Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
OLYMPIC TO
´
AN C
´
AC NU
,
´
O
,
C
1998 – 1999
57 Ð
`
Ê THI V
`
A L
`
O
,
I GI
,
AI

u
,
g
´
oi l
.
ênh phông ch
˜
u
,
tôi biên so
.
an m
.
ôt sô
´
¯
dê
`
to
´
an thi Olympic, m
`
a c
´
ac h
.
oc
tr
`

an ham h
.
oc to
´
an tôi
thu th
.
âp v
`
a gom l
.
ai th
`
anh c
´
ac s
´
ach
¯
di
.
ên t
,
u
,
, c
´
ac b
.
an c

`
u b
`
ai to
´
an d
.
ich không
¯
du
,
.
o
,
c chuâ
,
n, nhiê
`
u
¯
diê
,
m không ho
`
an to
`
an ch
´
ınh
x

`
a nguô
`
n t
`
ai li
.
êu
tiê
´
ng Vi
.
êt vê
`
ch
,
u
¯
dê
`
n
`
ay, tôi
¯
d
˜
a c
´
o xem qua v
`

´
t nhiê
`
u
¯
do
.
an v
`
ı m
´
o
,
i h
.
oc TeX nên câ
´
u tr
´
uc v
`
a bô
´
tr
´
ı c
`
on xâ
´
u, tôi không c

ep
ch
˜
u
,
Vi
.
êt, c
´
ac b
.
an th
,
u
,
xem nh
´
e.
H
`
a N
.
ôi, ng
`
ay 20 th
´
ang 9 n
˘
am 2013
Nguy

u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
M
.
uc l
.
uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chu
,
o
,
ng 1. Olympic To
´
an Bulgari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chu
,
o
,
ng 2. Ðê

`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chu
,
o
,
ng 4. Ðê
`
thi Olympic To
´
an Hungary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
T
`
ai li
.
êu tham kh
,
ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4
CHU
,
O
,
NG 1
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN BULGARI

`
y m
`
au trong 2
m
`
au s
´
˘
ac c
,
ua n
¯
diê
,
m th
,
˘
ang riêng bi
.
êt A
1
, A
2
, , A
n
tô
`
n t
.

˘
ac.
B
`
ai 1.2. Cho t
´
u
,
gi
´
ac lô
`
i ABCD, c
´
o AD = CD v
`
a

DAB =

ABC < 90
0
. Ðu
,
`
o
,
ng th
,
˘

u
,
ng minh r
`
˘
ang:

BEC =

DAC.
B
`
ai 1.3. Cho R
+
l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac sô
´
th
.
u
,

,
i m
.
oi x, y ∈ R
+
.
B
`
ai 1.4. Cho h
`
am sô
´
f (x) = x
3
−3x+1. T
´
ınh sô
´
nghi
.
êm th
.
u
,
c kh
´
ac nhau c
,
ua phu
,

´
ınh R. B
´
an k
´
ınh c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p ∆XYZ
¯
du
,
.
o
,
c k
´
ı hi

v
`
a r
ABD
= r
AEC
, th
`
ı ∆ABC v
`
a ∆AED l
`
a
¯
dô
`
ng d
.
ang.
B
`
ai 1.6. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang phu
,

`
a m
.
ôt sô
´
nguyên du
,
o
,
ng. T
`
ım sô
´
nguyên du
,
o
,
ng k sao cho tô
`
n t
.
ai
k0 − 1 chu
˜
ôi c
´
o
¯
d
.

du
,
.
o
,
c
¯
du
,
a ra trong
´
ıt nhâ
´
t n + 2 v
.
i tr
´
ı.
6 Chu
,
o
,
ng 1. Olympic To
´
an Bulgari
B
`
ai 1.8. C
´
ac

(x, y) = 1 v
`
a
P
n+1
(x, y) = (x + y − 1)(y + 1)P
n
(x, y + 2) + (y − y
2
)P
n
(x, y).
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang: P
n
(x, y) = P
n
(y, x) v
´
o
,
i m
.
oi n v

.
ôt h
`
ınh
vuông, c
´
o n
¯
diê
,
m v
`
a m
¯
diê
,
m (m, n > 5) c
´
o c
´
ac c
.
anh t
.
ao th
`
anh m
.
ôt tam gi
´

,
c c
´
ac g
´
oc c
,
ua tam gi
´
ac ∆ABC.
B
`
ai 1.10. Cho c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c a
1
, , a
n
kh
´
ac 0. Ch
´
u
,

u
,
c kh
´
ac không.
1.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 1.1. Câu tr
,
a l
`
o
,
i l
`
a 9 Ta g
.
oi 3
¯

b
`
˘
ang c
i
, v
`
a
¯
dê
,
cho c
i
= r nê
´
u A
i
l
`
a m
`
au
¯
d
,
o, c
i
= b nê
´
u A

