Bài tập lớn
C hc vt liu v kt cu Composite
Tính toán tấm Composite
Số liệu đầu bài: I B 2 b -

Cho tấm Composite có kích thớc và chịu tảI trọng nh hình vẽ:
X
Z
0,2 0,3 0,3 0,3 0,3 0,2
1,6mm
a = 1,5m
1
2
3
4
5
6
Y
b

=

1
m
O
q
Số liệu:
Tấm Composite hình chữ nhật gồm 6 lớp, có liên kết khớp trên biên.
Tấm cấu tạo lớp chữ thập đặt đối xứng (I): (0; 90; 0)
đx
. Mỗi lớp là vật liệu trực


theo (2-19) [1]:
0225,0
120
9
.3,0.
1
2
1221
===
E
E

NCS. Lê Xuân Tùng Lớp: Cao học Xây dựng 07
1
Bài tập lớn
C hc vt liu v kt cu Composite
1. Xác định ma trận độ cứng [Q] trong hệ trục chính vật liệu 12 theo
(2-21) [1]:
GPa 82,120
0225,0.3,01
120
1
2112
1
11
=

=


==


E
QQ
GPaGQ 8
1266
==
Vậy ma trận độ cứng [Q] tìm đợc là:
[ ]
GPa










=
800
006,972,2
072,282,120
Q
2. Xác định các ma trận độ cứng trong hệ trục xy theo (2-27) [1]:
)()22(
)2()2(
)2()2(

22
6612
4
22
4
11
11
csQcsQQQQQ
scQQQcsQQQQ
csQQQscQQQQ
csQcsQQQQ
csQQcQsQQ
csQQsQcQQ
+++=
=
=
+++=
+++=
+++=
- Các lớp
0
0=

(lớp 1, 3, 4, 6):
1cos ==

c
;
0sin ==


=+++=
[ ]
GPa
800
006,972,2
072,282,120
0










=
o
Q
- Các lớp
0
90=

(lớp 2, 5):
0cos
==

c
;

2244
11
=+++=
==
==
=+++=
=+++=
=+++=
[ ]
GPa
800
082,12072,2
072,206,9
90










=
o
Q
- Các khoảng cách tính toán đến mặt giới hạn các lớp là:
Lp 1: z
o

jj
n
j
ik
tQ )(A
1
ik

=
=

MN/m,GPa.m.,
-
.,.,.,. 26126
3
1026126
3
10)]30(82,120)30(06,9)20(82,120.[2
)z.(z)Q()z.(z)Q()z.(z)Q(
)z.(z)Q()z.(z)Q()z.(z)Q(A
56
0
11
45
90
11
34
0
11
23

90
22
34
0
22
23
0
22
12
90
22
o1
0
22
22
ooo
ooo
=

=++=
=+++
+++=

MN/mGPa.m.
-
.,.,.,. 35,4
3
1035,4
3
10)]30(72,2)30(72,2)20(72,2.[2

== AA
NCS. Lê Xuân Tùng Lớp: Cao học Xây dựng 07
3
Bài tập lớn
C hc vt liu v kt cu Composite
MN/mGPa.m.
-
.,.,.,. 80,12
3
1080,12
3
10)]30(8)30(8)20(8.[2
)z.(z)Q()z.(z)Q()z.(z)Q(
)z.(z)Q()z.(z)Q()z.(z)Q(A
56
0
66
45
90
66
34
0
66
23
0
66
12
90
66o1
0




=










=
4. Ma trận độ cứng uốn xoắn [D]:
Các phần tử ma trận [D] xác định theo công thức (4-34) [1]:
).()(
3
1
D
3
1
3
1
ik
=
=

jjj

5
90
11
3
3
3
4
0
11
3
2
3
3
0
11
3
1
3
2
90
11
3
0
3
1
0
11
11
ooo
ooo

0
22
3
4
3
5
90
22
3
3
3
4
0
22
3
2
3
3
0
22
3
1
3
2
90
22
3
0
3
1

3
5
3
6
0
12
3
4
3
5
90
12
3
3
3
4
0
12
3
2
3
3
0
12
3
1
3
2
90
12

)]z.(z)Q()z.(z)Q()z.(z)Q(
)z.(z)Q()z.(z)Q()z.(z)Q[(
3
1
D
3
333333
3
5
3
6
30
66
3
4
3
5
0
66
3
3
3
4
60-
66
3
2
3
3
60-

