Bộ giáo dục và đào tạo
Tr-ờng Đại học Quy nhơn
Lê Đình Trọng
Điều kiện cực trị cho bài toán biến phân
và điều khiển tối -u không trơn
Luận văn thạc sỹ toán học
Quy nhơn - 2008
Bộ giáo dục và đào tạo
Tr-ờng Đại học Quy nhơn
Lê Đình Trọng
Điều kiện cực trị cho bài toán biến phân
và điều khiển tối -u không trơn
Luận văn thạc sỹ toán học
Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số : 60 46 01
Ng-ời h-ớng dẫn khoa học
TSKH - Huỳnh Văn Ngãi
Quy nhơn - 2008
1
Mục Lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Ch-ơng 1. kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. D-ới vi phân proximal và công thức tổng mờ . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Nón pháp tuyến proximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. D-ới vi phân proximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3. Công thức mờ của d-ới vi phân proximal . . . . . . . . . . . 8
Ch-ơng 2. điều kiện cần cực trị cho bài toán Bolza
tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1. Bài toán Bolza tổng quát - điều kiện cần cực trị . . . . . . . . . . . 12

Không gian đối ngẫu của X.
convS Bao lồi của S.
h.k.n Hầu khắp nơi.

S
(x) Khoảng cách từ x tới tập S.
3
Mở đầu
Phép tính biến phân cổ điển ra đời vào thế kỷ 18, gắn liền với những
tên tuổi lớn nh-: Euler, Lagrange, Bernoulli, nhằm mục đích giải quyết những
bài toán cực trị xuất hiện trong vật lý và cơ học. Những thành tựu và ph-ơng pháp
của nó càng ngày càng thâm nhập vào rất nhiều lĩnh vực khoa học, kỷ thuật khác
nhau.
Phép tính biến phân cổ điển chỉ giới hạn xem xét những hàm và toán tử đủ
trơn. Tuy nhiên trong nhiều bài toán thực tiễn, yêu cầu này không phải lúc nào
cũng đảm bảo. Vào khoảng những năm 60 của thế kỷ tr-ớc, một thành tựu nổi bật
trong lý thuyết điều khiển tối -u ra đời đó là nguyên lý cực đại Pontryagin, đ-ợc
đ-a ra bởi nhà toán học xuất chúng ng-ời Nga Pontryagin. Kết quả này đánh dấu
một mốc lớn trong quá trình phát triển của lý thuyết điều khiển tối -u.
Trong khoảng vài chục năm gần đây, với những thành tựu của giải tích không
trơn cụ thể là lý thuyết vi phân tổng quát, cho phép ta xem xét những bài toán
biến phân và điều khiển tối -u mà dữ kiện của nó không nhất thiết trơn. Điều này
không những có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn mở rộng phạm vi ứng dụng, bởi
vì những bài toán trong thực tiễn th-ờng là không trơn. Hơn nữa, những ph-ơng
pháp và thành tựu của giải tích không trơn cho phép ta đ-a ra chứng minh đơn
giản hơn cho các kết quả biến phân cổ điển, và giúp cho ta có một cái nhìn nhất
quán trong một bối cảnh tổng quát những bài toán biến phân cổ điển.
Mục đích của luận văn không ngoài việc đọc hiểu, hệ thống những kết quả
gần đây về điều kiện cần cực trị cho bài toán biến phân tổng quát Bolza và bài
toán qui hoạch động không trơn nh- điều kiện Euler, Weierstrass, nguyên lý cực

U. (1.1)
Hàm f đ-ợc gọi là Lipschitz địa ph-ơng trên X, nếu f Lipschitz địa ph-ơng
tại mọi x X.
Hàm f đ-ợc gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz K trên X, nếu (1.1) đúng
với mọi x, x