´
u
,
a b
.
ô ba trên
(c
1
, c
2
, c
3
, c
4
, c
5
, c
6
, c
7
, c
8
) = (r, b, r, b, b, r, b, r). Ta nh
.
ân thâ
´
y r
`
˘
ang nê

ôi sô
´
h
.
oc i
1
, i
2
, i
3
sao cho c
i
1
= c
i
2
= c
i
3
.
Gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o

ch
´
ung c
`
ung m
`
au
L
`
o
,
i gi
,
ai 1.2. G
.
oi M l
`
a trung
¯
diê
,
m c
,
ua BC, v
`
a
¯
d
.
˘

ı h
`
am sin v
`
ao hai tam gi
´
ac BEM v
`
a ADE, ta c
´
o:
MB
ME
=
sin

MEB
sin

EBM
=
sin

MEB
sin

EAD
=
AD
ED

o:
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 7
sin

CEM
sin

BCE
=
MC
ME
=
CD
ED
=
sin

CED
sin

DCE
=

i ch
´
u
´
y r
`
˘
ang

BCE = y.
Do
¯
d
´
o:

CEB =

CBA −

BCE = x =

DAC (
¯
dpcm)
L
`
o
,
i gi

`
a m
.
ôt h
`
am gi
,
am, f ph
,
ai c
´
o m
.
ôt v
`
ai
¯
diê
,
m bâ
´
t
¯
d
.
ông. Gi
,
a s
,
u

o ngh
˜
ıa l
`
a tô
`
n t
.
ai b, sao cho v
´
o
,
i m
.
oi x ≥ b th
`
ı f (x) < 1. Ta
thâ
´
y r
`
˘
ang, nê
´
u ta thay y b
,
o
,
i f (x), th
`

o:
1
2
> f (b) ≥ 2 f (b + 1 + f (b + 1)) > 2 f (b + 1 +
1
2
).
C
´
o ngh
˜
ıa l
`
a: f (b + 1 +
1
2
) <
1
4
.
C
´
u
,
tiê
´
p t
.
uc nhu
,

,
t
`
ım thâ
´
y m
.
ôt δ ∈ (0, 2) th
,
oa m
˜
an f (b + x) < 
v
´
o
,
i m
.
oi x < 2 − δ. Ðiê
`
u n
`
ay c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a h
`

ai 1.4. Câu tr
,
a l
`
o
,
i l
`
a 7. Th
.
ât v
.
ây, ta c
´
o f (x) = x
3
−3x + 1 nên f

(x) = 3x
2
−3
8 Chu
,
o
,
ng 1. Olympic To
´
an Bulgari
, f


˘
am trong
c
´
ac kho
,
ang (−2, 1), (0, 1), v
`
a (1, 2). Nê
´
u ch
´
ung ta
¯
dê
´
m sô
´
lâ
`
n f thông qua ho
`
an to
`
an
m
˜
ôi kho
,
ang ta s

´
o
¯
di qua (1, 2)
¯
d
´
ung ba lâ
`
n. Do
¯
d
´
o phu
,
o
,
ng tr
`
ınh f ( f (x)) = 0 c
´
o
¯
d
´
ung 7 nghi
.
êm th
.
u

¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on ngo
.
ai tiê
´
p v
`
a n
.
ôi
tiê
´
p c
,
ua ∆ABC .
Ð
.
˘
at

CAB = α,

ABC = β,

´
o:
OF = R, FI = FC = 2R sin
α
2
,
v
`
a

OFI = β +
α
2
− 90
0
.
´
Ap d
.
ung
¯
d
.
inh l
´
ı h
`
am cos cho ∆OFI ta c
´
o:

α
2
)).
= R
2
(2 − 2 cos α + 1 + 2[cos(α + β) − cosβ]).
= R
2
(3 − 2 cos α − 2 cos β − cosγ).
Nhu
,
ng OI
2
= R
2
− 2Rr
ABC
(Theo công th
´
u
,
c Euler), do
¯
d
´
o
cos α + cos β + cos γ = 1 +
r
ABC
R

a sô
´
¯
do c
,
ua c
´
ac cung AB, BC, CD, DE, EA. T
`
u
,
câu
(1) ta c
´
o:
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 9
cos a − cos(a + b) + cos b = cos d + cos e − cos(d + e)
cos a + cos(c + b) + cos(d + e) = cos e + cos(c + d) + cos(a + b).
Tr
`
u
,

b − c − d
2
= cos
d − b − c
2
⇐⇒ b = d. Thay kê
´
t qu
,
a n
`
ay v
`
ao
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
¯
dâ
`
u, ta c
´
o:
cos a − cos(a + b) + cos b = cos d + cos e − cos(d + e).

