GV: NGUYN C KIấN 01649802923
CHNG 3. HèNH HC 11 1
BI 1: VECTO TRONG KHễNG GIAN
A. Lí THUYT
1. nh ngha v cỏc phộp toỏn
nh ngha, tớnh cht, cỏc phộp tn v vect trong khụng gian c xõy dng hn tn tng t nh
trong mt phng.
Lu ý:
+ Qui tc ba im: Cho ba im A, B, C bt k, ta cú:
AB BC AC
+ Qui tc hỡnh bỡnh hnh: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, ta cú:
AB AD AC
+ Qui tc hỡnh hp: Cho hỡnh hp ABCD.ABCD, ta cú:
' '
AB AD AA AC
+ Hờù thc trung im on thng: Cho I l trung im ca on thng AB, O tu ý.
Ta cú:
0
IA IB
+ im M chia on thng AB theo t s k (k 1), O tu ý. Ta cú:
;
1
OA kOB
MA kMB OM
k
2. S ng phng ca ba vect
Ba vect c gi l ng phng nu cỏc giỏ ca chỳng cựng song song vi mt mt phng.
iu kin ba vect ng phng: Cho ba vect
, ,
a b c
, trong ú
a vaứ b
khụng cựng phng. Khi
ú:
, ,
a b c
0 0
, ( , ) (0 180 )
AB u AC v u v BAC BAC
Khi xỏc nh gúc ca 2 vecto ko cựng gc ta phi c gng a v cựng gc xỏc nh gúc bng cỏch
dng vecto bng vecto ban u
Tớch vụ hng ca hai vect trong khụng gian:
+ Cho
, 0
u v
. Khi ú:
. . .cos( , )
u v u v u v
+ Vi
0 0
u hoaởc v . Qui c:
. 0
u v
2
SA SC SO
(1)
Vì OB = OD nên
2
SB SD SO
(2)
So sánh (1) và (2) ta suy ra
SA SC SB SD
b. Ta có:
2 2
2
( ) 2 .
SA SO OA SO OA SOOA
Mà
0
OA OC
nên
b.
0
GA GB GC GD
c.
4
PA PB PC PD PG
với P là một điểm bất kì.
Giải:
a. Ta có:
MN MA AD DN
và
MN MB BC CN
Suy ra:
2 ( ) ( )
MN MA MB AD BC DN CN
D
C
B
A
S
Hình 6 .3
D
C
B
G
N
M
A
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 3
( ) ( ) ( ) ( ) 0
PA PG PB PG PC PG PD PG
Do đó:
4
PA PB PC PD PG
DẠNG 2. chứng minh 3 vecto đồng phẳng và phân tích một vecto theo 3 vecto ko đồng phẳng
x ma nb pc
BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh
AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M,N sao cho
( 0)
AM BN
k k
AC BD
. Chứng minh rằng ba vectơ
, ,
PQ PM PN
đồng phẳng.
Giải:
Vì Q là trung điểm của cạnh DC nên ta có:
1 1
( ) [( ) ( )
2 2
1
[( ) ( )]
2
PQ PC PD AC AP BD BP
AC BD AP BP
PQ AM BN
k
Vì:
AM AP PM
và
BN BP PN
nên
1
( )
2
PQ AP PM BP PN
k
Vậy:
1 1
2 2
PQ PM PN
k k
2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, CG, AD,
DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH.
a) Chứng minh ba vectơ
, ,
MN FH PQ
đồng phẳng.
Q
P
Hình 6.4
D
C
B
G
N
M
A
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 4
b) Chứng minh ba vectơ
, ,
IL JK AH
đồng phẳng.
HD: a)
, ,
1
' 5 '
8
GG AB AA
, ', '
AB AA GG
đồng phẳng.
5. Cho ba vectơ
, ,
a b c
không đồng phẳng và vectơ
d
.
a) Cho
d ma nb
với m và n 0. Chứng minh các bộ ba vectơ sau không đồng phẳng:
i)
HD: Sử dụng phương pháp phản chứng.
6. Cho ba vectơ
, ,
a b c
khác
0
và ba số thực m, n, p 0. Chứng minh rằng ba vectơ
, ,
x ma nb y pb mc z nc pa
đồng phẳng.
