BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH LA HỒNG NGỌC

CÁC ĐIỂM HỮU TỶ
TRÊN CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC
TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN.
Chuyên ngành: Hình học và tôpô.
Mã số: 604610
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

chức Hành chính, phòng Kế hoạch-Tài chính Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh;
Cảm ơn Sở Giáo Dục-Đào Tạo Tiền Giang, Ban Giám Hiệu trường THPT Bình Đông thị xã Gò
Công tỉnh Tiền Giang cùng toàn thể quý đồng nghiệp, các bạn cùng khóa học, gia đình đã động
viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Chân thành cảm ơn!

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2010.
Tác giả
La Hồng Ngọc. DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU A
n
Không gian afin n-chiều.
D Biệt thức của đa thức bậc 3.
deg Bậc của đường cong phẳng.

E(k) Tập điểm hữu tỷ của đường cong elliptic E trên trường k.

a
m

Nhóm xoắn.
G(k) Nhóm các điểm hữu tỷ.
gcd( ) Ước số chung lớn nhất.
(X) Ideal triệt tiêu của X.
k[x
1
, …, x
n
] Vành đa thức trên k với n biến.
[ ]
k X
Trường các hàm hữu tỷ trên X.
N
p
(f(x)) Số nghiệm của phương trình đồng dư
( ) 0(mod )
f x p

.
N(p) Số cặp của các thặng dư bậc 2 modulo p liên tiếp trong F
p
.
N(p)
*
Số cặp của các số nguyên liên tiếp trong F
p
.

theo được đặt ra rất tự nhiên là thử tìm hướng tiếp cận đến một số thuật toán tính toán để xác định
các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn.
Chúng tôi lựa chọn đề tài này thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tiếp cận và giới
thiệu một số kiến thức chuyên môn về “Lý thuyết về các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn”
cùng với việc xét tính chất của một số họ đường cong cụ thể để thực hiện việc mô tả cấu trúc của
nhóm các điểm hữu tỷ trên chúng và xây dựng thuật toán tính toán tương ứng.
Trong phạm vi đề tài, chúng tôi sẽ xét các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn được mô
tả dưới dạng Weierstrass.
Vì vậy, luận văn có tên gọi là:
“Các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn”.
2. Lịch sử của vấn đề
Cơ sở lý thuyết và công cụ nghiên cứu cũng như phương pháp giải quyết vấn đề trong Luận
văn dựa trên một số kết quả sau đây:
a) Định lý Hasse mô tả cận trên của lực lượng nhóm E(F
q
) của đường cong elliptic trên
trường hữu hạn F
q
.
b) Các kết quả và phương pháp mô tả luật nhóm trên nhóm các điểm hữu tỷ trên các đường
cong Elliptic trên trường hữu hạn .
c) Các kết quả mô tả về các nhóm abel hữu hạn sinh.
Luận văn của chúng tôi tập trung giải quyết một số vấn đề về: xác định nhóm các điểm hữu
tỷ trên một số họ đường cong trên trường F
q
được cho dưới dạng Weierstrass:
2 3

y = x + Ax + B
. Trong trường hợp đường cong được xét trên trường Z
4. Mục đích nghiên cứu
- Mô tả cấu trúc nhóm của tập các điểm hữu tỷ E(F) của đường cong Elliptic không kỳ dị E
trên F.
- Mô tả các điểm hữu tỷ trên một số lớp đường cong Elliptic:
2 3

y x kx
 
,
2 3y x b
 

trên trường
q
F
.

Trình bày phương pháp chứng minh một số Định lý mô tả cách xác định các đối tượng đã
liệt kê ở trên đối với các họ đường cong được xét.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các kết quả tổng quát đã biết về tính chất của các đường cong Elliptic trên trường
hữu hạn để mô tả và xác định nhóm các điểm hữu tỷ trên các họ đường cong được xét.
- Sử dụng các phương pháp, công cụ của Đại số và Lý thuyết số để giải quyết bài toán xác định
nghiệm của phương trình đồng dư trên trường hữu hạn, cùng với kết quả của Định lý Hasse về
khoảng giới nội của lực lượng của nhóm E(F) để xây dựng các thuật toán tính toán. Đây là một số

y x kx
 
,
2 3

y x b
 
, với
,
q
k b F

.