X.
Hàm số f : X (, +] đ-ợc gọi là nửa liên tục d-ới tại x X nếu
lim inf
xx
f(x) f(x) (với f(x) < ), tức là với mọi > 0, tồn tại lân cận U của x
sao cho
f(x) f(y), y U. (1.2)
Nếu f(x) = +, thì f đ-ợc gọi là nửa liên tục d-ới tại x, nếu với mọi N > 0
tồn tại lân cận U của x sao cho
f(y) N, y U. (1.3)
Hàm f đ-ợc gọi là nửa liên tục d-ới nếu f nửa liên tục d-ới tại mọi x X.
Nếu thay (1.2) và (1.3) t-ơng ứng bởi (1.4) và (1.5) ta đ-ợc định nghĩa hàm
nửa liên tục trên tại x.
f(y) f(x) + , y U. (1.4)
f(y) N, y U. (1.5)
5
Cho S X, hàm chỉ của tập S đ-ợc ký hiệu và xác định nh- sau

S
(x) =

0 nếu x S
nếu x / S
Ta thấy rằng hàm f đạt cực tiểu trên S X khi và chỉ khi f +


(x

) x

, x f(x) x, x

R
n
.
Nói riêng nếu f lồi chính th-ờng thì f

lồi chính th-ờng.
Định lý 1.1.2. [7] Cho f là một hàm trên X thì hàm liên hợp f

là lồi và đóng
trong tôpô yếu* của không gian X

.
Định lý 1.1.3. [8](Moreau - Rockafellar)
Giả sử f
1
, . . . , f
n
là các hàm lồi chính th-ờng trên X. Khi đó
x X, (f
1
+ . . . + f
n
) f

)
là lồi và đóng.
Định lý 1.1.5. [8] (Mazur)
Cho X là một không gian Banach và cho một điểm x thuộc vào một tập đóng
yếu A X. Thì tồn tại một dãy tổ hợp lồi các phần tử của A hội tụ tới x theo
chuẩn.
Chú ý 1.1.6. Một tập F X đ-ợc gọi là đóng yếu theo dãy nếu dãy {x
n
} F
có giới hạn yếu là x thì x X.
Định lý 1.1.7. [1] (Nguyên lý biến phân Ekeland)
Giả sử (X, ) là không gian mêtric đầy đủ và f : X R {+} là một hàm
chính th-ờng nửa liên tục d-ới và bị chặn d-ới. Điểm u X và > 0 thỏa mãn
f(u) inf f + . Khi đó, với bất kỳ > 0, tồn tại v X sao cho
(i) f(v) f(u),
(ii) (v, u) ,
(iii) f(w) +


(w, v) > f(v), w X, w = v.
1.2. D-ới vi phân proximal và công thức tổng mờ
1.2.1. Nón pháp tuyến proximal
Cho X là một không gian Hilbert và S là tập con khác rỗng của X. Giả sử
x X, x / S.
Nếu tồn tại s S sao cho khoảng cách từ s đến x là nhỏ nhất thì s đ-ợc gọi là
hình chiếu của x lên S. Tập gồm các hình chiếu của x lên S ký hiệu là proj
S
(x).
Véc tơ x s đ-ợc gọi là vectơ pháp tuyến proximal của S tại x.
Nón pháp tuyến proximal của tập S tại s ký hiệu N


s
2
s

S.
Hơn nữa, với mọi > 0 cho tr-ớc ta có
b) N
S
N
(s) 0 sao cho , s

s s

s
2
s

S B(s, ).
c) Nếu S là tập lồi và đóng thì
N
S
N
(s) , s

s 0 s

S.
1.2.2. D-ới vi phân proximal
Định nghĩa 1.2.2. [4] Cho X là một không gian Hilbert và f : X R{+ } = R.

I
S
(x) = N
P
S
(x).
3) Nếu f là hàm liên tục trên tập mở U X thì
p
f(x) = f

(x) x U.
Định lý 1.2.3. [ 7] Cho f là hàm nửa liên tục d-ới và x domf. Khi đó

p
f(x) > 0; > 0 : f(y) f(x) + , y x y x
2
y B(x, ).
Khi x S và S là đóng thì
N(S, x) =

