ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN TRƯỜNG GIANG

VỀ DẠNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU
CARTAN CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – 2008
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN TRƯỜNG GIANG


✷ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ❦✐➸✉ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✲❈❛rt❛♥ ❝❤♦
❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ✷✸
✷✳✶ ❈→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✲❈❛rt❛♥ ❝❤♦ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ✷✸
✷✳✷ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ❝❤♦ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❝➢t
❝→❝ s✐➯✉ ♠➦t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
✷✳✷✳✶ ▼ët sè ❜ê ✤➲ q✉❛♥ trå♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
✷✳✷✳✷ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ❝❤♦ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣
❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾
✶

ỵ tt ố tr ừ ữủ ởt
tr ỳ t tỹ s s ừ t ồ tr t
ữỡ ữủ t tứ ỳ ừ ừ t ỵ
tt õ ỗ ố tứ ỳ ổ tr ừ r
r õ ự ử tr ỹ
ừ t ồ ỵ tt ố tr ờ sỹ tờ qt õ
ỵ ỡ ừ số ỡ ỵ tt ự sỹ
ố tr ừ tứ C C{} r t
ừ ỵ tt ỗ ỵ ỡ ừ ỵ ỡ
tự t ởt t ừ ổ tự Pss s
ỵ õ r trữ T (r, a, f) ổ ử tở
a t s ởt ữủ tr õ a ởt số ự
tũ ỵ ỵ ỡ tự t ỳ t q t s
s t ừ ỵ tt ố tr ỵ ữ r ố q
ỳ trữ
rt ự ỵ s
f : C P
n
(C) ữớ ổ s
t t H

❝→❝ s✐➯✉ ♠➦t ❜➟❝ d
j
ð ✈à tr➼ tê♥❣ q✉→t✳ ❑❤✐ ✤â
(q − (n + 1) − ε)T (r, f) ≤
q

j=1
d
−1
j
N (r, D
j
, f) + o(T (r, f)),
tr♦♥❣ ✤â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ r ✤õ ❧î♥ ♥➡♠ ♥❣♦➔✐ ♠ët
t➟♣ ❝â ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❑➳t q✉↔ tr➯♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ◗✳ ❨❛♥ ✈➔
✸
rở trữớ ủ t ở
ỏ ồ ửt t q ữủ t ữ s
sỷ f : C P
n
(C) ởt ổ s
số D
j
1 j q q s t tr P
n
(C) õ d
j
tữỡ
ự tr tờ qt õ ợ ộ > 0 tỗ t ởt số
ữỡ M s

ữỡ tr ự ởt ỵ ỡ tự

❝❤♦ →♥❤ ①↕ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❝➢t ❝→❝ s✐➯✉ ♠➦t ð ✈à tr➼ tê♥❣ q✉→t✳ ❈❤÷ì♥❣
♥➔② ✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ◗✳ ❨❛♥✱ ❩✳ ❈❤❡♥ ❬✹❪✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛
❚❙✳ ❚↕ ❚❤à ❍♦➔✐ ❆♥✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤
✤➳♥ ❚❙ ✈➲ sü ❣✐ó♣ ✤ï ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠➔ ❚❙ ✤➣ ❞➔♥❤ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ ✈➔ ✤➣ t↕♦
♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ♥❤➜t ✤➸ t→❝ ❣✐↔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝
❙÷ ♣❤↕♠ t❤✉ë❝ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❚❤➔② ❍➔ ❚r➛♥
P❤÷ì♥❣ ✈➔ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✈➔ ❝→❝
t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝ ✤➣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❣✐ó♣ ✤ï t→❝ ❣✐↔ ❤♦➔♥
t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❤å❝ ✈➔ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❚→❝ ❣✐↔ ❝ô♥❣ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉ tr÷í♥❣ ❈❛♦
✤➥♥❣ ❈æ♥❣ ♥❣❤➺ ✈➔ ❑✐♥❤ t➳ ❈æ♥❣ ♥❣❤✐➺♣✱ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ t↕♦
♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ♥❤➜t ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✳
✺
ữỡ
ỵ tt

r ữỡ ú tổ ởt số tự ỡ s
ữủ sỷ ử tr s tự ừ ữỡ
ữủ tr tứ

D ởt tr t ự C
f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ữủ ồ C t z
0
C tỗ
t ợ ỳ lim
h0

u(x, y)✱ v(x, y) t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❈❛✉❝❤② ✲ ❘✐❡♠❛♥♥✱ tù❝ ❧➔
∂u
∂x
=
∂v
∂y
,
∂u
∂y
= −
∂v
∂x
, ∀ (x, y) ∈ D.
✶✳✶✳✺ ✣à♥❤ ❧þ✳ ●✐↔ sû f(z) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ ❤ú✉
❤↕♥ D ⊂ C✳ ❑❤✐ ✤â tr♦♥❣ ♠é✐ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ♠é✐ ✤✐➸♠ z ∈ D✱ ❤➔♠
f(z) ✤÷ñ❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ t❤➔♥❤ ❝❤✉é✐
f(z) = f(z
0
) +
(z − z
0
)
1!
f