Phần kết luận: Mô tả tóm tắt và nêu kết luận về các vấn đề, nội dung đã thực hiện trong Luận
văn
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

§1. CÁC BƯỚC MỞ ĐẦU
Trong chương này, ta xem lại một số định nghĩa và các kết quả cơ bản trong Đại số giao
hoán và Lý thuyết phạm trù, và ta suy ra một số thuật toán cho việc nghiên cứu trong các vành đa
thức.

1.1. ĐẠI SỐ
Cho A là một vành. Một A-đại số là một vành B với một phép đồng cấu
:

(A). Nghĩa là, nếu phép đồng cấu của A-đại số
A[X
1
, X
2
, … , X
n
]

B biến X
i
thành x
i
là một song ánh.

1 2
i
[ , , , ]
X
n
i
A X X X B
x

 
 
 

là song ánh.
Khi đó ta viết: B = (i

1.2. IDEALS.
Cho A là một vành. A vành con của A là một tập con chứa l mà bị đóng dưới phép cộng, phép nhân,
và sự cấu thành của các đại lượng âm. Một ideal
a trong A là một tập con sao cho:
(a) a là một nhóm con của A được xem như một nhóm có phép cộng.
(b)
a

a, rA

r
a
 a.
Ideal được sinh ra bởi một tập con S của A là tập giao của tất cả các ideal
a chứa trong A-
thực chất đây là một ideal, và nó bao gồm tất cả các tổng hữu hạn của dạng
i i
rs

với
.
,
i i
r A s S
 

Khi đó, S ={s
1
, s
2

a b a b a b

Chú ý rằng: ab

a

b.
o Cho a là một ideal của A. Tập hợp của các lớp của a trong A hình thành một vành A/a, và
a a


a là một phép đồng cấu  : A  A/a. Ánh xạ b
1



(b) là một sự tương ứng một-một
giữa các ideal của A/
a và các ideal của A đang chứa a.
o Một ideal
p
là nguyên tố nếu p  A và ab  p  a  p hoặc b  p. Do đó p là số nguyên tố
nếu và chỉ nếu A/
p khác 0 và có tính chất:
ab = 0, b  0  a = 0, nghĩa là: A/p là một miền nguyên.
o Một ideal
m l
à tối đại nếu m  A và không tồn tại ideal n chứa một cách nghiêm ngặt giữa m
và A. Do đó m là tối đại nếu và chỉ nếu A/m khác 0 và không có các ideal khác 0 thích hợp, và do
đó nó là một trường. Chú ý rằng:

là song ánh, với hạt nhân: ker

a
i
=

a
i
.

Chứng minh: Đầu tiên giả sử rằng n = 2. Khi a
1
+ a
2
= A, tồn tại a
i
 a
i
sao cho: a
1
+ a
2
= 1.
Khi đó x = a
1
x
2
+ a
2
x

(a b ) 1

  
i i i
và nằm trong a
1
+
2
i


a
i
, và do đó:
a
1
+
2
i


a
i
= A.
Áp dụng định lý trong trường hợp n = 2 để thu được một phần tử y
1
của A sao cho:

1
1mod

2
, … , y
n
sao cho:

1mod

i
y
a
i
,
y 0mod

i
a
j
, j

i.
Phần tử
i i
x x y


ánh xạ vào (x
1
mod a
1
, … , x

a
2
, ta có:
c = a
1
c

+ a
2
c  a
1
.a
2

Ta chứng minh:
a
1

a
2
= a
1
a
2
.
Việc chứng minh dựa vào phương pháp quy nạp toán học. Điều này cho phép chúng ta giả sử rằng:


2
i

1
2
(
i



a
i
) =

a
i
.
1.3. Các vành Noether
Mệnh đề 1.3.1: Các điều kiện sau trên vành A là tương đương:
(a) Mọi ideal trong A đều là hữu hạn sinh;
(b) Mọi dãy tăng của các ideal
1 2

a a
 
dần dần trở thành hằng số, nghĩa là với một số m,
1
,
m m
a a

 


= … = a.
(b)  (c): Cho S là một tập khác rỗng của các ideal trong A. Cho a
1
 S, nếu a
1
không lớn nhất
trong S, khi đó tồn tại một ideal a
2
 S thích hợp chứa a
1
. Tương tự, nếu a
2
không lớn nhất
trong S, thì tồn tại một ideal
a
3
S thích hợp chứa a
2
, vân vân…Trong cách này, ta thu được
một dãy tăng các ideal
a
1


a
2


a
3

không đơn vị được chứa trong một ideal lớn nhất, vì một vành địa phương A
X
= A \ m.