`
a
¯
dô
`
ng d
.
ang (
¯
dpcm)
L
`
o
,
i gi
,
ai 1.6. Tru
,
´
o
,
c hê
´
t ta ch
´
u
,
ng minh bô
,
¯

Th
.
ât vây: Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh gi
´
an tiê
´
p. Gi
,
a s
,
u
,
tô
`
n t
.
ai m
.
ôt t
.
âp S không r
˜
ông
c

− b
4
= c
2
, v
´
o
,
i a l
`
a gi
´
a tr
.
i nh
,
o nhâ
´
t. V
`
ı v
.
ây U
,
CLN (a, b, c) = U
,
CLN (a, b) =
U
,
CLN (b, c) = U

´
o v
´
o
,
i a v
`
a b l
`
a sô
´
l
,
e v
`
a a
2
+ b
2
≡ 2(mod4), khi U
,
CLN(a, b)=1,
4
c
2
.
V
`
a:
10 Chu

2
v
`
a
y =

a
2
− b
2
2
. V
´
o
,
i x v
`
a y l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên, ta c
´
ox
4
− y
4
= (ab)

t
L
`
o
,
i gi
,
ai 1.7. Câu tr
,
a l
`
o
,
i l
`
a k = 4.
L
`
o
,
i gi
,
ai 1.8. Ta x
´
et c
´
ac gi
´
a tr
.

i n > 1. Gi
,
a s
,
u
,
kê
´
t qu
,
a luôn
¯
d
´
ung v
´
o
,
i P
n−1
(x, y) v
`
a P
n
(x, y). Ta c
´
o:
P
n+1
(x, y) = (x + y − 1)(y + 1)P

. Do
¯
d
´
o:
S
n−1
(x, y) = [(x + y)
2
− 1](y + 1)(x + 1)P
n−1
(y + 2, x + 2)
Khi
¯
d
´
o:
P
n−1
(x, y) = P
n−1
(y, x), S
n−1
(x, y) = S
n−1
(y, x). Ta luôn ch
´
u
´
y r

2
)(x − x
2
)P
n−1
(y, x).
Khi :P
n−1
(x, y) = P
n−1
(y, x), T
n−1
(y, x) = T
n−1
(y, x). Cho ta:
U
n−1
(x, y) = (x + y −1)[(y + 1)(x − x
2
)P
n−1
(y + 2, x) + (x + 1)(y − y
2
)P
n−1
(y, x + 2)]
Nguy
˜
ên H
˜

n
(x, y) = P
n
(y, x) v
´
o
,
i m
.
oi n v
`
a v
´
o
,
i m
.
oi x,y.(
¯
dpcm)
L
`
o
,
i gi
,
ai 1.9. Câu tr
,
a l
`

, 45
0
L
`
o
,
i gi
,
ai 1.10. Tru
,
´
o
,
c hê
´
t ta nh
.
ân thâ
´
y h
`
am sô
´
f
i
(x) =
√
1 + a
i
x l

`
am l
˜
om. Khi
¯
d
´
o f

(x)
tô
`
n t
.
ai, c
´
o thê
,
c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t m
.
ôt
¯
diê
,

`
u ho
,
n m
.
ôt. Khi
¯
d
´
o x = 0 c
˜
ung l
`
a m
.
ôt nghi
.
êm gô
´
c, ch
´
ung ta c
´
o 3
nghi
.
êm gô
´
c th
.

i trung b
`
ınh cho
h
`
am sô
´
f (x) trên c
´
ac kho
,
ang [x
1
, x
2
] v
`
a [x
2
, x
3
] , ch
´
ung ta c
´
o thê
,
thâ
´
y c

ân). V
.
ây gi
,
a s
,
u
,
c
,
ua ch
´
ung
ta l
`
a sai, do
¯
d
´
o c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t m
.
ôt nghi
.
êm th

`
ai 2.1. X
´
ac
¯
d
.
inh c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c l
`
a nghi
.
êm c
,
ua phu
,
o
,
ng tr
`
ınh:

a

,
oa m
˜
an
x = (x −
1
x
)
1
2
+ (1 −
1
x
)
1
2
.
B
`
ai 2.3. Gi
,
a s
,
u
,
n l
`
a m
.
ôt sô

2
+
1
4
···+
1
2n
).
B
`
ai 2.4. Cho ABC l
`
a m
.
ôt tam gi
´
ac v
´
o
,
i

BAC = 40
o
v
`
a

ABC = 60
o

ng, khi
¯
d
´
o

CBD = 40
o
v
`
a

BCE = 70
o
.
C
´
o BD v
`
a CE c
´
˘
at nhau t
.
ai F. Ch
´
u
,
ng t
,

ang BC.
B
`
ai 2.5. Cho m l
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên du
,
o
,
ng. X
´
ac
¯
d
.
inh tr
`
ınh t
.
u
,
{a
n
}
n≥0
b

ang m
.
ôt c
.
˘
ap c
´
o th
´
u
,
t
.
u
,
(a, b) c
´
ac sô
´
nguyên không âm, v
´
o
,
i a ≤ b l
`
a m
.
ôt
nghi
.

