BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
Võ Quốc Thành
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA DÃY SINH BỞI HÀM SỐ
VÀ ÁP DỤNG
Luận văn thạc sĩ toán học
Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số
: 60 46 40
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
QUY NHƠN, NĂM 2008
2
Mục lục
Mở đầu 1
Chương 1 Một số tính chất cơ bản của dãy số 3
1.1 Cấpsố 3
1.1.1 Cấpsốcộng 3
1.1.2 Cấpsốnhân 5
1.1.3 Cấpsốđiềuhoà 6
1.2 Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . 7
1.3 Dãy tuyến tính và phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số . . . . . . . 8
1.3.2 Dãyphânthức 11
1.4 Một số bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2 Hàm chuyển đổi một số dãy số đặc biệt 27
2.1 Hàm chuyển tiếp các cấp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Hàm bảo toàn các cấp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Luân văn Một số tính chất của dãy sinh bởi hàm số và áp dụng nhằm cung cấp
một số kiến thức cơ bản về dãy số và một số vấn đề liên quan đến dãy số. Đồng thời
cũng cho phân loại một số dạng toán về dãy số theo dạng cũng như phương pháp giải.
Trong quá trình hoàn thành luận văn , tác giả đã không ngừng nỗ lực để học hỏi,
tìm tòi và khảo sát một số bài toán về dãy số.
Luận văn gồm phần mở đầu và ba chương.
Chương 1: Một số tính chất cơ bản của dãy số.
Nội dung của chương này nhằm trình bày định nghĩa các dãy số đặc biệt và các tính
chất liên quan. Đồng thời trình bày một số bài toán áp dụng liên quan đến cấp số
cộng, cấp số nhân và các tính chất đặc biệt của chúng. Nêu một số tính chất cơ bản
2
của dãy số và các bài toán xác định các dãy số liên quan đến các hàm sơ cấp ở phổ
thông.
Chương 2: Hàm chuyển đổi một số dãy số đặc biệt.
Chương này nhằm giới thiệu một số lớp hàm bảo toàn các dãy số đặc biệt nêu ở
chương 1 và nêu các mối liên hệ giữa các hàm đã cho. Đồng thời nêu xét các dãy tuần
hoàn và phản tuần hoàn và khảo sát một số tính chất của các hàm chuyển đổi các
dãy số đặc biệt
Chương 3 nhằm khảo sát một số tính chất và tính toán trên dãy số.
Mặc dù bản thân đã có những cố gắng vượt bậc, nhưng sẽ không tránh khỏi
những khiếm khuyết, rất mong sự góp ý của quý Thầy Cô và những bạn đọc quan
tâm đến luận văn.
3
Chương 1
Một số tính chất cơ bản của dãy số
Ta nhắc lại một số định nghĩa trong chương trình toán bậc phổ thông.
1.1 Cấp số
1.1.1 Cấp số cộng
Định nghĩa 1.1. Dãy số {u
n

u
1
−u
0
= u
2
− u
1
= ···= u
n
− u
n−1
(1.1)
thì dãy số u
n
được gọi là một cấp số cộng với d = u
1
− u
0
được gọi là công sai. Dãy
số {u
n
} là một cấp số cộng với công sai d =0thì u
n
= u
n+1
với mọi n, khi đó ta gọi
{u
n
} là dãy hằng (dãy không đổi).

= u
k−1
+ u
k+1
,k  2,
và
S
n
= nu
1
+
n(n − 1)d
2
=
(u
1
+ u
n
)n
2
.
Bài toán 1.1. Cho {u
n
} là một cấp số cộng mà các số hạng đều là các số nguyên
dương. Giả sử trong dãy có một số chính phương. Chứng minh rằng dãy đã cho có vô
hạn số chính phương là bình phương của các số nguyên dương.
Giải. Giả sử dãy {u
n
} có công sai d>0 và x là một số chính phương trong dãy, và
x = m