Mệnh đề 1.3.2: (Bổ đề Nakayama’s).
Cho A là một vành noether địa phương với ideal tối đại m, và cho M là một A-module hữu
hạn sinh.
(a) Nếu M = mM, thì M = 0.
(b) Nếu N là một module con của M sao cho M = N + mM, thì M = N.
Chứng minh:
(a) Cho x
1
, x
2
, … ,x
n
sinh ra M, và viết:
i ij j
j
x a x


, với
ij
a
 m.
Khi đó x
1
, x
2

2
với k = A/m.
Hệ quả 1.3.3:
Các phần tử
1
, ,
n
a a
của m sinh ra m như một ideal nếu và chỉ nếu các thặng dư module m
2

sinh ra m/m
2
như một không gian vectơ trên k. Đặt biệt, số nhỏ nhất của các phần tử sinh vì ideal tối
đại bằng số chiều của không gian vectơ m/m
2
.
Chứng minh:
Nếu
1
, ,
n
a a
sinh ra m, các thặng dư sinh ra m/m
2
. Ngược lại, giả sử rằng các thặng dư của
chúng sinh ra m/m
2
, sao cho m = (
1

Do đó, số chiều Krull của một vành A là cận trên đúng của chiều dài của dãy các ideal
nguyên tố trong A (chiều dài của một chuỗi là số các kẻ hở, do đó chiều dài của (2) là d).
Ví dụ, một trường có số chiều Krull là 0, và ngược lại một miền nguyên của số chiều Krull
bằng 0 là một trường. Chiều cao của mỗi ideal nguyên tố khác 0 trong miền xác định ideal chính là
1, do đó một vành có số chiều Krull bằng 1.
Chiều cao của bất kỳ ideal nguyên tố nào trong một vành noether là hữu hạn, nhưng số chiều
Krull của vành có thể vô hạn. (Ví dụ: xét Nagata, các vành địa phương, 1962, appendix; phụ lục
A1). Trong một ví dụ của Nagata, có các ideal tối đại p
1
, p
2
, p
3
, … trong A sao cho dãy ht(p
i
) hướng
tới vô hạn.
Định nghĩa 1.3.5: Một vành noether địa phương của số chiều Krull d được xem là chính quy nếu
ideal tối đại của nó có thể được sinh ra bởi các phần tử d.
Nó suy ra từ hệ quả (1.3.3) mà một vành noether địa phương là chính quy nếu và chỉ nếu số
chiều Krull của nó bằng với số chiều của không gian vectơ m/m
2
.

Bổ đề 1.3.6: Cho A là một vành Noether. Tập bất kỳ của các phần tử sinh cho một ideal trong A
chứa một tập con hữu hạn sinh.
Chứng minh:
Cho a là một ideal được sinh bởi một tập con S của A. Khi đó a = (
1
, ,

1
, ,
r
a a
sinh ra m. Khi đó m
n
được sinh bởi các đơn thức bậc n trong
i
a
. Mặt khác, m
n

bao gồm tất cả các phần tử của A mà bằng g(
1
, ,
r
a a
) cho một số đa thức thuần nhất g(X
1
, . . . , X
r
)
 A[X
1
, . . . , X
r
] bậc n. Cho S
m
là tập tất cả các đa thức thuần nhất f có bậc m sao cho
f(

i
. Cho
1
n
n
b m



; đặc biệt b

m
d+1
, và do đó b =
f(
1
, ,
r
a a
) với một số đa thức thuần nhất f bậc d + 1. Từ định nghĩa, f

S
d +1

a, và do đó: f =
g
1
f
1
+ . . . + g

  



Do đó,
.
n n
m m m

 
,
và từ bổ đề của Nakayama ta suy ra:
0
n
m


.

