đại học quốc gia hà nội viện khoa học và công nghệ việt nam
Trờng đại học công nghệ viện cơ học
NGUYễN NHƯ HIếU NGHIÊN CứU DAO Động ngẫu nhiên phi tuyến
bằng phơng pháp
tuyến tính hóa tơng đơng

Luận văn thạc sĩ


Chuyên ngành: Cơ học Vật thể rắn

Mẫ số: 60 44 21
Luận văn thạc sĩ

Ngời hớng dẫn khoa học: ts. Trần Dơng Trí
Hà Nội - 2011
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi và chưa
được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Các kết quả trong
luận văn là trung thực.
Người cam đoan
Nguyễn Như Hiếu
Lời cảm ơn
Tôi chân thành cám ơn các thầy, cô của trường Đại học Công nghệ,
Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt là các thầy, cô trong Khoa Cơ
học kỹ thuật và Tự động hóa đã giúp đỡ và chỉ bảo tận tình trong

2.3.2. Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh hai bước cho hệ Lutes-Sarkani 33
Chương 3. Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho bài toán dao
động của dầm 35
3.1. Phương trình dao động của dầm 35
3.2. Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh cho bài toán dao động của dầm 39
KẾT LUẬN 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO 49
PHỤ LỤC 50
2
DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ HÌNH VẼ
CÁC BẢNG
Trang
Bảng 1.
Đáp ứng bình phương trung bình của hệ Duffing với các tham số
0.5,h 
2
0
1, 2
 
 

17
Bảng 2.
Đáp ứng bình phương trung bình của hệ Van der Pol với các tham số
0.2,


0
1, 2
 

0, 0.1
 
 

45
Hình 2.
Đáp ứng bình phương trung bình
2
1
E w
 
 
theo tham số
R
với
0
1,S 
1, 0.1
 
 

45
Hình 3.
Đáp ứng bình phương trung bình
2
1
E w
 
 
theo tham số

này, có lớp các bài toán quan trọng là dao động ngẫu nhiên phi tuyến của các hệ động
lực. Ta thường bắt gặp những hệ ngẫu nhiên phi tuyến trong thực tế như dao động của
các kết cấu xây dựng, nhà cao tầng hay những cây cầu dây văng chịu tác động của tải
trọng gió hay kích động động đất, các công trình cảng sông, cảng biển hay những giàn
khoan chịu tác động của các tải trọng sóng hay cũng có thể là dao động của các máy
trong các nhà máy xí nghiệp trong quá trình hoạt động của chúng Ta có thể đặt vấn
đề làm thế nào để tăng cường tuổi thọ và duy trì độ bền của các hệ cơ học nói trên
Nhiều mô hình toán học được đưa ra để phục vụ thực tiễn đó. Các phương trình toán
học được mô tả và giải quyết dưới nhiều phương diện khác nhau. Với hệ động lực phi
tuyến, người ta bắt gặp các phương trình phi tuyến yếu và các phương trình phi tuyến
mạnh. Phương trình phi tuyến yếu được quan tâm nghiên cứu và phát triển với nhiều
phương pháp khác nhau trong những thập kỷ gần đây. Có thể kể đến một trong những
phương pháp phổ biến nhất là phương pháp tuyến tính hóa tương đương hay phương
pháp tuyến tính hóa thống kê. Đây là phương pháp được đưa ra đồng thời trong những
năm 50 của thế kỷ trước bởi các tác giả Booton [1], Kazakov [2], Caughey [3, 4]. Tuy
nhiên ý tưởng của phương pháp này đã được nhen nhóm từ trước đó. Ban đầu phương
pháp tuyến tính hóa được trình bày cho các hệ tiền định, cơ sở toán học của nó được
đề cập trong [5] bởi Krylov và Bogoluboff. Đến Caughey, ông áp dụng phương pháp
tuyến tính hóa cho các hệ phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên. Ông gọi phương pháp
này là “phương pháp tuyến tính hóa tương đương”. Còn tên gọi “phương pháp tuyến
tính hóa thống kê” được trình bày bởi Booton và Kazakov. Điều thú vị là phương pháp
không ngừng được cải tiến và được đóng góp bởi nhiều tác giả [6-23] sao cho nó giải
quyết phù hợp với từng loại bài toán khác nhau chẳng hạn các bài toán liên quan đến
các không gian trạng thái, miền các tần số, không gian các hàm đặc trưng [11].
Phương pháp dựa trên các tiêu chuẩn tuyến tính hóa để tìm ra các công thức dạng ẩn
hoặc dạng hiện cho hệ số tuyến tính hóa. Hệ số này phụ thuộc vào đặc trưng đáp ứng
chưa biết (như giá trị trung bình, các tương quan, các mô men bậc cao ). Tuy nhiên
khi áp dụng phương pháp vào các phương trình phi tuyến mạnh thì gặp phải các sai số
lớn hơn so với việc áp dụng nó vào các hệ phi tuyến yếu. Vì vậy nhu cầu cải tiến
phương pháp là cần thiết cho việc giải quyết các hệ phi tuyến mạnh. Điều này là một

