Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
OLYMPIC TO
´
AN C
´
AC NU
,
´
O
,
C
1998 – 1999
56 Ð
`
Ê THI V
`
A L
`
O
,
I GI
,
AI

u
,
g
´
oi l
.
ênh phông ch
˜
u
,
tôi biên so
.
an m
.
ôt sô
´
¯
dê
`
to
´
an thi Olympic, m
`
a
c
´
ac h
.
oc tr
`

an ham
h
.
oc to
´
an tôi thu th
.
âp v
`
a gom l
.
ai th
`
anh c
´
ac s
´
ach
¯
di
.
ên t
,
u
,
, c
´
ac b
.
an c

`
u b
`
ai to
´
an d
.
ich không
¯
du
,
.
o
,
c chuâ
,
n, nhiê
`
u
¯
diê
,
m không ho
`
an to
`
an
ch
´
ınh x

`
a
nguô
`
n t
`
ai li
.
êu tiê
´
ng Vi
.
êt vê
`
ch
,
u
¯
dê
`
n
`
ay, tôi
¯
d
˜
a c
´
o xem qua v
`

´
t nhiê
`
u
¯
do
.
an v
`
ı m
´
o
,
i h
.
oc TeX nên câ
´
u tr
´
uc v
`
a bô
´
tr
´
ı c
`
on xâ
´
u, tôi không

´
ep ch
˜
u
,
Vi
.
êt, c
´
ac b
.
an th
,
u
,
xem nh
´
e.
H
`
a N
.
ôi, ng
`
ay 20 th
´
ang 9 n
˘
am 2013
Nguy

u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
M
.
uc l
.
uc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chu
,
o
,
ng 15. Ðê
`
thi olympic to
´
an Ireland . . . . . . . . . . . . . . . 6
15.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
15.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Chu
,
o

`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
17.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chu
,
o
,
ng 18. Ðê
`
thi olympic to
´
an Nh
.
ât B
,
an . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
18.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
18.2. L

,
ng 20. Ðê
`
thi Olympic To
´
an Nga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
20.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
20.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chu
,
o
,
ng 21. Ðê
`
thi olympic to
´
an Ð
`
ai Loan . . . . . . . . . . . . . . . 34
21.1. Ðê

`
ı . . . . . . . . . . . . . 38
22.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
22.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
T
`
ai li
.
êu tham kh
,
ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
CHU
,
O
,
NG 15
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´

`
ı.
x
8
− x
5
−
1
x
+
1
x
4
≥ 0.
B
`
ai 15.2. Ðiê
,
m P n
`
˘
am bên trong m
.
ôt tam gi
´
ac
¯
dê
`
u v

d
´
o.
B
`
ai 15.3. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang không c
´
o sô
´
nguyên n
`
ao d
.
ang xyxy trong h
.
ê th
.
âp
phân c
´
o thê
,
l

i
b >1 . M
`
a trong
¯
d
´
o c
´
o 1 d
.
ang l
˜
uy th
`
u
,
b
.
âc 3 c
,
ua d
.
ang xyxy.
B
`
ai 15.4. Ch
´
u
,

,
chô
`
ng ch
´
eo nhau) h
`
ınh tr
`
on b
´
an kinh b
`
˘
ang1.
B
`
ai 15.5. Nê
´
u x l
`
a sô
´
th
.
u
,
c,x
2
− x l

´
t c
,
a sô
´
nguyên n c
´
o 16 u
,
´
o
,
c du
,
o
,
ng t
´
ach r
`
o
,
i nhau
d
1
, d
2
, d
3
, , d

u a, b, c l
`
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng th
`
ı:
9
a + b + c
≤ 2(
1
a + b
+
1
b + c
+
1
c + a
) (15.1)
v

`
˘
ang N c
´
o thê
,
viê
´
t du
,
´
o
,
i d
.
ang t
.
âp h
.
o
,
p c
,
ua 3 t
.
âp
r
`
o
,

,
ng minh r
`
˘
ang N c
´
o thê
,
viê
´
t du
,
´
o
,
i d
.
ang t
.
âp h
.
o
,
p c
,
ua 4 r
`
o
,
i r

`
u n
`
ay v
´
o
,
i 3 t
.
âp h
.
o
,
p.
B
`
ai 15.9. Cho d
˜
ay sô
´
th
.
u
,
c
{
x
n
}
v

A = 2

B v
`
a

C > 90
0
. T
`
ım chiê
`
u d
`
ai tô
´
i
thiê
,
u c
,
ua chu vi tam gi
´
ac ABC.
15.2. L
`
o
,
i gi
,

4
=
(x
9
− 1)(x
3
− 1)
x
4
v
`
ı x
4
> 0; x
9
− 1 v
`
a x
3
− 1 c
`
ung dâ
´
u nên biê
,
u th
´
u
,
c luôn luôn l

