Giáo án BDHSG Toán 6
Thanh Mỹ, ngày tháng năm 2014
Chuyên đề :
Sử dụng tính chất: +) Nếu a
M
d và b
M
d thì ma
±
nb
M
d với m, n
∈
Z
+) Nếu a
M
m thì a
±
md
M
d .
với m
∈
Z
+)
a
b
là tối giản khi (a, b) = 1
Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau.
a) 7n +10 và 5n + 7
b) 2n +3 và 4n +8.

d = 1
Vậy 2n +3 vµ 4n + 8 nguyên tố cùng nhau
Bài 2: Tìm các số tự nhiên n > 0 để
19
2
n
n
+
−
là phân số tối giản
Hướng dẫn
Ta có:
19
2
n
n
+
−
=
2 21 21
1
2 2
n
n n
− +
= +
− −
Để
19
2

Vậy với n
≠
3k + 2 (k
∈
N) và n
≠
7p + 2 (p
∈
N) thì
19
2
n
n
+
−
tối giản
Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n > 0 để
4 5
5 4
n
n
+
+
có thể rút gọn được.
Hướng dẫn
Để
4 5
5 4
n
n

N)
Vậy với n = 3k + 1 (k
∈
N) thì
4 5
5 4
n
n
+
+
có thể rút gọn được
Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên để
3 2
2 3
2
n n
n
− +
−
là số tự nhiên
Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ
1
Giáo án BDHSG Toán 6
Hướng dẫn
Ta có:
3 2
2 3
2
n n
n

∈
{ }
1; 3
⇒
n
∈
{ }
3; 5
Vậy với n
∈
{ }
3; 5
thì
3 2
2 3
2
n n
n
− +
−
là số tự nhiên
Bài 5: Chứng tỏ rằng
230
112
+
+
n
n
là phân số tối giản.
Hướng dẫn

a) Có giá trị là số tự nhiên
b) Là phân số tối giản
c) Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được.
Hướng dẫn
Ta cú:
34
187
2
34
187)34(2
34
1938
+
+=
+
++
=
+
+
=
nn
n
n
n
A
a) Để A
∈
N thì 187
M
4n + 3


b) A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1
⇒
4n + 3
≠
11k (k
∈
N) và 4n + 3
≠
17m (m
∈
N)
⇒
4n + 3 - 11
≠
11k (k
∈
N) và 4n + 3 - 51
≠
17m (m
∈
N)
⇒
4(n – 2)
≠
11k (k
∈
N) và 4(n – 12)
≠
17m (m

;zn ∈

3≠n
)
a) Tìm
n
để A có giá trị nguyên.
b) Tìm
n
để A là phân số tối giản.
Hướng dẫn
a) Ta cú:
3
4
1
3
43
3
1
−
+=
−
+−
=
−
+
=
nn
n
n

⇔
n-3
/
M
2
⇔
n là số chẵn
Bài 8: Cho phân số:
314
421
+
+
n
n
. Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số nguyên
Hướng dẫn
Giả sử d = ƯCLN (21n + 4, 14n + 3)
Khi đó 21n + 4
M
d và 14n + 3
M
d
Suy ra 2(21n + 4) –3(14n + 3) = -1
M
d
⇒
d = 1
Vậy
314
421

aa
A
=
1
1
)1)(1(
)1)(1(
2
2
2
2
++
−+
=
+++
−++
aa
aa
aaa
aaa
(a ≠ -1)
b) Gọi d là ước chung lớn nhất của a
2
+ a – 1 và a
2
+a +1
Vì a
2
+ a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác: 2 = [a