HD: Chứng minh
0
px ny mz .
7. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có
' , ,
AA a AB b AC c
theo các ba
, ,
OA OB OC
.
b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện OABC. Phân tích vectơ
OD
theo ba vectơ
, ,
OA OB OC
.
HD: a)
1
3
OG OA OB OC
b)
1
4
OD OA OB OC
.
9. Cho hình hộp OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp.
a) Phân tích hai vectơ
.
10. Cho hình lập phương ABCD.EFGH.
a) Phân tích vectơ
AE
theo ba vectơ
, ,
AC AF AH
.
b) Phân tích vectơ
AG
theo ba vectơ
, ,
AC AF AH
.
HD: a)
1
2
AE AF AH AC
b)
1
. . . 0
ABCD AC DB AD BC
Ta có:
. .( ) . . (1)
. .( ) . . (2)
. .( ) . . (3
AB CD AB AD AC AB AD AB AC
AC DB AC AB AD AC AB AC AD
AD BC AD AC AB AD AC AD AB
)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra
. . . 0
ABCD AC DB AD BC
b) theo câu a, nếu ABCD nghĩa là
. 0
AB CD
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM.
HD: b)
3
cos( , )
6
AC BM .
3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c.
a) CMR đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vuông góc với 2 cạnh đó.
b) Tính góc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện.
HD: b)
2 2 2 2 2 2
2 2 2
arccos ; arccos ; arccos
a c b c a b
b a c
.
4. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại
A, M là điểm trên cạnh AD (M A và D). Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC,
SD lần lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
b) Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 6
5. Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC BD, AB
( )
( )
a b
P b
P a
( ), ( )
a b
a b
a P b P
( ) ( )
( )
( )
P Q
a Q
( )
)
,( )
a P
a P
a b P b
4. Định lí ba đường vuông góc
Cho
( ), ( )
a P b P
, a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b a b a
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu d (P) thì
,( )
d P
= 90
0
.
Nếu
( )
d P
( ), ( ), c
( )
,
b c b x
a
a b a c
2. Chứng minh đường thẳng a song song với b
và b vuông góc với mặt phẳng ().
//
( )
( )
a b
a
b
a b
6. Chứng minh đường thẳng a là giao tuyến của
hai mặt phẳng () và() cùng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba ().
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a
a
4. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt
phẳng () chứa đường thẳng b.
( )
( )
a
a b
b
5. Chứng minh a và b đồng phẳng rồi áp dụng tính chất trong hình học phẳng như : Pytago đảo, trung tuyến
tam giác cân, tính chất đường cao, …
6. Chứng minh a nằm trong mp () và a vuông góc
với hình chiếu b’ của b trên mặt phẳng () (định lí 3
đvg)
( )
( )
'
a
a b
a b b
ch
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 8
a. Chứng minh đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Chứng minh MN (SAC).
Bài 4: (ĐH Khối B năm 2002)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’. Chứng
minh:
'
MP C N
.
Giải:
Gọi E là trung điểm CC’. Ta có: ME// A’D’,
( ' ')
MP MED A
(1)
Hai tam giác vuông C’CN và D’C’E bằng nhau
0
' ' ' ' ' 90 ' '
CNC C ED CC N C NC C N ED
0
90
CBP DCH CBP HCB BP CH
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
BP SHC
(3)
Do HC // AN, MN // SC
/ /
SHC MAN
(4)
Từ (3) và (4) suy ra:
BP MAN AM BP
(đpcm)
BD SH do
BD SAC
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
DB MNP BD MN
(đpcm)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A trên SB, SC, SD.
a) CMR: BC (SAB), CD (SAD), BD (SAC).
H
M
N
P
A
C
B
D
S
N
P
N
M
E
OH OA OB OC
.
d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn.
6. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác
vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của SIJ và chứng minh rằng SI (SCD), SJ (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH AC.
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM SA. Tính AM theo a.
HD: a) a,
3
,
2 2
a a
c)
5
2
a
7. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a
2
. Gọi
H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.
a) CMR: SH (ABCD).
b) Chứng minh: AC SK và CK SD.
8. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a
3
, mặt bên SBC vuông tại B, mặt
bên SCD vuông tại D có SD = a
5
.
