1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Nhu cầu nắm bắt thông tin trong nền kinh tế thò trường đònh hướng Xã Hội
Chủ Nghóa là rất lớn. Nếu như trước đây trong nền kinh tế bao cấp, với thành
phần kinh tế Quốc Doanh chiếm đa số, việc thu thập thông tin chủ yếu bằng
hình thức báo cáo thống kê đònh kỳ, thì nay với nền kinh tế nhiều thành phần đòi
hỏi phải cải tiến phương pháp thu thập số liệu sao cho vừa đảm bảo tính chính
xác, kòp thời và đầy đủ vừa phải tính đến hiệu quả của chi phí thu thập và xử lý
số liệu.
Nền kinh tế nước ta, trước mắt nông nghiệp vẫn được xem là quan trọng,
tạo tiền đề cho công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước. Trong cơ cấu tổng thu
của ngành nông nghiệp: Thu từ trồng trọt chiếm 68,53%, thu từ chăn nuôi chiếm
29,75% (theo số liệu tổng điều tra nông thôn, nông nghiệp và thủy sản năm
2001). Mặc dù chiếm tỷ trọng không lớn trong nông nghiệp nhưng sản phẩm
chăn nuôi đóng vai trò quan trọng trong đời sống của nhân dân. Do đó việc thu
thập thông tin về chăn nuôi là rất cần thiết để có các chính sách khuyến khích,
đầu tư và phát triển chăn nuôi một cách hợp lý. Trong chăn nuôi tỷ lệ hộ chăn
nuôi cá thể chiếm 80%, do vậy để thu thập số liệu về tình hình chăn nuôi trong
điều kiện nguồn kinh phí hạn hẹp, thì việc tiến hành điều tra toàn bộ để nắm
thông tin là một việc làm hết sức khó khăn. Hơn nữa nước ta chuyển từ nền
kinh tế kế hoạch sang kinh tế thò trường, lượng thông tin ngày càng nhiều, nhu
cầu sử dụng thông tin lại càng cao thì việc điều tra để nắm thông tin đã trở thành
nhu cầu bức thiết đối với tất cả các ngành, các cấp. Trong điều kiện như vậy
phương pháp điều tra chọn mẫu lại tỏ ra có nhiều ưu thế, nó phù hợp với xu thế

2
của thống kê hiện đại.
Nếu so với nhiều nước trên thế giới thì việc ứng dụng phương pháp chọn

của tác giả Tiến Só Phùng Chí Hiền trong Thông tin Khoa Học Thống Kê số
3/2004. Các công trình có liên quan đến ứng dụng phương pháp chọn mẫu trong
nghiên cứu kinh tế, theo danh sách lưu trữ của thư viện Quốc Gia Thành Phố Hồ
Chí Minh, có 2 công trình:
- Luận án phó tiến só khoa học với đề tài: “ Điều tra chọn mẫu và sự vận dụng
trong thống kê Việt Nam “ (1983) của tác giả Tô Phi Phượng đã trình bày khá
đầy đủ về lòch sử phát triển của phương pháp điều tra chọn mẫu. Ngoài ra tác
giả cũng đã tóm lược quá trình vận dụng điều tra chọn mẫu trong thống kê Việt
Nam, nêu lên phương hướng hoàn thiện về điều tra chọn mẫu.
- Luận án phó tiến só khoa học kinh tế với đề tài: “ Ứng dụng phương pháp điều
tra chọn mẫu trong nghiên cứu kinh tế “ (1992) của tác giả Lê Thò Thanh Loan
đã trình bày cơ sở khoa học của phương pháp chọn mẫu, đặc biệt là cơ sở toán
học. Ngoài ra tác giả còn phân loại được các cuộc điều tra chọn mẫu và cách
thực hiện một cuộc điều tra mẫu trong kinh tế.
Riêng về bản thân, ngoài những bài báo bàn luận về phương pháp chọn mẫu
trong điều tra chăn nuôi được đăng trên tạp chí chuyên ngành thì tác giả có tham
gia viết chương điều tra chọn mẫu trong Giáo trình Lý Thuyết Thống Kê.
Nhìn chung, những vấn đề lý luận về điều tra chọn mẫu đã có các tác giả nghiên
cứu nghiêm túc được thể hiện trong các công trình nghiên cứu khoa học. Tuy
nhiên việc hoàn thiện lý luận về các phương pháp chọn mẫu, sao cho dễ hiểu,
dễ làm, và phải có những ứng dụng “mẫu” trong thực tế để cho các đơn vò thực

