B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Đề số 1: (lớp 8)
Bài 1: (2 điểm)
Cho
64,31)25,1.
5
4
7.25,1).(8.07.8,0(
2
++=A

25,11:9
02,0).19,881,11( +
=B
Trong hai số A và B số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ?
b) Số
410
1998
=A
có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
Câu 2: (2 điểm)
Trên quãng đờng AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận
tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4.
Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?
Câu 3:
a) Cho
cbxaxxf ++=
2
)(
với a, b, c là các số hữu tỉ.
Chứng tỏ rằng:

1
95
219
+=
A
Đề số 2
Câu 1: (2 điểm)
1
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
a) Tính
115
2005
1890
:
12
5
11
5
5,0625,0
12
3
11
3
3,0375,0
25,1
3
5
5,2
75,015,1
+

1
3
1
++++++=B
Chứng minh rằng
2
1
<B
.
Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu
d
c
b
a
=
thì
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35

+
=

+

Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay
đổi trên cạnh BC.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm số tự nhiên n để phân số
32
87


n
n
có giá trị lớn nhất.
Đề số 3
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính:
A =






++








+
9
225
49
5
:
3
25,022
7
21,110
b) Tìm các giá trị của x để:
xxx 313 =+++
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng:
ac
c
cb
b
ba
a
M
+
+
+
+
+
=
không là số nguyên.

a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dơng đều có:
A=
91)23(6)15(5 ++
nnnn
b) Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho
14
2
+P
là số nguyên tố.
Bài 2: ( 2 điểm)
a) Tìm số nguyên n sao cho
13
2
+ nn
b) Biết
c
bxay
b
azcx
a
cybz
=

=

3
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Chứng minh rằng:
z
c













+
+







7
2
14
3
1
12:
3
10
10

Bài 3: (2 điểm)
4
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
a) Cho tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
. Chứng minh rằng:

22
22
dc
ba
cd
ab


=
và
22
22
2
dc
ba
dc
ba
+
+

2002
2
2003
1
2004
2005
1

4
1
3
1
2
1
++++
++++
=P
Bài 2: (2 điểm)
Cho
zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x
++
=
++

Vận tốc của ngời đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của ngời đi từ B là 24 km/h. Tính
quãng đờng mỗi ngời đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc và A, B, C thẳng hàng.
Bài 4: (3 điểm)
5
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH BC (H BC). Vẽ AE AB và AE =
AB (E và C khác phía đối với AC). Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đờng thẳng
AH (M, N AH). EF cắt AH ở O. Chứng minh rằng O là trung điểm của EF.
Bài 5: (1 điểm)
So sánh:
255
5
và
579
2
Đề số 7
Câu 1: (2 điểm)
Tính :
68
1
52
1
8
1
51
1
39
1
6
1

++ 211
(x, y, z
0
)
Câu 3: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dơng ta có:

nnnn
S 2323
22
+=
++
chia hết cho 10.
b) Tìm số tự nhiên x, y biết:
22
23)2004(7 yx =
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, AK là trung tuyến. Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ
là AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM = AC.
Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy
điểm N thuộc Ay sao cho AN = AB. Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK = KP.
Chứng minh:
a) AC // BP.
b) AK MN.
Câu 5: (1 điểm)
6
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông với c là số đo cạnh
huyền. Chứng minh rằng:
nnn







+
=A
378
1
270
1
180
1
108
1
54
1
8
1
3
1
=B
Câu 2: ( 2, 5 điểm)
1) Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
b)
313 <m
2) Chứng minh rằng:
nnnn

b) Chứng minh: EN // FM.
Câu 5: (1 điểm)
Cho
12 +
n
là số nguyên tố (n > 2). Chứng minh
12
n
là hợp số.
7
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Đề số 9
Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh:
10099 4321
)6,3.212,1.63(
9
1
7
1
3
1
2
1
)10099 321(
+++







+









+
=B
Câu 2: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức
123
2
+= xxA
với
2
1
=x
b) Tìm x nguyên để
1+x
chia hết cho
3x
Câu 3: ( 2 điểm)
a) Tìm x, y, z biết
216
3