´
ac
¯
dê
`
u l
`
a A,B,C.Nhu
,
v
.
ây:
PA = 3, PB = 4, PC = 5.
Xoay ABC m
.
ôt g
´
oc 60
0
xung quanh
¯
diê
,
m A
¯
dê
,
c
´
ac c

o
,
th
`
anh tam gi
´
ac
¯
dê
`
u.
´
Ap d
.
ung
¯
d
.
inh l
´
ı h
`
am sô
´
côsin
ta c
´
o:
AC =
√

i gi
,
ai 15.3. Nê
´
u sô
´
c
´
o 4 ch
˜
u
,
sô
´
xyxy = 101.xy l
`
a l
˜
uy th
`
u
,
a b
.
âc 3 ⇒ 101|xy
l
`
a mâu thu
˜
ân.Biê

i x, y < b v
`
a b
2
+ 1 > bx + y.
8 Chu
,
o
,
ng 15. Ðê
`
thi olympic to
´
an Ireland
Do
¯
d
´
o
¯
dê
,
xyxy l
`
a l
˜
uy th
`
u
,

˜
an vô
´
i b
2
+ 1 = 50. l
˜
uy th
`
u
,
a b
.
âc 3 nh
,
o nhâ
´
t
chia hê
´
t cho 50 l
`
a 1000 .v
`
a sô
´
xyxy ch
´
ınh l
`

ao trong m
.
ôt
h
`
ınh l
.
uc gi
´
ac
¯
dê
`
u bên trong h
`
ınh d
.
ang tô
,
ong
,
o
,
gi
˜
u
,
a.V
´
o

,
o.
Kê
´
t qu
,
a cho thâ
´
y r
`
˘
ang m
.
ôt h
`
ınh tr
`
on b
´
an k
´
ınh b
`
˘
ang 2 c
´
o thê
,
bao ph
,

a sô
´
nguyên ).G
,
ai phu
,
o
,
ng tr
`
ınh x
2
− x − z =
0.Ta c
´
o x =
1±
√
a
2
v
´
o
,
i a = 1+4z. v
`
ı x
n
−x = x(x−1)(x
n−2

a m
.
ôt sô
´
h
˜
u
,
u t
,
ı.Ta câ
`
n c
´
o x l
`
a m
.
ôt sô
´
h
˜
u
,
u t
,
ı.Ch
´
u
,

x không ph
,
ai l
`
a sô
´
h
˜
u
,
u t
,
ı suy ra c
´
o hai
tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p.
(a) x =
1+
√
a
2

˜
u
,
u t
,
ı du
,
o
,
ng.
⇒

n−2
i =0
x
i
= α
/
+ β
/
√
a. Tô
,
ng l
`
a 1 sô
´
không ph
,
ai l

o
,
ng.
(b) x =
1−
√
a
2
⇒ m
.
oi kh
,
a n
˘
ang c
,
ua x ch
,
ı c
´
o thê
,
l
`
a d
.
ang α + β
√
a v
´

ı c
˘
an b
.
âc hai
¯
du
,
.
o
,
c gi
˜
u
,
nguyên khi v
`
a ch
,
ı khi −
√
a t
˘
ang lên th
`
anh
không.kh
,
˘
a n

´
h
˜
u
,
u t
,
ı âm,β
/
l
`
a sô
´
h
˜
u
,
u t
,
ı du
,
o
,
ng.V
`
a 1 lâ
`
n n
˜
u

˜
ân.
⇒ x ph
,
ai l
`
a sô
´
h
˜
u
,
u t
,
ı.Ð
.
˘
at x =
p
q
v
´
o
,
i UCLN (p, q) = 1 do
¯
d
´
o.
z = x

`
a 1 sô
´
nguyên.
L
`
o
,
i gi
,
ai 15.6. Ta c
´
o:n = p
a
1
1
p
a
2
2
p
a
m
m
.V
´
o
,
i p
1

+ 1) u
,
´
o
,
c.T
`
u
,
18 = 2.3
2
,c
´
o 6 u
,
´
o
,
c
l
`
a:1,2,3,6,9,18. d c
´
o 16 u
,
´
o
,
c.Ch
´

¯
d
´
o d = 2.3
3
.p v
´
o
,
i
sô
´
nguyên tô
´
p > 18.Nê
´
u p < 27 th
`
ı:d
7
= p, d
8
= 27, d
9
= 2p = 27 + 17 =
44 ⇒ p = 22.Do
¯
d
´
o mâu thu