toán dao động của dầm Euler-Bernoulli chịu kích động ngoài ngẫu nhiên.
Trong khuôn khổ luận văn, tác giả chỉ trình bày một số hệ phi tuyến điển hình với việc
sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương để nghiên cứu đáp ứng của các hệ
đó. Trong quá trình thực hiện luận văn này tác giả đã hết sức cố gắng nhưng chắc chắn
rằng không tránh khỏi những khiếm khuyết, tác giả mong nhận được ý kiến đóng góp
của quý thầy cô và các bạn.
Chương 1
Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa
tương đương
1.1. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do
1.1.1. Phương trình vi phân chuyển động
Trong phần này ta xét hệ dao động nhiều bậc tự do có phương trình chuyển
động được cho dưới dạng sau đây
 
 
, , ,MX CX KX X X X U t    
   
(1.1)
trong đó
, ,X X X
 
là các véc tơ vị trí, vận tốc và gia tốc của hệ,
 
1 2

T
n
X X X X
,
các ma trận vuông cấp

T
n
X X X X X X X X X X X X
 
    
 
       
là một véc tơ
n
thành
phần, véc tơ
 
1 2

T
n
U U U U
là một quá trình ngẫu nhiên có
n
thành phần. Nếu
hệ (1.1) không chứa thành phần phi tuyến

thì nó có dạng một hệ phương trình vi
phân tuyến tính hệ số hằng số được biết trong lý thuyết dao động ngẫu nhiên tuyến
tính. Vì rất khó để tìm được nghiệm chính xác của hệ phi tuyến (1.1) nên người ta sẽ
tìm cách xây dựng nghiệm xấp xỉ bằng nhiều phương pháp gần đúng khác nhau [11].
Phương pháp tuyến tính hóa tương đương là một trong những phương pháp điển hình
để nghiên cứu các hệ ngẫu nhiên phi tuyến. Ý tưởng của phương pháp tuyến tính hóa
tương đương cho hệ nhiều bậc tự do nói chung và hệ một bậc tự do nói riêng là sự thay
thế thành phần phi tuyến của hệ bằng một thành phần tuyến tính tương ứng với việc sử

, ,
, , .
e e e
e e e
e MX CX KX X X X M M X C C X K K X
X X X M X C X K X
           
    
     
   
(1.3)
Các ma trận
, ,
e e e
M C K
được xác định sao cho nghiệm
 
X t
của hệ tuyến tính hóa
(1.2) là một xấp xỉ “tốt nhất” của nghiệm hệ phi tuyến (1.1). Vì nghiệm của hệ tuyến
tính hóa phụ thuộc vào
,
e e
M C
và
e
K
nên người ta phải thiết lập một hệ kín giữa ba
ma trận này và đáp ứng
 

e
ij
E e e i j n
m

 
 
 

(1.5)
 
0 , 1, ,
T
e
ij
E e e i j n
c

 
 
 

(1.6)
 
0 , 1, .
T
e
ij
E e e i j n
k

n
e e e e
.
7
Sử dụng tính chất tuyến tính của toán tử kỳ vọng, điều kiện (1.8) dẫn tới
2
, ,
1
min
e e e
ij ij ij
n
i
m c k
i
D



(1.9)
với
i
D
được định nghĩa bởi
 
2 2
1, ,
i i
D E e i n
 

chỉ phụ thuộc vào
e e
ij ij
,m c
và
e
ij
k
(
1,j n
)
do đó điều kiện (1.9) được thay thế bởi điều kiện đơn giản hơn sau đây [9]
2
, ,
min .
e e e
ij ij ij
i
m c k
D 
(1.12)
Tức là ta có các phương trình:
 
2
0 , 1, ,
i
e
ij
D i j n
m

 
 