1.4. Nhân tử hóa duy nhất
Cho A là một miền xác định nguyên. Một phần tử a của A là một phần tử tối giản nếu nó
khác 0, không là một đơn vị, và chỉ cho các nhân tử hóa tầm thường, nghĩa là:

a bc b
 
hoặc
c
là một đơn vị.
Nếu mọi phần tử không đơn vị khác không trong A có thể được viết như một tích hữu hạn của các
phần tử tối giản được một cách chính xác trong một cách nào đó (đối với các đơn vị và bậc của các

trong A[X].
Nếu một phần tử tối giản p của A chia cho cd, khi đó, tìm modulo (p), ta thấy rằng:
0 =
1 1
.
g h
trong (A/(p))[X].
Theo mệnh đề 1.4.1, (p) là số nguyên tố, và do đó (A/(p))[X] là một miền xác định nguyên. Do vậy,
p chia hết cho tất cả các hệ số của một trong các đa thức nhỏ nhất g
1
, h
1
, giả sử g
1
, để cho g
1
= pg
2

với g
2
 A[X]. Do đó, ta có một nhân tử hóa
(cd/p)f = g
2
h
1
trong A[X].
Tiếp tục phương pháp này, ta có thể di chuyển lại toàn bộ các thừa số tối giản của cd, và vì thế ta
thu được một nhân tử hóa của f trong A[X].
Cho A là một miền nhân tử hóa duy nhất. Một đa thức khác 0

n
f a a X a X
g b b X b X
   
   
là các đa thức nguyên hàm, và cho p là một phần
tử tối giản của A. Cho
0
i
a
là hệ số đầu tiên của f không thể chia được bởi p và
0
j
b
là hệ số đầu tiên
của g không thể chia được bởi p. Khi đó tất cả các số hạng trong
0 0
i j
i j i j
a b
  

có thể chia được
bởi p, ngoại trừ
0 0
i j
a b
, là không thể chia được bởi p. Do đó, p không thể chia hệ số thứ-(i
0
+ j


Mệnh đề 1.4.5:
Nếu A là một miền nhân tử hóa duy nhất, thì A[X] cũng là miền nhân tử hóa duy nhất.
Chứng minh: Đầu tiên ta chứng minh rằng mọi phần tử f của A[X] là tích của các phần tử tối giản.
Từ nhân tử hóa f = c(f)f
1
với f
1
nguyên hàm, ta thấy rằng đủ để làm được điều này vì f nguyên
hàm.
Nếu f không thể tối giản trong A[X], thì nó có các thừa số như f = gh với g, h là các đa thức
nguyên hàm trong A[X] của bậc thấp hơn. Thực hiện tiếp tục ta thu được nhân tử hóa cần tìm.
Từ nhân tử hóa f = c(f)f
1
với f
1
nguyên hàm, ta thấy rằng các phần tử tối giản của A[X] được
tìm ra giữa các đa thức hằng số và các đa thức nguyên hàm.
Lấy
1 1 1 1

m n r s
f c c f f d d g g
 
là hai nhân tử hóa của một phần tử f của A[X] vào
các phần tử tối giản với các hằng số c
i
, d
j
và các đa thức nguyên hàm f

i
chỉ từ g
i
bởi các đơn vị
trong F và bởi sự sắp xếp thứ tự của chúng.
Nhưng nếu
i j
a
f g
b

với
a
và b là các phần tử khác 0 của A, khi đó:
bf
i
=
a
g
j
.
Khi f
i
và g
j
là nguyên hàm, ta suy ra b =
a
(tùy vào một đơn vị trong A).
Do đó
a

sao cho:

1
.
n
i i
i
x k a




Định nghĩa 2.2: Cho A là một nhóm abel. Nhóm con xoắn của A, ký hiệu T(A), là tập:
T(A) =
{ | : 0}
a A n na
   

.
Định nghĩa 2.3: Một nhóm abel A được gọi là không có xoắn nếu T(A) = {0}.
Bổ đề 2.4: Cho A là một nhóm abel. Khi đó A/T(A) là không có xoắn.
Định nghĩa 2.5:

n
  
  
tổng của n bản được gọi là nhóm abel không có hạng n.

Định lý 2.6: Nếu A là một nhóm abel không có xoắn hữu hạn sinh mà có một tập hợp các phần tử
sinh có lực lượng bé nhất với n phần tử, khi đó A đẳng cấu với nhóm abel tự do hạng n.

1
a
>) không là nhóm tầm thường thì có
một nhóm con
B A

sao cho:
T(A/<
1
a
>)

B/<
1
a
>.
Như vậy với bất kỳ phần tử
0
b B
 
tồn tại một số nguyên
0
i
 

sao cho ib<
1
a
>.
Nhưng, vậy thì

f(B) = < f(b
1
), … , f(b
m
) > = <j
1
/i
1
, … , j
m
/i
m
> là một nhóm con của nhóm cyclic
<1/i
1
…i
m
>, do đó là cyclic.
Nếu B = A thì A tự do sinh bởi một phần tử. Nếu không, khi đó:

1 2
/ , , , ,
n n
A B a a a a
  

và
1 1 1 1
/ ( / ) / ( / ) ( / ) / ( / ).
A B A a B a A a T A a

được gọi là đơn xạ khi với bất kỳ vật Z của P và bất kỳ cặp cấu xạ: i, j : Z  X, nếu
f i f j

 

thì i = j.

Định nghĩa 2.9: Cho P là một phạm trù và cho X và Y là các vật của P. Một cấu
xạ f : X  Y được gọi là toàn xạ khi với bất kỳ vật Z của P và bất kỳ cặp cấu xạ: i, j : Y  Z,
nếu
i f j f

 
thì i = j.

Định nghĩa 2.10: Cho A và B là các nhóm abel. Tổng trực tiếp ngoài của A và B trong phạm trù
của các nhóm abel, ký hiệu
A B

là một nhóm abel
A B

với các phép đồng cấu chính tắc i : A

A B

và j: B 
A B

thỏa mãn điều kiện với bất kỳ nhóm abel C và các cấu xạ f : A  C

A T A a a
 
nên A/T(A) là hữu hạn sinh.
Giả sử
1
, ,
m
x x
 
là một tập hợp cực tiểu các phần tử sinh của A/T(A).
Nếu
/ ( )
a A T A

thì
1
m
i
i
i
a k x



với các số nguyên
i
k


.

x x T A
  
.
Chú ý: Nếu:
: / ( )
A A T A


là đồng cấu thương và
: / ( )
A T A A


được cho bởi
( )
i i
x x



thì
 

là một phép đồng cấu đồng nhất của A/T(A) và

là một phép đơn cấu.
Hệ quả 2.12: Mỗi nhóm abel hữu hạn sinh là tổng trực tiếp của một nhóm hữu hạn và một nhóm
abel tự do của hạng n với số nguyên n 

.

Cho
k
là một bao đóng đại số của k.
Một đường cong phẳng X trên k được xác định bởi phương trình
( , ) 0
f x y

, ở đây
( , ) [ , ]
i j
ij
f x y a x y k x y
 

là bất khả qui trên
k
. Ta định nghĩa bậc của X và f như sau:

deg X = deg f = max{i + j :
ij
a
 0}.
Một điểm k-hữu tỷ (hoặc đơn giản là k-điểm) trên X là một điểm
( , )
a b
với tọa độ thuộc k sao
cho
( , ) 0
f x y



) có thể được chính xác hóa bằng cách sử dụng khái
niệm của máy Turing; xem [8] để tiếp cận định nghĩa. Vì có mối quan hệ của câu hỏi này với bài
toán thứ 10 của Hilbert, xin xem tổng quan trong [16].
Hiện nay có tồn tại các phương pháp tính toán trả lời câu hỏi cho một X đặc biệt, mặc dù nó
chưa từng được chứng minh rằng các phương pháp này làm việc chung nhau. Thậm chí các vấn đề
sau đây còn bỏ ngỏ :
(1) Có hay không một thuật toán khi cho một đa thức bậc bốn f(x)

[x], liệu có xác định
được
2
( )
y f x

có một điểm hữu tỷ?
(2) Có hay không một thuật toán khi cho một đa thức
( , ) [ , ]
f x y x y


bậc 3, liệu có
biết
( , ) 0
f x y

có một điểm hữu tỷ?
Thực ra, ta có thể nhận thấy rằng các vấn đề (1) và (2) là tương đương.
3.2. Các đường cong trên trường hữu hạn.
Cách xác định X(): sự phân chia nhỏ theo bậc. Ta trở lại vấn đề xác định tập hợp các điểm hữu