o
,
i sô
´
n ≥ 0.
2.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 2.1. C
´
o 30 nghi
.
êm. Khi

a
2

,

a

nguyên p v
`
a q, 0 ≤ q < 30.
Sau
¯
d
´
o
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 13

a
2

+

a
3

+

a
5

q
5

.
Nhu
,
v
.
ây,
¯
dô
´
i v
´
o
,
i m
˜
ôi gi
´
a tr
.
i c
,
ua q, c
´
o ch
´
ınh l
`

,
o
,
ng tr
`
ınh. Kê
,
t
`
u
,
khi q c
´
o thê
,
b
`
˘
ang bâ
´
t k
`
y ba mu
,
o
,
i gi
´
a tr
.

êm duy nhâ
´
t. Cô l
.
âp

1 −
1
x
v
`
a b
`
ınh
phu
,
o
,
ng ta c
´
o
x
2
− 2
√
x
3
− x + x −
1
x

du
,
.
o
,
c
x
4
+ 2x
3
− x
2
− 2x + 1 = 4x
3
− 4x
x
4
− 2x
3
− x
2
+ 2x + 1 = 0
(x − 2)(x − 1)x(x + 1) + 1 = 0.
Phu
,
o
,
ng tr
`
ınh n

ên vi
.
êc thay thê
´
u = x −
1
2
, x = u +
1
2
¯
dê
,
c
´
o
¯
du
,
.
o
,
c u
4
−
5
2
u
2
= (u

ng tr
`
ınh ban
¯
dâ
`
u c
,
ua ch
´
ung tôi,
ch
,
ı x =
1 +
√
5
2
l
`
a nghi
.
êm th
´
ıch h
.
o
,
p.
C

`
o
,
cô l
.
âp

1 −
1
x
v
`
a b
`
ınh phu
,
o
,
ng nhu
,
trong c
´
ach gi
,
ai 1, ch
´
ung tôi c
´
o
¯

i c
`
ung c
´
o thê
,
¯
du
,
.
o
,
c gi
,
ai quyê
´
t m
.
ôt c
´
ach d
˜
ê d
`
ang .
14 Chu
,
o
,
ng 2. Ðê

1
4
· · · +
1
2n
)
b
`
˘
ang quy n
.
ap. Ðô
´
i v
´
o
,
i n = 2,
8
3
>
9
4
. Gi
,
a s
,
u
,
gi

o k(1 +
1
3
+ ···+
1
2k − 1
) > (k + 1)(1 +
1
2
+
1
4
···+
1
2k
). Bây gi
`
o
,
v
´
o
,
i
n = k + 1. Lu
,
u
´
y r
`

1
4
+ · · · +
1
2k
) +
1
2
+
k + 1
2k + 1
> (
1
2
+
1
4
+ · · · +
1
2k
) +
k + 1
2k + 2
+
1
2k + 2
> (
1
2
+

(k + 1)(1 +
1
3
+ · · · +
1
2k − 1
+
1
2k + 1
)
= k(1 +
1
3
+ · · · +
1
2k − 1
) + (1 +
1
3
+ · · · +
1
2k − 1
) +
k + 1
2k + 1
> k(1 +
1
3
+ · · · +
1

,
u
´
y r
`
˘
ang

ABD = 20
o
,

BCA = 80
o
v
`
a

ACE = 10
o
.
Lâ
´
y G l
`
a chân
¯
du
,
`

BCA = 10
o
. Bây gi
`
o
,
,
sin

BAGsin

ACEsin

CBD
sin

CAGsin

BCE sin

ABD
=
sin30
o
sin10
o
sin40
o
sin10
o

Sau
¯
d
´
o, b
`
˘
ang h
`
ınh th
´
u
,
c lu
,
.
o
,
ng gi
´
ac c
,
ua
¯
d
.
inh l
´
y Ceva AG, BG v
`

,
ng th
,
˘
ang BC, nhu
,
mong muô
´
n.
L
`
o
,
i gi
,
ai 2.5. Nê
´
u hu
,
´
o
,
ng yêu câ
`
u l
`
o
,
i gi
,

ân. Gi
,
a s
,
u
,
, ngu
,
.
o
,
c l
.
ai, r
`
˘
ang c
´
o tô
`
n t
.
ai
c
.
˘
ap
¯
d
´