– BD
2
.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 10
b) Từ đó suy ra nếu một tứ diện có 2 cặp cạnh đối vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối còn lại cũng
vuông góc với nhau
DẠNG 2: góc giữa đường và mặt
Pp:
Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Tìm giao điểm O của a với (P).
Chon điểm A a và dựng AH (P). Khi đó
( ,( ))
AOH a PBÀI TẬP
1. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SO (ABCD). Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết
0
( ,( )) 60
MN ABCD .
14
d) arcsin
21
7
.
3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA (ABCD). Cạnh SC = a hợp với đáy góc
và hợp với mặt bên SAB góc .
a) Tính SA.
b) CMR: AB = a
cos( ).cos( )
.
HD: a) a.sin
4. Cho hình chóp SABC, có ABC là tam giác cân, AB = AC = a,
BAC
. Biết SA, SB, SC đều hợp với
mặt phẳng (ABC) góc .
a) CMR: hình chiếu của S trên mp(ABC) là tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC.
b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC).
HD: b)
.sin
2
2
cos
; AA
= a.sin
. www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 11
DẠNG 3: Xác định thiết diện đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước
Pp:
Tìm 2 đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng đã cho, khi đó mặt phẳng cắt sẽ song song
(hoặc chứa) với 2 đường thẳng ấy.
BÀI TẬP
1. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a; SA
(ABCD) và SA = 2a. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với AB. Đặt
AM = x (0 < x < a).
a) Tìm thiết diện của hình chóp với (P). Thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x.
HD: a) Hình thang vuông b) S = 2a(a – x).
2. Cho tứ diện SABC, có đáy là tam giác đều cạnh a; SA (ABC) và SA = 2a. Mặt phẳng (P) qua B và
vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện với (P) và tính diện tích của thiết diện này.
HD: S =
2
a
. c)
2
5 3
32
a
.
5. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA = a
2
. Vẽ đường cao AH
của tam giác SAB.
a) CMR:
2
3
SH
SB
.
b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính
diện tích thiết diện. HD: b) S =
2
5 6
18
a
HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
A.LÝ THUYẾT:
1.Góc giữa hai mặt phẳng:
a) Định nghĩa:
Góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng đó.
(Q) hay (Q)
(P).
b)Tính chất :
* Điều kiện cần và đủ để 2 mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng kia.
Tóm tắt : (P)
(Q) )(:)( QaPa
.
* Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc
với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Tóm tắt : (P)
(Q), (P)
(Q) = c, a )(),( QacaP
* Nếu 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm
A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).
Tóm tắt : (P)
* Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với mặt đáy
.
c)Hình hộp đứng:
* Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
* Nhận xét: Trong hình hộp đứng 4 mặt bên đều là hình chữ nhật.
d)Hình hộp chữ nhật:
* Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
* Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.
e)Hình lập phương :
* Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
4.Hình chóp đều và hình chóp cụt đều:
a)Hình chóp đều:
* Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên bằng
nhau.
* Nhận xét:
+ Đường vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao của hình chóp.
+ Một hình chóp là hình chóp đều
đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của hình chóp
trùng với tâm của đáy.
+ Một hình chóp là hình chóp đều
đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo voéi mặt đáy các
góc bằng nhau.
b)Hình chóp cụt:
* Định nghĩa: Khi cắt hình chóp đều bởi 1 mặt phẳng song song với đáy để được 1 hình chóp cụt thì hình
chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
* Nhận xét:
+ Hai đáy của hình chóp cụt đều là 2 đa giác đều đồng dạng với nhau.
+ Đoạn nối tâm 2 đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều.
trong đó :
a P
b Q
Cách 2 : Dùng nhận xét :
. B. B ÀI TẬP
1. Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA (ABC) và SA = a.
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC).
HD: a)
( ),( )
SAC SBC
= 60
0
b) cos
3
(( ),( ))
10
SEF SBC
.
2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA (ABCD). Tính SA theo a để số đo của góc giữa hai mặt
phẳng (SCB) và (SCD) bằng 60
0
.
5. Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB =
3
3
a
; SA (ABCD) và SO =
6
3
a
.
a) Chứng minh
ASC
vuông.
b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
HD: c) 60
0
.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 14
6. Cho hình chóp SABCD có SA (ABCD) và SA = a
2
, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với
AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng:
a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD)
BC
SE
BC
(Theo định lí 3 đường vuông góc)
Mà H là trực tâm của tam giác SBC nên
S, H, E thẳng hàng
b) * Ta có : BC
AE, BC
SE
c)
BC
(SAE)
Mà BC
(SBC) nên (SBC)
(SAE).
* Vì SA
(ABC)
SA
(CFH), OH OHSBCFH
)(
Mà BC và SB cắt nhau tại B trong mặt phẳng (SBC)
OH
(SBC).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có các cạnh bên SA = SB = SC = a.
Chứng minh:
a. Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
b. Tam giác SBD vuông tại S
Giải
a. ABCD là hình thoi nên có AC BD tại O. Mặt khác SA = SC nên có AC SO.
Vậy AC (SBD). Mặt phẳng (ABCD) chứa AC (SBD) nên (ABCD) (SBD).
b. Ta có: SAC = BAC (c – c – c) mà OA = OC nên SO = BO. Mặt khác BO =
DO nên SO=OB=OD. Ta suy ra tam giác SBD vuông tại S.
Bài 3 Hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H và K
lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a. Chứng minh rằNG (SAC) (BHK) và (SBC) (BHK)
Vậy: (SAC) (BHK)
BC (SAA’) do đó BC HK;
SC (BHK) do đó SC HK.
Từ đó suy ra HK (SBC) và (BHK) (SBC)
b. Gọi S
SBC
là diện tích tam giác SBC. Theo công thức Hê – rông, ta có:
( )( )( )
SBC
S p p a p b p c
trong đó p = ½ (13+14+15) = 21
Do đó
2
21(21 13)(21 14)(21 15) 84( )
SBC
S cm
Ta có tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC). Áp dụng công thức
S’ = S cos trong đó = 30
0
là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) ta có:
S
ABC
(ABCD) = AB
SH
(ABCD)
SH
AD (1)
- Vì ABCD là hình vuông
AB
AD (2)
- Từ (1) và (2)
AD
(SAB).
Mà AD
(SAD). Vậy (SAD)
(SAB)
* Lập luận tương tự ta có (SBC)
(SAB)
b)* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SAD)
và (SBC):
.
c)Vì ABCD là hình vuông, H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nên HC
DI
Mặt khác do SH
(ABCD)
SH
DI.
Vậy DI
(sHC), mà DI ).()()( SHCSDISDI
Bài 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = 2a và SO
(ABCD), Đặt SO
= h. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để (SMN)
(SAB), (SMN)
SCD).
A
www.MATHVN.com
* Lập luận tương tự ta có (SCD)
(SMN)
góc giữa (SMN) và (SCD) bằng 90
o
* Căn cứ vào kết quả trên ta thấy với h
tuỳ ý ta luôn có mặt phẳng (SMN) vuông
góc với 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD).
b)* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SAB)
và (SCD):
- AB CDABStSCDSABCDABSCDCDSAB ////)()(//),(),(
- Vì (SAB) SNStSMStSMNStSMNSCDSMN
,)()()(),(
Do SM
2
+ SN
2
– 2 SM.SN.cos
4a
2
= 2(h
2
+ a
2
) – 2(h
2
+ a
2
).cos
cos
=
22
22
a
h
h = a.
:BÀI 6 (ĐH Khối B năm 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
2
a
, SA = a và
( )
SA ABCD
. Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh
( ) ( )
SAC SMB
.
Giải:
Giả sử I là giao điểm của AC và MB
Ta có MA = MD và AD // BC nên theo định lý Talet suy ra
1
2
AI IC
2
2 2 2 2 2 2
1
3 ,
9 3
a
AC AD DC a AI AC
2
Vậy AMI là tam giác vuông tại I
MB AC
(1)
Mặt khác
( )
SA ABCD SA MB
(2)
Từ (1),(2) suy ra
( ) ( ) ( )
MB SAC SMB SAC
đpcm
BÀI 7: (ĐH khối A năm 2003)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD,A’B’C’D’ đáy là hình vuông ABCD cạnh a, AA’ = b. Gọi M là trung
điểm của CC’. Xác định tỷ số
a
b
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
S
t
C
N
D
O
A
M
B
a 2
Vì vậy
0
( ' ) ( ) ' 90
A BD MBD A OM
2 2 2
' '
A O OM A M
(1)
Ta có
2 2 2
' '
A O A B BO
2
2
2 2 2
2
2 2
a a
a b b
(2)
( ' ) ( )
A BD MBD
BÀI 8: (ĐH Hải Phòng năm 2006)
Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABC). Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh hai mặt phẳng (SAI)
và (SBC) vuông góc với nhau.
