Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-

I. Công thức tích phân từng phần

Giả sử:
( ); ( )
u u x v v x
= =
có ñạo hàm liên tục trong miền D, khi ñó ta có:
•
( ) ( )
d uv udv vdu d uv udv vdu uv udv vdu
= + ⇔ = + ⇔ = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )
b b
a a
b
udv uv vdu udv uv vdu

sin( )
os( )
os( )
( )
ax b
ax b
ax b
ax b
u P x
ax b dx
ax b dx
c ax b dx
c ax b dx
P x
dv
e dx
e dx
m dx
m dx
+
+
+
+
=

+


+


ar os( )
ar os( )
arctan( )
( ) arctan( )
ar cot( )
ar cot( )
ln( )
ln( )
log ( )
log ( )
m
m
dv P x dx
ax b dx
ax b dx
cc ax b dx
cc ax b dx
ax b dx
P x ax b dx
ax b dx u
ax b dx
ax b dx
ax b dx
ax b dx
ax b dx
=

+



+



+




∫
(trong ñó P(x) là ña thức)
3. Dạng 3:
BÀI GIẢNG 09.
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
( TÀI LIỆU BÀI GIẢNG)

Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-( )
sin(ln )
sin(ln )









+


⇒ +


+ =



+



+

+


+



3
cos sin
u x du x dx
dv xdx v x
 
= =
⇒
 
= =
 
. Khi ñó ta có:
3 2
1
sin 3 sin .
A x x x xdx
= −
∫
ðặt
2
2
sin
cos
du xdx
u x
v x
dv xdx
=

=


sin 3 cos 6 sin sin sin 3 cos 6( sin cos )
A x x x x x x xdx x x x x x x x C
= + − − = + − + +
∫

Cách làm nhanh: Biến ñổi về dạng
( ) ( ) ( )
P x L x dx P x du
=
∫ ∫

3 3 3 3 3 2
1
cos (sin ) sin sin ( ) sin 3 sin
A x xdx x d x x x xd x x x x xdx
= = = − = −
∫ ∫ ∫ ∫

3 2 3 2 2
sin 3 (cos ) sin 3 cos cos ( )
x x x d x x x x x xd x
 
= + = + −
 
∫ ∫

( )
3 2 3 2
3 2 3 2
sin 3 cos 6 cos sin 3 cos 6 (sin )

 
 
= − = −
 
 
 
∫ ∫

3 5 1 2 5 1 5 1 2 3 5 1 2 5 1 5 1
1 3 1 3 6
( )
5 25 5 25 25
x x x x x x
x e x e e d x x e x e xe dx
− − − − − −
 
= − − = − +
 
∫ ∫

3 5 1 2 5 1 5 1 3 5 1 2 5 1 5 1 5 1
1 3 6 1 3 6
( )
5 25 125 5 25 125
x x x x x x x
x e x e xd e x e x e xe e dx
− − − − − − −
 
= − + = − + −
 

ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-

ðổi cận:
2
0 0
4 2
x t
x t
π π
= → =



= → =



2 2 2 2
3 3 3 3 2
3
0 0 0 0
2 sin 2 (cos ) 2 cos 2 cos ( ) 6 cos
2
0

t t tdt t
π
π π
π π π
= + − = − = −
∫•
36 6 6
2 3 3
4
0 0 0
1 cos 1
sin os ( os ) os
6
3 3 3
0
x x
A x xc xdx xd c x c xdx
π π π
π
= = − = − +
∫ ∫ ∫

36
2
0
3 1 3 1 sin 11 3
(1 sin ) (sin ) sin

2
2
( 2)
1
( 2)
2
x
x
u x e
du x x e dx
dx
dv
v
x
x

=

= +
 
⇒
 
=
= −
 
+
+




{
}
( ) arcsin ;arccos ;arctan ;ar cot ;ln ;log
m
P x u u u u u u u ax b dx
= +
∫

•
2 2 2 3 3 2 3 2
1
1 1 1
1 1
ln ln ( ) (ln ) (ln )
1
3 3
e e e
e
B x xdx xd x x x x d x
 
