1

MA TRẬN LUỸ LINH

Khái niệm ma trận trong Đại số tuyến tính được giảng dạy trong chương trình Toán đại
cương của hầu hết các trường Đại học. Đây cũng là nội dung quy định của Hội Toán học Việt
nam trong các kỳ thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc. Nhằm giúp Sinh viên chuẩn bị
tham gia vào các kỳ thi Olympic Toán học sinh viên vòng trường và vòng quốc gia, chúng tôi
giới thiệu một dạng ma trận và những tính chất của nó để các bạn sinh viên có thêm một tài
liệu ôn tập.
I.Định nghĩa và tính chất
1.Định nghĩa:
Cho A là ma trận vuông cấp n, A được gọi là ma trận luỹ linh nếu tồn tại số nguyên dương q
sao cho A
q
= 0.
Nhận xét: Nếu A
q
= 0 thì ta cũng có A
m
= 0 với mọi số tự nhiên m thoả m

q.
Số nguyên dương k được gọi là cấp luỹ linh của ma trận A nếu A
k
= 0, và A
k-1

0.
Ma trận A được gọi là ma trận luỹ linh đơn nếu A – E là ma trận luỹ linh ( E là ma trận đơn vị

= (E – A)(E + A + A
2
+…+A
k-1
). Như vậy

E – A khả nghịch và (E – A)
-1
= (E + A
+ A
2
+…+A
k-1
).
Tương tự ta cũng có E + A khả nghịch vì:
E = E + A
2k+1
= (E + A)(E – A + A
2
– …+A
2k
).
Khi đó (E + A)
-1
= (E – A + A
2
– … + A
2k
).
3. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp và AB = BA. Khi đó nếu A và B là các ma

= 0. (đpcm).

2
4. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp và AB = BA. Khi đó nếu A và B là các ma
trận luỹ linh đơn thì ma trận tích AB cũng là ma trận luỹ linh đơn.
Chứng minh:
Vì (A – E), (B – E) là các ma trận luỹ linh, nên tồn tại các số nguyên dương p và q sao cho
(A – E)
p
= 0, (B – E)
q
= 0.
Ta có (AB – E) = (A – E)B + (B – E), giả sử p

q khi đó do AB = BA nên ta cũng có tính
chất giao hoán (A – E)B(B – E) = (B – E)(A – E)B.
Sử dụng khai triển nhị thức Newton, ta thu được:
(AB – E)
2p
= [(A – E)B + (B – E)]
2p
=
2
2
0
p
i
P
i
C

f f f f
14 2 43
).
Thêm vào đó nếu
1
0
q
f


thì q gọi là bậc luỹ linh của f.
Tự đồng cấu f của K – không gian véc tơ V trên trường K gọi luỹ linh đơn nếu
f – Id
V
là luỹ linh ( Id
V
là tự đẳng cấu đồng nhất trên V).

Chứng minh tương tự như ma trận luỹ linh, ta cũng có một số tính chất của đồng cấu luỹ
linh như sau.
1. Nếu f và g là hai tự đồng cấu luỹ linh giao hoán được của K – không gian véc tơ V trên
trường K thì f + g cũng luỹ linh.
2. Nếu f và g là hai tự đồng cấu luỹ linh đơn giao hoán được của K – không gian véc tơ V
trên trường K thì f . g cũng luỹ linh đơn.
3. Nếu f là tự đồng cấu luỹ linh của R – không gian véc tơ V – n chiều trên trường R các số
thực thì mọi giá trị riêng của f đều bằng 0.
4. Nếu f là tự đồng cấu luỹ linh đơn của R – không gian véc tơ V – n chiều trên trường R
các số thực thì mọi giá trị riêng của f đều bằng 1.
II. Một số bài tập đề nghị:
Bài 1: Chứng minh rằng nếu A là ma trận luỹ linh thì mọi giá trị riêng của A đều bằng 0.