8
+ 17 = 71. khi
¯
d
´
o ta c
´
o hai
sô
´
câ
`
n t
`
ım l
`
a.
2.3
3
.37 = 1998, 2.3
3
.71 = 3834.
L
`
o
,
i gi
,
ai 15.7. Bâ
´

t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c AM-HM
ho
.
˘
ac Cauchy-schwarz.
9
(a + b) + (b + c) + (c + a)
≤
1
a + b
+
1
b + c
+
1
c + a
.
⇔
9
a + b + c
≤ 2(

u
,
c Jensen’s.V
´
o
,
i f (x) =
1
x
l
`
a h
`
am
lô
`
i.Theo b
´
˘
at
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c Jensen’s ta c
´

+
1
c + a
).
10 Chu
,
o
,
ng 15. Ðê
`
thi olympic to
´
an Ireland
Theo b
´
˘
at
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c Jensen’s ta c
´
o:
f (a) + f (b)
2

f (c) + f (a)
2
≥ f (
c + a
2
) ⇒
1
c
+
1
a
2
≥
2
c + a
.
C
.
ông vê
´
v
´
o
,
i vê
´
3 bâ
´
t
¯

1
b
+
1
c
).
L
`
o
,
i gi
,
ai 15.8. (a) D
˜
ê d
`
ang kiê
,
m tra t
.
âp h
.
o
,
p:
{3k + 1}
k∈N
, {3k + 2}
k∈N
, {3k}

o
,
p :
{4k + 1}
k∈N
, {4k + 2}
k∈N
, {3k + 3}
k∈N
, {4k}
k∈N
Th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên.
Ta ch
´
u
,
ng minh hai m
.
ênh
¯

ac sô
´
1,3,6 ph
,
ai
,
o
,
c
´
ac t
.
âp kh
´
ac nhau,ta gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang 1 ∈
A; 3 ∈ B; 6 ∈ C ⇒ 4 ∈ B.Ch
,
u
´
y r
`

.
o
,
p. {1; 2} ⊂ A, {3; 4} ⊂ B, {5; 6} ⊂ C. ho
.
˘
ac
{1; 5} ⊂ A, {3; 4} ⊂ B, {2; 6} ⊂ C.
C
,
a hai tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p trên
¯
dê
`
u không thê
,
¯
d
.
˘
at 7 v

, x
3
=
x
0
+ x
1
+ 1
x
0
x
1
, x
4
=
1 + x
0
x
1
.
V
`
a x
5
= x
0
, x
6
= x
1

Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 11
L
`
o
,
i gi
,
ai 15.10. Ð
.
˘
at BC = a, CA = b, AB = c.Ta c
´
o A = 2B v
`
a C = 180
0
−
3B.Theo
¯
d
.
inh l

`
a a
2
= b(b + c).Do ta
¯
dang t
`
ım m
.
ôt h
`
ınh tam gi
´
ac c
´
o chu vi nh
,
o nhâ
´
t.Gi
,
a
s
,
u
,
UCLN (a, b, c) = 1,c
´
o UCLN(b, c) = 1.V
`

,
C > 90
0
, ch
´
ung ta c
´
o 0 < B < 30
0
v
`
a
√
3 < 2cosB =
n
m
< 2.
D
˜
ê d
`
ang kiê
,
m tra
¯
du
,
.
o
,

´
ap
´
u
,
ng
¯
du
,
.
o
,
c c
´
ac
¯
diê
`
u ki
.
ên c
,
ua b
`
ai
to
´
an.
CHU
,

a + b + c = xyz
x + y + z = abc
v
`
aa ≥ b ≥ c ≥ 1, x ≥ y ≥ z ≥ 1
B
`
ai 16.2. D
˜
ay Fibonacci F
n
¯
du
,
.
o
,
c cho b
,
o
,
i
F
0
= F
1
= 1, F
n+2
= F
n+1

x
´
ac
¯
d
.
inh b
,
o
,
i x
0
= F
k
/F
m
v
`
a
x
n+1
=
2x
n
− 1
1 − x
n
nê
´
u x

,
ua h
`
ınh ch
´
op ABCDES.
M
.
ôt m
.
˘
at ph
,
˘
ang c
´
˘
at c
´
ac c
.
anh bên SA, SB, SC, SD, SE tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng t

ınh c
,
ua h
`
ınh ch
´
op.
Ch
´
u
,
ng minh c
´
ac
¯
diê
,
m giao nhau c
,
ua c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´


n
`
˘
am trên c
`
ung m
.
ôt m
.
˘
at ph
,
˘
ang.
B
`
ai 16.4. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang d
˜
ay a
n
x
´

t cho 7.
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 13
B
`
ai 16.5. C
´
ac
¯
diê
,
m D, E n
`
˘
am trên c
.
anh AB c
,
ua tam gi
´
ac ABC v
`
a th

et h
`
ınh vuông
¯
do
,
n v
.
i trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang c
´
o
¯
d
,
ınh c
´
o t
.
oa
¯
d
.
ô l
`

