SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 180 phút.
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1. Cho hàm số
3 2 2 2
3 3(1 ) 2 2 1y x x m x m m= − + − + − −
(m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi
1.m
= −
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu; đồng thời hai điểm
cực trị của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng
: 4 5 0.d x y− − =
Câu 2. Giải phương trình
( )
2
1
4 4 4
cos 2 cos 2 sin 1 cos2x x x x
π π
   
+ − + + =
 ÷  ÷
   
với
0 .
4
x

∫
Câu 5. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy ABCD là hình bình hành, với
2 2SA SB AB a BC
= = = =
và
0
120 .ABC∠ =
Gọi H là trung điểm của cạnh AB và K là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng
( ),SCD K
nằm trong tam giác SCD và
3
5
.HK a=
Tìm thể tích của hình chóp theo a.
Câu 6. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn
3.ab a b+ + =
Chứng minh rằng
2 2
3 3 3
1 1 2
a b ab
b a a b
a b+ +
+ + +
≤ + +
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ được một trong hai phần riêng, phần A hoặc phần B.
A. Theo chương trình chuẩn
Câu 7a. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn

2
0.z az b+ + =
B. Theo chương trình nâng cao
Câu 7b. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm
(3;4)M
và đường tròn
2 2
: 6 2 2 0.x y x y
ω
+ − + + =
Viết phương trình của đường tròn
Γ
với tâm M, cắt
ω
tại hai điểm A, B
ssao cho AB là cạnh của một hình vuông có bốn đỉnh nằm trên
.
ω
Câu 8b. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình của mặt cầu có tâm
(1;2;3)I
và tiếp xúc
với đường thẳng
2
: .
1 2 2
x y z
d
+
= =
−

ct
x y= = −
0.25
Nhánh vô cực:
lim , lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= = +∞ = = −∞L L
; lập bảng biến thiên 0.25
Vẽ đồ thị
0.25
2.
2 2
3 6 3(1 )y x x m
′
= − + −
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi
0y
′
=
có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu khi qua hai
nghiệm đó. Điều này tương đương với phương trình
2 2
2 1 0x x m− + − =
có hai nghiệm phân biệt,
tức là
0.m
≠
0.25

cos( ) cos4 (1 cos2 )(1 cos2 )
2 2
x x x
π
+ + − + =
0.25
2
1
cos4 1 cos 2 cos4 0 ,
2 8 4
k
x x x x k
π π
⇔ + − = ⇔ = ⇔ = + ∈¢
0.5
Do
0;
4
x
π
 
∈
 
 
nên
8
x
π
=
0.25

26
2
7
y = −
do đó
3
7
26
x = −
0.25
Với
4,xy =
thay vào phương trình thứ nhất, được
3
215
2
7
y = −
do đó
3
7
2
215
x = −
0.25
4
Viết lại biểu thức dưới dấu tích phân
ln 2
·
ln 1

 ÷
+ +
 
∫ ∫
0.25
Tính được
1 3ln 2 1 ln8I
= − = −
0.25
5
Gọi I là trung điểm CD. Chỉ ra các tam giác
, , ,ADH HDI IHB BCI
là các tam giác đều cạnh a. Suy
ra
2
2
3
4 3
4
ABCD
a
S a= × =
(đ.v.d.t)
Gọi J là trung điểm DI. Khi đó
,HJ AB CD⊥
và do đó
( )CD SHJ⊥
.
0.25
Suy ra

6
Từ giả thiết suy ra
(1 )(1 ) 1 4a b ab a b+ + = + + + =
. Đặt
, 0a b x x+ = >
thế thì

2 2
( ) 4 4(3 ) 2x a b ab x x= + ≥ = − ⇒ ≥
(do
0x >
)
0.25
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
3 1 3 1
3 3 12
1 3 10 0
2 1 1
a a b b
a b a b a b
a b a b a b
+ + +
+ + ≥ + − ⇔ + − + − + ≥
+ + + +
(1)

Do
1
· · ·sin 4 3
2
ICB
IC IB CIB S∠ = =
nên
3
sin
2
CIB∠ =
. Từ đó, do
0
90CIB∠ ≤
và
IC IB=
nên
tam giác CIB đều, với độ dài ba cạnh bằng 4. Bởi vậy, bài toán quy về viết phương trình đường
thẳng
∆
đi qua
(1 3;2)A +
và cách
(1; 1)I −
một khoảng bẳng
2 3.
0.25
Đường thẳng
∆
có phương trình

(1;3;4)q =
r
0.25
Giao tuyến d của (P) và (Q) có véctơ chỉ phương
[ ; ] ( 4; 12;10) 2(2;6; 5)u p q= = = − − = − −
r r r
L
0.25
Do
d∆ P
nên
∆
có véctơ chỉ phương
1
· (2;6; 5)
2
v u= − = −
r r
0.25
Do đó,
∆
có phương trình
4 2
2 6 5
x y z− −
= =
−
0.25
9a
Tính

2 2 2
: ( 3) ( 4)x y
ρ
Γ − + − =
thỏa mãn yêu cầu. Khi đó, do AB là dây
cung chung, nên
,AB IM⊥
hay đường thẳng AB nhận
(0;5)IM =
uuur
làm véctơ pháp tuyến. Hơn
nữa, I và M ở về hai phía của AB. Do đó, đường thẳng AB có phương trình dạng
5 0y c+ =
với
20 5c
− < <
(1)
0.25
AB là cạnh của hình vuông nội tiếp
ω
khi và chỉ khi
( ; ) 2
2
R
d I AB = =
. Từ đó, kết hợp với (1),
tìm được
5c = −
. Suy ra
: 1 0.AB y − =

Tính được
(1;4;3)MI =
uuur
0.25
+ Khẳng định và tính được
[ ; ]
233
( ; )
| | 3
MI u
d I d
u
= = =
uuur
r
L
r
0.5
+ Khẳng định mặt cầu cần tìm có bán kính bằng
( ; )d I d
và viết phương trình
2 2 2
233
( 1) ( 2) ( 3)
9
x y z− + − + − =
0.25
9b
Viết lại phương trình về dạng
2 2 2