KếT QUả NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG

Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng
Số 14/12-2012

39

Lí THUYT N NH N HI CA DM TIT DIN CH I
Cể MT TRC I XNG CHU TI TRNG NGANG

Bựi Hựng Cng
1Túm tt: Bi bỏo gii thiu hai lý thuyt trong phõn tớch n nh ca dm chu ti
trng ngang bt k, ú l: lý thuyt c in v lý thuyt c xõy dng gn õy bi
Tong v Zhang. Bi bỏo phõn tớch nhng im ging v khỏc nhau gia hai lý
thuyt. Da trờn phõn tớch ú, bi bỏo cú kin ngh b sung vo biu thc th nng
ton phn ca lý thuyt c in. Mt s
vớ d phõn tớch n nh n hi ca dm
c thc hin nhm chng minh vic ỏp dng biu thc th nng ton phn núi
trờn vo phng phỏp phn t hu hn.
T khúa : n nh dm, lý thuyt n nh, th nng ton phn, PTHH.
Summary: The paper introduces two theories in the lateral buckling analysis of
beams subjected to an arbitrary transversal loading, namely: the classical theory
and the new theory developed by Tong and Zhang. The paper analyzes similar and
different points between these two theories. Based on this analysis, the paper has
a proposition to complement the expression of the total potential energy of the
classical theory. Some examples in the elastic lateral buckling analysis of beams
are performed to prove the application of the above expression of the total potential
energy to the finite element method.

KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

Sè 14/12-2012
T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
40
Anderson và Trahair [4], Assadi và Roeder [6], Ings và Trahair [7] khảo sát ảnh hưởng của vị trí
tải trọng trên tiết diện qua các thí nghiệm trên dầm tiết diện chữ I có hai trục đối xứng. Trahair
[8] thiết lập công thức tính biến dạng dọc trục bao gồm thành phần biến dạng tuyến tính và
thành phần biến dạng phi tuyến. Từ đó, lý thuyết mất ổn định tổng thể dầm được thiết lập dựa
trên thế năng toàn ph
ần bằng tổng của thế năng biến dạng tuyến tính, thế năng biến dạng phi
tuyến sinh ra bởi ứng suất pháp dọc trục và công của tải trọng ngoài sinh ra trên chuyển vị bậc
hai khi dầm bị mất ổn định. Kitipornchai [9] cũng thiết lập lý thuyết ổn định tổng thể của dầm
dựa trên phương pháp năng lượng trong đó thế năng toàn phần bằng t
ổng của thế năng biến
dạng đàn hồi, thế năng biến dạng phi tuyến của ứng suất pháp, thế năng biến dạng phi tuyến
của ứng suất tiếp và công của tải trọng ngoài. Kitipornchai [9] chấp nhận gần đúng là ứng suất
tiếp phân bố đều trên tiết diện bằng lực cắt chia cho diện tích tiết diện.
1.1 Thế năng toàn phầ
n theo lý thuyết cổ điển
Tuy các tác giả trên thiết lập các công thức với mức độ phức tạp có khác nhau nhưng
tựu trung có thể gọi là lý thuyết cổ điển về mất ổn định tổng thể của dầm. Một cách tổng quát,
biểu thức thế năng toàn phần trong lý thuyết cổ điển được viết như sau [8]

∑
∫
−−
++++=Π
i
iyiy

lần lượt là tải trọng phân bố đều và tải trọng tập trung tại vị trí i trên chiều dài dầm; θ
i
là
góc xoắn tại tiết diện i có tải trọng tập trung; a là khoảng cách từ tâm cắt của tiết diện đến điểm
đặt của tải trọng; M
x
là mô men uốn trong dầm; β
x
là thông số Wagner thể hiện mức độ không
đối xứng của tiết diện dầm quanh trục x

()
o
A
x
x
yydAyx
I
−+=
∫
22
2
1
β
(2)
với y
o
là khoảng cách theo trục y từ trọng tâm tiết diện đến tâm cắt của tiết diện (khi tiết diện đối
xứng theo cả hai trục β
x

41
Ba số hạng đầu trong biểu thức (1) lần lượt xét thế năng biến dạng tuyến tính khi uốn
quanh trục y, khi xoắn kiềm chế và khi xoắn thuần túy; số hạng thứ tư xét đến hiệu ứng Wagner
trong dầm thành mỏng có một trục đối xứng; số hạng thứ năm là công của mô men M
x
θ trên độ
cong u” (M
x
θ là thành phần mô men quanh trục y khi chiếu véctơ mô men M
x
lên trục y ở trạng
thái mất ổn định); và hai số hạng cuối cùng là công của của lực phân bố đều và các lực tập
trung gây ra trên các hiệu ứng bậc hai của chuyển vị khi dầm bị mất ổn định (hình 1).
1.2. Thế năng toàn phần theo lý thuyết của Tong và Zhang
Gần đây, Tong và Zhang [10] xây dựng một lý thuyết mới về mất ổn định tổng thể của
dầm dựa trên nguyên lý bi
ến phân và lý thuyết vỏ mỏng. Thế năng toàn phần được thiết lập
như sau:

∑
∫
+−+−−+
−+++=Π
i
ixyixyyxy
L
xxxty
aPdzaquQQ
uMMGIEIuEI
22''

2
1
θ
và
∫
L
x
dzuM
0
"
2
2
1
θ
. Khi thiết lập
các công thức (1) và (3), cả hai lý thuyết đều bỏ qua chuyển vị của dầm trong mặt phẳng uốn.
Bài báo đặt ra vấn đề so sánh hai lý thuyết trong một số trường hợp cụ thể hay gặp, từ
đó bổ sung thích hợp vào lý thuyết cổ điển để có sự thống nhất với lý thuyết của Tong và
Zhang.
2. Dầm đơn giản
MM
xx
q
y
L
z
y
P
y
M

(4)
- Theo lý thuyết của Tong and Zhang, từ biểu thức (3) nhận được

dzuMMGIEIuEI
L
xxxty
∫
−+++=Π
0
'22'2"2"
]'2)'(2)()()([
2
1
θθβθθ
ω
(5)
Lấy tích phân từng phần số hạng thứ năm trong biểu thức (5)

∫∫∫
=+−=−
L
x
L
x
L
x
L
x
dzuMdzuMuMdzuM
0

y
L
xxxty
]
2)'(2)()()([
2
1
2
0
"22'2"2"
θ
θθβθθ
ω
−
++++=Π
∫
(7)
- Theo lý thuyết của Tong and Zhang

dzaquQQ
uMMGIEIuEI
xyyxy
L
xxxty
])(22
'2)'(2)()()([
2
1
2''
0

1
θθθθθ
(9)
Biểu thức (8) được viết lại

dzaqQ
uMMGIEIuEI
xyxy
L
xxxty
])(2
)'(2)'(2)()()([
2
1
2'
0
'22'2"2"
θβθθβ
θθβθθ
ω
+−+
−+++=Π
∫
(10)
Lấy tích phân từng phần số hạng thứ năm và thứ sáu trong biểu thức (10)

∫∫∫
=+−=−
L
x

L
xy
L
xy
L
xy
dzqdzQQdzQ
0
2
0
2'
0
2
0
'
2
1
)(
2
1
2
1
2
2
1
θβθβθβθθβ
(12)
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng

∫
(13)
Như vậy, lý thuyết của Tong and Zhang hoàn toàn giống lý thuyết cổ điển trong trường
hợp dầm đơn giản chịu tải trọng phân bố đều.
2.3 Dầm đơn giản chịu tải trọng tập trung ở giữa nhịp
- Theo lý thuyết cổ điển:

2
2
0
"22'2"2"
2
1
]2)'(2)()()([
2
1
Ly
L
xxxty
aP
dzuMMGIEIuEI
θ
θθβθθ
ω
−
++++=Π
∫
(14)
- Theo lý thuyết của Tong và Zhang, và từ (9):


y
P
q =
. Xét

2
2
2
2
2
2
2
2'
2
2
2'
2
0
2'
0
2'
0
2
0
'
2
1
2
1
)(

L
xy
L
xy
PdzqdzQdzQ
dzQdzQQdzQ
θβθβθβθβ
θβθβθβθθβ
η
η
η
η
η
η
η
==−−
−=−=
∫∫∫
∫∫∫
+
−+
+
−
−
(16)
Công thức (16) được chứng minh do trên đoạn dầm có lực cắt phân bố đều thì Q’
y
=0.
Theo (11) và (16), biểu thức (15) biến đổi thành:


∑
∫
−
++++=Π
i
iyi
L
xxxty
aP
dzuMMGIEIuEI
2
0
"22'2"2"
2
1
]2)'(2)()()([
2
1
θ
θθβθθ
ω
(18)

∑
∫
−
−+++=Π
i
iyi
L

ω
(20)
- Theo lý thuyết của Tong và Zhang

dzuMMGIEIuEI
L
xxxty
∫
−+++=Π
0
'22'2"2"
]'2)'(2)()()([
2
1
θθβθθ
ω
(21)
Như vậy, lý thuyết cổ điển và lý thuyết của Tong và Zhang khác nhau ở số hạng thứ
năm. Trước Tong và Zhang, Trahair [8] đã đề nghị bổ sung vào thế năng toàn phần của lý
thuyết cổ điển phần công do mô men uốn ở đầu tự do sinh ra trên chuyển vị bậc hai khi dầm
công xôn bị mất ổn định. Để thuận lợi cho trình bày, xét trường hợp dầm công xôn tiết diện chữ
I có hai trục đối xứng. Phân tích mô men ở đầu tự do của công xôn thành ngẫu lực như hình 3.
θ
h
L
u
L
x
M
X
/
h
X
M/
h
X

Hình 3. Chuyển vị bậc hai ở đầu tự do khi dầm công xôn bị mất ổn định
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 14/12-2012

45
Phần công do ngẫu lực sinh ra trên chuyển vị bậc hai khi dầm công xôn bị mất ổn định là:

'
'
2
2
LLx
LL
x
uM
uh

L
x
L
x
dzuMuMdzuMuMdzuM
0
'''
0
''
0
'
0
''
2
2
1
2
2
1
2
2
1
θθθθθ
(23)
Công thức (23) được chứng minh do tại ngàm (z=0) thì θ
0
=u’
0
=0.
Thế năng toàn phần theo lý thuyết cổ điển được bổ sung bởi phần công ngoài sinh ra do

θθβθθ
ω
(24)
Trong đó: m
x
là mô men phân bố đều trên dầm; M
xi
là mô men tập trung tại vị trí i trên
dầm; θ
i
và u’
i
lần lượt là góc xoắn và góc xoay quanh trục y tại tiết diện i.
3.2 Dầm công xôn chịu tải trọng phân bố đều
Trong trường hợp này, các công thức (11) và (12) vẫn được chứng minh do ở đầu ngàm
θ
0
=u’
0
=0, còn ở đầu tự do Q
y
=0. Do vậy, biểu thức (13) vẫn có giá trị và lý thuyết Tong và
Zhang hoàn toàn giống lý thuyết cổ điển.
3.3 Dầm công xôn chịu lực tập trung ở đầu tự do
- Theo lý thuyết cổ điển

2
0
"22'2"2"
2

')'(2)'(2)()()([
2
1
Lxyxy
L
xxxty
aPdzQ
uMMGIEIuEI



++
+++=

(26)
Bi vỡ

2
0
2'
0
2
0
'
2
1
)(
2
1
2

2
0
"22'2"2"
2
1
]2)'(2)()()([
2
1
Ly
L
xxxty
aP
dzuMMGIEIuEI




++++=

(28)
Lý thuyt Tong v Zhang hon ton ging lý thuyt c in trong trng hp dm cụng
xụn chu ti tp trung ti u t do.
4. Vớ d tớnh toỏn
Tỏc gi ó vit mt chng trỡnh s dng phn t hu hn (PTHH) mụ hỡnh chuyn v
c vit bng ngụn ng Matlab. u tiờn, PTHH c xõy dng da trờn biu thc th nng
ton phn ca dm chu un ngang phng nh
m xỏc nh mụmen un trong dm. Sau ú, biu
thc th nng ton phn (24) trong phõn tớch n nh n hi tuyn tớnh c ỏp dng vo
PTHH ú xỏc nh tr riờng v vộct riờng. Cú tr riờng v vộct riờng, chng trỡnh s xỏc
nh lc ti hn v cho hỡnh nh mt n nh tng th ca dm. Da trờn bi bỏo trc õy ca

Số 14/12-2012

47
Xột dm n gin v dm cụng xụn cú cựng tit din ch I vi hai trc i xng nh hỡnh
4. Dm n gin cú nhp l 10m, dm cụng xụn cú nhp l 5m. Ti trng tỏc dng t ti trng
tõm tit din.
- Trng hp dm n gin: theo Trahair [8] v Eurocode 3 [12], cụng thc tớnh mụmen
ti hn ca dm n gin nhp L, chu un ngang phng c vit nh sau:

ocrmcr
MM

= (29)
trong ú, M
ocr
l mụmen ti hn trong trng hp dm chu mụmen un thun tỳy [1].









+=
2
2
2
2

2
2
2
)2()2( L
EI
GI
L
EI
M
t
y
cr



(31)
+ Khi dm cụng xụn chu ti trng phõn b u:









+= )2(7108.82565.23
t
ty
cr

Cỏc kt qu tớnh toỏn theo phng phỏp PTHH v theo cỏc cụng thc (29)-(33) c th
hin trong Bng 1. Ta nhn thy rng sai s hu ht l rt nh (1.3%), tr trng hp dm
cụng xụn chu ti trng tp trung u t do cú sai s l 3.2%, iu ú cú th gii thớch do
cụng thc (33) cng l cụng thc gn ỳng. T Bng 1, ta nhn thy dm n gin nhp L v
d
m cụng xụn nhp
2
L
cựng chu mụmen un thun tỳy cú mụmen ti hn gn bng nhau.
Trong Bng 1 cũn cú kt qu mụmen ti hn ca trng hp dm cụng xụn chu cỏc mụ men
tp trung v chu mụmen phõn b u, do khụng cú kt qu c cụng b ca cỏc tỏc gi khỏc
nờn khụng cú sai s so sỏnh. Tuy nhiờn, ta thy khi tng s lng mụ men tp trung trờn dm
thỡ kt qu mụ men ti hn s tim cn n trng hp dm cụng xụn chu mụ men phõn b
u. Mụmen t
i hn trong trng hp mụmen phõn b u cú kt qu nh hn trng hp
dm cụng xụn chu ti trng tp trung u t do mc dự biu mụmen ni lc ca hai
trng hp ny cú dng phõn b tuyn tớnh ging nhau. iu ny cú th gii thớch l do nh
hng ca phn cụng ngoi lc do mụmen phõn b u sinh ra trờn cỏc chuyn v bc 2 khi
dm cụng xụn b
mt n nh nh ó th hin s hng th 7 trong biu thc th nng ton
phn (24). Hỡnh 5 v hỡnh 6 minh ha cho hỡnh nh mt n nh ca dm n gin chu ti trng
phõn b u v dm cụng xụn chu lc tp trung u t do.
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

Sè 14/12-2012
T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
48
Bảng 1. Mômen tới hạn của dầm đơn giản và dầm công xôn chịu uốn ngang phẳng
Sơ đồ
dầm

q
y

794.72 795.34 0.08%

P
y

373.01 384.96 3.2%
Dầm công xôn
2M
x
M
x

- 157.37 -

2M
x
M
x
2M
x
2M
x

- 198.28 -
Có 8 mô men tập trung - 216.39 -
=6.0e+07 cm
β =−360.22
mm
a = 111.11 mm
y =279.13 mm
y
4
t
4
6
ω
MM
a
y
o
30
x
q
y
P
y
P =q L/2
y
L
L/3L/3 L/3
y
600
E=2.05e+05 N/mm
2


KếT QUả NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG

Số 14/12-2012
Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng
50
- Theo s 2: khi hai dm ph liờn kt bng mt vo dm chớnh nh hỡnh 8. Ta xem
rng dm ph ngn cn chuyn v thng theo phng dc trc dm ph v chuyn v xon ca
tit din dm chớnh ti v trớ liờn kt. Ti trng c t ti cỏnh trờn ca dm chớnh. Mụ men ti
hn trong trng hp ny c l: M
cr
= 402.02 Tm. So vi s 1, mụ men ti hn tng lờn
402.02
3.74
107.52
=
ln. Hỡnh nh mt n nh c th hin Hỡnh 9, ta nhn thy dm b mt n
nh on 1/3 dm gia nhp ni cú mụmen ni lc ln cũn cỏc on 1/3 dm hai u dm
ni cú mụmen bộ khụng b mt n nh cú tỏc dng lm tng kh nng n nh ca dm.

Hỡnh 9. Mt n nh tng th dm - S 2
5. Kt lun
Lý thuyt n nh tng th ca dm c ngh bi Tong v Zhang trựng vi lý thuyt
c in trong a s cỏc trng hp. Hai lý thuyt khỏc nhau khi xột trng hp dm cụng xụn
chu mụ men tp trung u t do. Tuy nhiờn, khi b sung phn cụng sinh ra do mụ men tp
trung trờn chuyn v bc hai khi dm b
mt n nh vo biu thc th nng ton phn ca lý
thuyt c in nh Trahair [8] ngh thỡ lý thuyt c in s ging lý thuyt ca Tong v
Zhang. Da trờn ngh ca Trahair, chỳng tụi kin ngh biu thc (24) tng quỏt hn ca th
nng ton phn theo lý thuyt c in, xột n trng hp trờn dm cú mụ men un phõn b


8. Trahair N.S. (1993), Flexural-torsional buckling of structures. London: E&FN SPON.
9. Kitipornchai S. and Chan S.L (1988), Stability and nonlinear finite element analysis of thin-
walled structures. In: Finite element applications to thin-walled structures, edited by John W.
Bull. Elsevier applied science.
10. Zhang L. and Tong G.S (2004), “Flexural-torsional buckling of thin-walled beam members
based on shell buckling theory”, Thin-walled Structures; 42(12): 1665-1687.
11. Bùi Hùng Cường (2010), “Tính toán các đặc trưng hình học của tiết diện thanh thành mỏng
hở”, Tạp chí Khoa học công nghệ Xây dựng, trường Đại học Xây dựng, số 8: 16-28.
12. Bourrier, P. et Brozzetti (1996), J. Construction métallique et mixte acier-béton. Partie 1:
Calcul et dimensionnement selon les Eurocodes 3 et 4, Eyrolles.