2
1
1
1
-
2 -
2 2 .
n
e e e
i is s is s is s
e
s
ij
n
e e e
i is s is s is s j
s
n
e e e
j i is s j is s j is s j
s
E m X c X k X
m
E m X c X k X X
E X m E X X c E X X k E X X




.
n
e e e
is s j is s j is s j j i
s
m E X X c E X X k E X X E X

       
   
       

     
(1.17)
8
Hoàn toàn tương tự, hai phương trình (1.14) và (1.15) tương đương với lần lượt hai
phương trình sau đây
 
1
,
n
e e e
is s j is s j is s j j i
s
m E X X c E X X k E X X E X

       
   
       

     

e T e T e T T
i i i i
M E XX C E XX K E XX E X
       
   
       
     
(1.21)
,
e T e T e T T
i i i i
M E XX C E XX K E XX E X
   
   
   
   
   
 
(1.22)
trong đó
, ,
e e e
i i i
M C K
là các véc tơ hàng thứ
i
của các ma trận
,
e e
M C

     
     
 
 
   
 
   
 
   
 
 
    
   
 
(1.23)
trong đó chú ý rằng ma trận đầu tiên trong vế trái của (1.23) có cỡ là
1 3n
, ma trận thứ
hai có cỡ là
3 3n n
, vế phải có cỡ là
1 3n
. Lấy chuyển vị cả hai vế của (1.23) ta được
.
T
T T
T
T
T T T
T

 
       
 
 
       
 
 
 
 
 
 
       

 
 
       
 
 
 
     
    
(1.24)
Biến đổi các ma trận chuyển vị ta được
9
 
.
T T T
eT
i
i

       

       
   
 
     
    
(1.25)
Ta đưa vào ký hiệu véc tơ

,
X
X X
X
 
 

 
 
 


(1.26)
trong đó chú ý rằng véc tơ

X
có dạng ma trận cỡ
3 1n
. Chuyển vị của véc tơ


M
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
1,i n
). (1.28)
Trong hệ (1.28) với mỗi chỉ số
i
ta có
3n
phương trình với
3n
ẩn chưa biết
, ,
e e e
i i i
M C K
. Do đó hệ này tất cả có
2
3n
phương trình với

 
 
không suy biến, nghĩa là

det 0.
T
E X X
 
 

 
 
 
 
(1.29)
Bây giờ ta chỉ ra rằng ma trận

T
E X X
 
 
 
suy biến khi và chỉ khi ít nhất một thành phần
của

X
có thể biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính qua các thành phần còn lại. Để
chứng minh điều kiện đủ, ta chú rằng, sự phụ thuộc tuyến tính tương đương với sự tồn
tại
3n

T
n n n
v a a a b b b c c c 
(1.32)
Nhân trái hai vế của (1.31) và áp dụng toán tử kỳ vọng vào hai vế, đồng thời chú ý tính
chất tuyến tính của toán tử này ta được

0.
T
E X X v
 

 
 
(1.33)
Vì véc tơ
v
khác không nên từ phương trình (1.33) ta suy ra ma trận

T
E X X
 
 
 
là một
ma trận suy biến.
Để chứng minh điều kiện cần, ta giả sử rằng ma trận

T
E X X

.
T T T
T T
v E X X v E v X X v E X v
 
   
 
 
   
   
 
(1.35)
Từ (1.34) và (1.35) suy ra rằng

 
2
0.
T
E X v
 

 
 
(1.36)
Mà
 
0 0E 
, nên phương trình (1.36) dẫn tới phương trình (1.31). Điều đó có nghĩa
các phần tử của véc tơ


c E
X
 


 

 
 

(1.38)
.
e
i
ij
j
k E
X
 


 

 
 
(1.39)
Các công thức (1.37), (1.38) và (1.39) được sử dụng đầu tiên cho các bài toán dao
động ngẫu nhiên dừng bởi Atalik và Utku năm 1976 (xem [7]), sau đó Spanos [19] chỉ
ra rằng nó vẫn có thể áp dụng được cho bài toán dao động ngẫu nhiên không dừng.
1.1.3. Ma trận mật độ phổ

U
U U U U U U
S S S
S
S S S
  

  
 
 

 
 
 
(1.41)
với
 
i j
U U
S

là phổ chéo của các thành phần
,
i j
U U
(
, 1,i j n
).
Từ hệ tuyến tính hóa tương đương (1.2), hàm truyền của hệ này là
 

e e
K K i C C M
 
 
    