,
n v
.
i n
`
˘
am
ho
`
an to
`
an bên trong
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on x
2
+ y
2
≥ 1998
2
. Trong m
˜
ôi ô vuông c
,

ôt ho
.
˘
ac
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo c
,
ua S. Ch
´
ung ta c
´
o thê
,
kê
´
t th
´
uc v
´
o
,
i ch
´

ang
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt trong hai gi
´
a tr
.
i bc v
`
a yz c
´
o
gi
´
a tr
.
i nh
,
o ho
,
n 3. Nê
´
u bc = 3, th
`
ı b = 3, c = 1, a + b + c < 3a = abc; nê
´
u

˘
ac 2.
Nê
´
u yz = 1, th
`
ı y = z = 1. Ta c
´
o
abc = x + y + z = x + 2 = xyz + 2 = a + b + c + 2
. Nê
´
u c ≥ 2, th
`
ı bc ≥ 4 v
`
a 4a ≥ abc = a+b+c+2 ≤ 4a; do
¯
d
´
o a = b = c = 2.
Ta
¯
du
,
.
o
,
c c
´

ô sô
´
(3, 3, 1, 7, 1, 1) v
`
a (7, 1, 1, 3, 3, 1). Nê
´
u b = 2, ta c
´
o a = 5
v
`
a c
´
ac b
.
ô sô
´
th
,
oa m
˜
an (5, 2, 1, 8, 1, 1) v
`
a (8, 1, 1, 5, 2, 1). Nê
´
u b = 1, ta c
´
o
a = a + 4, không c
´

u c ≥ 2, th
`
ı 8a ≤ 2abc ≤ 3a + 6 =⇒ 5a < 6,
¯
diê
`
u n
`
ay mâu thu
˜
ân
v
´
o
,
i a ≥ c. Do
¯
d
´
o c = 1, v
`
a 2ab = a + b + 7. Nê
´
u b ≥ 3, 6a ≤ 2ab =
a + b + 7 =⇒ a ≤ b/5 + 7/5,
¯
diê
`
u n
`

˘
ap l
.
ai kê
´
t qu
,
a (8, 1, 1, 5, 2, 1).
L
`
o
,
i gi
,
ai 16.2. Ta cho r
`
˘
ang (k, m) = (2l, 2l + 1) v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
nguyên không âm
l. Ta c
´
o
x

m ngu
,
.
o
,
c. Ta biê
´
t r
`
˘
ang
¯
dô
´
i v
´
o
,
i m
.
ôt v
`
ai
j, x
j
= 1 =
F
0
F
1

2i
F
2i+2
+ 2
=
F
2i+2
F
2i+3
¯
diê
`
u
¯
d
´
o suy ra x
0
=
F
2l
F
2l+1
v
`
a (k, m) = (2l, 2l + 1), v
´
o
,
i sô

`
anh
chu
˜
ôi th
,
oa m
˜
an
¯
diê
`
u ki
.
ên
¯
dê
`
b
`
ai.
L
`
o
,
i gi
,
ai 16.3. G
.
oi A

´
eo c
,
ua c
´
ac t
´
u
,
gi
´
ac ABB

A

, BCC

D

, CDD

C

, DEE

D

, EAA

E

ng
´
u
,
ng hai m
.
˘
at ph
,
˘
ang
BACDE v
`
a A

B

C

D

E

.G
.
oi w l
`
a m
.
˘

,
ng th
,
˘
ang AC n
`
˘
am trên m
.
˘
at ph
,
˘
ang w
1
v
`
a SAA

CC

. v
`
a
¯
du
,
`
o
,

ac
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang AC, A

C

, l
¯
dô
`
ng ph
,
˘
ang; g
.
oi K l
`
a giao c
,
ua c
´
ac

.
˘
at ph
,
˘
ang AB

C v
`
a A

BC

. V
`
ı v
.
ây, c
´
ac m
.
˘
at ph
,
˘
ang n
`
ay c
´
˘


, do
¯
d
´
o K n
`
˘
am trên c
,
a hai m
.
˘
at ph
,
˘
ang AB

C v
`
a A

BC

. R
˜
o r
`
ang m
.

´
˘
at nhau theo
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 15
m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang. Do
¯
d
´
o, A
1

,
ch
,
ı ra r
`
˘
ang C
1
n
`
˘
am trên m
.
˘
at ph
,
˘
ang ch
´
u
,
a B
1
v
`
a l, tr
`
ung v
´
o

at ph
,
˘
ang w.
L
`
o
,
i gi
,
ai 16.4. Ta ch
´
u
,
ng minh b
`
ai to
´
an b
`
˘
ang ph
,
u
¯
d
.
inh. Gi
,
a s

´
h
.
ang cuô
´
i c
`
ung c
,
ua
d
˜
ay.Khi
¯
d
´
o ta thâ
´
y
a
2k−1
≡ a
2k
≡ a
2k+1
≡ a ≡ 0 (mod7)
Khi
¯
d
´

.
ât v
.
ây, v
´
o
,
i n = 0, 1, . . . , 6, a
4k−3+n
≡ a
4k−3
+na(mod7). Mâu thu
˜
ân
v
´
o
,
i
¯
diê
`
u gi
,
a s
,
u
,
. V
.

