ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO NGHIỆM THU
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU CẤP BỘ
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHI TUYẾN
VÀO CÁC BÀI TOÁN BIÊN

Mã số: B. 2005-18-01

THỜI GIAN THỰC HIỆN 12 THÁNG
Từ tháng 06/2005 đến tháng 06/2006

Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Thành Long
Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Thành Long

Thành viên tham gia:

1/ TS. Trần Minh Thuyết, Đại học Kinh tế Tp. HCM
2/ TS. Trần Ngọc Diễm, Đại học Bách khoa Tp. HCM
3/ TS. Bùi Tiến Dũng, Đại học Kiến Trúc Tp. HCM
4/ ThS. Nguyễn Thò Thảo Trúc, Đại học Cần Thơ TP. HỒ CHÍ MINH 2006 0

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 00
KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ 2005-2006 01
1. TÊN NHIỆM VỤ 01
2. TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐÃ THỰC HIỆN 01
3. CÁC SẢN PHẨM ĐỀ TÀI ĐÃ HOÀN THÀNH 02
3.1. KẾT QUẢ KHOA HỌC 02 1

KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
KHOA HỌC CẤP BỘ 2005-2006

1. TÊN NHIỆM VỤ

Tên đề tài: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHI TUYẾN VÀO CÁC BÀI TOÁN BIÊN
(Using nonlinear methods in some boundary value problems).

Mã số: B. 2005-18-01
Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Thành Long
Cơ quan quản lý: Đại học Quốc Gia TP. HCM
Cơ quan chủ trì thực hiện: Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh.

Đòa chỉ: 227 Nguyễn Văn Cừ, Q.5, Tp. Hồ Chí Minh, ĐT: 8.350098.

Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Thành Long

Thành viên tham gia:

1/ TS. Trần Minh Thuyết, Đại học Kinh tế Tp. HCM
2/ TS. Trần Ngọc Diễm, Đại học Bách khoa Tp. HCM
3/ TS. Bùi Tiến Dũng, Đại học Kiến Trúc Tp. HCM
4/ ThS. Nguyễn Thò Thảo Trúc, Đại học Cần Thơ.


=−
xxxtt
uuutBu ),,(
22

),,,,,,(
22
xtx
uuuuutxf
associated with the mixed homogeneous conditions
, J.
Math. Anal. Appl. 306 (1) (2005) 243-268.
[N2] Nguyen Thanh Long,
Nonlinear Kirchhoff- Carrier wave equation in a unit
membrane with mixed homogemeous boundary conditions
, Electronic J. Differential
Equations, 2005, No. 138 (2005) Pages 1-18.
ISSN: 1072-6691. URL: or .
[N3] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem,
On a shock
problem involving a nonlinear viscoelastic bar
, J. Boundary Value Problems, Hindawi
Publishing Corporation, 2005 (3) (2005) 337-358.
[
[ ]
[N4] Nguyen Thanh Long, Vo Giang Giai,
A nonlinear wave equation associated with
nonlinear boundary conditions: Existence and asymptotic expansion of solutions
,
Nonlinear Anal. TMA, Series A: Theory and Methods, (2206) (accepted for

phương trình tích phân phi tuyến
. 3

5. Nguyễn Thò Thảo Trúc, Nguyễn Công Tâm,
Về phương trình sóng tuyến tính:
:),,,,(
txxxtt
UUUtxfUU =−
Xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm cận
.

3.2. KẾT QUẢ ĐÀO TẠO. Hướng nghiên cứu đề tài cũng góp phần trong việc triển
khai trong 02 luận án tiến só đã bảo vệ cấp Nhà nước và 06 luận án thạc só.

a) Tiến só :

1. N.C.S. Trần Ngọc Diễm (Cơ sở đào tạo: Đại học KH Tự Nhiên TP. HCM)
Đề tài: Sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin vào một số bài toán biên phi tuyến.
Hướng dẫn bởi: Nguyễn Thành Long và GS. TS. Alain Phạm Ngọc Đònh (Orléans,
Pháp).
Ngày bảo vệ chính thức: 20/05/2006.

