Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
GV: Nguy
ến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
1
Phương trì nh chứa ẩn ở căn thức
Ví dụ : Giải phương trì nh:
2
2
1 x x x 1 x
3
    
Giải: ĐK
0 x 1
 
.
Để giải phương trì nh này thì rõ ràng ta phải tìm cách loại bỏ căn thức. Có những cách
nào để loại bỏ căn thức ? Điều đầu tiên chúng ta nghĩ tới đó là lũy thừa hai vế
. Vì hai vế
của phương trì nh đã cho luôn không âm nên bì nh phương hai vế ta thu được phương
trì nh tương đương.
 
2
2
2 2 2 2
2 4 4
(1) 1 x x x 1 x 1 x x (x x ) 1 2 x x
3 3 9
 
             
 
 

 
.
Qua l
ời giải trên ta thấy được
2
x x
 sẽ biểu diến được qua
x 1 x
 
nhờ vào đẳng
thức


2
2
x 1 x 1 2 x x
    
(*) .Cụ thể nếu ta đặt
t x 1 x
  
thì
2
2
t 1
x x
2

  và khi đó phương trì nh đã cho trở thành phương trì nh bậc hai với ẩn là
t:
2

Vi
ệc thay thế biểu thức
x 1 x
 
bằng một ẩn mới là t (mà ta gọi là ẩn phụ) là một
suy nghĩ hoàn toàn phù hợp với tự nhiên ( chúng ta nhớ lại là chúng ta đang tì m cách
làm m
ất căn thức !). Cách làm như thế này ta thường gặp trong cuộc sống hằng ngày của
chúng ta, chẳng hạn khi chúng ta đi xa không tiện cho việc mang theo tiền mặt ta có thể
đổi qua đô la, hay thẻ
ATM, séc,…Cũng như việc chuyển đổi tiền ở trên, để làm mất căn
thức ta tìm cách đặt một biểu thức chứa căn thức nào đó bằng một biểu thức ẩn mới sao
cho phương trì nh ẩn mới có hình thức kết cấu đơn giản hơn phương trì nh ban đầu. Đặt
biểu thức chứa căn nào bằng biểu thức ẩn mới như thế nào là vấn đề quan trọng nhất,
bước làm này quyết định đến có được lời giải hay không và lời giải đó tốt hay dở. Để
chọn được được cách đặt ẩn phụ thích hợp thì ta cần phải tìm được mối quan hệ của các
biểu thức tham gia trong phương trì nh như ở cách giải trên ta đã tạo được mối quan hệ
đó là đẳng thức (*).
Có nhiều cách để tạo ra mối quan hệ giữa các đối tượng tham gia
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
GV: Nguy
ến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
2
trong phương trì nh chẳng hạn ở phương trì nh trên ngoài đẳng thức (*) ta còn có mối
quan hệ giữa các biểu thức tham gia trong phương trì nh:




2 2

a x,b 1 x
  
thì từ phương trì nh đã cho kết hợp với
(**) ta có hệ phương trì nh:
2 2
2
1 ab a b
3
a b 1

  



 

đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ này ta
được nghiệm của phương tr
ì nh là x=0 và x=1. Bản chất cách giải này chính là cách đặt
ẩn phụ
t 1 x
 
mà ta đã giải ở trên .
Ti
ếp tục nhận xét thì đẳng thức (**) giúp ta liên tưởng đến đẳng thức nào mà ta biết ?
Chắc hẳn các bạn sẽ dễ dàng trả lời được đó là đẳng thức lượng giác:
2 2
sin cos 1
   
.


   
  



.
Qua ví d
ụ trên ta thấy có nhiều cách để giải phương trì nh và bất phương trì nh vô tỉ. Mọi
phương pháp đều chung một
tưởng đó là tì m cách loại bỏ căn thức và đưa phương trì nh
đã cho về phương trì nh mà ta đã biết cách giải. Sau đây chúng ta sẽ đi vào từng phương
pháp gi
ải cụ thể.
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
GV: Nguy
ến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
3
I. Phương pháp biến đổi tương đương :
Nội dung của phương pháp này là sử dụng các tính chất của lũy thừa và các phép biến
đổi tương đương của phương tr
ì nh, bất phương trì nh biến đổi phương trì nh, bất phương
trì nh ban đầu về phương trì nh, bất phương trì nh đã biết cách giải.
Ta nhơ lại c
ác tính chất của lũy thừa và phép biến đổi tương đổi đối với phương trì nh
và b
ất phương trì nh.
1)
n
n