.
AE
EB
= (
sinB
sinA
)
2
. G
.
oi θ =

ACD, φ =

ECB, α =

DCE. Tiê
´
p t
.
uc
´
ap d
.
ung
¯
d
.
inh l
´

ang th
´
u
,
c trên ta
¯
du
,
.
o
,
c
CDsinB
CEsinA
=
ADsinφ
BEsinθ
⇐⇒
CDsinB
CEsinA
=
BDsin
2
Bsinφ
AEsin
2
Asinθ
⇐⇒
CD
CE

. T
`
u
,
(2θ + α) + (2φ + α) = 2

C < 360
0
, 2θ + α = 2φ + α v
`
a do
¯
d
´
o

ACD = θ =
φ =

BCE.
L
`
o
,
i gi
,
ai 16.6. Câu tr
,
a l
`

an h
`
ınh vuông.Tru
,
´
o
,
c khi di chuyê
,
n m
.
ôt h
`
ang c
.
u thê
,
, gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang tô
,
ng
tâ

ınh vuông c
´
o sô
´
1 trên h
`
ang
¯
d
´
o. Sau khi di chuyê
,
n, h
`
ang
¯
d
´
o c
´
o tô
,
ng
l
`
a 2k − 2n v
`
a tô
,
ng tâ

v
.
ây v
´
o
,
i c
´
ac c
.
ôt v
`
a c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng ch
´
eo. Do
¯
d
´
o, tô
,
ng tâ

ı tâ
´
t c
,
a c
´
ac tô
,
ng thay
¯
dô
,
i b
,
o
,
i 2
mod 4;
¯
diê
`
u n
`
ay vi ph
.
am t
´
ınh bâ
´
t biê

t c
,
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c x th
,
oa m
˜
an:
xxxx = 88
B
`
ai 17.2. Cho 14 sô
´
t
.
u
,
nhiên kh
´
ac nhau, c
´
o tô
`

v
`
a
{
b
1
, . . . , b
k
}
t
`
u
,
14 sô
´
trên
sao cho c
´
ac tô
,
ng
A =
1
a
1
+ · · · +
1
a
k
, B =

.
ên ABCD. Bô
´
n m
.
˘
at tiê
´
p x
´
uc v
´
o
,
i m
.
˘
at câ
`
u
song song v
´
o
,
i bô
´
n m
.
˘
at c

,
ng
¯
d
.
ô d
`
ai c
´
ac c
.
anh c
,
ua bô
´
n t
´
u
,
di
.
ên nh
,
o b
`
˘
ang hai lâ
`
n tô
,

ôt
¯
diê
,
m A n
`
˘
am ngo
`
ai m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on k. V
˜
e
c
´
ac
¯
du
,
`

˘
ap nhau t
.
ai A
B
`
ai 17.5. Cho a, b, c l
`
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang tô
`
n t

th
.
u
,
c x, y, z th
,
oa m
˜
an
y
z
+
z
y
=
a
x
,
z
x
+
x
z
=
b
y
,
x
y
+

ai 17.1. Cho f (x) = xxxx
Bô
,
¯
dê
`
17.1. Cho a v
`
a b l
`
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c. Nê
´
u a v
`
a b c
´
o c
`
ung dâ
´
u v
`

|
a
|
>
|
b
|
≥
1.Ta c
´
o
|
aa
|
>
|
bb
|
≥ 1.Ch
´
u
´
y r
`
˘
ang aa v
`
a aaa c
´
o c

|
aaa
|
>
|
bbb
|
≥ 1,
|
aaa
|
≥
|
bbb
|
≥ 1
v
`
a
|
f (a)
|
>
|
f (b)
|
, bô
,
¯
dê

˘
ang f (x) = 88. V
´
o
,
i
|
x
|
> 1, ta x
´
et hai tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p sau.
(a) x ≥ 1. D
˜
ê d
`
ang kiê
,
m tra
¯
du

a gi
´
a tr
.
i duy nhâ
´
t th
,
oa m
˜
an trên kho
,
ang
n
`
ay.
(b) x ≤ −1. Theo bô
,
¯
dê
`
trên, f (x) gi
,
am v
´
o
,
i x > 1. T
`
u

at kh
´
ac x =
−88
37
> −3,
¯
diê
`
u n
`
ay l
`
a vô l
´
ı.V
.
ây trên
kho
,
ang n
`
ay không c
´
o gi
´
a tr
.
i n
`

an.
Ch
´
u
´
y.
22
7
v
`
a
−112
37
¯
du
,
.
o
,
c t
`
ım b
`
˘
ang c
´
ach t
`
ım x, xx, v
`