Định lý Legendre dẫn đến một thuật toán để xác định sự tồn tại của một

-điểm trên
đường conic X.
Đây là một thuật toán: bổ sung bình phương, nhân với một hằng số, và tập trung các bình
phương vào các biến, để cảm sinh trường hợp
2 2 2
0
aX bY cZ
  
trong 
2
, ở đây
, , 0
a b c

,
không chính phương, đôi một nguyên tố. Khi đó ta có thể chứng minh rằng tồn tại một

- điểm nếu
và chỉ nếu
, ,
a b c
đều không cùng dấu và các phương trình đồng dư:

2
2
2
0
0


-điểm. Vì có một cách làm hợp lý là: với mỗi điểm P  X(

)
vẽ một đường qua P
0
và P,, và giả sử
t là hệ số góc của nó trong

(hoặc có thể là

)
. Ngược lại, cho t 

, từ định lý Bézout suy ra rằng
đường qua P
0
với hệ số góc t sẽ cắt đường conic tại một điểm khác (miễn là đường này không
tiếp xúc với conic tại P
0
), và đây sẽ là một điểm hữu tỷ.
Ví dụ: nếu X là đường tròn
2 2
1
x y
 
và P
0
(-1, 0), thì:



Hình 1.1: Tham số hóa hữu tỷ của một đường tròn.
Định nghĩa các ánh xạ song hữu tỷ từ

1
đến X và ngược lại, nghĩa là bỏ qua hữu hạn các tập
con có số chiều nhỏ hơn (một vài điểm), chúng là các ánh xạ được cho bởi các hàm hữu tỷ của các
biến mà cảm sinh một song ánh giữa các

-điểm. Những ánh xạ song hữu tỷ được định nghĩa trên

; các hệ số của các hàm hữu tỷ thuộc

, vì thế chúng cũng cảm sinh một song ánh giữa các

-
điểm (bỏ qua các tập con như trước). Đặc biệt, tập hợp đầy đủ các nghiệm hữu tỷ của phương trình
đường tròn
2 2
1
x y
 
là:

2
2 2
1 2
, : {( 1,0)}.
1 1
t t

điểm với mỗi số nguyên tố p, nhưng nó không có

-điểm. Vì p > 5, sự tồn tại các

p
-điểm có thể
được chứng minh bằng cách dùng bổ đề của Hensel [10, định lý 3] với một biến biến thiên để chứng
minh sự tồn tại của các nghiệm modulo p. Vì p = 2, 3, 5, một dạng tổng quát hơn của của bổ đề
Hensel có thể được sử dụng [10, chương I, bài tập 6]. Sự không tồn tại của các

-điểm khó xây
dựng hơn.
§4
.

CÁC ĐA TẠP AFIN - ĐA TẠP XẠ ẢNH
4.1. Các đa tạp afin.
Cho k là một trường. Nếu không có giải thích gì thêm thì trường k luôn là đóng đại số.

Định nghĩa 4.1.1. Không gian afin n-chiều A
n
(hoặc A
n
(k)) trên trường k là tập hợp các bộ n-thành

n
X A

là một đa tạp đại số afin, nếu nó là một tập zero của một
tập hữu hạn của các đa thức trong k[x
1
, …, x
n
]:
cho f
1
, …, f
k


k[x
1
, …, x
n
] thì:
X = Z(f
1
, …, f
k
) =
{ | ( ) 0, }.
n
i
p A f p i
  

m
X X X X
  

ở đây,
i
X
 X
j
với mọi
i j

.
Vì thế phép phân tích trên là duy nhất sai khác một phép hoán vị.

Ví dụ 1: Một đa tạp tuyến tính là một tập nghiệm của một hệ tuyến tính l
1
, …, l
k
. Nếu X = Z(l
1
,…,
l
k
) khác rỗng và các phương trình tuyến tính xác định là độc lập, khi đó số chiều của X là n – k và
số đối chiều của X là:
codimX = dimA
n
- dim X = k.
Việc định nghĩa về số chiều của các đa tạp tuyến tính có thể được lấy từ đại số tuyến tính.