2. N.C.S. Bùi Tiến Dũng (Cơ sở đào tạo: Đại học Sư phạm TP. HCM)
Đề tài: Sử dụng phương pháp giải tích vào một số bài toán biên phi tuyến.
Hướng dẫn bởi: Nguyễn Thành Long và PGS.TS. Nguyễn Hội Nghóa( Ban Đào Tạo
Sau Đại học, ĐHQG Tp. HCM).
Ngày bảo vệ chính thức: 24/06/2006.

Ngày bảo vệ: 21/01/2006.

6. Nguyễn Vũ Dzũng ( Khoá 13, Trường Đại học KHTN Tp. HCM)
Đề tài: Khảo sát phương trình parabolic phi tuyến trong miền hình cầu.
Người hướng dẫn: Nguyễn Thành Long
Ngày bảo vệ: 21/01/2006. 3.3. KẾT QUẢ ỨNG DỤNG.

Hướng đề tài nghiên cứu các bài toán liên quan đến mô hình toán học cho các
vấn đề đặt ra trong Kỹ thuật, Cơ học,… và có đònh hướng ứng dụng trong thực tiễn.
Các kết quả công bố trên tạp chí nói trên tiếp tục trình bày thảo luận trong các nhóm
xêmina để các thành viên trong nhóm học hỏi, tiếp cận thêm các công cụ mới. Từ đó
đề tài đã gợi ra thêm một số vấn đề mới cần tiếp tục nghiên cứu. Mặt khác đề tài cũng
ứng dụng trực tiếp ngay trong giảng dạy, đào tạo cùng với việc triển khai nó vào các
đề tài luận văn thạc sỹ và luận án tiến só. Trong thời gian nầy hai thành viên trong
nhóm xêmina là Võ Giang Giai và Lê Xuân Trường đang chuẩn bò để thi nghiên cứu
sinh theo hướng đề tài nầy.
loại có xuất xứ từ các vấn đề của Vật lý, Cơ học, v.v… và nghiên cứu chúng ở nhiều
khía cạnh khác nhau bởi các công cụ toán học thích hợp. Bản thân chủ nhiệm đề tài
cũng đã có nhiều kết quả công bố về hướng nghiên cứu nầy từ năm 1992 đến nay trên
các tạp chí của Anh, Balan, Đức, Mỹ, Việt Nam….

Trong đề tài nầy chúng tôi muốn sử dụng các phương pháp phi tuyến như:
phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến
tính liên hệ với các đònh lý điểm bất đọâng, phương pháp khai triển tiệm cận… nhằm
khảo sát một số bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong Khoa học ứng dụng.
Chẳng hạn như các phương trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên
khác nhau xuất hiện trong các bài toán mô tả dao độâng của một vật đàn hồi với các
ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và
một thanh đàn nhớt tựa trên một nền đàn nhớt. Cũng trong đề tài nầy, tính chất không
tồn tại nghiệm dương của một số phương trình tích phân phi tuyến kỳ dò xuất phát từ
bài toán biên Neumann cũng được nghiên cứu.

Trong đề tài nghiên cứu chúng tôi chú ý đến các vấn đề tồn tại, không tồn tại,
tính duy nhất và các tính chất khác của nghiệm (tính trơn, ổn đònh, khai triển tiệm
cận,…) của các bài toán biên có điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất và không thuần
nhất. Kết quả thu được đã công bố trong 06 bài báo dưới đây [N1-N6].

[N1] Nguyen Thanh Long, J. Math. Anal. Appl. 306 (1) (2005) 243-268.
[N2] Nguyen Thanh Long, Electronic J. Differential Equations, 2005, No. 138 (2005)
Pages 1-18.
[N3] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem, J. Boundary
Value Problems, Hindawi Publishing Corporation, 2005 (3) (2005) 337-358.
[N4] Nguyen Thanh Long, Vo Giang Giai, Nonlinear Anal. TMA, Series A: Theory and
Methods, (2206) (accepted for publication).

Với miền một chiều
),1,0(
=
Ω
chúng tôi xét bài toán giá trò biên và đầu cho
phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff
(a.1)
=−
xxxtt
uuutBu ),,(
22
),,,,,,,(
22
xtx
uuuuutxf ,0),1,0( Ttx
<
<=
Ω
∈

(a.2) ,0),1(),1(),0(),0(
10
=
+
=− tuhtutuhtu
xx

(a.3) ),(
~

xtx
uuuuutxf còn phụ thuộc vào các tích phân ,),()(
22
∫
Ω
= dxtxutu
.),()(
22
∫
Ω
= dxtxutu
xx
Trong phần này, chúng tôi liên kết bài toán (a.1)-(a.3) với một
dãy qui nạp tuyến tính hội tụ mạnh trong các không gian hàm thích hợp mà sự tồn tại 7

đòa phương của nghiệm duy nhất được chứng minh bằng phương pháp Galerkin thông
dụng kết hợp với phương pháp compact. Trong trường hợp ,0 ),(
0
31
>≥∈
+
+
bBIRCB
N

,0 ),(
1

uuuuutxf= ),,,,,,(
22
1 xtx
uuuuutxf
ε
+
liên kết với điều kiện
(a.2) và (a.3) một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu
),( txu
ε
đến cấp
1+N
theo một
tham số bé
.
ε
Kết quả nầy đã được công bố trong [N1].

PHẦN B: TRƯỜNG HP HAI CHIỀU.

Với miền hai chiều
},1:),{(
22
<+=Ω yxyx chúng tôi xét bài toán giá trò biên
và đầu cho phương trình sóng phi tuyến trong màng tròn đơn vò có chứa toán tử
Kirchhoff
(b.1)
),,,,()
1
)(,(

10
rurururu
t
==
trong đó
10
~
,
~
, , uufB là các hàm cho trước và 0>h là hằng số cho trước. Trong
phương trình (b.1) số hạng phi tuyến ),(
2
0
2
0
r
uuB phụ thuộc vào các tích phân
,),(
1
0
22
0
∫
= drtruru

.),(
1
0
22
0

0
0
2
2
r
u
r
r
u
rdrtr
r
u
b
t
u
mmmm
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+−
∂
∂
∫

),,()(),(
111 −−−

),( Pu sao cho

(2.1)
,0 ,10 ),,(
22
TtxtxFuuuuKuu
t
q
t
p
xxtt
<<<<=++−
−−
λ

(2.2) ),(),0( tPtu
x
=
(2.2) ,0),1(),1(),1(),1(),1(
22
11
=+=−
−−
tututututu
t
q
t
p
x


trong đó ,2q ,
00
≥p và
0
K là các hằng số cho trước.
Báo cáo phần II, gồm 4 mục chính: Trong mục 1, dưới các giả thiết ,),(
21
10
LHuu ×∈
),(
2
T
QLF ∈ ),,0(
1,1
TWk ∈ ),,0(
/
0
TLg
q
∈ ;0,,1
0
≥
=
KK
λ
,1,2,,,,
1100
>≥ qqpqpp
,
1

tt
∞
∈ ),,0(),1(),,0(
2
THuu ∈⋅⋅ nếu ta giả thiết thêm
12
10
),( HHuu ×∈ và các điều kiện khác[N4]. Trong mục 3, chúng tôi thu được một
khai triển tiệm cận của nghiệm
),( Pu
của bài toán (2.1)-(2.5) đến cấp 1+N theo
theo ba tham số bé
.,,
0
KK
λ
[N4]. Trong mục 4, với ,2
110
==
=
=
=
qppqp ;0
0
=
λ

chúng tôi cũng thu được sự phụ thuộc tính trơn của nghiệm bài toán (2.1)-(2.5) (theo
biến thời gian) theo tính trơn của dữ kiện [N3]. Kết quả nầy đã được công bố trong
[N3, N4].

=
−
+
ututhtu
r

(3.3) ),()0,(
0
ruru = 9

trong đó
0
~
,0 u>
γ
là hằng số cho trước, ),(),,(),(),( trfurFthta là các hàm cho trước.
Trong phần 1, bằng phương pháp Galerkin kết hợp với phương pháp compact trong các
không gian Sobolev có trọng thích hợp, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của một
nghiệm yếu duy nhất )(tu trên khoảng ,0 Tt
<
<
với mỗi .0>T Trong phần 2, chúng
tôi chứng minh rằng nếu điều kiện đầu )(
0
ru bò chận thì nghiệm cũng bò chận. Trong
phần 3, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm )(tu khi .+∞→t Kết
quả nầy đã được công bố trong [N5].