.
o
,
c mô t
,
a; cho
(a, b) l
`
a m
.
ôt c
.
˘
ap v
´
o
,
i sô
´
tô
,
ng tô
´
i thiê
,
u a + b. Ch
´
ung tôi ch
,
ı ra (c, a) = (m

´
n mâu thu
˜
ân.
(a) a = 0. Th
`
ı (a, b) = (0, m) = (a
o
, a
1
) m
.
ôt mâu thu
˜
ân.
(b) a = m. Th
`
ı (a, b) = (m, m
3
) = (a
1
, a
2
) m
.
ôt mâu thu
˜
ân.
(c) a = 1. Th
`

2
),m
.
ôt mâu thu
˜
ân.
(d) 2 ≤ a < m Viê
´
t
a
2
+ b
2
ab + 1
= m
2
hay b
2
− m
2
ab + a
2
− m
2
= 0,
Biê
´
t r
`
˘

2
+ 4m
2
− 4a
2
phân bi
.
êt c
,
ua phu
,
o
,
ng tr
`
ınh ph
,
ai l
`
a m
.
ôt h
`
ınh vuông ho
`
an
h
,
ao. Nhu
,

ı v
.
ây, không phân bi
.
êt c
´
o thê
,
l
`
a m
.
ôt h
`
ınh vuông ho
`
an h
,
ao, m
.
ôt
mâu thu
˜
ân.
(e) a > m ho
,
n n
˜
u
,

`
ınh.Ch
´
ung tôi c
´
o bc = a
2
− m
2
> 0 t
`
u
,
b ≥ 0, c > 0. T
`
u
,
a > 0 v
`
a c > 0, ac + 1 > 0, ch
´
ung tôi c
´
o
c
2
+ a
2
ac + 1
= m

Ngo
`
ai ra, n
´
o không thê
,
c
´
o d
.
ang (a
n
, a
n+1
) ho
.
˘
ac d
.
ang kh
´
ac
(a, b) = (a
n+1
, m
2
a
n+1
− a
n

˜
u
,
ng
¯
diê
`
u trên, ch
´
ung ta thâ
´
y r
`
˘
ang gi
,
a
¯
d
.
inh c
,
ua ch
´
ung tôi l
`
a sai. Do
¯
d
´

´
ac h
`
ınh th
´
u
,
c mô t
,
a.
CHU
,
O
,
NG 3
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN TRUNG QU
´
ÔC
3.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 3.1. Cho ABC l

.
ai tiê
´
p v
`
a n
.
ôi ti
.
êp c
,
ua tam gi
´
ac ABC. Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang
√
2OI = AB − AC. X
´
ac
¯
d
.

,
o
,
ng. X
´
ac
¯
d
.
inh nê
´
u c
´
o tô
`
n t
.
ai 2n sô
´
nguyên
kh
´
ac bi
.
êt t
`
u
,
ng
¯

(b) n + 1 >
n

i=1
a
i
− b
i
a
i
+ b
i
> n − 1 −
1
1998
.
B
`
ai 3.3. Ðô
´
i v
´
o
,
i m
.
ôt b
.
ô U, cho |U| biê
,

a nguyên th
,
uy nê
´
u tâ
´
t c
,
a c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua n
´
o l
`
a sô
´
nguyên du
,
o
,
ng v
`

.
âp h
.
o
,
p U
¯
du
,
.
o
,
c
g
.
oi l
`
a không - nguyên th
,
uy nê
´
u tâ
´
t c
,
a c
´
ac phâ
`
n t

oa m
˜
an UCLN(u, u

) > 1 v
´
o
,
i m
.
oi u

∈ U. H
˜
ay
¯
dê
,
thiê
´
t l
.
âp
S = 1, 2, , 98. X
´
ac
¯
d
.
inh gi

y
t
.
âp h
.
o
,
p con T ⊂ S v
´
o
,
i |T | = n n
´
o luôn luôn c
´
o thê
,
t
`
ım thâ
´
y m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p con T

ôt
trong sô
´
¯
d
´
o l
`
a nguyên th
,
uy v
`
a kh
´
ac l
`
a không nguyên th
,
uy.
B
`
ai 3.4. X
´
ac
¯
d
.
inh tâ
´
t c

ôt
¯
diê
,
m bên trong tam gi
´
ac ABC th
,
oa m
˜
an
DA · DB · AB + DB · DC · BC + DC · DA ·CA = AB · BC · CA.
X
´
ac
¯
d
.
inh v
.
i tr
´
ı h
`
ınh h
.
oc c
,
ua
¯

1
, x
2
, . . . , x
n
l
`
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c th
,
oa m
˜
an
n

i=1
x
2
i
+
n−1

i=1

,
ua |x
k
|.
3.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 3.1. C
´
ach 1. Ð
.
˘
at
a = BC, b = CA, c = AB,
α =