200
1
99
1

4
1
3
1
2
1
1 ++++=+++
Đề số 10
Câu 1: (2 điểm)
8
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
a) Thực hiện phép tính:
7,0875,0
6
1
1
5
1
25,0
3
1
11
7
9
7

Giang, ngời thứ hai đi từ Bắc Giang đến Kép. Vận tốc ngời thứ nhất so với ngời
thứ hai bằng 3: 4. Đến lúc gặp nhau vận tốc ngời thứ nhất đi so với ngời thứ hai đi
là 2: 5. Hỏi khi gặp nhau thì họ cách Bắc Giang bao nhiêu km ?
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho đa thức
cbxaxxf ++=
2
)(
(a, b, c nguyên).
CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3.
b) CMR: nếu
d
c
b
a
=
thì
bdb
bdb
aca
aca
57
57
57
57
2
2
2
2


3
1
512
6
1
6
5
4
19
2
.
3
1
615
7
3
4.
31
11
1











1

3
1
3
1
2
1
1
2222
>=B
Câu 2: (2 điểm)
Cho phân số:
54
23

+
=
x
x
C
(x Z)
a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
b) Tìm x Z để C là số tự nhiên.
Câu 3: (2 điểm)
Cho
d
c
b
a

+p
là các số nguyên tố.
Đề số 12
Câu 1: (2 điểm)
a) Thực hiện phép tính:
3
11
7
11
2,275,2
13
3
7
3
6,075,0
++
++
=A
;
)2811(251.3)2813.251( ++=B
b) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000.
Câu 2: ( 2 điểm)
a) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c

17 nếu a - 11b + 3c

17 (a, b, c Z).
10
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
b) Biết

Đề số 13
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức












+
+
+
++
=
75,015,1
25,1
3
5
5,2
.
12
5
11
5

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
xxD += 20032004
Câu 3: (2 điểm)
11
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi đợc nửa
quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút.
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng không chứa
C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB.
Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC. Trên tia
đó lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh rằng:
a) DE = 2 AM
b) AM DE.
Câu 5: (1 điểm)
Cho n số x
1
, x
2
, , x
n
mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x
1
.
x
2
+ x
2
. x














+






+







=A
b) Chứng minh rằng tổng:

1/3. Điều đó đúng hay sai ? vì sao ?
b) Cho dãy tỉ số bằng nhau:
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba 2222 +++
=
+++
=
+++
=
+++
12
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Tính
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
+
+

y
zyx
x
Đề số 15
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm x biết:
426
22
+=+ xxx
b) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:
A(x) =
2005220042
)43(.)43( xxxx +++
Bài 2: (2 điểm)
Ba đờng cao của tam giác ABC có độ dài bằng 4; 12; x biết rằng x là một số
tự nhiên. Tìm x ?
Bài 3: (2 điểm)
Cho
zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x
++
=
++
=

cho góc EBA=

3
1
. Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = BC.
Chứng minh tam giác CED là tam giác cân.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm các số a, b, c nguyên dơng thoả mãn :

b
aa 553
23
=++
và
c
a 53 =+
13
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Đề số 16
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính
20042003432
33 3333 +++=A
b) Tìm x biết
431 =++ xx
Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng:
Nếu
cba
z
cba

lợt là giao điểm của DE với AB và AC.
Tính số đo các góc AIC và AKB ?
Bài 5: (1 điểm)
Cho x = 2005. Tính giá trị của biểu thức:

120062006 200620062006
22002200320042005
+++ xxxxxx
Đề số 17
14
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm x nguyên biết:
1710272 =++ xx
b) Tìm x nguyên để biểu thức
56
114
+
+
x
x
có giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c, d khác 0 thoả mãn: b
2

= ac ; c
2
= bd.
Chứng minh rằng:

Cho a là số nguyên dơng, biết
100
a
chia cho 73 d 2 và
101
a
chia cho 73 d 69. Hỏi
a chia 73 d bao nhiêu ?
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), kẻ trung tuyến AM. Đờng thẳng
vuông góc với BC tại M cắt AC tại N. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho
AE = AN. Gọi H là giao điểm của BE và MA. Chứng minh:
a)
2
BC
AM =
b) AMN = ABN
c) BH = AC
Bài 5: (1 điểm) Cho a, b, c, x, y, z nguyên dơng và a, b, c khác 1. Thoả mãn:
bca
x
=
;
cab
y
=
;
abc
z
=

8

8
2
9
1
9821

=

==

=
aaaa
Bài 2: (2 điểm)
Tính :
100.97
3

10.7
3
7.4
3
+++=A
990
1

60
1
24

12 +
=

=
+
Câu 2: (2 điểm)
Tính:
a)
30012998 10741 +++=A

b)




















Cho tam giác ABC có AB = AC , góc A bằng 80
0
. Trong tam giác ABC lấy
điểm I sao cho góc BIC bằng 10
0
và góc ICB bằng 20
0
. Tính góc AIB.
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b là hai số nguyên dơng biết rằng trong 4 mệnh đề sau:
A. a + 1 chia hết cho b.
B. a = 2b + 5
C. a + b chia hết cho 3.
D. a + 7b là số nguyên tố.
Có 3 mệnh đề đúng, 1 mệnh đề sai. Tìm các cặp số a, b ?
Đề số 20
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính
122 222
129899100
=A
A có phải là số nguyên tố không ? A có phải là số chính phơng không ?
b) Tính tổng:
1400
10

260
10
140
10

0
và góc BOC
= 25
0
. Tính góc AOC ?
c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = 1cm. Tính CE ?
Câu 5: (1 điểm)
Một số chia cho 4 d 3, chia cho 17 d 9, chia cho 19 d 13. Hỏi số đó chia cho
1292 d bao nhiêu ?
Đề số 21
Câu 1: (2 điểm) Thực hiện phép tính.
a)
5
24
.
3
1
1.
35
3
7
1
14
1
19
5
.
20
7
15

b)
20032002200120001999 87654321
++++++
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm số nguyên m thoả mãn:
0)37)(9(
22
< mm
b) Cho x, a, b Z
+
thoả mãn:





=+
=+
b
a
x
x
413
23
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn: (100x + 10y + z)

21.
Chứng minh rằng: (x - 2y + 4z)


+
+
+
+
+
+
+
+
=
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Câu 4: (2 điểm)
18
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Trong một xởng cơ khí ngời thợ chính làm một chi tiết hết 5 phút, ngời thợ
phụ làm xong hết 9 phút. Nếu trong cùng một thời gian cả hai ngời cùng làm việc
thì số chi tiết làm đợc là 84 chiếc. Tính số chi tiết mà mỗi ngời đã làm đợc ?
Câu 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC, phân giác góc B cắt AC tại M. Kẻ MN // AB cắt BC tại N.
Phân giác góc MNC cắt MC tại P.
a) Chứng minh rằng: MBC = BMN ; BM // NP.
b) Gọi NQ là phân giác của góc BNM. CMR: NQ BM.
Đề số 22
Bài 1: (2 điểm)
Tìm x, y, z biết rằng:
1)
32
yx
=
;
75

A là BAE và CAF.
1) Nếu I là trung điểm của BC thì AI vuông góc với EF và ngợc lại nếu I thuộc BC
và AI vuông góc với EF thì I là trung điểm của BC.
2) Chứng tỏ AI =EF/2 (với I là trung điểm của BC).
3) Giả sử H là trung điểm của EF, hãy xét quan hệ của AH và BC.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm x nguyên dơng để
x
x
M


