1
HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
MATHOLP’04 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004
Môn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho dãy số {x
n
} xác định như sau:
1
0
0, ( 1) , 1.
2004
n
n
n
x
x x n

     

Tính
2
lim .
n
n
x


0
) ( ) (1 ) .
) lim ( ) .
a I bx a x dx
bI






  


Câu 4. Xác định các hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

2004
( ) ( ) , .
( ) ( ) ( ) ( ), , .
x
i f x e x
ii f x y f x f y x y
  
   
¡
¡

Câu 5. Cho đa thức P(x) thoả mãn điều kiện
( ) ( ) 0P a P b
với a < b. Đặt

Môn thi: Giải tích

Câu 1. Cho dãy số {x
n
} xác định như sau:
1
0
0, ( 1) , 1.
2004
n
n
n
x
x x n

     

Tính
2
lim .
n
n
x


Giải.
Ta chứng minh công thức
1
( 1) (2004) 1
.

nn
h n h n   

và
 
11
( ) (0) ( ) ( 1) ( 1) (2004) .
nn
ii
ii
h n h h i h i

     


Do
0
(0) 0xh
nên
1
1
1 ( 1) (2004) 1
( 1) (2004) .
(2004) (2004) .2005
nn
n
ii
n
nn
i

()
x
x
tf t dt
Fx
f t dt




đồng biến trên
[0,+ ).

Giải.
Ta có
00
2
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) .
()
xx
x
xf x f t dt f x tf t dt
Fx
f t dt





nên
( ) 0Fx


khi x > 0.
Do vậy F(x) là một hàm đồng biến trong


0, .Câu 3. Cho 0< a < b. Tính tích phân

 
 
1
0
1
0
) ( ) (1 ) .
) lim ( ) .
a I bx a x dx
bI






  



   



   


b) Từ a) suy ra
 
1
11
1
1
1
( ) .
( 1)
ba
I
ba











Câu 4. Xác định các hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

2004
( ) ( ) , .
( ) ( ) ( ) ( ), , .
x
i f x e x
ii f x y f x f y x y
  
   
¡
¡

Giải.
Đặt
2004
( ) ( ).
x
f x e g x
Theo giả thiết (i) thì
( ) 1gx
với mọi
.x¡
Thế vào điều
kiện (ii), ta thu được
200( ) 2004 2004
( ) ( ) ( ),
x y x y
e g x y e g x e g y

2004
( ) .
x
f x eCâu 5. Cho đa thức P(x) thoả mãn điều kiện
( ) ( ) 0P a P b
, với a < b. Đặt
( ) .
a x b
M max P x



Chứng minh rằng

4

3
) ( )( )( ) 2 ( ) ,
1
) ( ) ( ) .
12
bb
aa
b
a
a P x x a x b dx P x dx
b P x dx M b a



          

  

b) Từ (1) ta thu được
1
( ) ( )( )( ) .
2
bb
aa
P x dx P x x a b x dx

   


Suy ra
1
( ) ( ) ( )( ) .
2
bb
aa
P x dx P x x a b x dx

  


Vì
a x b


5

HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
MATHOLP’05 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005

Môn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu1. Cho dãy số {x
n
}
( 1,2,3, )n 
được xác định bởi công thức truy hồi sau:
2
11
2, 5.
nn
x x x

  
Câu 3. Cho số dương a và hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên
¡
sao cho
()f x a


với
mọi
.x¡
Biết rằng
2
0
0 ( )sin .f x xdx a




Chứng minh rằng khi đó trên đoạn
0,
2




, phương trình
( ) 0fx
có duy nhất nghiệm.


x 0,1
max ( ) 8( )f x a b



,
với
 
 
0,1
min ( ) .
x
b f x



Cho một mở rộng kết quả trên đối với đoạn
 
,.

¡

Hết
6
ĐÁP ÁN
OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005
Môn: Giải tích

1 1 1
2 2 2 2 2
1 1 1 1 2
4 ( 2) 4 4 ( 4) ( 4)
( 4) 21( ) .
n n n n n n n n n
n n n
x x x x x x x x x
x x x x x x x
  

          
   

Suy ra
2
1
2
1 2 1 2
4
21 .
( )
n
nn
x
x x x x x x





a
f x dx 


Chứng minh rằng tồn tại
( , )c a b
sao cho
( ) 2005 ( ) .
c
a
f c f x dx


Giải.
Xét hàm số
2005
( ) ( ) .
t
t
a
F t e f x dx




Khi đó
( ) ( ) 0F a F b
và
2005 2005
( ) 2005 ( ) ( ).

f c f x dx
Câu 3. Cho số dương a và hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên
¡
sao cho
()f x a


với
mọi
.x¡
Biết rằng

7
2
0
0 ( )sin .f x xdx a




Chứng minh rằng khi đó trên đoạn
0,
2





  


Giả sử
( 2) 0.f


Từ giả thiết
( ) 0f x a


suy ra
()fx
đồng biến trên đoạn
 
0, 2 .


Khi đó
 
( ) 0 0, 2 .f x x

  
Do vậy
 
( )sin 0 0, 2 ,f x x x

  
hay
2



Hãy chứng minh
 
11
2
00
( ) ( ) .f x dx xf x dx


Giải.
Ta có
   
 
1 1 1 1
22
2
0 0 0 0
11
2
00
0 ( ) ( ) 2 ( )
1
( ) 2 ( ) .
3
f x x dx f x dx xf x dx x dx
f x dx xf x dx
     
  
   

Ta có
1 1 1
2
00
11
( ) .
23
x
x
A f t dt dx dx


  


  

Mặt khác
1
1 1 1 1 1
0 0 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) .
xx
A f t dt dx x f t dt xf x dx xf x dx

   


    

min ( ) .
x
b f x



Cho một mở rộng kết quả trên đối với đoạn
 
,.

¡

Giải.
Sử dụng giả thiết và áp dụng định lý Rolle, tồn tại
(0,1)c
sao cho
( ) 0fc


. Xét
khai triển Taylor của hàm
()fx
tại điểm c:
2
( ( ))
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
fx
f x f c f c x c x c


( (1)) 0.
(1 )
ab
f
c
ab
f
c










Nhân vế với vế hai bất đẳng thức sau cùng ta thu được
2
2
22
4( )
( (0)) ( (1)) 64( ) .
(1 )
ab
f f a b
cc






.
Ghi chú: Nếu thí sinh đưa ra đư phản ví dụ khi a=b thì có thể xét thưởng điểm. Hết