Kí hiệu:
1
2
n
x
x
X
x







M
. Chứng minh hai phương trình
AX = 0 và (A + A
2
+ + A
n
)X = 0 tương đương.
( Đề thi Olympic Toán Sinh viên vòng trường năm 2003. ĐH An Giang).
Bài 7: Cho A là ma trận vuông. Chứng minh rằng nếu

là véc tơ riêng của A tương
ứng với giá trị riêng k thì

cũng là véc tơ riêng của A
n












. Tính A
100

GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG

Giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận là nội dung được quy định trong kỳ thi
Olympic Toán học Sinh viên giữa các trường Đại học và Cao đẳng. Bài viết này nhằm giúp
Sinh viên có thêm một tài liệu ôn tập, giải quyết được một số dạng bài tập về giá trị riêng và
véc tơ riêng của ma trận thường gặp trong các kỳ thi Olympic Toán những năm gần đây.
Cho f là phép biến đổi tuyến tính của không gian véc tơ n chiều V trên trường K (trong
phần này chúng ta xét trường K là trường R hoặc C). Số k

K được gọi là giá trị riêng của f

4
nếu tồn tại một véc tơ
0



12
, , ,
n
  
(1)
và với cơ sở mới
12
, , ,
n
  
(2), f có ma trận là B. Khi đó
1
B S AS


trong đó S là ma trận
chuyển từ cơ sở (1) sang cơ sở (2). Ta có
1 1 1 1
( ) . .B kE S AS kS ES S A kE S S A kE S A kE
   
        
(đpcm). Từ định lí 1 ta
có hệ quả sau:
Hệ quả : Nếu hai ma trận A và B đồng dạng thì A và B có cùng đa thức đặc trưng.
Nhận xét: Mệnh đề đảo của hệ quả là sai (nếu n

2). Ví dụ: Xét hai ma trận
0 0 0 1
,
0 0 0 0

1
1
( 1) ( )
n
n
a Tr A



(tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A, và được gọi
là vết của ma trận A)
iii.
0
detaA
.
Chứng minh: Kí hiệu:
()
ij
Aa
,
,
, (1 , )
,
ij
ij
ij
a k i j
i j n
a i j


( )( ) ( )
nn nn
a k a k a k
  
   
=
11
11 22
( 1) . ( )( 1) .
n n n n
nn
k a a a k

       
Từ đây ta có i) và ii). Cuối cùng trong đa thức
đặc trưng của A cho k = 0 ta được detA = a
0
. Từ định lí 2 khi cho A là ma trận vuông cấp n thì

5
đa thức đặc trưng của A được viết dưới dạng:

1
1 1 0
( ) ( 1)
n n n
An
k k a k a k a



1 2 1
1 1 2








.
Giải:
2
( ) det( ) ( 3)
A
k A kE k k

    
, do đó ma trận A có hai giá trị riêng là
k = 0, k = 3. Ứng với giá trị riêng k = 0, giải hệ phương trình:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
20
20
20
x x x
x x x
x x x
  






. Tính f(A), biết rằng:
f(x) =
8 7 6 5 4 3 2
6 12 8 6 12 10 1x x x x x x x x        

Giải: Đa thức đặc trưng của ma trận A là:
32
( ) 6 12 8
A
k k k k

    
. Chia đa thức f(x) cho đa thức
32
6 12 8x x x   
được thương là
5
xx
và dư là
( ) 2 1r x x
. Do đó:
f(A) = r(A) = 2A + E =
0 1 0 1 0 0 1 2 0
2 4 4 0 0 1 0 8 9 0
2 1 2 0 0 1 4 2 5

A A a b c d E   

b.
 
2
2 2 2 2
( ) ( )
A
k a k b c d

    
, với mọi k  R.
Giải: a. Kiểm tra trực tiếp.
b. Áp dụng kết quả câu a) đối với các ma trận (A – kE), (A – kE)
t
ta được:
(A – kE).(A – kE)
t
=
 
2 2 2 2
()a k b c d E   
, suy ra
 
2 2 2 2
det ( ).( ) det((( ) ) )
t
A kE A kE a k b c d E      
. Ta đã biết định thức của một ma trận
không thay đổi qua một phép chuyển vị, do đó:

Bài 4: Giả sử a là số thực khác 0. Chứng minh rằng hệ phương trình sau luôn có nghiệm với
mọi b, c, d  R