`
ao
¯
d
´
o f (3) < 88 < f (
10
3
) v
`
ı v
.
ây
xx = 9, v
`
a c
´
u
,
tiê
´
p t
.
uc nhu
,
v
.
ây.
L
`

,
14 sô
´
¯
d
˜
a cho v
`
a
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 19
tô
,
ng c
,
ua c
´
ac ngh
.
ich
¯
d
,

< 2.60,
Nhu
,
v
.
ây m
˜
ôi tô
,
ng trong 3432 tô
,
ng n
`
˘
am m
.
ôt trong 2600 kho
,
ang
(0,
1
1000
], (
1
1000
,
2
1000
], . . . , (
2599

´
ac t
.
âp h
.
o
,
p tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
`
a lo
.
ai b
,
o nh
˜
u
,
ng phâ
`
n t
,
u

oi V l
`
a thê
,
t
´
ıch c
,
ua t
´
u
,
di
.
ên ABCD; g
.
oi S
1
=
[
BCD
]
, S
3
=
[
CDA
]
, S
3

di
.
ên
k
,
e t
`
u
,
A,B,C,D; v
`
a g
.
oi r l
`
a b
´
an k
´
ınh m
.
˘
at câ
`
u n
.
ôi tiê
´
p t
´

i
/3. Do
¯
d
´
o
r
h
i
=
S
i
S
1
+ S
2
+ S
3
+ S
4
r
h
1
+
r
h
2
+
r
h

a h
`
ınh v
.
i t
.
u
,
t
`
u
,
ABCD v
`
a
c
´
o chiê
`
u cao l
`
a h
i
− 2r, do
¯
d
´
o chu vi c
,
ua ch

2
+
r
h
3
+
r
h
4
) = 4p − 2p = 2p.
L
`
o
,
i gi
,
ai 17.4. G
.
oi h
`
ınh thang
¯
d
´
o l
`
a STUV v
´
o
,

`
o
,
ng ch
´
eo TV v
`
a SU
g
.
˘
ap nhau
,
o
,
P; v
`
a g
.
oi O l
`
a tâm
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`

ng tr
`
on k;
¯
d
.
˘
at
VC
SB
= x;

SAC = α. T
`
u
,
c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng song
song, v = xs, VS = (1 − x)s,
BP =
BC
1 + x

ua m
.
ôt
¯
diê
,
m, sv = o
2
− r
2
. Nhu
,
v
.
ây x =
(o
2
− r
2
)
s
2
.
´
Ap
d
.
ung
¯
d

´
o suy ra AP =
(o
2
− r
2
)
o
, không ph
.
u thu
.
ôc v
`
ao c
´
ach ch
.
on t
´
u
,
gi
´
ac STUV.
L
`
o
,
i gi

, b =
yz
x
+
yz
x
, c =
zx
y
+
yz
x
. Nê
´
u x, y, z tô
`
n t
.
ai, th
`
ı hai trong ba sô
´
n
`
ay c
´
o c
`
ung dâ
´

v
`
a c + a − b =
2zx
y
l
`
a c
´
ac sô
´
du
,
o
,
ng, v
`
ı v
.
ây a, b, c l
`
a
¯
d
.
ô d
`
ai ba c
.
anh m

`
ai ba c
.
anh l
`
a a, b, c, th
`
ı
¯
d
.
˘
at
u = b + c − a, v = c + a − b, w = a + b − c; theo bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c trong tam
gi
´
ac, c
´
ac gi

trên u =
2yz
x
, v =
2zx
y
, w =
2xy
z
. Gi
,
ai c
´
ac phu
,
o
,
ng tr
`
ınh cho x =
√
vw
2
, y =
√
wu
2
, z =
√
uv

´
AN NH
.
ÂT B
,
AN
18.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 18.1. cho p ≥ 3l
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên tô
´
, v
`
a cho p
¯
diê
,
m A
0
, , A

1+ +k−1
v
´
o
,
i k = 1, , p
(v
´
o
,
i 1
¯
du
,
.
o
,
c viê
´
t t
`
u
,
A
0
). H
,
oi c
´
o bao nhiêu

`
ai 18.2. m
.
ôt
¯
dâ
´
t nu
,
´
o
,
c c
´
o 1998 sân bay
¯
du
,
.
o
,
c kê
´
t nô
´
i b
,
o
,
i nh

´
p .H
,
oi sô
´
¯
du
,
`
o
,
ng bay tr
.
u
,
c tiê
´
p l
´
o
,
n nhâ
´
t c
´
o thê
,
c
´
o nô