+
√
u
2
+
1
√
u
2
+
√
u
3
+ ···+
1
√
u
n−1
+
√
u
n
=
n − 1
√
u
1
+
√
u

2
−
√
u
1
)+(
√
u
3
−
√
u
2
)+···+(
√
u
n
−
√
u
n−1
)]
=
1
d
(
√
u
n
−

n − 1
√
u
1
+
√
u
n
.
5
Bài toán 1.3. Cho các số dương u
1
,u
2
, ,u
n
tạo thành một cấp số cộng, công sai
d>0. Tính tổng
S =
1
u
1
.u
2
+
1
u
2
.u
3



1
u
1
−
1
u
2

+

1
u
2
−
1
u
3

+ ···+

1
u
n−1
−
1
u
n


} thỏa mãn điều kiện
u
1
u
0
=
u
2
u
1
= ···=
u
n+1
u
n
được gọi là một cấp số nhân.
Khi dãy số {u
n
} lập thành một cấp số nhân thì thương q =
u
1
u
0
được gọi là một
công bội của cấp số đã cho.
Nhận xét 1.3. Theo định nghĩa 1.2, nếu một dãy số hữu hạn các phần tử
u
1
,u
2

6
Nhận xét 1.4. Cho {u
n
} là một cấp số nhân công bội q =1,tacó
u
n
= q.u
n−1
= u
1
.q
n−1
,n=1, 2,
u
2
k
= u
k−1
u
k+1
,k  2.
S
n
= u
1
.
1 −q
n
1 − q
1.1.3 Cấp số điều hoà

u
n−1
.
Giải. Ta có
u
n+1
=
1
2
u
n
−
1
u
n−1
⇔ u
n+1
=
u
n
u
n−1
2u
n−1
− u
n
⇔ u
n
(u
n−1

n+l
= u
n
, ∀n ∈ N, (1.2)
7
Số nguyên dương l bé nhất để dãy {u
n
} thoả mãn điều kiện (1.2) được gọi là chu kì
cơ sở của dãy.
Định nghĩa 1.5. Dãy số {u
n
} được gọi là dãy tuần phản hoàn cộng tính nếu tồn tại
số nguyên dương l sao cho
u
n+l
= −u
n
, ∀n ∈ N, (1.3)
Nhận xét 1.5. Dãy tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi dãy đã cho là một dãy hằng.
Nhận xét 1.6. Dãy tuần hoàn ( cộng tính) chu kỳ 2 khi và chỉ khi dãy có dạng
u
n
=
1
2

α + β +(α −β)(−1)
n+1

,α,β∈ R

1
2
(v
n
−v
n+r
),
với v
n+2r
= v
n
.
1.3 Dãy tuyến tính và phân tuyến tính
Trong phần này ta trình bày một số phương trình sai phân cơ bản có nghiệm là
các số thực và cách giải chúng.
8
1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số
Trước hết, ta xét phương trình sai phân tuyến tính cấp một dạng
x
1
= α, ax
n+1
+ bx
n
= f(n),n∈ N
∗
,
trong đó a, b, α là các hằng số (a =0)vàf(n) là biểu thức của n cho trước.
Nhận xét rằng các cấp số cơ bản là những dạng đặc biệt của phương trình sai
phân tuyến tính.

+ bx
n
=0,n=0, 1, 2,
Tìm số hạng tổng quát của dãy
Giải. Nếu b =0thì dãy x
n
=0,n=1, 2,
Nếu b =0, phương trình đặc trưng aλ+b =0có nghiệm λ = −
b
a
. Do đó x
n
= c

−
b
a

n
.
Vì x
0
= α nên c = α.Vậy
x
n
= α.