4
tế tham khảo là hướng nghiên cứu của tác giả. Với đề tài này, tác giả đã tập
trung nghiên cứu giải quyết những vấn đề mà các tác giả trước đây chưa đề cập
hoặc chưa giải quyết một cách thỏa đáng nhằm bổ sung đầy đủ hơn cả về lý
luận cũng như ứng dụng thực tiễn.
3. Mục đích nghiên cứu
Việc nghiên cứu các vấn đề lý luận trong lý thuyết điều tra chọn mẫu là
một vấn đề khó, việc vận dụng nó vào thực tế để nghiên cứu các hiện tượng

thuyết phục.
6. Phương pháp luận nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu nhất quán toàn bộ đề tài dựa trên cơ sở chủ
nghóa duy vật biện chứng, các phương pháp toán học, đặc biệt là lý thuyết xác
suất và thống kê toán, và các phương pháp phân tích thống kê. Ngoài ra đề tài
cũng sử dụng các phần mềm tin học như Excel, Spss để xử lý số liệu.
Một số ký hiệu thống kê cập nhật theo giáo trình thống kê các nước và
các giáo trình xác suất - thống kê toán. Ví dụ: Sai số trung bình chọn mẫu (còn
gọi là sai số chọn mẫu) ký hiệu: μ, sẽ được ký hiệu là
y
σ
(hoặc
y
s ). Trung bình
của tổng thể ký hiệu
Y , sẽ được ký hiệu là μ . Trung bình mẫu ký hiệu y
~
, sẽ
được ký hiệu là
y . Hệ số tin cậy t theo phân phối chuẩn sẽ được ký hiệu là z.
7. Những đóng góp chính của luận án thể hiện trên các mặt:
- Triển khai hoàn chỉnh một cuộc điều tra chọn mẫu ngẫu nhiên vào điều tra
chăn nuôi, từ khâu lập phương án điều tra đến khâu cuối cùng là tính toán suy

6
rộng số liệu với độ tin cậy cho trước. Qua đó cho thấy tính khả thi của việc ứng
dụng các phương pháp chọn mẫu ngẫu nhiên vào điều tra chăn nuôi.
- Thực hiện kiểm đònh
2
χ để kiểm đònh tính chuẩn của mẫu. Đây là phương

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA DÙNG TRONG ĐIỀU TRA
CHỌN MẪU
Để thu thập tài liệu ban đầu, hiện nay ngành thống kê thực hiện hai hình
thức: Báo cáo thống kê đònh kỳ và điều tra chuyên môn. Chế độ báo cáo thống
kê đònh kỳ áp dụng chủ yếu đối với các đơn vò kinh tế nhà nước, các cơ quan
nhà nước. Điều tra chuyên môn được áp dụng để thu thập thông tin đối với
những trường hợp không thể hoặc không nhất thiết phải thực hiện chế độ báo
cáo thống kê đònh kỳ. Điều tra chuyên môn có thể tiến hành trên tất cả các đơn
vò của tổng thể nghiên cứu, gọi là điều tra toàn bộ hoặc chỉ tiến hành trên một
số đơn vò thuộc tổng thể nghiên cứu gọi là điều tra không toàn bộ. Điều tra
không toàn bộ bao gồm các loại: điều tra chọn mẫu, điều tra trọng điểm, điều
tra chuyên đề.
1.1.1 Khái niệm điều tra chọn mẫu
Điều tra chọn mẫu là một loại điều tra không toàn bộ, trong đó người ta chỉ
chọn ra một số đơn vò từ tổng thể để điều tra thực tế, rồi sau đó bằng các phương
pháp khoa học, tính toán và suy rộng kết quả cho toàn bộ tổng thể.
Như vậy trong điều tra chọn mẫu người ta đặc biệt lưu ý tới hai vấn đề cơ bản:
- Quy tắc lựa chọn các đơn vò sao cho có thể đại diện cho toàn bộ tổng thể.