 
(1.43)
12
Các thành phần
 
ij
H

liên quan đến các xung đơn vị
 
ij
h t
bởi phép biến đổi Fourier
sau
   
   
,
1
.
2
i t
ij ij
i t
ij ij
H h t e dt

, .
i ik k j jp p
X h t U d X h t U d
     
 
 
   
 
(1.45)
Từ đó ta tính được mô men bậc hai
       
1 2 1 2 1 2
.
i j ik jp k p
E X X h t h t E U U d d
     
 
 
   
  
   
 
(1.46)
Trong khi đó mô men
   
1 2k p
E U U
 
 
 

 
 
  
 
 
 
     
2 1
1 2
1 2 1 2
1 1 2 1
.
k p
k p
k p
i j ik jp U U
i t i t
ik jp U U
ik jp U U
E X X h t h t S e d d d
h t e d h t e d S d
H H S d
  
   
     
     
   
  
 
  

 
 

(1.49)
13
Từ (1.49) ta có thể chỉ ra rằng ma trận phổ đầu ra
 
X
S

của đáp ứng
 
X t
của (1.2)
có dạng
       
.
T
X U
S H S H
   
 
(1.50)
Khi đó ta có thể viết mô men bậc hai (1.49) như sau
 
,
i j
i j X X
E X X S d
 

Trong phần này ta đề cập tới dao động của hệ một bậc tự chịu kích động ngẫu nhiên ồn
trắng có phương trình như sau
   
2
0
2 , ,x hx x g x x f t

   
  
(1.52)
trong đó hàm phi tuyến
 
,g x x

phụ thuộc vào hai đối số là tọa độ của vị trí
x
và vận
tốc
x

, hàm
 
f t
là một kích động ngoài ngẫu nhiên ồn trắng Gaussian có trung bình
không. Dựa vào (1.2), phương trình tuyến tính hóa tương đương của phương trình phi
tuyến (1.52) có dạng đơn giản hơn như sau
 
 
 
2

b



(1.55)
1
0.
e
k



(1.56)
Giải hệ (1.55)-(1.56) với chú ý rằng
 
0E xx 

ta được
 
2
,
E xg
b
E x

 
 


(1.57)

phương trình nhưng lại có bốn ẩn bao gồm
2 2
, , ,b k E x E x
   
   

. Để đóng kín hệ này ta
cần tới hai phương trình nữa. Dựa vào ma trận của phổ đầu ra được trình bày trong
mục 1.1.3, áp dụng (1.50) và (1.51) cho hệ một bậc tự do, ta có hai phương trình sau
đây để đóng kín hệ (1.57)-(1.58)
 
 
 
2
2
2
2 2 2
0
,
2
f
S d
E x
h b k
 
  


 


trong đó
 
f
S

là hàm mật độ phổ của kích động ngoài
 
f t
. Với kích động ồn trắng
ta có
 
0
const
f
S S

 
. Do đó, sử dụng định lý giá trị thặng dư trong lý thuyết hàm
biến phức ta có thể tính được hai tích phân suy rộng (1.59) và (1.60) dưới dạng kết quả
sau
 
 
2
0
2
0
2
,
2 2
S

 
2 3
0
2 ,x hx x x t
  
   
 
(1.63)
trong đó hàm phi tuyến là hàm bậc ba đối với tọa độ
x
với tham số phi tuyến

được
giả sử là dương. Kích động ngoài
 
t

là kích động ồn trắng cường độ đơn vị với hàm
tương quan
 
R t

cho bởi
       
,R E t t

     
  
 
 


là các quá trình Gaussian độc lập, hay các quá trình chuẩn. Ta
có công thức sau đây rút ra từ quá trình chuẩn
x
 
 
2 2
2 1 !!
n
n
E x n E x
   
 
   
(
1,2,3 n 
). (1.67)
Sử dụng (1.67), biểu thức của
k
trong (1.66) có dạng
2
3 .k E x

 

 
(1.68)
Từ biểu thức (1.68), phương trình tuyến tính hóa của (1.63) là
 
 

(1.70)
Nếu nói đến mật độ phổ hằng số
0
S
của kích động đầu vào thì ta chú ý quan hệ giữa
2

và
0
S
cho bởi
2
0
2 .S
 

(1.71)
Giải phương trình (1.70) với ẩn
2
E x
 
 
ta thu được
2
2 2 4
0 0
1 3
.
6
E x


 
 
  
 
 
 