−
b
a

n−1
=0,n∈ N
∗
.
9
Giải. Giải phương trình đặc trưng aλ
2
+ bλ + c =0, tìm λ.
a. Nếu λ
1
,λ
2
là các nghiệm thực khác nhau thì x
n
= Aλ
n
1
+ Bλ
n
2
, trong đó A, B được
xác định khi biết x
1
,x
2
.
b. Nếu λ
1
,λ
2

trong đó a =0, A(n) là đa thức theo n cho trước.
Giải. Giải phương trình đặc trưng aλ
2
+bλ+c =0xác định các giá trị của λ. Nghiệm
của phương trình có dạng x
n
= x

n
+ x
∗
n
, trong đó x

n
là nghiệm tổng quát của phương
trình thuần nhất ax
n+1
+ bx
n
+ cx
n−1
=0và x
∗
n
là nghiệm riêng của phương trình
ax
n+1
+ bx
n

.f(n), trong đó f (n) là đa thức cùng bậc với
A(n).
Thay x
∗
n
vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tìm được x
∗
n
. Từ hệ thức x
n
= x

n
+x
∗
n
và các giá trị x
1
,x
2
ta tìm được các hệ số A, B.
Bài toán 1.9. Tìm dãy số {x
n
} thoả mãn điều kiện
x
1
= α, x
2
= β, ax
n+1

n
= k.η
n
.
ii. Nếu phương trình có nghiệm đơn λ = η thì x
∗
n
= kn.η
n
.
iii. Nếu phương trình có nghiệm kép λ = η thì x
∗
n
= kn
2
.η
n
.
Thay x
∗
n
vào phương trình, sử dụng phương pháp đồng nhất các hệ số ta tìm được k.
Từ các giá trị x
1
,x
2
và x
n
= x


= β,x
3
= γ, ax
n+1
+ bx
n
+ cx
n−1
+ dx
n−2
= A(n),n 3.
trong đó a, b, c, d, α, β, γ là các hằng số cho trước, A(n) là biểu thức cho trước.
Giải. Trong dạng nầy ta chỉ xét phương trình đặc trưng có nghiệm thực.
Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng x
n
= x

n
+ x
∗
n
,
trong đó x

n
là nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất, và x
∗
n
là
nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất.

3
ii. Phương trình có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm đơn (λ
1
= λ
2
= λ
3
) thì
x

n
=(a
1
+ a
2
n)λ
n
1
+ a
3
λ
n
3
iii. Nếu phương trình có nghiệm bội 3(λ
1
= λ
2
= λ
3
) thì

n
= n
2
.B(n) trong đó B(n) là đa thức cùng bậc
với đa thức A(n)
+) Nếu λ =1là nghiệm bội 3 thì x
∗
n
= n
3
.B(n) trong đó B(n) là đa thức cùng bậc
với đa thức A(n).
b) Trường hợp A(n)=χη
n
.Tacó
11
+) Nếu λ = η thì x
∗
n
= k.n.η
n
+) Nếu λ = η là nghiệm đơn thì x
∗
n
= k.η
n
,
+) Nếu λ = η là nghiệm bội 2 thì x
∗
n

n+1
=
1
2
x
n
, suy ra x
n
=

1
2

n−1
a.
Xét trường hợp d>0. Nhận xét rằng nếu u
n
,v
n
là các nghiệm của hệ phương trình

u
n+1
= u
2
n
+ dv
2
n
v

u
n
v
n
là nghiệm của (1.5). Khi đó
x
n+1
=
u
n+1
v
n+1
=
u
2
n
+ dv
2
n
2u
n
v
n
=
u
2
n
v
2
n

1
= a, v
1
=1
Thực hiện cộng theo vế các phương trình trong hệ ta thu được:
u
n+1
+2v
n+1
=(u
n
+
√
dv
n
)
2
Do đó
u
n+1
+2v
n+1
=(u
n
+
√
dv
n
)
2

−
√
dv
1
)
2
n
=(a −
√
d)
2
n
Do đó





u
n+1
=
1
2

(a +
√
d)
2
n
+(a −

n
suy ra
x
n
=
√
d

(a +
√
d)
2
n−1
+(a −
√
d)
2
n−1

(a +
√
d)
2
n−1
− (a −
√
d)
2
n−1
Bằng quy nạp ta chứng minh được kết quả x

n
là một nghiệm của hệ phương trình

u
n+1
= u
2
n
+ dv
2
n
v
n+1
=2u
n
v
n
,u
1
=1,v
1
= a.
thì x
n
=
u
n
v
n
là một nghiệm của phương trình (chứng minh bằng quy nạp). Ta có