=
2002
2001
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị ấy.
19
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Đề số 23
Bài 1: (4 điểm)
Tìm phân số
b
a
biết:
a) a = ƯCLN (12, 18) và b = BCNN (5, 9)
b) a = ƯCLN (12, 20) và
5
1
:
5

c) Tìm giá trị lớn nhất của góc tOh ?
Câu 5: (2 điểm)
Tìm số có bốn chữ số
abcd
thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:
a)
acab ,
là hai số nguyên tố.
b)
cbbcd +=+
2
Đề số 24
Bài 1: (1 điểm)
Tìm x, y là số nguyên biết
043106 = yxxy
20
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng:
1
3
100

3
4
3
3
3
2
3

25
1979
1982
22
1981
23
1980
24
1979
25






=






xxxxxxxx
Bài 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC. Lấy M, N lần lợt là trung điểm của AB và AC. Chứng
minh rằng: MN song song và có độ dài bằng nửa của BC. Ngời ta gọi MN là một
đờng trung bình của tam giác. Hãy phát biểu điều vừa chứng minh dới dạng định
lí.
Đề số 25













+













++
b)
340
1

b
a
=
. Chứng minh rằng ta có:
dc
dc
ba
ba
20032002
20032002
20032002
20032002

+
=

+
Bài 4: (1 điểm)
Hai ô tô khởi hành cùng một lúc và đi về phía gặp nhau từ hai tỉnh A và B cách
nhau 544 km. Tính xem 2 xe gặp nhau ở chỗ cách A bao nhiêu km. Biết rằng xe
thứ nhất đi cả quãng đờng AB hết 12 giờ, còn xe thứ hai phải đi hết 13 giờ 30 phút.
Bài 5: (2 điểm)
Cho biết A + B + C = 360
0
Chứng tỏ rằng Ax song song với By.
Đề số 26
Câu 1: (2 điểm)
1) Tính nhanh:
a) 2.(-3).4.(-5).(-80.(-2.5).1,25.2,004.


1
35
3
7
1
14
1
19
5
.
20
7
15
4
3,0
















22
A
B
C
x
x
y
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm x, y biết rằng 10x = 6y và
282
22
= yx
b) Cho biết
d
c
b
a
=
. Chứng minh:
dc
dc
ba
ba
20052004
20052004
20052004
20052004
+


a)
5
7
4
3
:8,13 +







+
b)
2
7
:
3
2
2
3
13
5
.
7
8
.
3
2

=
+
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho a, b, c là ba số khác 0 và a
2= bc. Chứng minh rằng:
b
c
ab
ca
=
+
+
22
22
Câu 4: (1,5 điểm) Cho x, y Z. Chứng minh:
Nếu 3x + 2y

17 thì 10x + y

17 và ngợc lại.
Câu 5: (3 điểm)
23
A
B
C
x
x

15
4
10
3



















+







22
+
++
chia hết cho 10 với n nguyên dơng.
Câu 3: (4 điểm)
a) Tìm x, y biết:
53
yx
=
và
282
22
= yx
b) Tính thời gian từ lúc kim giờ và kim phút của một chiếc đồng hồ gặp nhau lần
trớc đến lúc chúng gặp nhau lần tiếp theo. Từ đó suy ra trong một ngày chúng gặp
nhau bao nhiêu lần ? Tạo với nhau góc vuông bao nhiêu lần?
Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC bằng hai lần độ dài cạnh
AB. M là trung điểm của BC, N là trung điểm của BM. Trên tia đối của tia NA lấy
D sao cho ND = NA. Chứng minh:
a) Tam giác BCD vuông.
24
B thi hc sinh gii Toỏn lp 8 www.PNE.edu.vn
b) Tam giác ACD cân.
Câu 5: (2 điểm)
Cho
( )
25444 44475
012199920002001
+++++++=C
a) Chứng minh rằng C chia hết cho 4

3
2
2

+
=

+
v
v
u
u
thì
23
vu
=
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có các trung tuyến BE và CF. Trên tia đối của tia EB lấy
điểm M sao cho EM = EB. Trên tia đối của tia FC lấy điểm N sao cho FN = FC.
Chứng minh A là trung điểm của MN.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm các số nguyên nguyên dơng x, y, z biết rằng:
xyzzyx 3
333
=
và
)(2
2
zyx +=
Đề số 30