CBA, β =

ABC, γ =


,
ng tr
`
on ngo
.
ai tiê
´
p v
`
a b
´
an k
´
ınh
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
n
.
ôi tiê
´
p tam gi
´
ac ABC.

o
− α) =
√
2(sinα + cosα)
2
. (3.1)
Do
¯
d
´
o
r =
c + a − b
2
tan
β
2
= R(
√
2 − 1)(sinα + sinγ − sinβ).
T
`
u
,
công th
´
u
,
c Euler OI
2

´
ung ta
¯
du
,
.
o
,
c
2(sinγ − sinβ)
2
= 1 − 2(sinα + sinγ − sinβ)(
√
2 − 1)
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 19
⇐⇒ 1 − 2(sinγ − sinβ)
2
= 2(sinα + sinγ − sinβ)(
√
2 − 1)
⇐⇒ 1 − 2sin
2

2cosα + (
√
2 − 1) = 0
⇐⇒ (
√
2)sinα − 1)(
√
2cosα −
√
2 + 1) = 0
T
`
u
,
¯
d
´
o sinα =
√
2
2
ho
.
˘
ac cosα = 1 −
√
2
2
,
sinα =

oc k
,
e t
`
u
,
I t
´
o
,
i AB, BC, CA tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng. G
.
oi D l
`
a
chân
¯
du
,
`
o
,

ua BC v
`
a
BD = CD
T
`
u
,
tiê
´
p tuyê
´
n b
`
˘
ang nhau, ch
´
ung tôi c
´
o AI
c
= AI
b
, BI
a
= BI
c
, CI
a
= CI

am tren BI
a
. Ch
´
ung tôi c
´
o BI
a
= BD + DI
a
, I
a
C = CD − DI
a
.V
.
ây
√
2OI = 2DI
a
t
´
u
,
c l
`
a OI =
√
2DI
a

ao
th
`
anh m
.
ôt g
´
oc 45
o
trong
¯
d
´
o h
`
am
´
y r
`
˘
ang m
.
ôt trong hai OI⊥AB ho
.
˘
ac OIAB.
(a) OI⊥AB Th
`
ı , OI l
`

u
,
E l
`
a chân vuông g
´
oc t
`
u
,
O xuô
´
ng BC. V
`
ı v
.
ây

AOE =

C = γ.
Rcos

AOE = Rcosγ = OE = II
c
= r.
20 Chu
,
o
,

γ
2
= 2sin
β
2
(sin
α
2
sin
γ
2
)
= 2sin
β
2
(−cos
α + γ
2
+ cos
α + γ
2
)
= 2sin
β
2
(−sin
β
2
+ cos
α − γ

ang
cosα = 1 − cosβ = 1 −
√
2
2
v
`
a sinα =
√
1 − cos
2
α =

4
√
2 − 2
2
.
L
`
o
,
i gi
,
ai 3.2. Câu tr
,
a l
`
o
,

2
,···, a
n
, b
1
, b
2
,···, b
n
l
`
a 2n sô
´
nguyên kh
´
ac bi
.
êt t
`
u
,
ng
¯
dôi m
.
ôt
m
`
a
a

,
ng minh. T
`
u
,
c
´
ac
¯
diê
`
u ki
.
ên nhâ
´
t
¯
d
.
inh, ch
´
ung ta biê
´
t r
`
˘
ang c
´
o tô
`

`
a
n

i=1
a
i
− b
i
a
i
+ b
i
=
n

i=1
(1 −
2b
i
a
i
+ b
i
) = n −
n

i=1
(1 −
2b

ai. Cho N l
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên du
,
o
,
ng. V
´
o
,
i i = 1, 2,···n − 1, cho
a
i
= N(2i − 1), b
i
= 2i. T
`
u
,
(a) ch
´
ung tôi c
´
o:
n


,
i a
n
v
˜
ân chu
,
a
¯
du
,
.
o
,
c x
´
ac
¯
d
.
inh. T
`
u
,
bô
,
¯
dê
`
,

´
y r
`
˘
ang
n − 1 >
n

i=1
a
i
− b
i
a
i
+ b
i
= n −
2a
n
+ 2(n − 1)[N(n − 1) − n
2a
n
+ (n − 1)[N(n − 1) − n
−
n−1

i=1
4i
2i + N(2i − 1)

2
.
) Do
¯
d
´
o
¯
dô
´
i v
´
o
,
i
¯
dô
´
i v
´
o
,
i bâ
´
t k
`
y ε > 0 (
,
o
,

.
ây m
`
a a
i
, b
i
, l
`
a tâ
´
t c
,
a nh
˜
u
,
ng kh
´
ac bi
.
êt
n

i=1
a
i
=
n


o
,
i l
`
a n = 1. Cho T ⊂ S . Ch
´
ung ta n
´
oi T l
`
a tô
´
t nê
´
u c
´
o tô
`
n
t
.
ai T
10
⊂ T Ð
´
ap
´
u
,
ng

t c
,
a c
´
ac T nhu
,
v
.
ây l
`
a tô
´
t. H
˜
ay
¯
dê
,
E(T ) l
`
a sô
´
lu
,
.
o
,
ng
th
.