(1 ) (1 )
( 1) ( 1)
(1 ) ( 1)
( 1) (1 )
ax b y cz d t a
b x ay d z ct b
cx d y az b t c
d x cy b z at d
     


     


      


     


Giải: Gọi A là ma trận các hệ số của hệ phương trình, A
t
là ma trận chuyển vị của ma trận A,
theo kết quả bài tập 3 ta cũng có
2 2 2 2
. ( (1 ) (1 ) ).
t

MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1:
Cho hai ma trận:

7

1 3 0 1 3 3
3 2 1 ; 0 2 5
0 1 1 3 1 1
AT
    
   
   
   
   
   

   

a. Tính
1
B T AT


.
b. Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận A.
Bài 2: Cho A là ma trận vuông cấp n. Giả sử A có n giá trị riêng là
12
, , ,
n

n
, với n là số tự nhiên.
Bài 5: Cho
1999 2
( ) 1f x x x  
, và ma trận C =
4 3 0 0
2 3 0 0
4 9 1 0
1 2 5 2







. Tính detf(C).

BÀI TẬP VỀ MA TRẬN

I. Một số kết quả
1) Tính chất của phép toán trên các ma trận

)
)( ) ( )
)
) ( ) ( )
)( )
) ( )

)x
Nếu
A
là ma trận đối xứng (phản đối xứng) thì
()
tt
A A A A  

* Nếu AB = BA thì có thể khai triển Newton (A + B)
n
.
2) Ma trận khả nghịch

8

11
11
11
1 1 1
)( )
)( ) ( )
1
)( ) , 0
)( )
tt
i A A
ii A A
iii A A
iv AB B A


A

4) Ma trận lũy linh
Cho A là ma trận vuông cấp n. A gọi là lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho
A
n
= 0 (ma trận không). Khi đó A
m
= 0 với mọi m

n (nếu A
n –1

0
thì n gọi là bậc lũy linh
của A).
Nếu A lũy linh thì detA = 0. Vì A
k
= 0 (
. 0
k
A A A 
14 2 43
) nên detA
k
= 0, suy ra
detAdetA detA = 0

detA = 0.
Nếu A lũy linh thì E – A và E + A khả nghịch vì E = E – A

A
ký hiệu Tr(A) là một số được xác định
bởi
1
()
n
ii
i
Tr A a



II. Bài tập

1. Chứng minh rằng: nếu A lũy linh, B lũy linh và AB = BA thì A + B lũy linh.
2. Cho AB =BA, và A – E, B – E lũy linh. Chứng minh AB – E lũy linh.
3. Chứng minh rằng: nếu A lũy linh thì mọi giá trị riêng của A đều bằng 0.
4. Chứng minh rằng: nếu A – E lũy linh thì mọi giá trị riêng của A đều bằng 1.

9
5. A và B gọi là đồng dạng nếu A = T
–1
BT. Chứng minh rằng: Hai ma trận đồng dạng có
cùng đa thức đặc trưng.
6. Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp và A khả nghịch. Chứng minh AB và BA có
cùng giá trị riêng.
7. Chứng minh hai ma trận đồng dạng có cùng hạng.

, k
2
, , k
n
là các giá trị riêng. Chứng minh A chéo hóa được, nghĩa là tồn tại
ma trận C khả nghịch sao cho A = C
–1
BC, trong đó
1
0

0
n
k
B
k






.
15. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n thỏa mãn các điều kiện sau:
a) AB = BA.
b) Tồn tại các số nguyên dương p, q sao cho
(A – E)
p
= (B – E)
q

20. Cho
22
22
os sin ( ) ostsint
( ) ostsint asin t + bcos
ac t b t b a c
A
b a c t






. Tình A
2004
.

