Trang 1

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2013
Môn thi: TOÁN
ĐỀ 44

I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số
m x m
y
x
2
(2 1)
1
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳng
yx
.
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình:
x x x
2
2 3 cos2 sin2 4cos 3

2) Giải hệ phương trình:
xy
xy
xy
x y x y

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
100 25
. Tìm các điểm
M (E) sao cho

F MF
0
12
120
(F
1
, F
2
là hai tiêu điểm của (E)).
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2;
2; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình:
x y z 30
. Tìm trên (P) điểm M sao
cho
MA MB MC23
  
nhỏ nhất.
Câu VII.a (1 điểm): Gọi a
1
, a
2
, …, a

xy
xy
xy
2010
33
22
2
log 2HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I: 2) TXĐ: D = R \ {1}.
Để đồ thị tiếp xúc với đường thẳng
yx
thì:
m x m
x
x
m
x
2
2
2
(2 1)
(*)
1
( 1)
1 (**)
( 1)


22

xx
5
cos 2 cos6
6

xk
xl
5
48 4
5
24 2

2)
xy
xy
xy
x y x y
22
2
2
1 (1)
(2)
. Điều kiện:
xy0
.
(1)
x y xy
xy

1 ( 0)
2 ( 3)

Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3).
Câu III: Đặt
tx
2
dt = –dx. Ta có I =
t
dt
tt
2
3
0
cos
(sin cos )
=
x
dx
xx
2
3
0
cos
(sin cos )

2I =
x
dx
xx

cos
4

=
x
2
0
1
ta n
24
= 1 . Vậy: I =
1
2
.

Trang 3

Câu IV: Vì ABB A là hình bình hành nên ta có:
C ABB C AB A
VV
. ' . ' '
.
Mà
C ABB ABC
a a a
V A M S
23
.'
1 1 3 3
. . .

Suy ra: P
xx
2
2 4 4
. Dấu "=" xảy ra
ab,


cùng hướng hay y = 0.
Mặt khác, áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:

xx
2
2
2 3 (3 1)(4 )

xx
2
2 4 2 3
. Dấu "=" xảy ra
x
2
3
.
Do đó: P
xx2 3 4

2 3 4 2 3 4
. Dấu "=" xảy ra
xy
x x x x
22
2
3 3 3 3 1
10 3 10 10 2 10 10
2 2 2 2 2
x = 0 (y= 5)
Vậy có 2 điểm thoả YCBT: M
1
(0; 5), M
2
(0; –5).
2) Gọi I là điểm thoả:
IA IB IC2 3 0
  


I
23 13 25
;;
6 6 6

Ta có: T =
MA MB MC MI IA MI IB MI IC MI MI2 3 2 3 6 6
          

Do đó: T nhỏ nhất
MI

AI là đường trung trực của BC. ABC vuông cân tại A nên AI cũng là phân
giác của

BAC
. Do đó AB và AC hợp với AI một góc
0
45
.
Gọi d là đường thẳng qua A và hợp với AI một góc
0
45
. Khi đó B, C là giao điểm của d với (C) và
AB = AC.

Trang 4

Vì
IA (2;1)

(1; 1), (1; –1) nên d không cùng phương với các trục toạ độ VTCP của d có hai
thành phần đều khác 0. Gọi
ua(1; )

là VTCP của d. Ta có:

aa
IA u
aa
2 2 2
2 2 2

Với a =
1
3
, thì
u
1
1;
3

Phương trình đường thẳng d:
xt
yt
5
1
5
3
.
Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là:
7 3 13 11 13 7 3 13 11 13
; , ;
2 2 2 2

Vì AB = AC nên ta có hai cặp điểm cần tìm là:
7 3 13 11 13 9 13 7 3 13
; , ;
2 2 2 2

và
7 3 13 11 13 9 13 7 3 13
; , ;

xy
xy
xy
2010
33
22
2
log 2 (1)
(2)

Điều kiện:
xy 0
. Từ (2) ta có:
x y xy x y
3 3 2 2
( ) 0

xy0, 0
.
(1)
xy
y
x
2
2
2010

xy
xy
2