(z
0
) +
(z − z
0

D ⊂ C ♥➳✉ f =
g
h
tr♦♥❣ ✤â g, h ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ D.
✼
◆➳✉ D = C t❤➻ t❛ ♥â✐ f(z) ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ C ❤❛② ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❧➔ f(z)
❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳
✶✳✶✳✽ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ✣✐➸♠ z
0
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝➜♣
m > 0 ❝õ❛ ❤➔♠ f(z) ♥➳✉ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ z
0
❤➔♠ f(z) =
1
(z − z
0
)
m
.h(z)✱
tr♦♥❣ ✤â h(z) ❧➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ z
0
✈➔ h(z
0
) = 0✳
✶✳✶✳✾ ✣à♥❤ ❧þ ✭❈æ♥❣ t❤ù❝ P♦✐✐s♦♥ ✲ ❏❡♥s❡♥✮✳ ●✐↔ sû f(z) ≡ 0 ❧➔
♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ trá♥ {|z| ≤ R} ✈î✐ 0 < R < ∞✳ ●✐↔
sû a
µ
✱ µ = 1, ..., M, ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❦➸ ❝↔ ❜ë✐✱ b
ν


µ=1
log




R(z − a
µ
)
R
2
− a
µ
z




−
N

ν=1
log




R(z − b
ν

f − a

.
✶✳✷✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❍➔♠ ✤➳♠ t➼♥❤ ❝↔ ❜ë✐ N(r, a, f), ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱
❦❤æ♥❣ t➼♥❤ ❜ë✐ N(r, a, f)✮✱ ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ ❣✐→ trà a ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
♥❤÷ s❛✉
N(r, a, f) = n(0, a, f) log r +

r
0

n(t, a, f) − n(0, a, f)

dt
t
,
✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱
N(r, a, f) = n(0, a, f) log r +

r
0

n(t, a, f) − n(0, a, f)

dt
t
).
❱➻ t❤➳✱ ♥➳✉ a = 0 t❛ ❝â
N(r, 0, f) = (♦r❞
+

1
f(re
iθ
) − a



dθ
2π
,
✈➔
m(r, ∞, f) =

2π
0
log
+
| f(re
iθ
) |
dθ
2π
,
tr♦♥❣ ✤â log
+
x = max{0, log x}.
❍➔♠ m
f
(r, ∞) ✤♦ ✤ë ❧î♥ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛ log |f| tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥
|z| = r✳

❝â p ♥❣❤✐➺♠ t➼♥❤ ❝↔ ❜ë✐✱ ❞♦ ✤â
N(r, a, f) =
r

a
n(t, a)
dt
t
= p log r + O(1)
✶✵
❦❤✐ r → ∞. ◆❤÷ ✈➟②✱
T (r, f) = p log r + O(1),
✈➔ N(r, a, f) = p log r + O(1), m(r, a) = O(1) ✈î✐ a = ∞. P❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ f(z) = ∞ ❝â q ♥❣❤✐➺♠✱ ✈➻ t❤➳
N(r, ∞, f) = q log r + O(1),
✈➔ ❜ð✐ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t
m(r, ∞, f) = (p − q) log r + O(1).
◆➳✉ p < q✱ t❤➻ t÷ì♥❣ tü t❛ ❝â
T (r, f) = q log r + O(1), N(r, a, f) = q log r + O(1),
m(r, a, f) = O(1), ✈î✐ a = 0.
❑❤✐ a = 0✱
N(r, 0, f) = p log r + O(1), m(r, a, f) = (q − p) log r + O(1).
❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ ♥➳✉ p = q,
T (r, f) = q log r + O(1),
✈➔ N(r, a) = q log r + O(1), ✈î✐ a = c. ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ ❦þ ❤✐➺✉ k ❧➔ ❜➟❝
tr✐➺t t✐➯✉ ❝õ❛ f − c t↕✐ ∞✱ ❦❤✐ ✤â
m(r, c, f) = k log r + O(1), N(r, c, f) = (q − k) log r + O(1).
❱➟② tr♦♥❣ ♠å✐ tr÷í♥❣ ❤ñ♣
T (r, f) = d log r + O(1),
tr♦♥❣ ✤â d = max(p, q).

dθ
2π
=
r
π
.
❉♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➯♥ N(r, ∞, f) = 0 ✈➔ ❞♦ ✤â T (r, f) = r/π.
❱î✐ a = 0, ∞, t❤➻ f(z) = a ❝â ♥❣❤✐➺♠ ✈î✐ ❝❤✉ ❦ý 2πi✳ ❉♦ ✈➟②✱ ❝â
2t
2π
♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ ✤➽❛ ❝â ❜→♥ ❦➼♥❤ t, ✈➔ ❞♦ ✤â
N(r, a, f) =
r

o
t
π
dt
t
+ O(log r) =
r
π
+ O(log r).
❉♦ ✈➟②✱ m(r, a, f) = O(log r).
✶✳✷✳✻ ❱➼ ❞ö✳ ❳➨t ❤➔♠ sin z ✈➔ ❤➔♠ cos z✳
❱î✐ ♠å✐ a ❤ú✉ ❤↕♥
N(r, a, sin z) + O(1) = N(r, a, cos z) + O(1) =
2r
π
+ O(1).




p

ν=1
a
ν




≤
p

ν=1
log
+
|a
ν
| ✈➔
log
+





p


(z), ..., f
p
(z)
✈➔ sû ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✱ ❝❤ó♥❣ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝
❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉
✶✳ m

r,
p

ν=1
f
ν
(z)

≤
p

ν=1
m (r, f
ν
(z)) + log p✳
✷✳ m

r,
p

ν=1
f
ν


ν=1
f
ν
(z)

≤
p

ν=1
N (r, f
ν
(z)).
❙û ❞ö♥❣ ✭✶✳✸✮ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝
✺✳ T

r,
p

ν=1
f
ν
(z)

≤
p

ν=1
T (r, f
ν

|a| + log 2. ✭✶✳✺✮
✶✳✷✳✹ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t ❝õ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛
✶✳✷✳✼ ✣à♥❤ ❧þ✳ ●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✱ a ❧➔ ♠ët sè ♣❤ù❝ tò② þ✳
❑❤✐ ✤â t❛ ❝â
m

r,
1
f − a

+ N

r,
1
f − a

= T (r, f) − log |f(0) − a| + ε(a, r),
tr♦♥❣ ✤â |ε(a, r)| ≤ log
+
|a| + log 2.
❚❛ t❤÷í♥❣ ❞ò♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t ❞÷î✐ ❞↕♥❣
m

r,
1
f − a

+ N

r,

T (r, f − a) = T (r, f) + ε(a, r),
✶✹
✈î✐
|ε(a, r)| ≤ log
+
|a| + log 2.
❚ø ✤â t❛ ❝â
m

r,
1
f − a

+ N

r,
1
f − a

= T (r, f) + log |f(0) − a| + ε(a, r),
tr♦♥❣ ✤â |ε(a, r)| ≤ log
+
|a| + log 2. ✣à♥❤ ❧þ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ①♦♥❣✳
✶✳✷✳✺ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐
✣➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ✈✐➳t m(r, a) t❤❛② ❝❤♦ m

r,
1
f − a



r,
1
f


+ 2N (r, f) − N (r, f

) ✈➔
S(r) = m

r,
f

f

+m

r,
q

ν=1
f

f − a
ν

+q log
+
3q

ν
| <
δ
3q
✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐
µ = ν✱ t❛ ❝â
|f(z) − a
µ
| ≥ |a
µ
− a
ν
| − |f(z) − a
ν
| ≥ δ −
δ
3q
≥
2
3
δ,
❜ð✐ ✈➟②✱ ✈î✐ µ = ν t❤➻
1
|f(z) − a
µ
|
≤
3
2δ
≤

2 |f(z) − a
ν
|
.
❚ø ✤â t❛ ❝â
log
+
|F (z)| ≥
q

µ=1
log
+
1
|f(z) − a
µ
|
− q log
+
2
δ
− log 2
≥
q

µ=1
log
+
1
|f(z) − a