Giải:
Do AB = AC AI BC
(1)
Vì
AB = AC SB = SC SI BC
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
BC (SAI) (SBC) (SAI) dpcm
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1. Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc
vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a
6
. Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông
góc với nhau.
2. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đường cao
BE, DF của BCD, đường cao DK của ACD.
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 18
4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD). Gọi M, N là 2 điểm lần
lượt ở trên 2 cạnh BC, DC sao cho BM =
2
a
, DN =
3
4
a
. Chứng minh 2 mặt phẳng (SAM) và (SMN)
vuông góc với nhau.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB và CC cùng vuông góc với mp(ABC).
a) Chứng minh (ABB) (ACC).
b) Gọi AH, AK là các đường cao của ABC và ABC. Chứng minh 2 mặt phẳng (BCCB) và
(ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (AHK).
6. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc
với đáy. Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng SI (ABCD), AD (SAB).
b) Tính góc giữa BD và mp(SAD).
c) Tính góc giữa SD và mp(SCI).
HD: b) arcsin
6
4
c) arcsin
10
5
BÀI 5: KHOẢNG CÁCH
A. LÝ THUYẾT
này đến mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH
H
O
Q
P
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng đó.
d(a;b) = AB
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng
đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường
thẳng còn lại.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
B
A
b
awww.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 19
a/ Kẻ
OH (ABC), AH BC = M
Ta có
OH BC , BC OA
OA OB
do OA (OBC)
OA OC
BC (AOH) BC AH
Lập luận tương tự
BH AC
Vậy H là trực tâm của tam giác ABC.
b/ Theo định lý ba đường vuông góc, suy ra
MO BC
Vì AD = AC = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm ,
suy ra ABC là tam giác vuông tại A.Vậy AB, AC, AD đôi một
vuông góc với nhau.
Theo ví dụ 1 ta có :
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
9 16 16
AH AB AC AD
6 34
17
AH
H
M
C
B
O
A
H
5
3
4
4
D
C
B
A
www.MATHVN.com
BH
a a
BH BA BE BM a a
7
( , ' )
7
a
d AM B C
DẠNG 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
PP:
1) Nếu như d
1
// (P), trong đó d
2
chứa trong (P) thì khoảng cách giữa d
1
, d
2
bằng khoảng cách giữa
d
1
và (P).
2) Nếu như d
1
chứa trong (P), d
2
chứa trong (Q) mà (P) // (Q) thì khoảng cách giữa d
1
EB // SC (2)
Vậy từ (1) , (2)
MP // SC
Lại có PN // AC nên (MNP) // (SAC)
d(MN, AC) = d((MNP),(SAC)) = d(H,(SAC)) = OH =
1 2
4 4
a
BD
(với H, O lần lượt là giao điểm của BD với NP và AC).
BÀI 3: (Đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2006)
C'
B'
A'
M
E
B
C
A
H
P
N
M
E
O
B
C
thì
MH (A'BC)
và
1 2
d(M,(A'BC)) = MH = AI =
2 4
a
(2)
Từ (1) , (2) suy ra
2
d(MN,A'C) =
4
Chú ý : Các em (học sinh lớp 12) có thể giải ví dụ này bằng
phương pháp thể tích.
DẠNG 3: Bài toán xác định đường vuông góc chung
PP
Nguyên tắc chung để giải bài toán này như sau: Xác định điểm
,
M a N b
sao cho
,
MN a MN b
, khi đó MN là đường vuông góc chung của cả a và b. Vấn đề ở chỗ là làm thế nào
để xác định được hai điểm M, N?
Phương pháp tổng quát tiến hành như sau:
BÀI 2: (ĐH khối B năm 2002)
Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cạnh a. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1
B
và B
1
D.