ôt
¯
da gi
´
ac
¯
d
´
ong. G
´
oc ngo
`
ai
c
,
ua
¯
d
,
ınh P
i
c
´
o sô
´
¯
do b
`
˘
ang 180

o
). (
,
O
,
¯
dây P
0
= P
n
v
`
a P
1
= P
n+1
. Nê
´
u tô
,
ng
c
´
ac g
´
oc bên ngo
`
ai l
`
a b

l
`
a sô
´
c
´
ac ho
´
an v
.
i c
,
ua {}1, , nc
´
o thê
,
viê
´
t nhu
,
l
`
a m c
´
ach
theo h
`
ınh th
´
u

oi n ∈ N,
∞

m =0
c
m,n
t
m
=
k+1

i =1
(1 + t + t
2
+· · · + t
i−1
)
B
`
ai 18.5. V
´
o
,
i m
˜
ôi
¯
diê
,
m trong 12

´
ai
¯
d
˜
ıa m
`
au
¯
den ho
.
˘
ac m
.
ôt c
´
ai
¯
d
˜
ıa m
`
au tr
´
˘
ang xen k
˜
e l
˜
ân nhau. Ta

den v
`
a ho
´
an
¯
dô
,
i c
´
ai
¯
d
˜
ıa
¯
d
´
o v
´
o
,
i
¯
d
˜
ıa
¯
d
.

¯
dâ
`
u tiên nhu
,
v
.
ây
¯
dê
,
tâ
´
t c
,
a nh
˜
u
,
ng c
´
ai
¯
d
˜
ıa
¯
d
.
˘

o
,
ng 18. Ðê
`
thi olympic to
´
an Nh
.
ât B
,
an
18.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 18.1. Cho ch
´
ung tâ
´
t c
,

d
´
o c
´
o k + 1
¯
diê
,
m
¯
du
,
.
o
,
c viê
´
t l
`
a
A
s
k
v
´
o
,
i k=0,1, ,p-1.T
`
u

1
= A
s
p−2
, , A
s
p−1
2
= A
s
p−1
2
v
`
a câu tr
,
a l
`
o
,
i l
`
a:
p − 1
2
+ 1 =
p + 1
2
.
L

a tô
,
ng c
´
ac g
´
oc bên ngo
`
ai. Cho
ba
¯
diê
,
m A, B, C v
`
a g
.
oi (ABC) l
`
a g
´
oc ngo
`
ai B-180
o
tr
`
u
,
g

dê
`
¯
dâ
`
u tiên sau:
Nê
´
u
¯
da gi
´
ac P c
´
o k giao
¯
diê
,
m th
`
ı tô
,
ng c
´
ac g
´
oc ngo
`
ai E(P) = (k +
1)360

ai l
`
a ∓360
o
.Bây gi
`
o
,
cho k = n > 1 v
`
a nghic r
`
˘
ang kê
´
t qu
,
a trên
¯
d
˜
a
¯
d
´
ung v
´
o
,
i k  k − 1. Gi

`
˘
am
,
o
,
phâ
`
n giao bên ph
,
ai. Cho i < j, P
i
P
i+1
c
´
˘
at P
j
P
j+1
,
o
,
P,
,
o
,
¯
dây P

2
=PP
i+1
P, , P
j
. Khi
¯
d
´
o tô
,
ng sô
´
giao
¯
diê
,
m c
,
ua P
1
v
`
a P
2
l
`
a k-1.
Nê
´

,
n, 23
E(P
1
) ≡ (k + 1)360
o
v
`
a E(P
2
) ≡ (k − l − 1 + 1)360
o
.
Biê
´
t r
`
˘
ang (P
i
PP
j+1
)=−(P
i+1
PP
j
)
E(P)=E(P
1
) + E(P

d
´
o suy ra
¯
diê
`
u ph
,
ai
ch
´
u
,
ng minh. V
.
ây nê
´
u tô
,
ng c
´
ac g
´
oc bên ngo
`
ai l
`
a
¯
dô

ai 18.4. Ta ch
´
u
,
ng minh b
`
˘
ang phu
,
o
,
ng ph
´
ap quy n
.
ap to
´
an h
.
oc theo n.
V
´
o
,
i k=1 ta c
´
o m
.
ôt ho
´

`
˘
ang 1. Gi
,
a x
,
u
,
r
`
˘
ang
¯
diê
`
u trên
¯
d
´
ung v
´
o
,
i n = k. V
´
o
,
i
n = k + 1 Ð
.