0
(x, S). (1.6)
8
Trong đó là hàm khoảng cách với chuẩn trong R
n
.
(x, S) = N(x, S)

B (1.7)



i

f
i
(x
ir
) f
i
(u
r
)

0.
Thì với mọi x


p


i
f
i

(x) và mọi > 0 có u
i
, u

i
, i = 1, . . . , k sao cho

i
x



< .
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
x = 0; f
i
(0) = 0 và x

= 0. (Nếu không ta thay f
i
(x) bởi f
i
(x+x) f
i
(x)k
1
x

, x)
Ta có 0
p


i
f
i


1
, . . . , x
k
) =

i
f
i
(x
i
) + N

i
x
i

2
+ r

i,j
x
i
x
j

2
,
= 0 =
r
(0, . . . , 0)


i=1
f
i
(x
i
) + N

i
x
i

2
+ r

i,j
x
i
x
j

2

inf

k
i=1
f
i
(x

2

r
(x
1r
, . . . , x
kr
) <
1
r
,
k + r

i,j
x
ir
x
jr

2

r
(x
1r
, . . . , x
kr
) <
1
r
,

ir
u
r
0 và
lim inf
r

i

f
i
(x
ir
) f
i
(u
r
)

0,


i
f
i
(x
ir
)

i

2
+ o(1),

r
(x
ir
, . . . , x
kr
) + o(1)
1
r
+ o(1) = o(1).
Do đó

i
f
i
(u
r
) + kNu
r

2
0.
Nh-ng

i
f
i
(u

i
(x
ir
) 0 hoặc t-ơng đ-ơng với



f
i
(x
ir
) f
i
(0)



0.
10
Lấy > 0 đủ nhỏ, nh- <

2
và một r = r() sao cho x
ir
< , i = 1, . . . , k và
r
1
() <
3
.


i

i
(x
i
),
đạt cực tiểu tại (u
1
, . . . , u
k
) thuộc tập của (x
1
, . . . , x
k
), thoả mãn x
i
< và
g(u
1
, . . . , u
k
) g(x
1r
, . . . , x
kr
) khi u
i
< ,
tức là hàm

a
i
, x
i


,
đạt đ-ợc một cực tiểu địa ph-ơng tuyệt đối tại (u
1
, . . . , u
k
).
Đặt x
i
= u
i
+ h
i
ta có

i
f
i
(u
i
+h
i
)+N

i

i
, u
i
+h
i




i

f
i
(u
i
) + N

i
u
i

2
+ r

i,j
u
i
u
j


) + (N + )(h
i

2
+ 2u
i
, h
i
+ a
i
, h
i


+r

i,j

h
i

2
+ h
j

2
+ 2u
i
u
j

Suy ra
f
i
(u
i
+ h
i
) f
i
(u
i
) u

i
, h Mh
2
, i = 1, . . . , k.
Tức là u

i

p
f
i
(u
i
).
11
Mặc khác từ
u

+ 2r

i,j
(u
i
u
j
)
= 2(N + )

i
u
i


i
a
i
=

i
u

i
(2N + )

i
u
i
+

= |x(0)| + x(.)
p
, trong đó |.| là
chuẩn Euclicd của một vectơ trong R
n
).
Xét bài toán Bolza tổng quát sau.
Xác định hàm trên W
1
1
làm cực tiểu phiếm hàm
J(x(.)) = l(x(0), x(1)) +

1
0
L(t, x(t), x(t))dt. (2.8)
trong đó các hàm l, L : R
n
R cho tr-ớc không nhất thiết khả vi và liên tục.
Ta nói rằng, cung x