→××
+
: là liên tục sao cho tồn tại các hằng số
0>M
và
0,,,,
11
≥
γ
γ
β
β
α
thỏa
αγ
γ
ββ
uyxyxMuyxg
−
−
++≥ )1()1(),,(
1
1
,,
N
IRyx ∈∀ ,0≥
∀
u
trong đó các hằng số ở trên thoả ,2,0
11

β
α
−
+−+≤≤ N
phương trình tích phân (4.1) không có nghiệm
dương liên tục. Kết quả nầy đã được công bố trong [N6]. 4.2. THUYẾT MINH NGHIÊN CỨU

Thuyết minh Phần I. Phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff cho miền một
chiều và hai chiều:

Liên quan đến các phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff chúng
tôi đặc biệt chú ý đến miền một chiều )1,0(
=
Ω
và miền tròn đơn vò
}.1:),{(
22
<+=Ω yxyx (miền hai chiều). Nội dung của phần nầy được công bố trong
02 bài báo: [N1, N2].

PHẦN A: TRƯỜNG HP MỘT CHIỀU

Trong báo cáo nầy, chúng tôi quan tâm đến một dạng phương trình sóng phi
tuyến có chứa toán tử Kirchhoff
(1.1) =Δ∇− uuutBu
tt
),,(

)0,(
1
xuxu
t
=
trong đó
10
~
,
~
, , uufB là các hàm cho trước thỏa thêm một số điều kiện phụ và ,0
0
>h
0
1
≥h
là các hằng số cho trước. Trong phương trình (1.1) các số hạng phi tuyến
),,,,,,(
22
uuuuutxf
tx
∇
và ),,(
22
uutB ∇ còn phụ thuộc thêm vào các tích
phân
(1.4)
∫
Ω
= dxtxuu

⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=
∫
ρ

đây u là độ võng, ρ là khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài sợi dây ở
trạng thái ban đầu,
E

là môđun Young và
0
P là lực căng lúc ban đầu. )
Trong [8], Carrier cũng thiết lập một mô hình thuộc loại
(1.6)
,0 , 0 ,),(
0
2
10
TtLxudytyuPPu
xx
L
tt
<<<<
⎟
⎟
⎠

δ
−== trong đó ,0>
δ
0≥
α
là các hằng
số cho trước.
Trong [20, 24] các tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
(1.7) ,0, ),,( )(
12
2
>Ω∈=+Δ∇−Δ+
−
txtxFuuuuBuu
tttt
α
ελ

trong đó
λ > ,0
ε
> ,0 0 < α < 1 là các hằng số cho trước và Ω là một tập mở bò chận
của .
n
IR
Trong [10], Đònh đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận khi
ε → 0 của
nghiệm yếu của bài toán )1.0( - )3.0( với 1
≡
B

+
thỏa 0)0,0,(
1
=
tf ,0≥
∀
t một khai triển tiệm cận của
nghiệm bài toán (1.1), (1.3), (1.8), (1.9) đến cấp
1
+
N
theo một tham số ε thu được
với ε đủ bé.
Trong [23] Long và Diễm đã khảo sát thuật giải xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm
cận liên kết với phương trình sóng phi tuyến
(1.10)
,0),1,0(),,,,,( ),,,,(
1
Ttxuuutxfuuutxfuu
txtxxxtt
<<
∈
+
=−
ε

cùng với các điều kiện đầu (1.2) và (1.3). Trong trường hợp
)]1,0([
32
IRIRCf ××∈

1
1
2
≥≥∈∈
++
BBIRCBIRCB là các hàm cho trước.
Trong phần này, chúng tôi liên kết bài toán (1.1)-(1.3) với một dãy qui nạp
tuyến tính hội tụ mạnh trong các không gian hàm thích hợp mà sự tồn tại đòa phương
của nghiệm duy nhất được chứng minh bằng phương pháp Galerkin thông dụng kết hợp
với phương pháp compact. Trong trường hợp ,0 ),(
0
31
>≥∈
+
+
bBIRCB
N

,0 ),(
1
3
1
≥∈
+
BIRCB
N
),]1,0([
231
++
+

ε
Kết quả nầy là một sự tổng quát hóa tương đối các kết quả trong [11,
13, 17, 23, 26 28, 39] và đã được công bố trong [N1].