= = = −
 
 
∫ ∫ ∫

3 3 3 2 3 3
1 1 1
1 1 1
2 ln 2 ln ln ( )
3 3 3

2 2 2
2 2 2
2
0 0 0
1
1 1 1 1 1 1
ln ln ( ) ln ln
2
1 2 1 2 1 1
0
x x x x
B x dx d x x x d
x x x x
 
+ + + +
       
 
= = = −
       
 
− − − −
       
 
 
∫ ∫ ∫

Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng


3
0 0
1
ln 1 ln 1 ln 1
0
B x x dx x x x xd x x
 
 
= + + = + + − + +
 
 
 
 
∫ ∫

( ) ( )
1 1
2 2 2
0 0
ln 1 2 1 ln 1 2
1 1 1
x dx xdx
x
x x x x
 
= + − + = + −
 
+ + + +
 
∫ ∫

( ) ( )
1
2 2 2 2
0
1
0
1
1 ln 1 1 ln 1
0
2 ln 1 2 2 ln 1 2 1
x x x x d x x
dx
= + + + − + + +
= + − = + −
∫
∫

(
)
2
1
5
2
0
ln 1
1
x x x
B
x x
+ +

2 2
1
1
1 1
x
dx
dx
x
du
x x x
 
+
 
+
 
⇒ = =
+ + +

( )
3
1
2 2 2 2 3
2
2
1 1
1 (1 ) (1 )
2 3
v x d x x dx x x
 
= + + − = + −

   
 
∫
=…
=
(
)
(2 2 1)ln 1 2
2 2
3 12 9
π
− +
−
− +
(
)
(
)
1 1
2 2 2
6
0 0
1
ln 1 ln 1 ( )
2
B x x x dx x x d x
= + + = + +
∫ ∫

(

 
= − + +
 
 
 
 
 
 
= + − + = + −
 
+ + + +
 
∫
∫ ∫

Xét
1
2
2
0
1
x dx
I
x
=
+
∫
. ðặt
tan
x t

ln 1 ln 1 ( ) ln 1 (ln 1 )
8
2 2 2
B x x xd x x x x d x
− − −
= − = − = − − −
−
∫ ∫ ∫

0 0
2
2
8 8
1 1 1
32ln3 . . 32ln3
2 4 1
2 1 1
dx x dx
x
x
x x
− −
−
= − − = − +
−
− −
∫ ∫

=……
63

( 2 ) 2 ln 2 ln
2 2
2ln (ln ) 2
2 ln 2 1 ln 2
1 1
t dt
B tdt t td
t t t
t d t
t t t
 
⇒ = − = = −
 
 
− −
= − = − − = −
∫ ∫ ∫
∫

3 3 3
2
9
2 2 2 2 2
1 1 1
ln 1 ln ( 1) 1 1
ln
( 1) 2 ( 1) 2 1
x xdx xd x
B xd
x x x

= + = +
 
+ + −
 
−
 
= + − = −
 
+
 
∫ ∫
∫

3. Dạng 3: Tích phân từng phần luân hồi.
•
( )
2 3 3 3
1
1 1 1
sin(ln ) sin(ln ) sin(ln ) sin(ln )
3 3 3
C x x dx x dx x x x d x
= = = −
∫ ∫ ∫

3 3 3 2
1 1 1 1
sin(ln ) os(ln ) sin(ln ) os(ln )
3 3 3 3
dx

⇒ = − ⇒ = − +
 •
2 2
2 2 2 2
2
0 0 0
1 1 1 1
sin (1 os2 ) os2
0
2 4 2 4 2
x x
x x x
e e
C e xdx e c x dx e c xdx J
π π π
π
−
= = − = − = −
∫ ∫ ∫

2 2 2 2
0 0 0
1 1 1
os2 (sin 2 ) sin 2 sin 2 ( )
0
2 2 2
x x x x

2
0
1 1 1 1
os2 2
2 2 2 4
x
e e e e
e c xdx J J J
π
π π π π
− − − −
= − = − ⇒ = ⇒ =
∫