(.) W
1
1
là một cực tiểu mạnh địa ph-ơng của J nếu
J(x

(.)) J(x(.)) với mọi x(.) thuộc tập có dạng

x(.) W


(t)


và


x(t) x

(t)


t [0, 1] h.k.n

.
Những giả thiết sau là chuẩn và cần thiết.
A
1
) l(x, y) là hàm nửa liên tục d-ới, có thể bằng + nh-ng không bằng
và l(x

(0), x

(1)) hữu hạn.
A
2
) L(t, x, y) là hữu hạn khắp nơi và là hàm nửa liên tục d-ới của (x, y) khi
t [0, 1] hầu khắp nơi. L(t, x, y) là hàm đo đ-ợc với t theo nghĩa rằng ánh xạ
giá trị tập t epiL(t, ., .) đo đ-ợc từ [0, 1] vào R
n

13
Nội dung chính của ch-ơng này là trình bày chứng minh định lý sau. Nó
cho những điều kiện cần cực trị cho bài toán Bolza tổng quát, đ-ợc giải quyết bởi
Ioffe - Rockafellar. Đây là điều kiện cần cực trị rất tổng quát cho bài toán với dữ
kiện không nhất thiết trơn.
Chú ý rằng khi các dữ kiện là trơn, định lý trên suy ra những điều kiện cần
cực trị cổ điển đã biết.
Định lý 2.1.1. [4] Giả sử x

(t) là một cực tiểu địa ph-ơng của J(x(t)) với chuẩn
lấy trong W
1
1
(hoặc x

(.) là một cực tiểu mạnh cổ điển) và (A
1
) - (A
3
) đ-ợc thoả
mãn thì có một cung p(t) W
1
1
sao cho các điều kiện sau đ-ợc thoả mãn.
a) Điều kiện Euler
p(t) conv{w : (w, p(t)) L(t, x

(t), x

(t))} t [0; 1] h.k.n.


(.)


L
x

t, x

(.), x

(.)

= 0 t [0; 1] h.k.n.
b) Điều kiện Weierstrass
L(t, x

(t), y) L(t, x

(t), x

(t)) +
L
y
(t, x

(.), x

(.)), y x


y
f(z, y)
là chính th-ờng (luôn lớn hơn và với mọi z tồn tại một y sao cho f(z, y) < ).
Ta đi xem xét mối quan hệ giữa f và f.
Theo định lý Caratheodory về tính chất bao lồi ta có
f(z, y) = inf

0
0, . . . ,
n
0

n
i=1
y
i
= y,

i

i
= 1
n

i=0
(z, y
i
,
i
)

f(z, y) = inf
u
F (z, y, u),
trong đó
F (z, y, u) =
n

i=0
(z, y
i
,
i
) +

u|
n

i=0
y
i
= y;
n

i=0

i
= 1

.
ở đó (u|C) thay thế cho hàm chỉ thị của C.Tức là

, i = 0, . . . , n
sao cho

i

i
w
i
= w; (2.9)
và với mỗi i mà
i
> 0, ta có với y
i
=
y
i

i
(w
i
, v) f(z, y
i
) i. (2.10)
Hệ quả 2.2.2. [4] Với giả thiết đã cho trong định lý trên thì y là điểm hiển lộ
của f tại z theo nghĩa. Cực tiểu của f(z, y) chỉ đạt đ-ợc bởi các vectơ
u = (y
0
, . . . , y
n
,

i
f(z, y
i
) = f(z, y) kéo theo y
i
= y i mà
i
> 0

.
Thì khi (w, v) f(z, y) ta có
w conv{w : (w, v) f(z, y)}. và
f(z, y) f(z, y) + v, y y y.
Để chứng minh định lý, ta cần các mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2.3. [4] Điều kiện (B) đ-ợc suy ra từ điều kiện
(B
1
) lim inf
z z
y y
0
f(z,
y