 
(1.73)
trong đó hằng số
A
được tìm từ điều kiện chuẩn hóa của hàm
 
p x
1 2 2 4
0
2
4 1 1
exp .
2 4
h
A x x dx
 




 
 
  






 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 


(1.75)
Kết quả tính toán số đáp ứng bình phương trung bình (1.72) và nghiệm chính xác (1.75)
theo sự thay đổi của tham số phi tuyến

được trình bày trong Bảng 1.
17

0.4343
7.1938
5.0
0.2543
0.2270
10.7384
10
0.1889
0.1667
11.7721
50
0.0904
0.0784
13.2721
100
0.0650
0.0561
13.6491
Quan sát bảng ta nhận thấy rằng khi tham số

(
0.1


) nhỏ thì phương pháp tuyến
tính hóa tương đương (phương pháp kinh điển) cho kết quả của đáp ứng bình phương
trung bình
2
kd
E x

trong đó
0
, , ,
   
là các hằng số dương cho trước, hàm
 
t

là quá trình ngẫu nhiên
ồn trắng trung bình không, cường độ đơn vị và có hàm tương quan dưới dạng (1.64).
Áp dụng (1.57)-(1.58) cho hàm
.
2
g x x


ta thu được các hệ số tuyến tính hóa của
phương trình tuyến tính hóa của phương trình phi tuyến (1.76) là
2
,b E x

 

 
(1.77)
0.k 
(1.78)
18
Do đó phương trình tuyến tính hóa của (1.76) có dạng
 

 
 
 
 
(1.80)
Giải phương trình (1.80) với ẩn
2
E x
 
 
ta được
2
2 2
2
0
1 2
.
2
E x

 
 
 
 
  
 
 
 
 
(1.81)

0.20
0.3638
0.2791
23.2741
1.00
0.7325
0.5525
24.5742
2.00
1.0255
0.7589
25.9998
4.00
1.4525
1.0512
27.6248
Quan sát Bảng 2 ta thấy rằng sai số của đáp ứng bình phương trung bình
2
kd
E x
 
 
của
phương pháp kinh điển tính theo công thức (1.81) so với đáp ứng bình phương trung
bình
2
MC
E x
 
 

f t
được cho dưới dạng sau đây
   
2
0
2 , ,z hz z g z z f t

   
  
(2.1)
trong đó các hằng số dương
0
,h

cho trước, hàm phi tuyến
 
,g z z

được giả thiết có
dạng đa thức của các đối số
z
và
z

 
 
2 2 1 2 2 1
0 0
, ,
n n




(2.3)
2 2 1
,
p q
pq pq
z z z
 


 
(2.4)
trong đó
,
pq pq
 
được tìm từ tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình nhỏ nhất
 
2
2 2 1
min,
pq
p q
pq pq
E z z z

 


,g z z

bằng một
con đường khác với phương pháp tuyến tính hóa kinh điển. Trước tiên số hạng phi
tuyến được thay thế bằng một số hạng phi tuyến bậc cao hơn, số hạng phi tuyến bậc
cao này lại được thay thế bởi số hạng phi tuyến cùng bậc với số hạng phi tuyến ban
đầu, cuối cùng ta mới thay thế bởi một số hạng tuyến tính. Cụ thể ta có
2 2 1p q
pq
z z



được thay thế bởi
 
   
 
1 1
2 2 1 2 2 4 4 1p q p q p q
pq pq
z z z z z z
 
 

  
, sau đó số hạng này được thay thế
bởi
 
2
2 2 1p q

  
  
(2.7)
Tương tự
     
1 2 3
2 2 1 4 4 1 2 2 1
,
p q p q p q
pq pq pq pq
z z z z z z z
   
  
  
   
(2.8)
trong đó các hệ số
   
 
, 1,2,3
k k
pq pq
k
 

được tìm từ tiêu chuẩn sai số bình phương trung
bình áp dụng cho mỗi bước thay thế. Tức là với mỗi bước thay thế, sai số bình phương
trung bình giữa các số hạng phi tuyến được cực tiểu hóa theo các tham số tương ứng.
Với sơ đồ (2.7) ta có các tiêu chuẩn sau đây để xác định các hệ số
 

1 2
4 4 1 2 2 1
min,
pq
p q p q
pq pq
E z z z z

 
 
 
 
 
 
 
(2.10)
   
 
 
3
2
2 3
2 2 1
min.
pq
p q
pq pq
E z z z

 

1
0,
p q p q
pq pq
pq
E z z z z
 

 

 
 
 
 

 
(2.12)