2 2 2 2
2
1 1 1 1 1
4 2 4 8 8
e e e e
C J
π π π π
− − − −
⇒ = − = − =

•
( )
( )
3
1 1 1
os(ln ) cos(ln ) os(ln ) 1 sin(ln )

e
e c x dx e C C e C
π
π
π π π
+
= − + − = − + − ⇒ = − + ⇒ = −
∫

•
[ ]
2
4
1 1 1
1 1 1 1 1
os (ln ) 1 os(2ln ) os(2ln )
2 2 2 2 2
1
e e e
e
e
C c x dx c x dx x c x dx I
π π π
π
π
−
= = + = − = −
∫ ∫ ∫

Xét

2cos(2ln ) 1 6
1 2 1 4 os(2ln ) 1 1
5 5
e e
x dx e
e x e c x dx e e
x
π π
π
π π π π
−
= − − = − − = − + = −
∫ ∫

4
1 1 6
5 1 1 1 ( 1)
5 5 5
x x
x
e e
I e I C e I e e
π π π
− −
⇒ = − ⇒ = ⇒ = − + = − + = −•
5
1 sin 1 sin 1 sin 1 sin

1 cos 1 cos (1 cos )
x x
x
x e dx e xdx
e I J I J
x x x
+
= − − = =
+ + +
∫ ∫

Xét
2
sin
(1 cos )
x
e xdx
J
x
=
+
∫
. ðặt
2
sin
1
(1 cos )
1 cos
x
x

∫
. Thay (2) vào (1) ta có:
5
1 sin 1 sin
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
x x
x x
x e x e
C e I I C e C
x x x x
 
+ +
⇒ = − − − + = − +
 
+ + + +
 

Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 7
-

•
2
6

∫ ∫

( )
0 0 0
1 sin 2 1
cos 2 (sin 2 ) sin 2
0
2 2 2
x
x x x
e x
J e xdx e d x xd e
π π π
π
−
− − −
= = = −
∫ ∫ ∫

( )
0 0 0
1 1 cos2 1
sin 2 (cos2 ) cos2
0
2 4 4 4
x
x x x
e x
e xdx e d x xd e
π π π

π
− − −
−
− − −
⇒ = − = − = −•
2 2
7
0
( 0)
a
C a x dx a
= − >
∫

( )
2
2 2 2 2 2 2 2
7
2 2 2 2
0 0 0 0
2
2 2 2
7
0
0
arcsin
0

( 0)
a
C a x dx a
= + >
∫

( )
2
2 2 2 2 2
8
2 2
0 0
2
2 2 2
2 2
0 0
2
0
2
a a
a a
a
x
C x a x xd a x a dx
a x
dx
a a x dx a
a x
= + − + = −
+

9
0
( 0)
a
C x a x dx a
= + >
∫

ðặt:
( )
1
2 2
2 2
2
1
3
du dx
u x
v a x
dv x a x dx
=

=

 
⇒
 
= +
= +


a a
a
x
C a x a x dx
a a
a a x dx x a x dx a C C
⇒ = + − +
= − + − + = − −
∫
∫ ∫

(
)
9
3 2 ln 1 2
8
C
− +
⇒ =

•
2 2 2
10
0
( 0)
a
C x a x dx a
= − >
∫


10
0 0 0
2 4
7 10 10
1 1
0
3 3 3
1
3 3 8
a a a
a
x
C a x a x dx a a x dx x a x dx
a a
C C C
π
 
−
= − + − = − + −
 
 
= + ⇒ =
∫ ∫ ∫

•
(
)
2 2
2 2 2 2 2 2
11

2
2 2
11
2
2 3 2 ln
2
2 3
2 3 2 ln
1 2
a
a
a
a a x x a x a dx
a
a a C
= − − + − − −
+
= − − −
+
∫