=(u
n
+
√
dv
n
)
2
Như vậy
u
n+1
+
√
dv
n+1
=(u
n
+
√
dv
n
)
2
= ···=(u
1
+
√
dv
1
)

=(u
n
−
√
dv
n
)
2
= ···=(u
1
−
√
dv
1
)
2
n
=(1−a
√
d)
2
n
Suy ra









1+a
√
d

2
n
−

1 − a
√
d

2
n

Vì x
n
=
u
n
v
n
nên
x
n
=
√
d



2
n−1
Trường hợp d<0. Đặt d = −k,k > 0. Giả sử u
n
,v
n
là một nghiệm của hệ phương
trình

u
n+1
= u
2
n
− kv
2
n
v
n+1
=2u
n
v
n
,u
1
=1,v
1
= a.
thì x

n+1
= u
2
n
− kv
2
n
i
√
kv
n+1
=2i
√
ku
n
v
n
,u
1
=1,v
1
= a.
⇔

u
n+1
+ i
√
kv
n+1

2
=(u
1
− i
√
kv
1
)
2
n
⇔



u
n+1
=
1
2

(1 + ai
√
k)
2
n
+(1− ai
√
k)
2
n

k)
2
n−1
+(1− ai
√
k)
2
n−1

(1 + ai
√
k)
2
n−1
− (1 −ai
√
k)
2
n−1
Bài toán 1.13. Tìm dãy số {x
n
} thoả mãn các điều kiện
x
1
=4,x
n+1
=
x
2
n

thì x
n
=
u
n
v
n
là nghiệm của phương trình (1.6). Thật vậy, ta chứng minh bằng quy
nạp như sau, khi n =1ta có
x
1
=
u
1
v
1
=4
Giả sử x
n
=
u
n
v
n
là nghiệm của phương trình. Khi đó
x
n+1
=
u
n+1

+9
2x
n
cũng là nghiệm của (1.6).
Như vậy để tìm nghiệm của (1.6), ta giải hệ

u
n+1
= u
2
n
+9v
2
n
3v
n+1
=6u
n
v
n
,u
1
=4,v
1
=1
Lần lượt cộng và trừ theo vế các đẳng thức của hệ trên ta thu được:

u
n+1
+3v

1
)
2
n
=1
⇔

u
n+1
=
7
2
n
+1
2
v
n+1
=
7
2
n
−1
6
Vậy
x
n
=
3

7

x
n
(2n)!
. Từ công thức
x
n+2
= 2(2n +3)
2
x
n+1
− 4(n +1)
2
(2n + 1)(2n +3)x
n
,
15
suy ra
(2n + 4)!y
n+2
= 2(2n +3)
2
.(2n + 2)!y
n+1
− 4(n +1)
2
(2n + 1)(2n +3).(2n)!y
n
⇔(n +2)y
n+2
=(2n +3)y

−y
0
)
1
n +2
= ···= y
0
+(y
1
− y
0
)

1+
1
2
+ ···+
1
n +2

.
Suy ra y
n
= y
0
+(y
1
− y
0
)


=2.(2n)!

1+
1
2
+ ···+
1
n

Bài toán 1.15. Tìm x
n
biết rằng
x
1
=0,x
2
=1,x
3
=3,x
n
+11x
n−2
=7x
n−1
+5x
n−3
,n 4.
Giải. Phương trình đặc trưng λ
3

3
.5
n
Theo giả thiết x
1
=0,x
2
=1,x
3
=3, ta có hệ







a
1
+ a
2
+5a
3
=0
a
1
+2a
2
+25a
3

16
Vậy
x
n
=
5
n−1
16
+
3n
4
−
13
16
.
Bài toán 1.16. Tìm dãy số {x
n
} thoả mãn
x
1
=14,x
2
=28,x
n+1
−2x
n
+ x
n−1
=4.3
n

