +
1 1
2 1
1 cos2 1 cos2x y

= +
ữ
+ +

Điều kiện đã cho biến đổi thành:
1 cos2 1 cos2 3, ,x y x y+ + + = Ă
Đặt
1 cos2 1 cos2 3t x y t= + + =
,

3
f - +
9
f
4
3
Dựa vào BBT, GTNN của A bằng
2
3
đạt khi
1
cos2
2
x =
Ví dụ 8: Cho a, b dơng t/m:a
2
+b
2
=1. Tìm GTLN của biểu thức
2
ab
M
a b
=
+ +
Cách1:
Theo Cô- si ta có:
2a b ab+
Dấu= Khi a=b. Do đó:
2

t t
= =
+ +
với
2
0
2
t<
.
Khảo sát hàm số
2 2
1
( ) .
2 2 2 1
t t
f t
t t
= =
+ +
;
2
0
2
t<
. Là hàm luôn đồng biến và liên tục
trên
2
0;
2



= +

1
( )
4
M g t
; Với :
2
( )
2
t
g t
t
=
+
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 ( 2) 4
'( )
2
2 2
t t t t t t
g t
t
t t
+ +
= = =
+

+

ữ
+

= =
+ + + + + +

4 4 3 3
4M x y xy x y= + +
HD: Từ GT suy ra
2 2
3x y xy+ =
. Thế vào ta có
( )
2
2 2 2 2 3 3
2 4 .M x y x y xy x y= + +
=
( )
2
2 2 3 3
3 2 4 .xy x y xy x y +
=
3 3 2 2
2 9x y x y xy +
.
Đặt t=xy. Để tìm điều kiện của M ta có hai cách sau:
Cách1: Tìm t sao cho hệ sau đây có nghiệm :
2 2

GTLN, GTNN của biểu thức
2 2
(4 3 )(4 3 ) 25S x y y x xy= + + +
.
Ta có:
( )
2 3 3 2 3
16( ) 12( ) 34 16( ) 12 ( ) 3 ( ) 34S xy x y xy xy x y xy x y xy= + + + = + + + +
.
Thay x+y=1, Ta có
2 2
16( ) 12(1 3 ) 34 16( ) 2 12S xy xy xy xy xy= + + = +
.
Đặt t=xy. Dễ thấy
1
0;
4
t

.
Xét hàm số
2
( ) 16 2 12f t t t= +
với
1
0;
4

1 = 2(x
2
+ y
2
) - xy = 2.(x + y)
2
- 5xy -5xy xy
1
5


V :
2
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2
xy + 1
- 2x y
x + y (x + y ) - 2x y -7(xy) + 2xy + 1
2
P = = = =
2xy + 1 2xy + 1 2xy + 1 8xy + 4

ữ

11
 Khi đó, đặt : t = xy , đk :
1 1
t ;
5 3
 


1 2 1 2 1
f(- ) = , f( ) = , f(0) =
5 15 3 15 4
 Vậy :
2 2
1 1
- ;
5 3
1
x + y =
1
Max P = Max f(t) = . . .
2
4
xy = 0
 
 
 


⇔ ⇔


2 2 2 2
1 1
- ;

− xy + y
2
Giải Xét y = 0 ⇒ x
2
= 3 ⇒ S = 3 là 1 giá trị của hàm số.
Xét y ≠ 0, khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây
( )
2
2 2
2
2 2 2 2
/ ( / ) 1
1
3
( / ) ( / ) 1 1
x y x y
x xy yS t t
u u
x xy y x y x y t t
− +
− + − +
= = = = =
+ + + + + +
với
x
t
y
=
⇔ u(t
2

1
Min
3
u =
t = 1
2 2
1
3
x y
x y
x xy y
=


= =

+ + =



Max S = 9 Maxu = 3 t = 1
2 2
3, 3
3
3, 3
x y
x y
x xy y
x y


( )
( )
2
2
2 2
3 3
3 3 3 3 2 2
1 1
x y x xy y
x y
x y
A
x y x y x y x y
+ +
+

+
= = = = +
ữ

Đặt x=ty, từ
( )
2 2
x y xy x y xy+ = +
, suy ra
( )
( )
3 2 2
1 1t ty t t y+ = +
Vậy

2x y x y y x+ = +
. Tỡm GTLN,GTNN ca
2 1
S
x y
= +
Hng dn: t y=tx, T gi thit ta cú

2 2 2 2 2 2
2 2 3 2
2
(1 ) (2 )
x t x x tx t x x
x t x t t
+ = +
+ = +
Suy ra:
2
2
1
2
t
x
t t
+
=
+
v
2 2
2


+ + =
. Tìm GTNN của:

4
1 4( )
x y z xyz
S
xy yz zx
+ + +
=
+ + +
13
Lời giải:
Từ BĐT:
2 2 2
x y z xy yz zx+ + + +
ta có:
2 2 2
4
1 4( )
x y z xyz
S
x y z
+ + +