PHẦN B: TRƯỜNG HP HAI CHIỀU.

Với miền hai chiều },1:),{(
22
<+=Ω yxyx chúng tôi xét bài toán giá trò biên
và đầu cho phương trình sóng phi tuyến trong màng tròn đơn vò có chứa toán tử
Kirchhoff
(1.12)
),,,,()
1
)(,(
2
0
2
0
rrrrrtt
uutrfu
r
uuuBu =+− ,0,10 Ttr <
<
<
<
12

),(
2
0
2
0
r
uuB
phụ thuộc vào các tích phân
,),(
1
0
22
0
∫
= drtruru

.),(
1
0
22
0
∫
= drtruru
rr

Nhiều tác giả[8, 12, 13, 20, 24, 26, 27, 36, 40] đã nghiên cứu bài toán
(1.16) ),,0(),(),,,,,(),(
11
22
1

Ω là một mở bò chận của
N
I
R có biên đủ trơn ,
1
Ω
∂

,),(
2
2
1
dxtxvv
∫
Ω
= ,),(),(
2
1
22
11
dxtx
x
v
dxtxvv
i
N
i
∂
∂
=∇=∇

TtLxvdyty
L
Eh
Phv
xx
L
tt
<<<<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=
∫
ρ

đây v là độ võng, ρ là khối lượng riêng, h là thiết diện,
L
là chiều dài sợi dây ở
trạng thái ban đầu,
E

là môđun Young và
0

),,,,(
11
txfvvvtxf
t
=∇
.1),(
~
)(
~
),(
~
)(
~
1100
−=== Nxuxvxuxv
γ

Khi đó

),(),(,),(),(
1
0
2
1
0
2
22
1
rrrr
u

IR Do
đó ta có thể viết lại (1.16)-(1.19) dưới dạng 13

(1.21) ),,(
~
)(),(,),(
1
1
0
2
1
0
2
trfu
r
udrrtrudrrtruBu
rrrrtt
=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−

1
Ω và
sức căng tại các điểm khác nhau trên đó thay đổi theo thời gian. Điều kiện trên biên
mô tả những ràng buộc đàn hồi, trong đó h là hằng số có một ý nghóa cơ học nào đó.
Điều kiện biên (1.13)

hiển nhiên sẽ được thoả mãn nếu
u
là một nghiệm cổ điển của
bài toán (1.12)-(1.15), chẳng hạn như
(
)
),0(
1
TCu ×Ω∈

(
)
),0(
2
TC ×Ω∩ . Điều kiện
này thường được sử dụng trong sự liên hệ với các không gian Sobolev có trọng r [4,
25].
Trong báo cáo này, chúng tôi liên kết bài toán (1.12)-(1.15) với một dãy qui nạp
tuyến tính mà sự tồn tại đòa phương của nghiệm duy nhất được chứng minh trong các
không gian Sobolev có trọng thích hợp. Trong chứng minh phương pháp Galerkin kết
hợp với phương pháp compact được sử dụng. Kế đó chúng tôi xét bài toán (1.12)-(1.15)
với trong trường hợp
),( urff =
và

b
t
u
mmmm
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+−
∂
∂
∫

),,()(),(
111 −−−
∂
∂
−+=
mmmm
ur
u
f
uuurf
,0,10 Ttr <<<
<

với

(2.2)
),(),0( tPtu
x
= 14

(2.3) ,0),1(),1(),1(),1(),1(
2
1
2
1
11
=+=−
−−
tutututuKtu
t
q
t
p
x
λ

(2.4) ),()0,(),()0,(
10
xuxuxuxu
t
==
trong đó ,),(

2
0
00
∫
−−++=
−−
t
t
q
t
p
dssustktutututuKtgtP
λ

trong đó
,2q ,
00
≥p và
00
,
λ
K là các hằng số cho trước và kg, là các hàm cho trước.
Trong [2], An và Triều đã nghiên cứu một trường hợp riêng của bài toán (2.1),
(2.2), (2.4) và (2.5) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất tại 1=x :
(2.6)
,0),1( =tu
với ,0
10
≡== uuF ,2,0
00