) = khi y = 0.
Chứng minh. Ta có
(z, y, ) =





i
= 1

.
Vì f là hàm nửa liên tục d-ới nên là hàm nửa liên tục d-ới. Do đó F cũng là
hàm nửa liên tục d-ới.
Tiếp theo, ta có tập
{(z, y, ) : z Z, [0, 1], (z, y, ) }
bị chặn với mọi tập bị chặn Z R
m
và bất kỳ R.
Thật vậy, nếu trái lại điều này không xảy ra, ta sẽ tìm đ-ợc các dãy {z

}
Z; {

} [0; 1] và một dãy không bị chặn {y

} sao cho (z

, y

,

) .
Không mất tính tổng quát có thể giả sử z

z,



)|y

|, với y

=
y

|y

|
;



=


|y

|
0.
Giả sử rằng y

y thì |y| = 1 do đó
lim inf





, . . . ,
n
) và mọi
|z z| ; |y y| ; F (z, y, u) .
Trở lại công thức của F (z, y, u), từ biểu diển của F (z, y, u)
F (z, y, u) =

n
i=0
(z, y
i
,
i
) +

u|

n
i=0
y
i
= y,

n
i=0

i
= 1

,

,
i
) n và
i
[0; 1] i = 0, . . . , n.
Do tập các (z, y
i
,
i
) thoả mãn
|z z| ;
i
[0; 1] ; (z, y
i
,
i
)
là bị chặn với mỗi R, tính chất bị chặn (B) đúng.
17
Mệnh đề 2.2.4. [4] Điều kiện (B
1
) t-ơng đ-ơng với điều kiện f(z, y) là c-ỡng
bức theo y và đều địa ph-ơng theo z, theo nghĩa
(B
2
) Cho bất kỳ z và > 0 tồn tại một hàm không giảm : [0; +) R với
(0) hữu hạn,
(s)
s
khi s thì

Ng-ợc lại, với điều kiện (B
1
) ở trên, ta có thể chọn hàm xác định nh- sau
(s) = min
|z z|
|y| s
[0, 1]
(z, y, ).
Thì (B
2
) đ-ợc thoả mãn.
Mệnh đề 2.2.5. [4] Ký hiệu h(z, v) = sup
y
{y, v f(z, y)}.
là hàm Hamilton liên kết với f. Thì (B
2
) t-ơng đ-ơng với
(B
3
) h(z, v) là hàm nửa liên tục trên và hữu hạn khắp nơi.
Chứng minh. Điều kiện đủ: Nếu (B
3
) đúng ta chọn là hàm liên hợp của hàm
(t) = max
|z z|
|v| t
h(z, v).
Thì là hàm thoả mãn điều kiện (B
2
).

)
p
f(z

, y

).
Nói riêng, từ tính lồi của f(z, y) theo y ta có
f(z

, y) f(z

, y) f(z

, y

) + v

, y y

y. (2.11)
Do (B) đúng, tập
U(z, y) = {u : F (z, y, u) = f(z, y)}
là khác rỗng khi f(z, y) < , và qua ánh xạ giá trị tập
U : (z, y) U(z, y).
ảnh mọi tập có dạng
{(z, y) : |z z| , |y y| , f(z, y) },
khi đủ nhỏ là một tập bị chặn của các véctơ u, và ta cũng có
lim sup
(z

, y y

+ o(|y y

|
2
+ |z z

|
2
),
F (z

, y

, u

) + w

, z z

+ v

, y y

+ o(|y y

|
2
+ |z z


,
n

i=0
y
i

n

i=0
y

i
(.) +o(|z z

|
2
+
n

i=0
|y
i
y

i
(.)|
2
).