10
21. Cho
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
A






x
n
An
x
n








¥
.
24. Cho
, , ,
0
ab
A a b c
c




¡
. Tìm a, b, c để
10
01
n

, , ,
n
  
. Tìm các giá trị riêng
của ma trận A
3
.
Bài 2. Hỏi có tồn tại hai ma trận A và B sao cho AB – BA = E (E là ma trận đơn vị)?
Bài 3. Xác định a để ma trận sau có hạng bé nhất
2 2 1 4 3
1 1 3 2
3 0 1 1
6 1 4 4 5
a
a



  







Bài 4. Cho A là ma trận vuông cấp n, E là ma trận đơn vị cùng cấp và A
k
= 0 (ma trận
không),



b) Tìm

để phương trình trên có vô số nghiệm.
Bài 6. Chứng tỏ rằng tổng các nghiệm của phương trình
x
5
+ x
4
+ x
3
+ x
2
+ x +1 = 0
bằng – 1.
Bài 7. Giả sử a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc. Chứng minh rằng tồn tại ma trận
0X 
(ma trận không)
thoả mãn
0
0.
0
a b c

0 0 1
1 0 0 .
0 1 0
J







a) Tính J
n

( ).n¥

b) Hãy biểu diễn ma trận
, , ,
a b c
M b a c a b c
c b a






¡
theo các ma trận E, J và
J

2
> 0.
Bài 12. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số
12
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 5 3 2
4 6 3 5 4
4 14 7 4
2 3 3 7
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x

   


   


   


   


để tồn tại ma trận X sao cho
2 1 3 6
1 0 5 6
,
3 2 1
0 1 3 2
X

  
   
   
   

   

   
   

sau đó tìm X.
Bài 15. Chứng minh rằng nếu
1
2sin , ,z
z

  ¡
thì
4
4
1

2
12
, , , 0

t
n
n
x
x
x x x A A
x








khi và chỉ khi x
1
= x
2
= = x
n
= 0.
Bài 19. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận
2 0 0
2 3 1
3 2 2

   






¡
. Tính K
2
, J
2
, KJ, JK.
b) Tính A
n
, n > 0 nguyên, với
200
0 3 1 .
003
A







Bài 21. Cho đa thức f(x) = 3x
3
– 2x + 5. Tính f(A) trong đó

n
, với n nguyên > 0, E là
ma trận đơn vị.
Bài 26. Chứng minh rằng các trị riêng của ma trận nghịch đảo A
–1
bằng nghịch đảo các giá
trị riêng của ma trận A.
Bài 27. Cho
2k 2k
os sin , , .
nn
k
a c i k n

  ¢
Tính
0 1 1
, .
m m m
n
S a a a m

    ¥

Bài 28. Cho
00
0,
00
a
A b a


Bài 30. Cho
00
0 0 .
0
a
Aa
ba






với
,.ab¡
Tìm
,.
n
An¥

Bài 31. Cho
10
0 1 .
00
a
Aa
a







Bài 34. Tính định thức sau, trong đó u, v là nghiệm phương trình x
2
+ p = 0;
:.
u v u v
v u v u
p
a b c d
pppp
¡

Bài 35. Tìm một ma trận chéo đồng dạng với ma trận sau:
2 2 1
1 3 1
1 2 2





.
Bài 36. Tính
2000
22
.
22

9,10
= 1, còn những phần tử khác bằng không. Tính A
10.
Bài 38. Cho ma trận vuông cấp 10

0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1
0 0 1 0
A










trong đó a
1,10
= a
21
= a
32
= = a
10,9
= 1, còn những phần tử khác bằng không. Tính A

3, 4.

  

Bài 43. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:
.
a a a a b
a a a b a
a a b a a
a b a a a
b a a a a







MỘT SỐ ĐỀ THI OLYMPIC ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004
Môn thi: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho các ma trận:

ij
nn
Aa


thoả mãn điều kiện:
0,
1,
ij
ij
a
ij







Chứng minh rằng:
a) Nếu n= 3, thì tồn tại ma trận A để sao cho detA = 0.
b) Nếu n= 4, ta luôn có detA

0.

16
Câu 5.
a) Xác định đa thức f(x) dạng
f(x) = x
5

   
   

   

a) Tính B = T
– 1
AT.
b) Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A.
Giải.
a) Ta có
11
7 0 21 1
1
15 10 5 , 3
70
6 10 2 4
T B T AT

  
   
   
     
   
   

   
.
b) Giá trị riêng {–1, –3, 4}.
Câu 2. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông thực cấp hai A, B, C ta luôn có

Câu 3. Biết rằng các ma trận vuông A, B đều là nghiệm của đa thức f(x)= x
2
– x và
AB+ BA = 0. Tính det(A – B) ?
Giải.
Ta có A
2
=A, B
2
=B nên

17
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
()
()
A B A AB BA B A B A B
A B A AB BA B A B A B

        

        


Đặt
det( ) , det( )A B A B

   
. Ta có
2



, chẳng hạn khi A = 0, B = 0.
(ii)
1,


chẳng hạn khi A = E, B = 0.
(iii)
1,


chẳng hạn khi
1 0 0 0
,.
0 0 0 1
AB
   

   
   Câu 4. Cho ma trận thực
 
ij
nn
Aa







ta có detA
3
= 0.
b) Xét ma trận
0 1 1 1
1 0 1 1
.
1 1 0 1
1 1 1 0
B








Ta tính được detB= –3.
Theo định nghĩa của định thức thì
14
1 2 3 4
14
( , , )
1 2 3 4
( , , )

1 2 3 4
1 2 3 4
0
j j j j
a a a a 
và ngược lại. Do
det 3B 
là một số lẻ nên số số hạng khác 0 trong (*) cũng là một số lẻ và vì vậy
det 0.A

Câu 5.
a) Xác định đa thức f(x) dạng
f(x) = x
5
– 3x
4
+2x
3
+ax
2
+bx +c
biết rằng nó chia hết cho đa thức (x – 1)(x +1)(x – 2).
b) Cho P(x), Q(x), R(x) là các đa thức với hệ số thực có bậc tương ứng là 3, 2, 3 thỏa mãn
điều kiện (P(x) + Q(x))
2
=(R(x))
2
. Hỏi đa thức T(x)=P(x)Q(x)R(x) có ít nhất bao nhiêu nghiệm
thực (kể cả bội của nghiệm).
Giải.

b) Không mất tính tổng quát, có thể coi các hệ số bậc cao nhất của các đa thức P, Q, R đều
dương.
Trước hết, ta chứng minh đa thức Q(x) luôn luôn có 2 nghiệm thực.
Ta có Q
2
= (R – P)(R + P). Vì degP=degQ = 3 nên deg(R + P)= 3. Do degQ
2
= 4 nên
deg(R – P) =1. Do đó đa thức Q
2
có nghiệm thực và vì vậy đa thức Q có nghiệm thực. Vì
degQ=2 nên Q có đúng 2 nghiệm thực.
Tiếp theo, ta chứng minh đa thức P(x) luôn luôn có 3 nghiệm thực.
Ta có P
2
=(R – Q)(R + Q). Vì deg(R – Q)=deg(R + Q)= 3 nên các đa thức (R – Q) và (R +
Q) có nghiệm thực. Nếu hai nghiệm thực đó khác nhau, thì P có hai nghiệm thực phân biệt và
nghiệm còn lại của P hiển nhiên cũng là nghiệm thực. Nếu (R – Q) và (R + Q) có chung
nghiệm thực x = a thì x = a là nghiệm của R và của Q. Do vậy
1 1 1
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ).R x x a R x Q x x a Q x P x x a P x     

Thế vào hệ thức P
2
=(R – Q)(R + Q), ta thu được
2 2 2
1 1 1
,P R Q
với
11

1
()R x ax bx c k   
và
 
2
11
( ) ( ) ( ) . (1)k R x P x dx e  19
Suy ra k>0. Thay giá trị
e
x
d

vào (1), ta thu được
11
0
ee
RP
dd
   
   
   
   

nên
1
0.
2

2
=R
2
và đa thức (PQR) có đúng 6 nghiệm thực.

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004
Môn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho dãy số {x
n
} xác định như sau:
1
0
0, ( 1) , 1.
2004
n
n
n
x
x x n

     

Tính
2
lim .
n
n
x


) lim ( ) .
a I bx a x dx
bI






  


Câu 4. Xác định các hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

2004
( ) ( ) , .
( ) ( ) ( ) ( ), , .
x
i f x e x
ii f x y f x f y x y
  
   
¡
¡20
Câu 5. Cho đa thức P(x) thoả mãn điều kiện
( ) ( ) 0P a P b
với a < b. Đặt

Câu 1. Cho dãy số {x
n
} xác định như sau:
1
0
0, ( 1) , 1.
2004
n
n
n
x
x x n

     

Tính
2
lim .
n
n
x


Giải.
Ta chứng minh công thức
1
( 1) (2004) 1
.
(2004) .2005
nn


và
 
11
( ) (0) ( ) ( 1) ( 1) (2004) .
nn
ii
ii
h n h h i h i

     


Do
0
(0) 0xh
nên
1
1
1 ( 1) (2004) 1
( 1) (2004) .
(2004) (2004) .2005
nn
n
ii
n
nn
i
x


()
x
x
tf t dt
Fx
f t dt




đồng biến trên
[0,+ ).

Giải.
Ta có
00
2
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) .
()
xx
x
xf x f t dt f x tf t dt
Fx
f t dt







khi x > 0. Do
vậy F(x) là một hàm đồng biến trong


0, .Câu 3. Cho 0< a < b. Tính tích phân

 
 
1
0
1
0
) ( ) (1 ) .
) lim ( ) .
a I bx a x dx
bI






  



   



   


b) Từ a) suy ra
 
1
11
1
1
1
( ) .
( 1)
ba
I
ba













Câu 4. Xác định các hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

2004
( ) ( ) , .
( ) ( ) ( ) ( ), , .
x
i f x e x
ii f x y f x f y x y
  
   
¡
¡

Giải.
Đặt
2004
( ) ( ).
x
f x e g x
Theo giả thiết (i) thì
( ) 1gx
với mọi
.x¡
Thế vào điều kiện (ii),
ta thu được
200( ) 2004 2004
( ) ( ) ( ),
x y x y
e g x y e g x e g y

2004
( ) .
x
f x eCâu 5. Cho đa thức P(x) thoả mãn điều kiện
( ) ( ) 0P a P b
, với a < b. Đặt
( ) .
a x b
M max P x




Chứng minh rằng

3
) ( )( )( ) 2 ( ) ,
1
) ( ) ( ) .
12
bb
aa
b
a
a P x x a x b dx P x dx
b P x dx M b a


      


          

  

b) Từ (1) ta thu được
1
( ) ( )( )( ) .
2
bb
aa
P x dx P x x a b x dx

   


Suy ra
1
( ) ( ) ( )( ) .
2
bb
aa
P x dx P x x a b x dx

  


Vì

,
1
1
x x x x x x x
x x x x x x x
A
x x x x x x x
x x x x x x x













Chứng minh rằng định thức của A là một đa thức đối xứng theo các biến
1 2 3 4
, , , .x x x x
Tính
định thức của A khi
1 2 3 4
, , ,x x x x
lần lượt là 4 nghiệm của đa thức
4 3 2

Chứng minh rằng
( ) 0, .Q x x  ¡
24
Câu 4. Cho ma trận
2 1 0
0 1 0 ,
0 0 2
M







Đặt
 
, 1,2,3.
( ) ( , 2).
n
ij
ij
M b n n n

  ¥
Tính
33

x x x
a x x
x




    




   





  




ĐÁP ÁN
OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005
Môn: Đại số




Chứng minh rằng định thức của A là một đa thức đối xứng theo các biến
1 2 3 4
, , , .x x x x
Tính
định thức của A khi
1 2 3 4
, , ,x x x x
lần lượt là 4 nghiệm của đa thức
4 3 2
4
( ) 5 1.P x x x x   

Giải.
Ta có

25
1 1 1 1
1
2 2 2 2
2
1 2 3 4
3 3 3 3
3
4 4 4 4
4
2
1
2

x
x
xxxx
x
x


























4
1 1 1 1 1
0 0 0
1
0 0 0
1 1 1 1
det det
11
0 0 0 0 0 0
11
0 0 0 0 0 0
1
1
0 0 0
000
1
1
0 0 0
0 0 0
det det
1
1 1 1 1
00
1
0 0 0
x
x
xxxx
xx
xx












2
1
2
2
2
3
2
2
4
1
000
1
0 0 0
det
1
0 0 0
0
1
000