o
,
c m c
´
ach theo h
`
ınh th
´
u
,
c trên nhu
,
ng không viê
´
t
¯
du
,
.
o
,
c m-1 c
´
ach theo
h
`
ınh th
´
u
,

i
c
,
ua {}1, , n n
´
o
¯
du
,
.
o
,
c viê
´
t nhu
,
l
`
a m − h ho
´
an v
.
i m
`
a không ph
,
ai l
`
a m − h − 1
ho

i−1
) = (
∞

m =0
c
m,n
t
m
)(1 + t + t
2
+· · · + t
k
) (18.1)
= (
∞

m =0
(c
k,m
+ c
k,m−1
+ + c
k,m−k
)t
m
) (18.2)
= (
∞


u
,
ng c
´
ai
¯
d
˜
ıa tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng v
´
o
,
i c
´
ac v
.
i tr
´
ı l
`
a d
1

`
a sô
´
biê
,
u th
.
i c
´
ac
sô
´
m
`
au
¯
den, ch
´
ung ta xem x
´
et c
´
ac tru
,
`
o
,
ng h
.
o

˜
˘
an c
´
ac
¯
d
˜
ıa m
`
au
¯
den nhu
,
v
.
ây không thê
,
c
´
o
¯
diê
`
u b
`
ai to
´
an mong muô
´

´
˘
ang ch
´
ung ta chia
l
`
am hai nh
´
om. Ð
.
˘
at d
1
, d
2
,· · · , d
2i+1
l
`
a m
`
au
¯
den v
`
a d
2i+1
,· · · , d
12

, d
2i−2
,· · · , d
2
th
`
ı khi
¯
d
´
o v
.
i tr
´
ı d
2
,· · · , d
2i
l
`
a
24 Chu
,
o
,
ng 18. Ðê
`
thi olympic to
´
an Nh

´
o thê
,
¯
d
´
anh l
.
ai sô
´
c
,
ua
c
´
ai
¯
d
˜
ıa d
2
l
`
a v
.
i tr
´
ı c
´
ai

t,
kê
´
t th
´
uc v
´
o
,
i v
.
i tr
´
ı n
´
o l
`
a c
´
ai
¯
d
˜
ıa m
`
au
¯
den.
(c) n l
`

.
ôn nhau. G
,
ıa s
,
u
,
d
6
l
`
a c
´
ai
¯
d
˜
ıa m
`
au
¯
den v
`
a d
i
,· · · , d
j
l
`
a m

l
`
a
¯
d
˜
ıa tr
´
˘
ang. Ð
.
˘
at d
k
l
`
a chiê
´
c
¯
d
˜
ıa m
`
au
¯
den
,
o
,

,
.
o
,
c nh
˜
u
,
ng c
´
ai
¯
d
˜
ıa
quanh d
k
th
`
ı d
k−1
bây gi
`
o
,
l
`
a m
`
au

ıa m
`
au
¯
den kê
`
bên s
˜
e nh
,
o ho
,
n. C
´
o thê
,
l
.
˘
ap l
.
ai quy tr
`
ınh
¯
d
´
o nê
´
u thâ

u
,
c
´
ac tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p xem x
´
et
,
o
,
trên, ch
´
ung ta thâ
´
y r
`
˘
ang c
´
o thê
,

.
˘
at tâ
´
t c
,
a c
´
ai
¯
d
˜
ıa m
`
au
¯
den ch
,
ı m
.
ôt c
´
ai m
`
au tr
´
˘
ang v
´
o

o
,
c
¯
d
.
˘
at l
`
a sô
´
l
,
e.
CHU
,
O
,
NG 19
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN KOREA
19.1. Ðê
`
b
`
ai
B

u
,
nhiên l,
m, n, th
,
oa m
˜
an:
(l + m + n)(
1
n
+
1
m
+
1
l
)
l
`
a m
.
ôt sô
´
t
.
u
,
nhiên.
B

`
a c
´
ac giao
¯
diê
,
m th
´
u
,
hai c
,
ua AD, BE, CF v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on ngo
.
ai tiê
´

ang x
,
ay ra khi n
`
ao.
B
`
ai 19.3. Cho sô
´
t
.
u
,
nhiên n,
¯
d
.
˘
at (n) l
`
a sô
´
t
.
u
,
nhiên k
´
em ho
,

c
´
ac th
`
u
,
a sô
´
nguyên tô
´
c
,
ua n. Ch
,
ı
ra r
`
˘
ang nê
´
u (n) chia hê
´
t cho n-1 v
`
a (n) leqslant3 th
`
ı n l
`
a m
.

)
+
1
sqrt1 + b
2
+
1
√
1 + c
2

3
2
, dâ
´
u b
`
˘
ang x
,
ay ra khi n
`
ao?
B
`
ai 19.5. Cho I l
`
a tr
.
ong tâm c

,
i
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang CI t
.
ai I, O
2
l
`
a m
.
ôt
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
¯

, O
2
v
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on ngo
.
ai
tiê
´
p tam gi
´
ac ABC c
`
ung
¯
di qua m
.
ôt
¯
diê
,