PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS
MỘT SỐ DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
TÌM GTLN VÀ GTNN TRONG ĐẠI SỐ THCS
A/ NỘI DUNG GỒM:
Dạng I: Các bài toán mà biểu thức là đa thức
Dạng II: Các bài toán mà biểu thức là phân thức
Dạng III: Các bài toán mà biểu thức là căn thức
Mỗi dạng gồm có:
- Các ví dụ
- Cách giải chung của các ví dụ
- Bài tập tự giải và kết quả của từng bài
B/ MỘT SỐ ĐIỀU CẦN GHI NHỚ:
Có nhiều phương pháp để giải bài toán tìm GTLN và GTNN của một hàm số,
một biểu thức. Một trong những phương pháp có hiệu quả là dùng bất đẳng thức
quen thuộc, nhưng cũng chính phương pháp này đã gây ra những sai lầm, nếu
chúng ta không nắm vững bản chất của nó.
Khi dùng bất đẳng thức ta chứng minh được
( )
Kxf ≥
hay
( )
Kxf ≤
( K là một
hằng số) thì không được kết luận vội vàng là K là GTLN (hay GTNN) của
( )
xf
. Mà
ta phải chứng tỏ rằng dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi nhận được giá trị cụ thể, thỏa
điều kiện của bài toán rồi mới kết luận.
C/ CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ:
Dạng I: Các bài toán mà biểu thức là đa thức

Ta có
,0
2
3
2
≥






+x
nên
4
3
4
3
2
3
2
≥+






+x
Vậy: f(x) đạt GTNN bằng





−=−=−= xxxxxxgb
Ta có
,0
2
5
2
≥






−x
nên
4
25
4
25
2
5
2
−≥−




( )
[ ]
0
2
≥xh
nên
( )
[ ]
aaxh ≥+
2
. Do đó GTNN của biểu thức đã cho bằng a khi h(x) =0.
Ví dụ 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
142)(/
2
+−−= xxxfa
2
)(/ xxxgb −=
Giải
( )
151142)(/
2
2
++−=+−−= xxxxfa
Ta có
( )
01
2
≥+x
nên
( )

0
2
1
2
≥






−x
nên
⇒≤






−− 0
2
1
2
x
4
1
4
1
2

( )
[ ]
axh +−
2
trong đá a là một hằng số. Vì
( )
[ ]
0
2
≥xh
nên
( )
[ ]
aaxh ≤+−
2
. Do đó GTLN của biểu thức đã cho bằng a khi h(x) =0.
2/ Bài tập tự giải:
Bài tập 1: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
132)(
2
++−= xxxf

Đáp số: f(x) đạt GTLN bằng
4
3
8
17
=xkhi
Bài tập2 : Tìm GTNN của các biểu thức sau:
1

±−
=x
Bài 4: Cho phương trình
( ) ( )
01381
222
=−++−++ xmmxmm
Gọi
21
, xx
là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm GTLN và GTNN của biểu
tổng S=
21
xx +
Đáp số: S đạt GTLN bằng
1323
3413
3
132
−
−
=mkhi
S đạt GTNN bằng
1323
3413
3
132
+
+
−=− mkhi

xG
xF
A =
. Biểu thức A đạt
GTLN khi F(x) đạt GTLN và G(x) đạt GTNN; biểu thức A đạt GTNN khi F(x) đạt
GTNN và G(x) đạt GTLN.
1/ Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức:
106
35183
2
2
+−
+−
=
xx
xx
A
Giải
( )
13
5
3
106
5
3
106
35183
222
2

=⇔=− xx
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta thấy bậc của tử thức bằng bậc của mẫu thức, ta thực hiện phép chia để
đưa biểu thức về dạng A = M +
)(xf
N
(M, N là hằng số). Do đó biểu thức A đạt
GTLN khi biểu thức f(x) đạt GTNN.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức:
( )
0
12
2
≠
+
= x
x
x
A
Giải
Ta có thể viết:
( )
1
111212
2
2
2
2
2
22

−≥⇔≥+⇒






+
=+ AA
x
x
A
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1010
1
−=⇔=+⇔=
+
xx
x
x
Vậy biểu thức A đạt GTNN bằng -1 khi x=-1
Cách giải chung của bài toán trên là:
Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum
4
PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS
Ta thấy bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức, ta thực hiện phép biến đổi
để đưa biểu thức về dạng A =
K
xg
xf

)(
4
2
≠
+
= x
x
x
xf
; Đáp số: f(x) đạt GTLN bằng
1
2
1
±=xkhi
Bài 2: Cho x>0. Tìm giá trị của x để biểu thức
( )
2
2009+
=
x
x
M
đạt GTLN.
Đáp số: M đạt GTLN bằng
2009.4
1
khi x=2009
Bài 3: Cho biểu thức:
( )
xxx

=xkhi
Bài 4: Cho biểu thức:
)1(2
4123
:
23
3
232
++
−+−
+
−
=
xx
xxx
x
xx
N
a/ Rút gọn N. Đáp số:






−≠≠
+
=
3
2

+
+
+
+ cba
Tìm GTLN của biểu thức abc:
Đáp số: abc đạt GTLN bằng
2
1
8
1
=== cbakhi
Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum
5
PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS
Dạng III: Các bài toán mà biểu thức là căn thức
1/ Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho biểu thức:
xxxf +−−= 12)(
. Tìm giá trị của x để f(x) đạt GTLN.
Giải
Biểu thức f(x) có nghĩa khi:
21
01
02
≤≤−⇔



≥+
≥−

4
9
23






−−+=++−+= xxx
Do đó
( )
[ ]
2
xf
đạt GTLN khi và chỉ khi
2
1
0
2
1
=⇔=− xx
Vậy khi
2
1
=x
thì GTLN của biểu thức
)(xf
=
6


≠
≥
⇔



≠−−
≥−
3
1
021
01
x
x
x
x
Ta biến đổi:
21
21
)21)(21(
21
21
21
3
)(
+−=
−
+−−−
=

Vậy f(x) đạt GTNN bằng
2
khi
1
=
x
Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum
6
PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta cần xác điều kiện để biểu thức có nghĩa và phân tích đa thức thành nhân
tử sau đó rút gọn biểu thức đã cho.
2/ Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho biểu thức:
( )
2
2
1
2
12
1
)1(2
1
x
x
xx
M
−
+
−

x
M
−
−








++
+
−
−
−
=
a/ Rút gọn biểu thức M. Đáp số: M=
( )
1;0 ≠≥− xxxx
b/Tìm GTLN của M. Đáp số: M đạt GTLN bằng
4
1
4
1
=xkhi
Bài 3: Tìm GTLN của biểu thức
12
1

22
20092008 −+−= xxM
Đáp số: M đạt GTNN bằng1 khi
20092008 ≤≤ x
Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum
7