)
p


i


i

z

, y

0
, . . . , y

n

. (2.14)
áp dụng Định lý 1.2.4 (chú ý rằng,

i
thực sự không phụ thuộc vào y
i
với
i = j) với mọi = 1, 2, . . . , ta tìm đ-ợc các vectơ (z

i
, y


y

|
1

,
|v

i
v

|
1

; |

i
w

i
w

|
1

,
( w

i
, v

i


i
) +

(
w

i


i
)|z z

i
| + o(|z z

i
|
2
)

+

i
v

i
,

i
)
p
f(z

i
,
y

i


i
).
Từ (2.12), và tính bị chặn của U đã chú ý, ta có thể giả sử các vectơ
u

= (y

0
, . . . , y

n
,

0
, . . . ,

n
) hội tụ tới một phần tử

Do đó theo (2.16), bởi z

i
z, y

i
y
i
và v

i
v, đặt w
i
=
p
i

i
thì với mỗi i
mà
i
> 0 ta nhận đ-ợc,
(w
i
, v) f(z, y
i
/
i
) và



3
) |L(t, x, y) L(t, x

, y)| (t, |x x

|) và |L(t, x, y)| c(t),
với mọi x, x

thuộc hình cầu bán kính tâm x

(t) và y R(t), ở đây w(t, ) là
hàm Caratheodory không âm với hầu hết t, đơn điệu và hội tụ tới 0 khi 0
và c(t) là hàm khả tích.
Chú ý rằng ẩn trong điều kiện (A

3
) là w(t, ) c(t) và

1
0
w(t, )dt 0 khi 0.
Với > 0, ký hiệu L

(t, x, y) là bao lồi của L(t, x, y)+|y x

(t)|
2
theo biến thứ
ba, và J

1
và J

(x

(.)) = J(x

(.)) cho bất kỳ > 0 đủ
nhỏ.
Chứng minh. Tr-ớc hết ta khẳng định
L

t, x

(t), x

(t)

= L

t, x

(t), x

(t)

h.k.n. (2.17)
Giả sử trái lại, tức là có một > 0 sao cho khi t thuộc một tập có độ đo d-ơng,
tập U


= x

(t);

i

i
L(t, x

(t), y
i
) L(t, x

(t), x

(t)) (2.18)
là khác rỗng.
Mặt khác, nh- R(t) là bị chặn đều, ta tìm đ-ợc một số > 0 sao cho
21
J(x(.)) J(x

(.)) với mọi x(.) mà x(0) = x

(0) và x(t) = x

(t) trên một tập có độ
đo không nhỏ hơn 1 .
Chọn một tập có độ đo d-ơng nhỏ hơn sao cho U

= với mọi t và


i
(t)y
i
(t) = x

(t) cho hầu hết t.
Đặt
= {(
0
(.), . . . ,
n
(.)) :
i
(t) 0, i = 0, . . . , n,

i

i
(t) = 1 h.k.n}.
= {(
0
(.), . . . ,
n
(.)) :
i
(t) {0, 1}, i = 0, . . . , n,

i


i

i
(t)h
s
i
(t)dt, . . . ,

1
0

i

i
(t)h
m
i
(t)dt

là trùng nhau (và là lồi compact). Do đó, tồn tại một dãy {(

0
(.), . . . ,

n
(.)} các
phần tử của sao cho

1
0

1
0

i


i
(t)h
i
(t)dt

1
0

i

i
(t)h
i
(t)dt, (h
0
(.), . . . , h
n
(.)) L
1
. (2.19)
Đặt
x

(t) = x(0) +


(1)) +

1
0
L(t, x

(t), x

(t))dt

22
= l(x

(0), x

(1)) + lim


1
0
L(t, x

(t), x

(t))dt
= l(x

(0), x


i
(t))dt. (2.20)
Tiếp theo, (2.19) suy ra
lim


J(x

(.)) J(x

(.))

=




i

i
(t)L(t, x

(t), y
i
(t)) L(t, x

(t), x

(t))


.
thì y là điểm hiển lộ cho f

tại z. Hơn nữa nếu có một dãy các vectơ
u

= (y

0
, . . . , y

n
,

0
, . . . ,

n
) sao cho

i
0,

i


i
= 1,
và


y)
2
0.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử

i


i
(y

i
y)
2
hội tụ
tới a. Ta có
f(z, y) = lim


i


i
f

(z, y

i
),