− 2k.3
n
+ k.3
n−1
=4.3
n
⇔ k =3
Suy ra x
∗
n
=3.3
n
.
Ta có x
n
= A + Bn +3.3
n
.Từx
1
=10,x
2
=28suy ra A + B +9=14và
A +2B + 27 = 28 ⇔ A =9,B = −4.
Vậy nên
x
n
=9−4n +3.3
n
.
Bài toán 1.17. Cho dãy số {x

Giải. Ta xét dãy y
n
như sau:
y
0
=0,y
1
=1,y
n+2
= ny
n+1
+ y
n
,n 0.
Theo cách xác định dãy suy ra dãy y
n
gồm toàn các số nguyên và
y
n+3
=(n +1)y
n+2
+ y
n+1
,
y
n
= y
n+2
− ny
n+1

2
n+1
Thực hiện cộng theo vế và chia hai vế cho n, ta thu được
y
2
n+3
+
n +1
n
y
2
n
=
(n
2
+ n + 1)(n +1)
n
y
2
n+2
+(n
2
+ n +1).
Nhận xét rằng dãy {y
2
n
} thoả mãn điều kiện như dãy {x
n
} , do vậy các phần tử của
hai dãy trùng nhau, tức là


n
+ x
∗
n
, trong đó x

n
=(A + Bn).1
n
= A +Bn và x
∗
n
= n
2
(an + b).
Thế x
∗
n
vào phương trình, ta thu được
(n +1)
2
[a(n +1)+b] −2n
2
(an + b)+(n −1)
2
[a(n −1) + b]=n +1.
Lần lượt thay n =1,n=2, ta thu được hệ

4(2a + b) −2(a + b)=2

.
Từ đó
x
n
= x

n
+ x
∗
n
= A + Bn + n
2

n
6
+
1
2

.
Từ x
1
=1,x
2
=0, ta suy ra hệ






Vậy
x
n
=
n
3
6
+
n
2
2
−
11n
3
+4.
Bài toán 1.19. Tìm x
n
biết
x
1
=1,x
n+1
=2x
n
+ n
2
+2.2
n
,n∈ N
∗

n
vào trong phương trình
x
n+1
=2x
n
+ n
2
, ta thu được
a(n +1)
2
+ b(n +1)+c =2an
2
+2bn +2c + n
2
18
Lần lượt thay n =1,n=2,n =3vào trong phương trình trên ta thu được hệ







2a − c =1
a − b −c =4
2a +2b + c = −9
⇒



⇔ A =
3
2
.
Suy ra
x
∗∗
n
=
3
2
n.2
n
=3n.2
n−1
.
Do đó x
n
= c.2
n
+(−n
2
−2n −3)+3n.2
n−1
.Tacóx
1
=1, nên 1=2c−2+3 ⇒ c =0.
Vậy
x
n

n
= c.3
n
và x
∗
n
= A.2
n
.
Thay x
∗
n
= A.2
n
vào trong phương trình, ta thu được
A.2
n+1
=3A.2
n
+2
n
⇔ 2A =3A +1⇔ A = −1.
Suy ra x
n
= −2
n
. Do đó x
n
= c.3
n

=
1 ± i
√
3
2
.
Ta có
r = |λ| =

1
4
+
3
4
=1, tan ϕ =
√
3
2
:
1
2
=
√
3,ϕ∈

−π
2
;
π
2

=1⇒ A + B
√
3=2
x
2
=0⇒ A cos
2π
3
+ sin
2π
3
=1⇒−A + B
√
3=0
Suy ra
A =1,B =
√
3
3
Vậy x
n
= cos
nπ
3
+
√
3
3
sin
nπ

∗
n
= n(An
2
+ Bn + C).
Thay x
∗
n
vào trong phương trình ta được
(n + 1)[A(n +1)
2
+ B(n +1)+C]=n(An
2
+ Bn + C)+3n
2
+3n − 3.
Thực hiện khai triển và đồng nhất các hệ số ta tìm được A =1,B =0,C = −4.Ta
có x
n
= x

n
+ x
∗
n
= c + n
3
− 4n.Vìx
1
= −2 nên −2=c +1− 4 ⇔ c =1.