8
- Dùng công thức suy rộng thành các đặc điểm của tổng thể.
Cơ sở khoa học của phương pháp chọn mẫu là lý thuyết xác suất và thống kê
toán. Lý thuyết xác suất và thống kê toán đã chứng minh là bằng phương pháp
điều tra chọn mẫu ta có thể biết được các tham số của tổng thể theo một đặc
trưng nào đó với một mức độ chính xác, mức độ tin cậy tính toán được.
Như vậy dựa trên cơ sở khoa học này ta thấy phương pháp điều tra chọn mẫu
hoàn toàn có thể thay thế được điều tra toàn bộ trong một số trường hợp.
1.1.2 Ưu điểm và nhược điểm của điều tra chọn mẫu so với điều tra toàn bộ
Trong điều tra chọn mẫu, người ta chỉ thực hiện điều tra trên một bộ phận
của tổng thể. Do đó so với điều tra toàn bộ, điều tra chọn mẫu có các ưu điểm

Tuy điều tra chọn mẫu có nhược điểm là các tham số ước lượng cho tổng thể
luôn có sai số, nhưng sai số này có thể tính toán được và khống chế với mức độ
tin cậy cho phép.
Điều tra chọn mẫu thường được dùng trong những trường hợp sau đây:
- Khi nội dung nghiên cứu vừa có thể điều tra chọn mẫu, vừa có thể điều tra
toàn bộ thì người ta thường quyết đònh dùng điều tra chọn mẫu vì những ưu
điểm của nó.
- Một số trường hợp không thể dùng điều tra toàn bộ mà chỉ có thể áp dụng
điều tra chọn mẫu: Khi tổng thể quá lớn hoặc không xác đònh trước được; khi
điều tra làm phá hủy hoặc biến dạng đơn vò được điều tra (Điều tra chất lượng
đồ hộp, chất lượng thuốc, chất lượng bóng đèn, phích nước v.v… ).
- Trong một số cuộc tổng điều tra (chẳng hạn như tổng điều tra dân số, tổng
điều tra nông nghiệp ) người ta kết hợp điều tra chọn mẫu nhằm mục đích: Mở

10
rộng nội dung điều tra; để kiểm tra, đánh giá chất lượng của số liệu điều tra
toàn bộ; xử lý nhanh một số số liệu cần thiết.
- Khi tổng thể nghiên cứu được điều tra toàn bộ đònh kỳ, nhưng khoảng cách
thời gian giữa hai cuộc điều tra là quá lớn (chẳng hạn 10 năm đối với điều tra
dân số, 5 năm đối với điều tra nông thôn, nông nghiệp và thủy sản) thì đan xen
với điều tra toàn bộ, người ta thường tiến hành điều tra chọn mẫu để kòp thời
nắm bắt sự vận động, biến đổi của tổng thể.
Để bảo đảm tiến hành cuộc điều tra chọn mẫu thành công, trước hết phải làm
tốt công tác chuẩn bò. Yêu cầu của khâu này là phải có những thông tin tiên
nghiệm về tổng thể để làm căn cứ xây dựng lược đồ chọn mẫu như xác đònh cỡ
mẫu, lựa chọn phương pháp tổ chức chọn mẫu, lập dàn chọn mẫu… . Do vậy điều
tra chọn mẫu phải được kết hợp với điều tra toàn bộ. Trong thực tế nguồn số
liệu do các cuộc tổng điều tra (điều tra toàn bộ) mang lại là hết sức q, ví dụ
trong chăn nuôi có các số liệu về số hộ chăn nuôi từng loại gia súc, gia cầm.
Phương pháp chọn mẫu có thể ứng dụng rộng rãi trong các lónh vực

trên giác độ tiêu thức Y mà xét, các đơn vò của tổng thể là đồng chất, nhưng về
mặt lượng thì mỗi đơn vò tổng thể có những giá trò khác nhau.
Nếu gọi
y
i
(i=1,N ) là trò số cụ thể của đơn vò tổng thể và giả đònh rằng nếu điều
tra toàn bộ N đơn vò của tổng thể thì cuối cùng sẽ biết được tất cả các trò số cụ
thể đó, và từ đó tính ra được các tham số mô tả tổng thể. Trong số các tham số
đó, ở đây chỉ chú ý tới một số tham số chủ yếu sau:
- Số trung bình tổng thể (The population mean), ký hiệu μ, biểu hiện mức độ
điển hình theo tiêu thức Y của tổng thể, được tính theo công thức:

12
μ =
y y y
N
12 N
+
+
+
=
N
y
N
1i
i
∑
=

- Phương sai tổng thể (The population variance), ký hiệu

Tất cả các tham số của tổng thể có thể được trừu tượng hóa dưới một tên gọi
chung là tham số θ.
1.1.3.2 Các tham số của mẫu
Mẫu bao gồm n đơn vò tổng thể được tập hợp lại theo cùng tiêu thức Y với
tổng thể. Các đơn vò mẫu được chọn ra từ tổng thể theo nguyên tắc chọn ngẫu
nhiên, theo một phương pháp tổ chức chọn mẫu nào đó.
Vì chọn ra các đơn vò mẫu một cách ngẫu nhiên nên bản thân mẫu cũng
mang tính chất ngẫu nhiên, và do đó các tham số tính được từ số liệu của mẫu
cũng mang tính chất ngẫu nhiên, do đó có thể áp dụng các công thức suy rộng
để tính các tham số của tổng thể được.
Khi chọn một mẫu gồm n đơn vò từ tổng thể có N đơn vò bằng phương

13
pháp chọn không lặp ta có thể lấy ra được C
N
n
mẫu có kết cấu khác nhau. C
N
n
là
tổ hợp chập n của N phần tử và
()
C
N!
n! N n !
N
n
=
−


∑

- Phương sai mẫu (The sample variance), ký hiệu
2
y
s
ˆ
biểu hiện mức độ biến
thiên của tiêu thức Y trong mẫu, được tính theo công thức:

(
)
∑
=
−=
n
1i
2
i
2
y
yy
n
1
s
ˆ

- Tỷ lệ mẫu, ký hiệu
p
ˆ

C
N
n
mẫu khác nhau. Mỗi mẫu ấy đều
được chọn một cách ngẫu nhiên, nên các tham số của nó (như trung bình, tỷ lệ,
phương sai) là những đại lượng ngẫu nhiên tuân theo những quy luật phân phối
nhất đònh.
Từ nhận xét trên, có thể tìm được kỳ vọng toán và phương sai của các tham số
của mẫu, từ đó rút ra nhận xét về mối liên hệ cụ thể giữa các tham số của mẫu
và các tham số của tổng thể. Ở đây, chúng ta chỉ chú ý đến kỳ vọng toán và
phương sai của một số tham số mẫu như sau:
a) Kỳ vọng toán của trung bình mẫu ngẫu nhiên, trong trường hợp chọn có trả lại
và không trả lại đều là:
μ=)Y(E
Phương sai của trung bình mẫu ngẫu nhiên trong trường hợp chọn có trả lại:
n
)Y(Var
2
Y
σ
=

Và trong trường hợp chọn không trả lại:

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛


15
Phương sai của tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên trong trường hợp chọn có trả lại:

n
pq
)P
ˆ
(Var =
(với q =1-p)
Và trong trường hợp chọn không trả lại:

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−≈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
N
n

y
1N
N
n
1n
)S
ˆ
(E σ
−
×
−
=
Để ý rằng, nếu số đơn vò tổng thể N là khá lớn, số đơn vò mẫu n là khá nhỏ so
với N, thì tỷ số
n
N
là khá nhỏ và sự sai khác giữa N và N-1 là không đáng kể,
khi đó các công thức dùng trong trường hợp chọn không trả lại sẽ xấp xỉ công
thức dùng trong trường hợp chọn có trả lại. Do đó trong thực tế, khi số đơn vò
tổng thể khá lớn, số đơn vò mẫu là khá nhỏ so với số đơn vò tổng thể, thì dù lấy
mẫu theo cách chọn không trả lại, ta vẫn có thể sử dụng các công thức của cách
chọn có trả lại để dễ dàng tính toán mà vẫn bảo đảm chính xác.
Một vấn đề rất quan trọng khác là: giữa quy luật phân phối của các tham số của
tổng thể với quy luật phân phối của các tham số của mẫu có mối liên hệ với
nhau. Để có thể tìm được các tham số của tổng thể bằng cách suy đoán từ các
tham số của mẫu, cằn phải nắm được những mối liên hệ đó, nắm được quy luật
phân phối của các tham số của mẫu.
Nhìn chung trong việc ứng dụng phương pháp chọn mẫu trong kinh tế, ta thường
quan tâm nhiều nhất đến hai tham số là trung bình và tỷ lệ. Vì vậy ở đây cũng


2
đã biết, khi đó có thể xem: Y ∼ N(
n
,
2
Y
σ
μ
)
* n ≥ 30,
σ
Y
2
chưa biết, khi đó có thể xem: Y ∼ N
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
μ
n
s
,
2