( )
2
11
2 3
2 3 2 ln
2
1 2
a
C


2 2
2 2
4 4
cos 1 1
2 cot 2 1
sin sin sin
x
x dx dx
x x x
π π
π π
 
= − − = − − −
 
 
∫ ∫

2 2 2
12
3 2
4 4 4
sin
2 2
sin sin 1 cos
dx dx xdx
C
x x x
π π π
π π π

1
2 2 2 2
0 0 0 0
3 3
2 2 2
2
0 0
2 1
2
1 1 1 1
. 1
1
x x x x
x x x
D dx dx dx dx
x x x x
xdx
x x x dx x I J
x
+ +
+
= = = +
+ + + +
= + + = +
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫

- Xét:
3

= +





( ) ( ) ( ) ( )
3 3
3 3 3
2 2 2 2 2
2 2 2
0 0
1 2 13
1 1 8 1 1
3 3 3
0
I x x x x dx x d x
= + − + = − + +
∫ ∫

( )
5
2
2
2 58
3
8 1
15 15
0
x= − + =

 
⇒
 
=
= +



+


( ) ( )
3 3
3
2 2 2 2 2 2
2
0 0
2 4
3
1 2 1 6 1 1 6 1
3 3
0
J x x x x dx x d x x
= + − + = − + + = − + =
∫ ∫

1
58 4 26
15 3 5
D I J⇒ = + = + =

)
3
2 2
2
3 3 3 3
1 1
1
2 1 1 2 1 1
3 8 2 3 8 6
1 1
d x
x dx
x x x x
+
= − + = − +
+ +
∫ ∫

3 3
2
2 2
2 2
2 1 1 ( ) 2 1 1
3 8 6 ( 1) 3 8 3 1
d u du
u u u
= − + = − +
− −
∫ ∫


( )
( )
( )
2 2 2
2 2
sin sin sin
0 0
1 1 1
1 cos2 1 cos 2 (1 cos 2 )
2
4 4 4
0
x x x
x d e x e e d x
π π
π
= + = + − +
∫ ∫

( )
2 2 2
2 2
sin sin sin
0 0
1 1 1 1 1 1
sin 2 1
2
2 2 2 2 2 2 2
0
x x x

x x d x x
x
π π
π π
π π
π π
π
π
= − = −
= − − − = −
−
∫ ∫
∫ ∫

2
2 2
3 3
3 1 cos 3 3
2
ln 2 ln 2 (1 cos ) ln 2 ( sin )
2 1 cos 2 2
3
3 3
ln 2 1
2 6 2
x
dx x dx x x
x
π π
π π

4 cos tan 4 sin 4 sin
xdx dx xdx
x x x x
π π π
π π π
= − + = − + = − +
∫ ∫ ∫

( )
3
2
4
1 (cos ) 1 1 1 cos 3
3
ln3 ln3 ln ln 1 2 ln 3
4 1 cos 4 2 1 cos 4
4
d x x
x x
π
π
π
π
+
= − − = − − = + −
− −
∫

•
( )

2 2 4 8 2
2 2
0 0
x x x
x x dx
π
π π
π π
 
= − + + − = + +
 
+
 
∫

(
)
2 1
4
π
= −
.
•
2 2 2
4 4 4
7
0 0 0
sin 2 cos (sin ) 2 sin cos cos (sin ) 2 sin cos (sin ) (
sin )
D x x dx x x x dx x x d x


Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 11
-

•
2
4 4 4
2 2
8
2 2
0 0 0
tan sin 2 cos
1 sin 2 cos (cos )
cos cos cos
x x x
D xdx xdx d x
x x x
π π π
−
= + = − = −
∫ ∫ ∫

(

u
π
−
− −
 
= − = − = −
 
 
= − − = − − = − −
−
∫ ∫ ∫
∫

•
23 3
9
2 2
0 0
cos
.
( sin cos ) cos ( sin cos )
x dx x x x
D dx
x x x x x x x
π π
= =
+ +
∫ ∫

3 3

π
π
π π π
π π π
+ − −
 
= − + = + =
 
+
+ + +
 
∫

Giáo viên : Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn