S GIO DC V O TO K LK
TRNG THPT NGUYN HU
THI TH I HC
MễN TON NM 2012 - 2013
Thi gian lm bi: 180 phỳt.

I. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im)
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm s
2 3
2
x
y
x

=

th (C)
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th ( C).
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ti im M thuc (C) bit tip tuyn ú ct tim cn ng v tim cn ngang ln
lt ti A, B sao cho cụsin gúc
ã
ABI
bng
4
17
,vi I l giao 2 tim cn ca (C).
Cõu 2 (1,0 im). Gii phng trỡnh
1
3 sin cos
cos
x x

cú
ã
0
120BAD =
. ng thng
SA
to vi mt phng
)(SBD
mt gúc bng

vi
3cot =

. Tớnh th tớch
khi chúp
ABCDS.
v khong cỏch t
B
n mt phng
)(SAC
theo a.
Cõu 6 (1,0 im). Cho 3 s dng x , y , z cú tng bng 1. Chng minh bt ng thc :
2
3

+
+
+
+
+ yzx

B.Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu 7.b (1,0 im). Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho hai ng thng
1
: 5 0d x y+ + =
,
2
: 2 7 0d x y+ - =
v tam giỏc ABC cú
(2;3)A
, trng tõm l im
(2;0)G
, im B thuc
1
d
v im C thuc
2
d
.
Vit phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC.
Cõu 8.b (1,0 im). Trong khụng gian vi h trc to Oxyz, cho ng thng
)(
:
1 2
2 1 3
x y z- -
= =
-
v mt
phng
( ) : 2 - - 2 1 0Q x y z + =

< 0,
x D∀ ∈
.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (
−∞
;2) và (2;
+∞
).
Giới hạn và tiệm cận:
lim 2
x
y
→±∞
=
; tiệm cận ngang:
2y =
.

2
lim
x
y
+
→
= +∞
,
2
lim
x
y

.
Phương trình tiếp tuyến tại M:
0
0
2
0 0
2 3
1
( )
( 2) 2
x
y x x
x x
−
= − − +
− −
(
∆
).
0
0
2 2
(2; ) ( )
2
x
A C
x
−
= ∩
−

0
0x =
;
0
4x =
.
Khi đó: Tại
3
(0; )
2
M
phương trình tiếp tuyến:
1 3
4 2
y x= − +
.
Tại
5
(4; )
3
M
phương trình tiếp tuyến:
1 7
4 2
y x= − +
.
0.25
0.25
0.25
0.25

−∞
-
+∞
−∞
2
-
22
2
1 3 1
cos 2 sin2
2 2 2
x x⇔ + =
1
cos 2
3 2
x
π
 
⇔ − =
 ÷
 
3
x k
x k
π
π
π

= +


x x x x
x x
+ − − − < − + + − −
⇔ + − − − + − + − − <
⇔ + + − − − <
1 3 0 3 1 3 1 4x x x x⇔ − − − < ⇔ − − > ⇔ − − > ⇔ < −
Đối chiếu với điều kiện ta được
5 4x− ≤ < −
.
Vậy bất phương trình có nghiệm:
5 4x
− ≤ < −
.
0.25
0.5
0.25
4
Đặt
ln
2 1
1
dx
u x
du
x
dx
dv
v x
x
=

J dx
x
+
=
∫
Đặt
1 2t x tdt dx= + ⇒ =
. Đổi cận, với x=3 thì t=2; với x=8 thì t=3.
Khi đó
3
3 3
2
2 2
2 2
2
2 1 1
2 1 2 ln 2 ln3 ln 2
1 1 1
t dt t
J dt t
t t t
 
−
 
= = + = + = + −
 ÷  ÷
− − +
 
 
∫ ∫

ADCABCD
==
và
.
2
,
2
3 a
AO
a
DO ==
Do đó
.
2
3
2
3
cot.
22
a
ODSOSD
a
AOSO =−=⇒==
α
Suy ra
.
4
2
22
.

0.25
0.25
0.25
0.25
6
Ta có : x + y + z = 1
)1)(1(1 yxzxyyxz −−=+⇒−−=⇒
0.25
A
D
B
C
S
O
H
a
a
α
( )( )








−
+
−

+
−
≤
+








−
+
−
≤
+ z
x
x
z
yzx
zx
z
y
y
z
xyz
yz
112
1

zy
VT
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
1
.
0.25
0.25
0.25
7.a
Đường thẳng AC có vec tơ pháp tuyến
( )
1
1;2n =
ur
.
Đường thẳng BC có vec tơ pháp tuyến
( )
1
3; 1n = −
ur
.
Đường thẳng AC qua M(1; -3) nên có phương trình:
( ) ( )
( )
2 2
1 3 0 0a x b y a b− + + = + >
.
Tam giác ABC cân tại đỉnh A nên ta có:
( ) ( )

2
a b=
, chọn a= 1, b = 2 ta được đường thẳng AC: x + 2y + 5 = 0 (loại vì khi đó
AC//AB).
Với
2
11
a b=
, chọn a = 2, b = 11 ta được đường thẳng AC: 2x + 11y + 31 = 0.
0.25
0.25
0.25
0.25
8.a
Do (
β
) // (
α
) nên (β) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D
≠
17).
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = 5
Đường tròn có chu vi 6π nên có bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới (β) là h =
435rR
2222
=−=−
Do đó



2 2
3 3
log 1 log 16 1 16x x x x+ = − ⇒ + = −
2
2
1 4
1 61
15 0
2
4 1
1 69
2
17 0
x
x
x x
x
x
x x

− < <


− +


=

+ − =


0.25
0.5
0.25
7.b
Do B
∈
d
1
nên B (m; - m – 5), C
∈
d
2
nên C (7 – 2n; n).
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên
2 7 2 3.2
3 5 3.0
m n
m n
ì
+ + - =
ï
ï
í
ï
- - + =
ï
î

2 3 1
2 1

ï ï
ï ï
ï ï
ï ï
+ - - + = Û =
í í
ï ï
ï ï
+ + + + = =-
ï ï
ï ï
î î
Vậy (C) có phương trình
2 2
83 17 338
0
27 9 27
x y x y+ - + - =
.
0.25
0.25
8.b
Gọi
( ; ; )M a b c
là điểm cần tìm. Do
( )M Î D
nên:
2 5
1 2
2 1 3 3 6

ì
ï
=
ï
ï
ï
+ =
í
ï
ï
ï
+ =
ï
î
- - 2 -5
3 6
2 - -2 2
- - 2 -5
3 6
2 - -2 -4
a b
b c
a b c
a b
b c
a b c
é
ì
=
ï

ê
ï
ê
=
ï
ï
î
ë
-3
4
-6
9
-2
12
a
b
c
a
b
c
é
ì
=
ï
ï
ê
ï
ï
ê
=

î
ë
Vậy có hai điểm cần tìm là:
(-3;4;- 6), (9;- 2;12)M M
.
0.25
0.25
0.25
0.25
9.b
Ta có
( ) ( )
( )
1 3 0
1 3 . 2 . 3 2 0
2 . 3 2 0
i z
i z i z i
i z i
 + − =
 + −  − + = ⇔

 
− + =


3
3 3
1
2 2