≥K ,,
λ
K
11
,
λ
K
là các
hằng số cho trước và kg, là các hàm cho trước.
Trong [29] Long, Út và Trúc đã khảo sát sự tồn tại duy nhất nghiệm, sự ổn đònh
của nghiệm, tính chính quy theo biến thời gian và khai triển tiệm cận của nghiệm của
bài toán (2.1), (2.2) và (2.4)-(2.6) khi 2
00
=
=
=
=
qpqp và .),(
12
10
HHuu ×∈
Trong [30] Long và Giai đã thu được kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm và
khai triển tiệm cận nghiệm của bài toán (2.1), (2.2) và (2.4)-(2.6) khi ,2
=
= qp
2,
00
≥qp và .),(
21
10

≥qpqpp ,1>q
,
1
0
0
/
0
−
=
q
q
q
đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu ),( Pu
của bài toán (2.1)- (2.5) được chứng minh. Chứng minh được dựa vào phương pháp
Galerkin và compact yếu kết hợp với toán tử đơn điệu [N4]. Trong mục 2, với trường
hợp ,2
10
==qq ,2,,,
10
≥ppqp chúng tôi chứng minh rằng nghiệm duy nhất ),( Pu
nằm trong không gian hàm
),,0()];,0();,0();,0([
221102
THLTCHTCHTL ×∩∩
∞
với
),;,0(
1
HTLu
t

0
=
λ

chúng tôi cũng thu được sự phụ thuộc tính trơn của nghiệm bài toán (2.1)-(2.5) (theo
biến thời gian) theo tính trơn của dữ kiện [N3]. Kết quả nầy là một sự tổng quát hóa
tương đối các kết quả trong [2, 3, 19, 22, 23, 29, 30] và đã được công bố trong [N3,
N4].

Thuyết minh Phần III. Phương trình parabolic phi tuyến chứa toán tử Bessel với điều
kiện biên hỗn hợp không thuần nhất.

Nội dung của phần nầy được công bố trong 01 bài báo [N5].

Trong phần này, chúng tôi xét bài toán giá trò biên và đầu cho phương trình
parabolic phi tuyến
(3.1) ),,(),())(( trfurFu
r
utau
rrrt
=++−
γ
,0,10 Ttr
<
<
<
<

(3.2) ,),(lim
2/

trfurF
r
u
r
rr
ta
t
u
=+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
γ
γ

.0,10 Ttr
<
<
<
<

Với ,1=
γ
,0),( =urF bài toán mô tả dòng nhiệt đối xứng trục trong một hình trụ.
Với 2=
γ

xứng trục và thay đổi một cách tuần hoàn. Minasjan [35] đã tìm một nghiệm cổ điển
của bài toán này bằng cách dùng biến đổi Fourier. Phương pháp này dẫn đến một hệ
giả chính quy vô hạn các phương trình đại số tuyến tính. Tuy nhiên tính giải được của
hệ này không được chứng minh chi tiết trong [35]. 16

Trong [18] Lauerova đã chứng minh rằng với dữ kiện
−
T
tuần hoàn, bài toán
(3.1), (3.2), (3.5), (3.6) có một nghiệm yếu
−
T
tuần hoàn theo .t Trong trường hợp
(3.7)
,1=
γ
,0
~
0
=u ,0=f ),(uFF = ),(
1
IRCF ∈ ,)(
/
ε
−≥uF
0>
ε

∞
−
utu )(
tiến về zêrô dạng mũ theo .t
Trong mục 4, cho một ví dụ minh họa với tính toán cụ thể. Cũng chú ý rằng các giả
thiết về số hạng phi tuyến 0),(
=
urF trong công trình của chúng tôi cũng khá rộng, nó
cũng chứa một số lớn các bài toán phi tuyến. Chẳng hạn nếu ta xét 2=
γ
( Laplace
trong tọa độ cầu trong
3
I
R ) và tất cả các hàm
F
thuộc loại
,)(
1
uuuF
−
=
α
.20
<
<
α

Kết quả nầy là một sự tổng quát hóa tương đối các kết quả trong [1, 18, 21, 35] và đã
được công bố trong [N5].