Ví dụ 1: Giải phương trì nh:
2x 1 3x 1
  
.
Giải: Ta thấy VT luôn không âm, do đó nếu VP âm thì phương trì nh vô nghiệm nên ta
chỉ cần giải phương trì nh khi
1
3x 1 0 x
3
    
. Khi đó hai vế đều không âm và bì nh
phương ta thu được phương trì nh tương đương:
2
2x 1 (3x 1)
  
nếu
0
1
x
3
 
là
nghi
ệm của phương trì nh này thì
2
0 0 0
2x 1 (3x 1) 2x 1 0
     
do vậy ta không cần
đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn. Vậy :

 
  
 



.
Nhận xét: * Phương trì nh trên có dạng tổng quát:
f (x) g(x)
 , khi gặp dạng này ta
biến đổi tương đương như sau:
2
g(x) 0
f (x) g(x)
f (x) g (x)



 




. Ở đây vì sao ta không
cần đặt đk
f (x) 0?

.
* Ở bài toán trên ta có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ
t 2x 1

 
 

 
        
 
   



 

Đối chiếu điều kiện (*) ta thấy x=0 thỏa mãn. Vậy nghiệm của pt đã cho là x=0.
Chú ý : Ở phương trì nh trên vì sao chúng ta lại chuyển 1
x

qua rồi mới bình phương?
Mục đích của việc làm này là tạo ra hai vế của phương trì nh luôn cùng dấu để sau khi
bì nh phương ta thu được phương trì nh tương đương.
Ví dụ 3: Giải bất phương trì nh:
2
2x 6x 1 x 2 0
    
.
Giải:
Bất phương trì nh
2
2x 6x 1 x 2
    
(1)

2x 6x 1 (x 2)
1 x 3
x 2x 3 0
 
 
 

 

   
 
        
  
  
   

  
 
  
 
3 7
x 3
2

  
là nghiệm của bất phương trì nh đã cho.
Nhận xét: Dạng tổng quát của bất phương trì nh trên là:
2
g(x) 0
f (x) g(x) f (x) 0

0

nên nếu VP(2)
0 x 5
  
thì (2) luôn đúng. Nếu VP(2)
0 x 5
  
thì bpt (2)
2 2
2(x 16) (10 2x)
    . Nếu
0
x
bất phương trì nh này thì ta có
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
GV: Nguy
ến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
5
2
0
2(x 16) 0
 
do đó ta không cần đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn
Vậy để giải bất phương trì nh (2) ta chia làm hai trường hợp
TH1:
x 4 ( k)
x 5.
10 2x 0


g(x) 0





TH 2:
2
g(x) 0
f (x) g (x)







Ví dụ 5: Giải phương trì nh:
2
2x 6x 1 x 1
   
.
Giải:
2 2 2 2
x 1 0 x 1
Pt
2x 6x 1 (x 1) 6x 1 x 1
   
 
 

 




(*) .
Phương trì nh
2 2 2
2x x 2 x (x 1)(x 2) 4x
     
2 2 2 2 2 2
2 x (x x 2) x(2x 1) 4x (x x 2) x (2x 1)
         
(do đk (*) ).
2
0
(8 9) 0
9
8



   



x
x x
x
cả hai giá trị này đều thỏa mãn (*).

            
2
9
1 x x 2 2 x 2 x x 2 2x 1 x
8
              
(loại).
Vậy nghiệm của phương trì nh đã cho là:
9
0;
4
x x
 
.
2) Khi biến đổi như trên chúng ta sai lầm khi cho rằng
a.b a. b
 ! Nên nhớ đẳng
thức này chỉ đúng khi
a,b 0

! Nếu
a,b 0

thì
ab a. b
  
.
Ví dụ 7: Giải phương trì nh:
3 3
3

3
2x 3 3 (x 1)(x 2)( x 1 x 2) 2x 3
        
3
(x 1)(x 2)(2x 3) 0
    
!?
Phép biến đổi này không phải là phép biến đổi tương đương! Vì ở đây chúng ta đã
thừa nhận phương trì nh ban đầu có nghiệm !. Do đó để có được phép biến đổi tương
đương thì ta phải đưa về hệ như trên. Chẳng hạn ta xét phương trì nh sau
3
2
3 3 3 3
1 x 1 x 1 2 3 1 x ( 1 x 1 x ) 1
            
3
2
1 x 1 x 0
    
.
Nhưng thay vào phương trì nh ban đầu ta thấy x=0 không thỏa mãn phương trì nh !
* Với dạng tổng quát
3 3 3
a b c
  ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức
3 3 3
(a b) a b 3ab(a b)
    
ta có phương trì nh tương đương với hệ
3 3 3

 
 

4 3 2 3 2
2 x 4 2 x 4
x 8x 16x 27x 90 0 (x 3)(x 5x x 30) 0
   
 
 
 
 
         
 
 

2
2 x 4
x 3
(x 3)(x 2)(x 7x 15) 0
 


  

    


.
Ví dụ 9: Giải phương trì nh:
2 2

1
x
2
y 2





 

.
Ví dụ 9: Giải phương trì nh:
1)
2
x x 7 7
  
. 2)
x 3
4x 1 3x 2
5

    .
Giải:
1) Phương trì nh
2
x (x 7) (x x 7) 0 (x x 7)(x x 7 1) 0
            
x 7 x (1)
x 7 x 1 (2)



  

  


.
V
ậy phương trì nh đã cho có hai nghiệm
1 29
x 2;x
2

 
.
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
GV: Nguy
ến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
8
2) Phương trì nh
5( 4x 1 3x 2) (4x 1) (3x 2)
       
5( 4x 1 3x 2) ( 4x 1 3x 2)( 4x 1 3x 2)
          
4x 1 3x 2 0
x 2
4x 1 3x 2 5

   

.
* Với bài toán 2 ta còn có cách giải khác như sau
Phương trì nh
x 2
( 4x 1 3) ( 3x 2 2)
5

      
x 2
4(x 2) 3(x 2) x 2
3x 2 4x 1 1 1
(*)
5
4x 1 3 3x 2 2
5
( 4x+1 3)( 3x 2 2)


  

   
   


   

  

Vì
VT(*) 0

x 0 1 x 1 0
    
. Nhận lượng liên hợp ở VT của Bpt ta được
2 2
2
2 2
x (1 x 1)
x 4 (1 x 1) x 4 x 1 3 x 8
(1 x 1) (1 x 1)
 
           
   
Vậy nghiệm của Bpt đã cho là:
T [ 1;8)
 
.
2)
Ta xét hai trường hợp
TH 1:
2
1
2x 3x 2 0 x 2,x
2
      
. Khi đó BPT luôn đúng
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
GV: Nguy
ến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
9
TH 2:

     
.
Chú ý : * Ở bài toán 2 ta thường không chú ý đến trường hợp 1, đây là sai lầm mà chúng
ta thường gặp trong giải phương trì nh và bất phương trì nh vô tỉ.
* Khi giải bất phương trì nh nếu ta muốn nhân hoặc chia hai vế cảu bất phương trì nh cho
một biểu thức thì ta phải xác định được dấu của biểu thức đó. Nếu chưa xác định được
dấu của biểu thức mà ta muốn nhân thì ta có thể chia làm hai trường hợp.
Ví dụ 11: Giải bất phương trì nh :
1)
2 2
(x 3) x 4 x 9
   
2)
2
51 2x x
1
1 x
 


.
Giải:
1)
* V
ới
x 3
 
bất phương trì nh đúng.
* Với
 

 





      
  




  



 


.
V
ậy nghiệm của bất phương trì nh dã cho là:
5
x V x 3
6
  
.
2)
* Nếu
2

VT 0 1
 
.
V
ậy nghiệm bất phương trì nh đã cho là :
1 52 x 5 V x 1
    
.
Ví dụ 12: Tì m m để phương trì nh
2
x 2mx 1 m 2
   
có nghiệm.
Giải:
* Nếu
m 2
 
phương trì nh vô nghiệm
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
GV: Nguy
ến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
10
* Với
m 2
 
Phương trì nh
2 2 2 2
x 2mx 1 m 4m 4 x 2mx m 4m 3 0
           
Phương trì nh có nghiệm

2 m m 4m 8
x 0
2
   
 
;
2
2
2 m m 4m 8
x 0
2
   
 
Phương trì nh đã cho có hai nghiệm
(*)

có hai nghiệm phân biệt
1
 
2
2
2 2
m 4
x 1 4 m m 4m 8 m 2
(4 m) m 4m 8



          


(2) có nghiệm
2
m 160 0 | m | 4
      
(*) . Khi đó (2) có hai nghiệm là:
2
1,2
m m 16
x
2
 
 .
Nghi
ệm
1
x
thỏa mãn (1)
2 2 2 2
(m m 16) 16 0 m m m 16 16 0
         
2 2
2
m 4
m 4
m 16( m 16 m) 0
m 4
m 16 m
 

 


 
 



.
V
ậy
| m | 4

thì phương trì nh đã cho có nghiệm.
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
GV: Nguy
ến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
11
Chú ý : Bài toán trên ta có thể giải ngắn ngọn hơn như sau: Nếu (2) có nghiệm thì
1
1 2
2
| x | 2
| x x | 4
| x | 2


 



nên phương trì nh đã cho có nghiệm

x
x
6)
2
2 1 ( 1) 0
      
x x x x x x
7)
x x 1 x 1
   
8)
4 4 2 2
ax x x a x a(a 1)
    

9)
(x 2)(2x 1) 3 x 6 4 (x 6)(2x 1) 3 x 2
         
.
10)
3 2 4
x 1 x x x 1 1 x 1
       
. 11)
4 1 5
x x 2x
x x x
    
.
12)

5)
1 x 1 x x
   
6)
3x 4 x 3 4x 9
    
7)
2 2
x 4x 3 2x 3x 1 x 1
      
8)
2 2
25 x x 7x 3
   
9)
2 2 2
x 8x 15 x 2x 15 4x 18x 18
       
10)
2x
2x 1 1
2x 9
  

11)
2 2
1 1 2
x x
x
x x

B2: Chuyển phương trì nh (bpt) ban đầu về phương trì nh (bpt) ẩn phụ vừa đặt.
Thông thường sau khi đặt ẩn phụ thì phương trì nh thu được thường là những phương
trì nh (bpt) mà ta đã biết cách giải. Khi tì m được nghiệm ta cần chú ý đến điều kiện của
ẩn phụ để chọn những nghiệm thích hợp.
B3: Giải phương trì nh (bpt) với ẩn phụ vừa tì m được và kết luận tập nghiệm.
Có rất nhiều cách để đặt ẩn phụ. Ta đi xét một số dạng phương trì nh (bpt) mà ta thường
hay gặp.
Dạng 1:
n
F( f(x)) 0

, với dạng này ta đặt
n
t f (x)
 (nếu n chẵn thì phải có điều kiện
t 0

) và chuyển về phương trì nh
F(t) 0

giải phương trì nh này ta tì m được
t x

.
Trong dạng này ta thường gặp dạng bậc hai:
af (x) b f(x) c 0
  
.
Ví dụ 1: Giải phương trì nh
2 2

 
             
.
Ví dụ 2: Giải bất phương trì nh :
1)
2 2
x 2x 22 x 2x 24 0
      
2)
2
x 9 x x 9x 6
     
Giải:
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
GV: Nguy
ến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
13
1) Đặt
2
t x 2x 24, ( t 0)
    
2 2 2 2
x 2x 24 t x 2x 22 2 t
         
Bất phương trì nh trở thành:
2 2
2 t t 0 t t 2 0 0 t 1
         
2
2

0 x 9
 
Bất phương trì nh đã cho
2 2
9 2 9x x x 9x 6
      
2 2
9x x 2 9x x 3 0
     
2 2
9x x 3 x 9x 9 0
      
9 3 5 9 3 5
x
2 2
 
  
.
K
ết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trì nh là:
9 3 5 9 3 5
x
2 2
 
 
.
Ví dụ 3 : Tì m m để các phương trì nh sau có nghiệm:
2 2 2
x 2x 2m 5 2x x m
    

 
thì phương trì nh sau luôn có nghiệm:
2 2 2 3
5
x (m ) x 4 2 m 0
3
     
.
Giải:
Đặt
2
t x 4 t 2
   
. Khi đó phương trì nh đã cho trở thành
2 2 3
5
f (t) t (m )t m 2 0
3
     
(*).
Vì
m 0
 
(*) luôn có hai nghiệm t phân biệt (Do
2 2 3
5
(m ) 4(m 2) 0
3
     
) và

3 27 27
      
đúng.
f (2) 0 (*)
  
luôn có một nghiệm
t 2

hay phương trì nh đã cho luôn có nghiệm.
Chú ý : * Nếu tam thức
2
f (x) ax bx+c
  thỏa mãn
af ( ) 0
  
tam thức luôn có
nghiệm và nếu a>0 thì nghiệm đó
 
nếu a<0 thì nghiệm đó
 
.
* Để chứng minh
3 2
4
m 2m 0
3
  
ta có thể sử dụng phương pháp hàm số hoặc BĐT
Dạng 2:
m( f (x) g(x)) 2n f (x).g(x) n(f (x) g(x)) p 0

t 9
t m t 2t 9 2m
2

      
(1)
1) Với
m 3

ta có phương trì nh:
2
t 2t 3 0 t 3
    
thay vào (*) ta được
x 3
(3 x)(6 x) 0
x 6
 

   



.
2) Ph
ương trì nh đã cho có nghiệm
(1)

có nghiệm
t [3;3 2]


 
là những giá trị cần tìm.
Chú ý : Nếu hàm số xác định trên D và có tập giá trị là Y thì phương trì nh
f (x) k

có
nghiệm trên D
k Y
 
.
Ví dụ 2: Giải phương trì nh:
2x 3 x 1 3x 2 (2x 3)(x 1) 16
       
.
Giải: Đk:
x 1
 
.
Đặt
2
t 2x 3 x 1, t 0 t 3x 2 (2x 3)(x 1) 4 (*)
          
Khi đó phương trì nh trở thành:
2 2
t t 20 t t 20 0 t 5
       
Thay
t 5


x 35 x (x 35 x ) 30
   
.
Giải:
Đặt
3
3 3 3
3 3 3 3
3
t 35
t x 35 x t 35 3x 35 x (x 35 x ) x 35 x
3t

            (*)
Phương trì nh đã cho trở thành:
3
t 35
.t 30 t 5
3t

  
thay vào (*) ta có:
3
3 3 3 6 3
x 3
x 35 x 6 x (35 x ) 216 x 35x 216 0
x 2


         

x 1 x
1 x

     


.
Phương trì nh đã cho trở thành:
2
1
2t 5t 2 0 t 2;t
2
       
.
*
2
2
2
2 2
1 x 0
1 x x 1
t 2 2 x .
1 x
x
2
3
1 x
x 1 x
  



  


 
vô nghiệm.
Vậy phương trì nh đã cho có nghiệm duy nhất
1
x
2
  .
Ví dụ 4: Giải bất phương trì nh :
2
7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x
        .
Giải: ĐK
6
x
7

Đặt
2 2
t 7x 7 7x 6, (t 0) 14x 2 49x 7x 42 t 1
          
Bất phương trì nh đã cho trở thành:
2 2
t t 1 181 t t 182 0 0 t 13
         
7x 7 7x 6 13
    

    
.
Đặt
2
1 1
t x , (t 2) x t 1
4x
2 x
      
và bất phương trì nh trở thành:
2 2
5t 2(t 1) 4 2t 5t 2 0 t 2
        
(do
t 2
 )
2
3 2 2
0 x
1
2
t 2 x 3 4x 12x 1 0
4x
3 2 2
x
2


 


4)
4
2 2
x x 1 x x 1 2
     
5)
2
x x 7 2 x 7x 35 2x
     
6)
2 2 2
x x 4 x x 1 2x 2x 9
       
7)
4 1 5
x x 2x
x x x
    
8)
2
4x 3 2x 1 6x 8x 10x 3 16
       
9)
3
2 2
18x 18x 5 3 9x 9x 2
    
10)
2
x x 12 x 1 36

 


7)
2 2
2 2
2
1 x 5 1 x x
( ) 2 0
2 x
x 1 x
1 x

    



9)
12 x x 2 82
(12 x) (x 2)
x 2 12 x 3
 
   
 

Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
GV: Nguy
ến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
18
D

3 2
5 x 1 2(x 2)
  
.
Giải: ĐK:
x 1
 
.
Phương trì nh
2 2
5 (x 1)(x x 1) 2(x x 1) 2(x 1)
        
2 2
x 1 x 1
2 5 2 0
x x 1 x x 1
 
   
   
(Do
2
x x 1 0 x
   
).
Đặt
2
x 1
t , t 0
x x 1


1 x 1 1 5 37
t x 5x 3 0 x
2 4 2
x x 1
 
        
 
.
Nhận xét: Qua cách giải trên ta thấy được cơ sở của phương pháp giải dạng toán này và
cũng là con đường để sáng tác ra những bài toán thuộc dạng trên là xuất phát từ phương
trì nh đẳng cấp hai ẩn dạng
2 2
a ab b 0
     
(có thể bậc cao hơn) ta thay thế a,b bằng
các biểu thức chứa x và biến đổi đi chút ít để che dấu đi bản chất sao cho phương trì nh
thu được dễ nhìn về mặt hình thức và mối quan hệ giữa các đối tượng tham gia trong
phương trì nh càng khó nhận ra thì bài toán càng khó. Do đó với dạng toán này chúng ta
cần biết nhận xét mối quan hệ giữa các biểu thức có mặt trong phương trì nh. Tuy nhiên
nếu khéo léo giấu đi mối quan hệ đó thì việc tìm ra lời giải là một vấn đề hết sức khó
khăn. Ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 2: Giải phương trì nh:
2 2
5x 14x 9 x x 20 5 x 1
      
.
Giải: ĐK
x 5

.

 
 

, ta có phương trì nh:
2
3
2t 5t 3 0 t 1;t
2
     
.
*
2
5 61
x 5 (n)
2
t 1 x 5x 9 0
5 61
x 5 (l)
2


 


     


 



.
Giải: Đặt
2 2 2 2
a x 2x, b 2x 1 3x 4x 1 3a b
        
Phương trì nh trở thành:
2 2 2 2
a b 3a b a ab b 0
      
2
1 5 1 5
a b x 2x 2x 1
2 2
 
     
. Giải phương trì nh này ta được nghiệm
1 5
x
2


và đây là nghiệm duy nhất của phương trì nh đã cho.
Ví dụ 4: Giải phương trì nh:
2 2 2
(x 6x 11) x x 1 2(x 4x 7) x 2
       
.
Giải: ĐK:
x 2


2
t 1 a b x 2x 3 0
      
phương trì nh vô nghiệm.
*
1
t b 2a
2
    
vô nghiệm do
a,b 0

.
*
2
1
t b 3a x 10x 19 0 x 5 6
3
         
.
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trì nh là:
x 5 6
  .
Nhận xét: Xuất phát từ phương trì nh :
(a b)(2a b)(3a b) 0
   
ta thay
2
a x 2;b x x 1
    

  



*
2
x 2x
a x
9x 5x 1 0
 


  

  


vô nghiệm.
*
2
5x 2x
11 85
a 5x x
18
9x 11x 1 0




   

ến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
21
Đặt
4 4
1 x 2
t 1 t (0; )
1 x 1 x

     
 
và phương tì nh trở thành:
2
4 4
4
1 m.t 2 (1 m)(1 m).t 1 m 0 1 m.t 1 m
          
4
1 m
t
1 m

 

.
Phương trì nh đã cho có nghiệm
4
1 m
0 1 m 1
1 m


x 1 x 1
 
 
 
.
Đặt
4 4
x 1 2
t 1 0 t 1 t 1
x 1 x 1

       
 
và phương trì nh trở thành:
2
m
3t 2 3t 2t m
t
     
(*) .
Phương trì nh đã cho có nghiệm
(*)

có nghiệm
t (0;1)

.
Vì
2
1

ì nh thu đượclà một phương trì nh hai ẩn gồm ẩn cũ và ẩn phụ vừa
đặt. Ta xét dạng toán sau.
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
GV: Nguy
ến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
22
D
ạng 4:
a.f(x) g(x) f (x) h(x) 0
  
. Với phương trì nh dạng này ta có thể đặt
t f (x)
 , khi đó ta được phương trì nh theo ẩn t:
2
at g(x)t h(x) 0
  
, ta giải phương
trì nh này theo t, xem x là tham số (Tức là trong phương trì nh vừa có t vừa có x) nên ta
thường gọi dạng này là dạng đặt ẩn phụ không triệt để.
Ví dụ 1: Giải phương trì nh:
2 2
2(1 x) x 2x 1 x 2x 1
     
.
Giải:
Đặt
2
t x 2x 1
  
, ta được phương trì nh:


hệ này vô nghiệm.
Vậy phương trì nh đã cho có hai nghiệm
x 1 6
   .
Ví dụ 2: Giải phương trì nh:
2
12 8x
2x 4 2 2 x
9x 16

   

.
Giải: ĐK:
2 x 2
  
(*).
Ta có:
2 2
12 8x 2(2x 4 4(2 x)) 2[( 2x 4) (2 2 x) ]
        

Phương trì nh:
2
( 2x 4 2 2 x)(2 2x 4 4 2 x 9x 16) 0
        
2
2x 4 2 2 x 0 (1)
2 2x 4 4 2 x 9x 16 (2)


.
*
2
2 2
0 x 2
4 2
t x 2 8 2x x x
3
32 8x x
 


      

 


.
*
2
t x 8 2 8 2x x 8 0
       
phương trì nh này vô nghiệm (do (*)).
V
ậy phương trì nh đã cho có hai nghiệm:
2 4 2
x ;x
3 3
  .


(do
3
x
4

không là nghiệm của
phương tr
ì nh) ta được:
2
6x 2 6x 2
2. (3x 4) x 3x 2 0
3x 4 3x 4
 
     
 
.
Đặt
6x 2
t , t 0.
3x 4

 

Phương trì nh trở thành:
2 2
t x 1
2t (3x 4)t x 3x 2 0
x 2
t



 
        
 


 
 
   




*
3 2
x 2
x 2 6x 2 x 2
t
2 3x 4 2
3x 16x 4x 24 0 (*)


  

   


   


x 2x 2x 2x 1 (x x)
x

     
HD:PT chỉ có nghiệm khi
0 x 1
 
. Đặt
a x(x 1);b 1 x
   
. ĐS:
x 1 2
   ).
3)
3 2 3
x 3x 2 (x 2) 6x 0
    
(Đặt
y x 2
 
. ĐS:
x 2;x 2 2 3
   )
4)
2 3
2(x 3x 2) 3 x 8
   
(
x 3 13
  ).


).
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
GV: Nguy
ến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
25
Đặt ẩn phụ các hàm lượng giác:
Khi giải phương trì nh lượng giác ta thường đặt ẩn phụ cho các hàm số lượng giác và
chuyển về phương trì nh đại số cơ bản mà ta đã biết giải. Tuy nhiên trong nhiều trường
hợp cách làm ngược lại tỏ ra khá hiệu quả, bằng những tính chất của hàm số lượng giác
ta sẽ chuyển bài toán đại số về bài toán lượng giác và giải giải quyết bài toán lượng giác
này.
Chúng ta nên lưu ý đến những tính chất đặc trưng của các hàm số lượng giác:
Với hàm số sin và côsin:
* Tập giá trị của hai hàm số này là
[ 1;1]

.
*
2 2 2 2
sin cos 1 1 sin cos
        
Với hai hàm số tan và cotan
* Tập giá trị là R
*
2 2
2 2
1 1
1 tan ;1 cot
cos sin

2 2 2
1
1 1 cos t 2cos t 2sin t sin t 1 0 sin t
2
        
(do
sin t 0

).
V
ậy
2
3
x cost 1 sin t
2
      là nghiệm của phương trì nh đã cho.
Nhận xét: Cơ sở để dẫn đến cách đặt như trên là miến xác định của
x [ 1;1]
 
và cần
biến đổi
2 2
1 x a
 
. Từ đây ta có được nhận xét tổng quát hơn như sau:
* Nếu
| u(x) | a

thì ta có thể thực hiện phép đặt
u(x) asin t , t [ ; ]