Ví dụ 3: Một siêu mặt trong A
2
là một đường cong đại số phẳng. Một parabol có thể được cho bởi
tham số hóa
2
( , )
t t t

hoặc hoàn toàn bởi
2
[ ; ].
y x k x y
 
Không phải mọi đường cong phẳng
đều có một tham số hóa.

Ví dụ 4: Cubic xoắn là một đường cong trong A
3
được cho bởi tham số hóa
2 3
( , , ).
t t t t

Nó
hoàn toàn được cho bởi hai phương trình:
2
1
f y x
 

i j
X Y Z f g i k j i l
   

Ví dụ 6: Cho
n
X A

được xác định bởi f
1
, …, f
k

1
[ , , ]
n
k x x

và
m
Y A

cho bởi
1 1
, , [ , , ].
l m
g g k y y

Khi đó tích của X và Y là một đa tạp trong A
m + n

1
, …, f
k
), f
i
1
[ , , ]
n
k x x


thì với mỗi f có dạng ideal I = (f
1
, …, f
k
) ta có f(p) = 0, với mọi
.
p X


Hơn nữa, nếu hai tập hợp của các phương trình sinh ra cùng ideal,
(f
1
, …, f
k
) = (g
1
, …, g
l
) thì dễ dàng chứng minh rằng: Z(f


Từ định lý cơ bản Hilbert kéo theo giao của các đa tạp đại số lại là một đa tạp, vì nó là một
tập zero của một ideal được sinh bởi tất cả các phần tử sinh của các ideal định nghĩa.
Hơn thế nữa, tập rỗng

và toàn bộ A
n
cũng là các đa tạp trong A
n
. Do đó ta luôn có định
nghĩa sau đây:

Định nghĩa 4.2.4: Trong tôpô Zariski các tập mở là các phần bù cho các đa tạp đại số. Các tập mở
trong hình học tôpô Zariski là rất lớn. Mỗi tập mở khác rỗng là trù mật trong A
n
. Hơn nữa bất kỳ hai
tập mở khác rỗng đều giao nhau, vì thế nó không phải là hình học tôpô Hausdorff.

4.3. Nullstellensatz của Hilbert.
Ví dụ 7: Ideal định nghĩa của một đa tạp là không duy nhất.
Trong k[x
,
y] ta xét:
f
1
= x
2
– y
2
I

là một ideal. Căn của I là:

1
{ [ , , ]| , }.
m
n
I f k x x f I m
   


Nếu
I I

, thì ideal I được gọi là một ideal căn.
Một số tính chất về căn bậc hai của một ideal:
(i) Với mỗi ideal I, căn
I
cũng là một ideal.
(ii)
.
I I


Từ Ví dụ 7 trên ta có:
1 2
I I

= (x
2
– y

ta có:

( ( ))
Z I I

.
Do đó, có một song ánh
X

(X) của tập các đa tạp đại số trong A
n
và tập của các ideal căn
trong k[x
1
, …, x
n
].
Định lý 4.3.5. (HNS, phiên bản thứ 2). Cho A
n
là một không gian afin trên một trường k đóng đại
số và cho I là một ideal trong k[x
1
, …, x
n
]. Nếu
1
[ , , ]
n
I k x x


2
= (x, y).
Khi đó cả hai ideal đều là ideal căn.
1 2
,
I I

nhưng
1 2
( ) ( ).
Z I Z I


Nhờ định lý Hilbert’s Nullstellensatz, ta có thể tạo được một loại “từ điển” giữa các khái niệm đại
số và hình học như sau:
X
(X)
1 2
X X


(X
1
)

(X
2
)
X bất khả quy
(X) là số nguyên tố

Mặt phẳng xạ ảnh:
Mặt phẳng afin 
2
là mặt phẳng thông thường, với 
2
(k) =
{( , ): , }
a b a b k

với trường k bất
kỳ. Một compact hóa 
2
bằng cách nối một số điểm “tại vô cùng” để sinh ra mặt phẳng xạ ảnh 
2
.

Trích đoạn ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC. là y-trơ n, thì 

---