n
= c, x
∗
n
= n(an + b).
Thay x
∗
n
vào trong phương trình ta được
(n + 1)[a(n +1)+b]=n(an + b)+2n.
20
Với n =1ta được 3a + b =2.Vớin =2, ta được 5a + b =4. suy ra a =1,b= −1.
Do đó x
n
= n(n − 1).
Ta có x
n
= x

n
+ x
∗
n
= c + n( n − 1).Vìx
1
=2nên 2=c + 1(1 − 1) ⇔ c =2.Vậy
x
n
= n
2

,n  2. Thế x
n
vào phương trình ta được
(n − 2)x
n+1
=(n
2
− n −1)x
n
− (n −1)
2
x
n−1
,n 3.
Suy ra
x
n+1
− x
n
n − 1
=(n − 1)
x
n
− x
n−1
n − 1
.
Đặt
z
n

n−1
− x
n−2
)+···+(x
3
− x
2
)+x
2
=(n − 1)! + 1.
Do đó
y
n
=
x
n
n
=
(n − 1)! + 1
n
.
Vậy y
n
là số nguyên khi và chỉ khi n =1hoặc n là số nguyên tố.
Bài toán 1.25. Cho hàm số f(x)=e
x
. chứng minh rằng nếu dãy số {u
n
} lập thành
một cấp số cộng thì dãy số (f (x

= q.
Vậy dãy số (f(x
n
)) lập thành một cấp số nhân.
21
Bài toán 1.26. Cho hàm số f(x)=lnx, x > 0. chứng minh rằng nếu dãy số (x
n
)
lập thành một cấp số nhân và x
n
> 0, ∀n ∈ N thì dãy số (f (x
n
)) lập thành một cấp
số cộng.
Giải. Giả sử dãy số (x
n
)vàx
n
>0, ∀n ∈ N lập thành một cấp số nhân với công bội
q>0. Khi đó, ta có
f(x
n
) − f(x
n−1
)=lnx
n
− ln x
n−1
=ln
x

)(u
n
> 0, ∀n ∈ N) lập thành một cấp số nhân thì dãy số v
n
lập
thành một cấp số cộng, trong đó v
n
= log
a
u
n
, 0 <a=1.
Giải.
(i). Giả sử dãy số (u
n
) lập thành một cấp số cộng với công sai d. Khi đó ta có
u
n
− u
n−1
= d. Suy ra
v
n
v
n−1
=
a
u
n
a

n
−v
n−1
= log
a
u
n
− log
a
u
n−1
= log
a

u
n
u
n−1

= log
a
q.
Vậy dãy số v
n
lập thành một cấp số cộng.
Bài toán 1.28. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy số {u
n
} lập thành một
cấp số cộng là dãy đã cho phải thỏa mãn hệ thức
2a

+(m + n −1)d].
Mà ta lại có
2a
m+n
=2[a
0
+(m + n − 1)d].
Do vậy
a
m+n
= a
2m
+ a
2n
.
Điều kiện đủ. Giả sử dãy số (u
n
)thỏa mãn hệ thức 2a
m+n
= a
2m
+a
2n
, ∀m, n ∈ N.
Ta cần chứng minh dãy số (u
n
) là một cấp số cộng.
Vì biểu thức đúng với mọi m, n nên chọn m =0, ta có hệ thức 2a
n
= a

m
+ a
n
−a
0
. Chọn m =1, ta có
a
n+1
= a
n
+ a
1
−a
0
⇔ a
n+1
− a
n
= a
1
− a
0
, ∀n ∈ N.
Vậy dãy số (u
n
) là một cấp số cộng.
Bài toán 1.29. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy các số dương {u
n
} lập
thành một cấp số nhân là dãy đã cho phải thỏa mãn hệ thức

= e
v
2m
e
v
2n
= e
v
2m
+v
2n
, ∀m, n ∈ N,
hay
2v
m+n
= v
2m
+ v
2n
, ∀m, n ∈ N.
Suy ra {v
n
} lập thành một cấp số cộng với công sai d = v
1
−v
0
. Do đó dãy {u
n
} lập
thành một cấp số nhân với công bội q = e