+ + +
Thay :
2 2 2
4( ) 1 16x y z xyz+ + =

1 1 1
16 12 1 0 0 0
4 2 4
t t t t t

+ + <
ữ ữ

. Bài toán trở thành: Tìm GTNN ca
hàm số
3
3 4 1
( ) ; 0;
2(1 8 ) 4
t t
f t t
t
+

=




Đáp số: Min S=
13
18
. Đạt khi x=y=z=1/4.
BI TP T GII
B i 1

3 3 4 4
(tan cot )(tan cot ) 2(tan cot ) 0x x x x x x + + +
.
Đặt
tan cot ; / : 2t x x d k t= +
.
Bài 3 (An ninhA-2000): Cho n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3.
HD: Cách1:
ln ln( 1)
1
n n
n n
+
>
+
; xét hàm f(x)=1/x.
Bài4(QGA-2000): Choa,b,c là các số thực t/m a+b+c=0. CMR
8 8 8 2 2 2
a b c a b c
+ + + +
HD :
( ) ( ) ( )
3 3 3
(2 ) 2 (2 ) 2 (2 ) 2 0
a a b b c c
+ +
.
Xet hàm f(x)=x
3
-x với

2 1
2
P xy
xy
= + +
+
HD :
( ) ( )
2 2
2 3
2 . 3
4
x y
x y

+
ữ

ữ
ữ

4 6 12 6 3xy xy
.
Vậy: ĐK là
1 3xy
. KSHS
2
2 1
2
P t

Ta cú : (pcm)
( ) ( )
a b
b a
a b
ln(4 + 1) ln(4 + 1)
4 + 1 4 + 1
a b

Xột hm s :
x
ln(1 + 4 )
f(x) =
x
vi x > 0

x x x x
'
2 x
4 .ln4 - (1 + 4 ).ln(1 + 4 )
f (x) = < 0 , x (0; + )
x (1 + 4 )

f(x) l hm s luụn nghch bin trờn khong (0; + )
Khi ú : a b > 0 f(a) f(b)
a b
ln(4 + 1) ln(4 + 1)

a b


ab bc ca a b c t+ + + + =
2
( ) 3 2 1 2M f t t t t = + +
. Với
1
0
3
t
. Min M=2
15
B à i10 : Cho a, b là các số thực thỏa mãn : 0 < a < b < 1.
Chứng minh rằng :
2 2
a .lnb - b .lna > lna - lnb

(TSCĐ - Khối A, B, D - Năm 2009)
B à i11 : Cho a > b > 0. Chứng minh rằng :
a + b a - b
>
2 lna - lnb

Bµi12: Cho a.b lµ hai sè kh«ng ©m . Chøng ming r»ng
3 3 2
3 7 9a b ab+ ≥
B à i 13:
Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm GT nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2
( 1) ( 1) 2A x y x y y= − + + + + + −
HD: Xét
( 1; ), ( 1; )M x y N x y− − +

+ +
+ ≥
và tìm GTNN của
a c
S
b d
= +
16
4.Hiệu quả của SKKN
Trong quá trình dạy học kiến thức về bài toán cực trị cho học sinh lớp 12, bên
cạnh các phương pháp mà các em đã được biết ở các lớp dưới như: Sử dụng các
bất đẳng thức kinh điển ( Cô-si, Bunhiacôpxki ), phương pháp miền giá trị hàm
số ( đưa bài toán tìm cực trị về bài toán tìm điều kiện tham số để một phương
trình hoặc một hệ phương trình có nghiệm), tôi thường cố gẳng hướng các em đến
lời giải sử dụng phương pháp hàm số nếu có thể.
Việc giúp học sinh có cơ sở lý thuyết vững vàng, có kỹ năng trong việc đổi
biến, điều kiện của biến mới… thông qua một số ví dụ tiêu biểu và hệ thống bài
tập phù hợp đã giúp học sinh vận dụng kiến thức về hàm số vào giải quyết tốt một
số bài toán cực trị. Giúp cho học sinh thấy được tầm quan trọng của tư duy hàm
số, thấy được kiến thức hàm số các em học được áp dụng một cách hiệu quả vào
các dạng toán có liên quan, giúp học sinh thêm yêu môn toán. Học sinh các lớp tôi
dạy các khoá từ 2006-2009; 2009-2012: 2012-2013 đã có hứng thú hơn khi tiếp
cận các bài toán cực trị
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
17
Bài toán tìm cực trị của biểu thức là bài toán khó đối với đa số học sinh,
nên việc cung cấp thêm cho các em công cụ hàm số để giải quyết bài toán là một
việc làm cần thiết, giúp học sinh giải một số bài toán cự trị một cách dễ dàng, hơn
nữa là cho học sinh thấy được khả năng, phạm vi áp dụng của kiến thức hàm số
được học ở chương trình. Trong quá trình giảng dạy, nhờ vận dụng những kinh