1
)1(2
−
+
−=
NN
Nb
ω
với
1+N
ω
là diện tích của mặt cầu đơn vò trong
,
1+N
IR

;2≥N

σ
là một hằng số dương cho trước với
,0 N
<
<
σ
và IRIRIRg
N
→×
+
2
: là


và một số điều kiện phụ sau đó. 17

Trong trường hợp ,1
−
= N
σ
)),(,())(,,( yuygyuyxg
=
phương trình tích phân
(4.1) được thành lập từ bài toán Neumann phi tuyến sau đây

(4.3)
,0
1
1
==Δ
∑
+
=
N
i
xx
ii
vv ,
N
IRx ∈ ,0

∫
−
−
=
.
N
IRx ∈∀
Trong [7] các tác giả Bunkin, Galaktionov, Kirichenko, Kurdyumov, Samarsky
đã nghiên cứu bài toán (4.3), (4.4) với 2
=
N và phương trình Laplace (4.3) ở dạng
tọa độ trụ
(4.6)
,0
1
=++
zzrrr
uu
r
u
,0,0 >
∀
>
∀
zr
và với điều kiện biên phi tuyến có dạng cụ thể như sau
(4.7)
),0,()/exp()0,(
2
0

2
0
2
0
0
θ
θ
π
π
α
rssr
d
sdssursIru
−+
+−=
∫∫
+∞
,0>∀r

liên kết với bài toán (4.6), (4.7) không có nghiệm dương. Sau đó, kết quả nầy đã được
mở rộng bởi Long, Ruy [32] cho điều kiện biên phi tuyến tổng quát

(4.9) )),0,(,()0,( rurgru
z
=−
.0≥
∀
r
bài toán (4.3), (4.4) với 18

(4.10) .),(
α
uuxg =
Trong [15] Hu và Yin đã chứng minh với
),1/(1
−
<
≤
NN
α
,2≥N và trong [14]
Hu đã chứng minh với
),1/()1(1
−
+
<
< NN
α
.2≥N Cũng cần chú ý rằng hàm
α
uuxg =),(
không thỏa các điều kiện trong các bài báo [5, 31, 32].
Trong báo cáo nầy, chúng tôi xét phương trình tích phân phi tuyến (4.1) với
))(2/1(
11

γ
σ
γ
β
α
−
+
−+≤≤ N phương trình tích phân (4.1) không có
nghiệm dương liên tục. Kết quả nầy đã được công bố trong [N6].

Math. Anal. Appl. 306 (1) (2005) 243-268.
[N2] Nguyen Thanh Long,
Nonlinear Kirchhoff- Carrier wave equation in a unit
membrane with mixed homogemeous boundary conditions
, Electronic J. Differential
Equations, 2005, No. 138 (2005) Pages 1-18.
ISSN: 1072-6691. URL:
or .
[N3] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem,
On a shock
problem involving a nonlinear viscoelastic bar
, J. Boundary Value Problems, Hindawi
Publishing Corporation, 2005 (3) (2005) 337-358.
[
[ ]
[N4] Nguyen Thanh Long, Vo Giang Giai,
A nonlinear wave equation associated with
nonlinear boundary conditions: Existence and asymptotic expansion of solutions
,
Nonlinear Anal. TMA, Series A: Theory and Methods, (2206) (accepted for
publication).
[N5] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh,
On a nonlinear parabolic equation
involving Bessel's operator associated with a mixed inhomogeneous condition
,
Comput. Appl. Math. 196 (1) (2006) 267-284.
[N6] Nguyen Thanh Long,
On the nonexistence of positive solution of some singular
nonlinear integral equations
, J. Inequalities and Applications, Hindawi Publishing