μ=)Y(E ;
n

.
Phương sai mẫu hiệu chỉnh được tính:
s
2
=
()
1
1
2
1
n
yy
i
i
n
−
−
=
∑

* n<30 , ta chỉ xét tổng thể Y có phân phối chuẩn ,
σ
Y
2
đã biết khi đó
Y ∼ N(
n
,
2
Y

; σ
Y
2
≈
2
y
s
ˆ
hoặc
2
y
s
Những mối liên hệ giữa tổng thể và mẫu sẽ được dùng làm cơ sở để xây dựng
các công thức tính toán, nhằm suy rộng ra các tham số của tổng thể từ mẫu. Tuy
nhiên việc ước lượng này bao giờ cũng phát sinh sai số. Vậy trong điều tra chọn
mẫu có những loại sai số nào?
1.1.4 Sai số trong điều tra chọn mẫu
Trong các cuộc điều tra chọn mẫu, sai số bao gồm:
- Sai số chọn mẫu.
- Sai số phi chọn mẫu (sai số ngoài chọn mẫu).
Sai số chọn mẫu còn được gọi là sai số đại diện, tồn tại ngay trong bản thân
cuộc điều tra chọn mẫu, bởi vì việc điều tra chỉ được thực hiện trên một số ít đơn
vò, nhưng kết quả thu được lại được tính toán suy rộng cho toàn bộ tổng thể. Sai
số chọn mẫu là điều khó tránh khỏi vì dù cho có tổ chức khoa học chu đáo đến
đâu, thì việc lấy ra một mẫu có kết cấu giống như kết cấu của tổng thể là điều
khó thực hiện, mà chỉ cần có sự sai khác nhỏ về kết cấu của hai tổng thể là đã
phát sinh sai số rồi.
Như vậy sai số chọn mẫu là chênh lệch về trò số giữa các chỉ tiêu tính ra được
trong điều tra chọn mẫu và các chỉ tiêu tương ứng của tổng thể, tức là chênh
lệch giữa các số

K
θ
K

Sai số chuẩn được tính theo công thức: SE =
()
θθ−
=
∑
i
i
K
K
2
1

Điều này không thể thực hiện được trong thực tế. Thật may mắn là nếu chấp
nhận một phương pháp chọn mẫu phù hợp ta có thể tính ước lượng của SE chỉ
cần từ một mẫu được rút ra để nghiên cứu.
Loại sai số thứ hai xuất hiện cả trong điều tra chọn mẫu lẫn trong điều tra toàn
bộ, được gọi là sai số phi chọn mẫu. Việc lập danh sách tất cả các nguồn sai số
phi chọn mẫu là rất khó. Những sai số này xảy ra do nhiều nguyên nhân: Do đơn
vò điều tra trả lời sai vì không hiểu đúng nội dung, hoặc do cố ý khai sai. Do
nhân viên điều tra vô tình ghi chép sai. Do tỷ lệ không trả lời quá cao. Do dụng
cụ đo lường sai… . Rõ ràng rằng, với một đội ngũ nhân viên được huấn luyện tốt
ở cả hai lónh vực thu thập và xử lý số liệu, nên các sai số phi chọn mẫu ở các
cuộc điều tra chọn mẫu có thể ít nghiêm trọng hơn so với các cuộc điều tra toàn
bộ.
Giữa sai số chọn mẫu và sai số phi chọn mẫu có mối quan hệ sau: sai số chọn
mẫu sẽ giảm khi cỡ mẫu tăng lên. Và như vậy, khối lượng công việc điều tra

của tổng thể gọi là sai số trung bình chọn mẫu (sai số chọn mẫu) ký hiệu
y
σ

được xác đònh theo công thức:
n
n
2
y
σ
=
σ
=σ

(Nếu σ
2
chưa biết ta thay bằng s
2
)
- Khi nhiệm vụ chọn mẫu là để ước lượng tỷ lệ theo một tiêu thức nào đó, sai số
trung bình chọn mẫu sẽ là:
n
)p-1(p
p
ˆ
=σ
(Nếu p chưa biết ta thay bằng
p
ˆ
)

vững các nhân tố ảnh hưởng đến sai số chọn mẫu.
Theo công thức trên ta thấy sai số chọn mẫu lớn hay nhỏ phụ thuộc vào các
nhân tố sau:
- n : cỡ mẫu, cỡ mẫu càng lớn thì sai số chọn mẫu càng nhỏ, và ngược lại.
- σ
2
: tính chất đồng đều của tổng thể, tổng thể càng có kết cấu phức tạp, các
lượng biến của tiêu thức biến thiên càng nhiều, thì phương sai càng lớn và do đó
sai số chọn mẫu càng lớn và ngược lại.