)(
73,200
017,1793,0
093,016,27
666261
262221
161211
Nm
DDD
DDD
DDD
D










=








2
0
2
66
0
2
66
0
2
2
0
2
66
2
0
2
11
yxp
y
w
D
yx
w
DD
x
w
D
y
v
A



=


+


+


Tấm liên kết khớp bốn bên do đó hai phơng trình đầu (1) và (2) đợc thoả
mãn khi chọn nghiệm u
0
= 0 và v
0
= 0.
Nghiệm độ võng thoả mãn các điều kiện biên
x = 0, x = a thì w = 0, M
x
= 0
y = 0, y = b thì w = 0, M
y
= 0
Chọn nghiệm độ võng có dạng nh sau:
( )


=



(5)
Với các hệ số
( )

=
a b
mn
dxdy
b
yn
a
xm
yxp
ab
p
0 0
sinsin,
4

Tại y= b/2, ta có:
( )




m
n
mb
q




==





8
0
cos1
2
sin

4
mb
q
m
n
mb
q
p
mn
(6)
- Tính các đạo hàm của hàm w:
b
yn
a
xm

w
mn
m n

sin.sin
5,3,1 5,3,1
4
44
4
4


=

=
=


b
yn
a
xm
W
ba
nm
yx
w
mn
m n


D
b
yn
a
xm
W
ba
nm
DD
b
yn
a
xm
W
a
m
D
mn
m n
mn
m n
mn
m n
mn
m n


sinsin.sinsin
sinsin.
.


=
=+
+++
- Cân bằng các hệ số, ta tìm đợc W
mn
:






+++
=
4
4
22
22
22
6612
4
4
1
4
.
.
.
).2.(2
.

22
6612
4
4
1
4
.
.
.
.2.2
.
1
.

8
b
n
D
ba
nm
DD
a
mD
mb
q
W
mn

(7)
Thay (7) vào (4) ta đợc phơng trình tổng quát của độ võng:

4
4
22
22
22
6612
4
4
1
4
5,3,1 5,3,1






+++
=


=

=
(8)
Viết gọn:
b
yn
a
xm

M D D D







=



(10)
Với:
2
2
)8(
x
w
x


=

;
2
2

5
4
4
22
22
4
4
4
11
.53,3
1
1
.17,17
1.5,1
1.1
).73,2.293,0.(2
5,1
1.16,27

8


qq
W =







13
.181
1
3
.17,17
1.5,1
3.1
).73,2.293,0.(2
5,1
1.16,27
1.1
8


qq
W =






+++
=
- Độ võng lớn nhất của tấm tại điểm giữa tấm (x; y) = (a/2; b/2), ta có:
55555
.6,3.181.53,3
2
3
sin

31
.57,188
1
1
.17,17
1.5,1
1.3
).73,2.293,0.(2
5,1
3.16,27
1.3
8


qq
W =






+++
=
- Độ võng lớn nhất của tấm tại điểm giữa tấm (x; y) = (a/2; b/2), ta có:
55555
.59,3.57,188.53,3
2
sin
2

y
a
xq
yxw
.
sin
.
sin.
.53,3
),(
5


=
(14)
- Các biến dạng uốn xoắn:

b
y
a
x
a
q
x
w
x



sinsin.


=

b
y
a
x
ba
q
yx
w
xy



coscos
.
.
.53,3
2
2
2
5
2
=


=
- Quan hệ ứng lực, biến dạng:
























=











coscos
53,3
2
sinsin
53,3
sinsin
53,3
.
73,200
017,1793,0
093,016,27
3
23
23

b
y
a
x
q
b
y
a
x
b
q
a

b
q
a
q
M
y


sinsin.163,0sinsin
53,3
.17,17
53,3
.93,0
2323
=






+=
(16)

b
y
a
x
b
y

0=
xy
M
- Biểu đồ mômen uốn trên mặt cắt x = a/2:

O
M
x
y
bb/2
0,119q

O
M
y
y
bb/2
0,163q
NCS. Lê Xuân Tùng Lớp: Cao học Xây dựng 07
8
Bài tập lớn
C hc vt liu v kt cu Composite
Hình 1: Biểu đồ M
X
Hình 2: Biểu đồ M
Y
V. Vẽ biểu đồ ứng suất pháp theo chiều dày của tấm tại điểm
x=a/2, y=b/2 khi lấy một số hạng của chuỗi (m=n=1).
- Quan hệ ứng suất, biến dạng đối với lớp thứ i trong toạ độ xy:


+ Các lớp

=0
0
(lớp 1, 3, 4, 6):


























y
a
x
a
q
xy
yy
xx
.coscos
53,3
2
.sinsin
53,3
.sinsin
53,3
800
006,972,2
072,282,120
3
23
23












+=

z
b
y
a
x
qz
b
y
a
x
b
q
a
q
yy
.sinsin.094,0.sinsin
53,3
06,9
53,3
.72,2
2323



=






=
Tại (x; y) = (a/2; b/2), ta có:

zq
xx
516,0=

;
zq
yy
094,0=

;
0=
xy

.
+ Các lớp

=90
0
(lớp 2, 5):










z
b
y
a
x
ba
q
z
b
y
a
x
b
q
z
b
y
a
x
a
q
xy
yy
xx
.coscos

a
x
b
q
a
q
xx
.sinsin.062,0.sinsin
53,3
.72,2
53,3
06,9
2323



=






+=
NCS. Lê Xuân Tùng Lớp: Cao học Xây dựng 07
9
Bài tập lớn
C hc vt liu v kt cu Composite

z

+=

z
b
y
a
x
qz
b
y
a
x
ba
q
xy
.coscos.098,0.coscos
53,3
.16
3



=






=

0,037q
0,037q
0,019q
0,413q
0,31q
0,155q
0,155q
-
-
+
+
Hình 3: Biểu đồ ứng suất pháp
XX

NCS. Lê Xuân Tùng Lớp: Cao học Xây dựng 07
10
Bài tập lớn
C hc vt liu v kt cu Composite
0,075q
0,056q
0,714q
0,357q
-
+
0,714q
0,357q
0,075q
0,056q
0,028q
0,028q

=
10GPa;
4,0
23
=

;
2,0
1213
==

;
GPaG 3
23
=
;
GPaGG 4
1213
==
. Bề dày của tấm là
1,2cm.
Y
q
X
q
XY
q
X
Y
1

E

- Tính Q
ik
theo (2-21) [1]:
GPa 4,100
02,0.2,01
100
1
2112
1
11
=

=

=

E
Q
GPa 04,10
02,0.2,01
10
1
2112
2
22
=

=

1
661222111
=+++=
( )
GPaQQU 18,45
2
1
22112
==
( )
GPaQQQQU 3,1142
8
1
661222113
=+=
NCS. Lê Xuân Tùng Lớp: Cao học Xây dựng 07
12
Bài tập lớn
C hc vt liu v kt cu Composite
( )
GPaQQQQU 31,1346
8
1
661222114
=++=
- Tính
ik
Q
theo (2-31) [1]:
Với

2
3
2
16
=+=

GPaU
U
Q 78,94sin.2sin
2
3
2
26
==

( )
GPaUUUQ 96,204cos.
2
1
34166
==

- Biểu thức ứng suất trong hệ toạ độ x,y:








QQQ
QQQ
QQQ






.
666261
262212
161211

- Vì q
Y
= 0, q
XY
= 0 nên
0==
XYYY

, do đó ta có:









4
10
.
96,2078,935,29
78,968,1596,18
35,2996,1886,60
0
0
Giải hệ phơng trình:





++=
++=
++=



XYYY
XYYY
XYYYXX



.96,20.78,910.35,290
.78,9.68,1510.96,180
.35,29.96,1810.86,60

XX
=

(b)
trong đó: t là chiều dày của tấm, t = 1,2cm.
Kết hợp (a) và (b) ta đợc:
NCS. Lê Xuân Tùng Lớp: Cao học Xây dựng 07
13
Bµi tËp lín
Cơ học vật liệu và kết cấu Composite
mm
p
cm
p
mmN
XX
122,1
/727,1
2
==

⇒

mKNmmNp
X
/72,20/72,20 ==
§¸p sè:
mKNp
X
/72,20=