, Nonlinear Analysis
and Applications: to V. Lakshmikantham on his 80th Birthday, vol. 1, Kluwer,
Dordrecht, 2003, pp. 117140.
[2] N.T. An, N.D. Trieu,
Shock between absolutely solid body and elastic bar with the
elastic viscous frictional resistance at the side
, J. Mech. NCSR. Vietnam, 13 (2) (1991)
1-7.
[3] M. Bergounioux, N.T. Long, A.P.N. Dinh,
Mathematical model for a shock problem
involving a linear viscoelastic bar
, Nonlinear Anal. 43 (2001) 547-561.
[4] D.T.T. Binh, A.P.N. Dinh, N.T. Long,
Linear recursive schemes associated with the
nonlinear wave equation involving Bessels operator
, Math. Comp. Modelling, 34
(2002) No. 5-6, 541-556.
[5] D. T. T. Binh, T. N. Diem, D. V. Ruy, and N. T. Long,
On nonexistence of positive
solution of a nonlinear Neumann problem in half-space
,
n
IR
+
Demonstratio Math. 31
(1998), No. 4, 773782.
[6] D. T. T. Binh and N. T. Long,
On the nonexistence of positive solution of Laplace
equation in half-space
n

(1986) 4563.
[12] Y. Ebihara, L.A. Medeiros, M.M. Minranda,
Local solutions for a nonlinear
degenerate hyperbolic equation
, Nonlinear Anal. 10 (1986) 2740.
[13] M. Hosoya, Y. Yamada,
On some nonlinear wave equation I: Local existence and
regularity of solutions
, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. I A, Math. 38 (1991) 225238.
[14] B. Hu,
Nonexistence of a positive solution of the Laplace equation with a
nonlinear boundary condition
, J. Diff. and Int. Equ. 7 (1994), No. 2, 301313. 21

[15] B. Hu and H. M. Yin,
The profile near blowup time for solution of the heat
equation with a nonlinear boundary condition
, Transactions of AMS. 346 (1994), No. 1,
117–135.
[16] G.R. Kirchhoff,
Vorlesungen über Mathematiche Physik: Mechanik
, Teuber,
Leipzig, 1876, Section 29.7.
[17] N.A. Larkin,
Global regular solutions for the nonhomogeneous Carrier equation
,
Math. Prob. Engrg. 8 (2002) 15–31.


xxtt
uu
−

),,,,(
tx
uuutxf=
associated with the mixed homogeneous conditions
, Nonlinear Anal.
29 (1997) 1217–1230.
[24] N.T. Long, T.M. Thuyet,
On the existence, uniqueness of solution of the nonlinear
vibrations equation
, Demonstratio Math. 32 (1999) 749–758.
[25] N.T. Long, A.P.N. Dinh, D,T,T. Binh,
Mixed problem for some semilinear wave
equation involving Bessel’s operator
, Demonstratio Math. 32 (1999), No. 1, 77-94.
[26] N.T. Long, P.N.D. Alain, T.N. Diem,
Linear recursive schemes and asymptotic
expansion associated the Kirchhoff–Carrier operator
, J. Math. Anal. Appl. 267 (2002)
116–134.
[27] N.T. Long,
On the nonlinear wave equation

xxxtt
uutBu ),(
2

[32] N. T. Long and D. V. Ruy,
On a nonexistence of positive solution of Laplace
equation in upper half-space with Cauchy data
, Demonstratio Math. 28 (1995), No. 4,
921–927.
[33] N. T. Long and D. V. Ruy,
On the nonexistence of positive solution of some
nonlinear integral equation
, Demonstratio Math. 36 (2003), No. 2, 393–404.
[34] D. V. Ruy, N. T. Long, and D. T. T. Binh,
On a nonexistence of positive solution of
Laplace equation in upper half-space
, Demonstratio Math. 30 (1997), No. 1, 7–14.
[35] R.S. Minasjan,
On one problem of the periodic heat flow in the infinite cylinder
,
Dokl. Akad. Nauk. Arm. SSR. 48 (1969).
[36] L.A. Medeiros,
On some nonlinear perturbation of Kirchhoff–Carrier operator
,
Comp. Appl. Math. 13 (1994) 225–233.
[37] L.A. Medeiros, J. Limaco, S.B. Menezes,
Vibrations of elastic strings:
Mathematical aspects
,
Part one
, J. Comput. Anal. Appl. 4 (2) (2002) 91–127.
[38] L.A. Medeiros, J. Limaco, S.B. Menezes,
Vibrations of elastic strings:
Mathematical aspects