Giải :
Ta có AB
1
A
1
B (vì BAA
1
B
1
là hình vuông)
A
1
B
B
1
C
1
D
1
)
DD
1
A
1
C
1
Do A
1
B
1
C
1
D
1
là hình vuông nên A
1
C
1
M
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
B'
B
N
M
b'
b
a
P
M
N
b
a
P
G
a
H
D
1
C
1
B
1
B. Trong
mặt chéo (B
1
A
1
DA) rõ ràng : HC
1
B
1
D = G.
Do B
1
H = HA =
1
2
C
1
D
GH =
1
2
GC
1
G là trọng tâm của tam giác A
1
D nên nó chính là khoảng cách giữa A
1
B và
B
1
D.
Ta có :
1 1 1
1 1 2. 3 6 6
( , )
3 3 6 6 6
a a a
GH C H d A B B D
Nhận xét :
Trong ví dụ này vì A
1
B
B
1
D nên cách làm trong ví dụ trên chính là sự thực hành các bước
đã nêu trong ví dụ 7.
BÀI 3 Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a =
6 2
cm. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng AB và CD.
Giải:
Gọi M và N tương ứng là các trung điểm của AB và CD. Do
ABCD là tứ diện đều , nên ta có CM
BÀI 4:
Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a và AD = a, AD
BC. Khoảng cách từ A đến BC
là a. Gọi M là trung điểm của BC.
Xác định và tính đoạn vuông góc chung của AD và BC.
Giải Gọi M là trung điểm của BC.
Có DM
BC ( trung tuyến của tam giác BCD đều)
AD
BC (gt)
BC
(ADM) có M = BC
(ADM).
Trong (ADM) kẻ MN
AD. Vì BC
,
4
13
16
3
2222
a
aaDHADAH
Từ (1) suy ra
8
39
2
3
.
4
13
. a
a
aa
AD
MDAH
MN .
N
M
D
C
B
A
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
BD’. Vì B’C
(ABC’D’) nên B’C
MK
Suy ra, MK là đoạn vuông góc chung của B’C và BD’
Xét ''CBDBHK
vì
B
ˆ
chung,
0
90'
ˆ
ˆ
CK
'
'.'
'
'
'
BD
BHCD
HK
BD
SA = 6a .
a) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD.
b) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SC và AD.
Giải
a) Ta có BD
AC ( đường chéo của hình vuông).
SA
BD ( SA
(ABCD))
BD
(SAC) mà SC
(SAC) và O )(SACBD
Trong (SAC) kẻ OI
SC. Vì BD
(SAC) nên BD
OI.
Suy ra, OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC.
6a
aaaACSASC 2226
2222
(
SAC vuông tại A)
Từ (1) suy ra
4
6
22
6.
2
2
. a
a
a
a
SC
SACO
OI .
b) Ta có AD // BC
AD // (SBC) mà SC
(SBC).
Có BC
AB và BC
AD // (SBC) nên AH
AD hay MN
AD = N
Suy ra, MN là đoạn vuông góc chung của SC và AD.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 24
Xét
SAB có
SB
ABSA
AHABSASBAHS
SAB
.
.
2
1
.
2
1
(2)
Có SA = 6a , AB = a, 76
2222
Khi đó, BC
IJ, BC
SO nên BC
(SIJ)
Hay (SBC)
(SIJ) mà SI = (SIJ)
(SBC).
Trong (SIJ) kẻ JF
SI
JF
(SBC).
Trong (SBC) kẻ FM // BC cắt SB tại M
Từ M dựng MN // = JF cắt AD tại N.
Vì JF
(SBC) nên JF
SB hay MN
SB = M
AD // (SBC) nên JF
3
16
3
44111
222222
a
OI
a
a
a
OC
OB
OI
Trong
SOB có
2
13
4
3
2
222
aa
aOBSBSO .
Trong
SOI có
4
55
.
b) Đoạn vuông góc chung của BD và SC.
Ta có, BD
AC và BD
SO nên BD
(SAC)
Trong (SAC) kẻ OE
SC
Vì OE
(SAC) nên BD
OE
Suy ra OE là đoạn vuông góc chung của BD và SC.
Xét
SOC có
8
39
39
64
3
4
13
4111
222222
Copyright: Tài liệu đại học ©