´
i v
´
o
,
i m
.
ôt sô
´
l
,
e x ∈ S cho f (x) biê
,
u th
.
i sô
´
lu
,
.
o
,
ng y c
´
ac
sô
´
ch
˜
˘

`
a v
`
ai sô
´
nguyên tô
´
¯
dâ
`
u tiên l
,
e trong S
l
`
a3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59.
(2) C
´
o 16 sô
´
l
,
e, 3, 9, 15, , 93, trong S v
´
o
,
i c
´
ac u
,

´
o
,
i c
´
ac u
,
´
o
,
c sô
´
nguyên tô
´
nh
,
o nhâ
´
t
5.
(4) C
´
o 4 sô
´
l
,
e, 7, 49, 77, 91, trong S v
´
o
,

´
o
,
c sô
´
nguyên tô
´
nh
,
o nhâ
´
t p, cho tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
nguyên tô
´
11 ≤ p ≤ 97.
Bô
,
¯
dê
`
3.2. Nê
´
u c

E(T ) − 9 ≥ f (x) c
´
o 9 sô
´
ch
˜
˘
an t
1
, t
2
, . . . , t
9
∈ T, nhu
,
v
.
ây m
`
a
UCLN(x, t
i
) = 1 . Ch
´
ung ta
¯
d
.
inh ngh
˜

u
,
khi c
´
o ch
,
ı c
´
o 49 sô
´
ch
˜
˘
an trong T v
`
a |T | = 50, luôn
luôn c
´
o m
.
ôt sô
´
l
,
e x ∈ T. Cho p l
`
a sô
´
nguyên tô
´

ac gi
´
a tr
.
i c
,
ua E(T ).
(a) E(T ) ≥ 31. Kê
,
t
`
u
,
khi x c
´
o thê
,
c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a hai yê
´
u tô
´
kh

bô
,
¯
dê
`
, T l
`
a tô
´
t.
(b) 30 ≥ E(T ) ≥ 21. Th
`
ı O(T ) = 50 − E(T ) ≥ 20. Khi,
1 + 16 = 17 < 20,
t
`
u
,
(1) v
`
a (2) ch
´
ung tôi tiê
´
p t
.
uc c
´
o thê
,

d
´
o E(T ) − 9 ≥ 22 ≥ f (x). T
`
u
,
bô
,
¯
dê
`
, T l
`
a tô
´
t.
(c) 20 ≥ E(T ) ≥ 12. Th
`
ı O(T ) = 50 − E(T ) ≥ 30. Khi,
1 + 16 + 7 + 4 = 28 = 30 −2 ≤ O(T ) − 2,
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 23
t


98
26

= 3 = 12 − 9 ≤ E(T ) − 9.
Theo bô
,
¯
dê
`
T l
`
a tô
´
t.
(d) 11 ≥ E(T ) ≥ 10. Th
`
ı O(T ) = 50 − E(T ) ≥ 39. Khi,
1 + 16 + 7 + 4 = 28 = 39 −11 ≤ O(T ) − 11,
t
`
u
,
(1) v
`
a (5) ch
´
ung tôi tiê
´
p t

,
¯
dê
`
T l
`
a tô
´
t.
(e) E(T ) = 9. Th
`
ı O(T ) = 41. Khi,
1 + 16 + 7 + 4 = 28 = 41 −13 = O(T ) − 13,
t
`
u
,
(1) v
`
a (5) ch
´
ung tôi tiê
´
p t
.
uc c
´
o thê
,
gi

ı O(T ) = 50 − E(T ) ≥ 42. Khi,
1 + 16 + 7 + 4 = 28 = 42 −14 = O(T ) − 14,
t
`
u
,
(1) v
`
a (5) ch
´
ung tôi tiê
´
p t
.
uc c
´
o thê
,
gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang x = p ≥ 61. Khi O(T ) ≤ 49, c
´
o

´
t l
`
a 16 − 7 = 9 trong sô
´
sô
´
trong T. G
.
oi t
1
, t
2
, . . . , t
9
l
`
a 9 sô
´
nhu
,
v
.
ây. Sau
¯
d
´
o, ch
´
ung tôi c

a T v
´
o
,
i |T | = 50 l
`
a tô
´
t. Tuy nhiên, t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua 49 con sô
´
th
.
âm
ch
´
ı l
`
a không tô
´
t. Do
¯
d