21
- Phương pháp tổ chức chọn mẫu khác nhau: mỗi phương pháp tổ chức chọn mẫu
khác nhau sẽ có công thức tính sai số chọn mẫu khác nhau (cụ thể sẽ trình bày
trong phần các phương pháp chọn mẫu).
Thông thường phương pháp tổ chức chọn mẫu nào càng thuận tiện cho việc lập
dàn chọn mẫu và tổ chức điều tra bao nhiêu thì sai số chọn mẫu càng lớn.
Rõ ràng hầu như mọi sự phức tạp của các công thức chọn mẫu đều tập trung ở
việc tính sai số chọn mẫu. Nếu tính được sai số chọn mẫu rồi thì việc tính toán
các chỉ tiêu khác trở nên đơn giản hơn.
* Ý nghóa của việc tính toán sai số chọn mẫu:
- Sai số chọn mẫu dùng để ước lượng khoảng chỉ tiêu nghiên cứu.
- Sai số chọn mẫu còn dùng để đánh giá tính đại diện của chỉ tiêu nghiên cứu
qua tính toán tỷ lệ sai số chọn mẫu H :
100x
y
s
H
y
=
H càng nhỏ thì chỉ tiêu có tính đại diện càng cao, ngược lại H càng lớn thì tính

y là ước lượng không chệch của μ ( μ=)Y(E ).
- Để ước lượng tỷ lệ chung p, ta dùng tỷ lệ mẫu
p
ˆ
làm ước lượng vì p
ˆ
là ước
lượng không chệch của p (
p)P
ˆ
(E = ).
- Để ước lượng phương sai tổng thể
σ
Y
2
ta không dùng phương sai mẫu
2
y
s
ˆ
mà
dùng phương sai mẫu hiệu chỉnh
s
y
2
làm ước lượng, nhằm bảo đảm s
y
2
là ước
lượng không chệch của

n
−
1
2
y
s
ˆ

Do đó : E(
s
y
2
) = E(
n
n
−
1
2
y
s
ˆ
) = σ
Y
2

Chứng tỏ
s
y
2
là ước lượng không chệch của σ


[
]
α−=σ≤μ−
α
1zYP
y
2/

Hay
n
zy
n
zy
Y
2/
Y
2/
σ
+≤μ≤
σ
−
αα
với độ tin cậy là 1-α
Trong đó:
σ
y
: sai số trung bình chọn mẫu.
y
2/

zYP
Y
2/24
Hay α−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
σ
+≤μ≤
σ
−
αα
1
n
zY
n
zYP
Y
2/
Y
2/

b) n ≥ 30,
σ

2/

c) n < 30, Y phân phối chuẩn,
σ
Y
2
đã biết, kết quả giống như phần a.
d) n < 30, Y phân phối chuẩn,
σ
Y
2
chưa biết, ta tra vào bảng phân phối student
với n-1 bậc tự do:

[]
α−=≤
α−−
1tTP
2/,1n1n

Khi đó
α−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
≤μ−
α−

Để ước lượng tỷ lệ p của tổng thể ta dùng tỷ lệ mẫu
p
ˆ
. Ta biết với n khá lớn P
ˆ
∼
N(p,
n
pq
)

α−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
≤−
α
1
n
pq
zpP
ˆ
P
2/

Vì n khá lớn nên ta có thể thay p bằng
p

)
α−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+≤≤
−
−
αα
1
n
P
ˆ
1P
ˆ
zP
ˆ
p
n
P
ˆ
1P
ˆ
zP

r =
x
y
x
y
n
1i
i
n
1i
i
=
∑
∑
=
=

yx, : là số trung bình của mẫu.
Tỷ lệ R của tổng thể được ước lượng bởi tỷ lệ r của mẫu.
Với số tổng X (hoặc số trung bình
x
μ
) của tổng thể đã biết ước lượng tỷ lệ của
số tổng Y, số tổng của tổng thể là:
X
x
y
X
x
y