2 l
`
a sô
´
nguyên tô
´
1 + C
1
n
+ C
2
n
+ C
3
n
=
2
k
.
¯
dô
´
i v
´
o
,
i m
.
ôt sô
´

−n + 6) = 3 ×2
k+1
. Cho m = n + 1, sau
¯
d
´
o m ≥ 4
v
`
a m(m
2
− 3m + 8) = 3 × 2
k+1
.
Ch
´
ung tôi xem x
´
et hai tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p sau.
(a) m = 2
s

`
ı 8 ≡ 3 × 2
t
(mod16) =⇒ 2
t
= 8 =⇒
m
2
− 3m + 8 = 24 =⇒ m(m − 3) = 16
¯
d
´
o l
`
a không thê
,
. V
`
ı v
.
ây, m
.
ôt trong hai
s = 3, m = 8, t = 4, n = 7, ho
.
˘
ac s = 2, m = 4, t = 2, n = 3.
(b) m = 3×2
s
. Khi m ≥ 4, m > 1. v

ng v. N
´
o râ
´
t d
˜
ê d
`
ang
¯
dê
,
kiê
,
m tra m
`
a không
c
´
o gi
,
ai ph
´
ap cho v khi u = 1, 2. Nê
´
u u ≥ 4, ch
´
ung tôi c
´
o 8 ≡ 2

`
3.3. Cho D l
`
a m
.
ôt
¯
diê
,
m bên trong tam gi
´
acABC.Ch
´
ung tôi c
´
o
AD · DB · AB + DB · DC · BC + DC · DA ·CA ≥ AB · BC · CA; (4)
¯
d
,
˘ang th
´
u
,
c x
,
ay ra khi v
`
a ch
,

a ch
´
ınh c
,
ua ch
´
ung tôi.Ch
´
ung tôi s
˜
e ch
´
u
,
ng minh
bô
,
¯
dê
`
theo hai c
´
ach.
Ch
´
u
,
ng minh. C
´
ach 1

˜
ung l
`
a m
.
ôt h
`
ınh b
`
ınh h
`
anh.Ch
´
ung tôi c
´
o
AF = ED = BC, EF = AD, EB = CD, BF = AC.
´
Ap d
.
ung
¯
d
.
inh l
´
y Ptolemy cho t
´
u
,

n, 25
DA · DB · AB + DB · DC · BC + DC · DA ·CA
= DB(AB · AD + BC · CD) + DC · DA ·CA
≥ DB · AE · AC + DC · DA · CA
≥ AC(BD · AE + AD ·CD)
≥ AC · AB · BC.
Dâ
´
u b
`
˘
ang x
,
ay ra khi v
`
a ch
,
ı khi c
,
a hai ABEF v
`
a AEBD l
`
a tuâ
`
n ho
`
an, c
´
o ng

`
anh, AFED
l
`
a m
.
ôt h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât v
`
a AD⊥ED. Kê
,
t
`
u
,
khi BCDE l
`
a m
.
ôt h
`
ınh b
`

´
y r
`
˘
ang BE⊥AB.Kê
,
t
`
u
,
khi BCDE l
`
a m
.
ôt h
`
ınh b
`
ınh h
`
anh, ch
´
ung tôi c
´
o CD  EB v
`
a
CD⊥AB. Do
¯
d

¯
dê
,
c
´
ac t
.
oa
¯
d
.
ô c
,
ua c
´
ac
¯
diê
,
m A, B, C l
`
a u, v, w
ch
´
ung tôi viê
´
t (4) nhu
,
|uv(u − v)| + |vw(v − w)| + |wu(w − u)| ge|(u −v)(v − w)(w − u)|. (5)
Nhu

´
o (4). Bây gi
`
o
,
ch
´
ung ta ch
,
ı câ
`
n x
´
ac
¯
d
.
inh khi
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
x
,
ay ra. Ð

a (6) nhu
,
|z
1
| + |z
2
| + |z
3
| ≥ 1
z
1
+ z
2
+ z
3
= 1.
B
`
ınh
¯
d
,
˘
ang gi
˜
u
,
nê
´
u v

Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang z
1
, z
2
, z
3
l
`
a tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c du

w
u − v
)
2
, −
z
3
z
1
z
2
= (
u
v − w
)
2
,
ch
´
ung ta biê
´
t r
`
˘
ang
u
v − w
v
`
a

`
a BD⊥AC v
`
a D l
`
a tr
.
u
,
c tâm c
,
ua tam gi
´
ac ABC.
Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang D l
`
a tr
.
u
,
c tâm c

o
,
ng r
1
, r
2
, r
3
th
,
oa m
˜
an