Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyên đề 13: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ
I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian
• x
'
Ox : trục hoành
• y
'
Oy : trục tung
• z
'
Oz : trục cao
• O : gốc toạ độ
•
r r r
, ,i j k
: véc tơ đơn vò
(hay
i; j;k
r r r
: véc tơ đơn vò )
Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được gọi là
không gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz)
II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:
1. Đònh nghóa 1: Cho
( )M kg Oxyz∈
. Khi đó véc tơ

k
r
i
r
j
r
'z
O
z
y
x
M
z
y
x
z
y
x
p
1
M
M
Q
3
M
2
M
R
O
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

1 2 3
( ; ; )a a a a
⇔ = + +
r r r r r
/
1 2 3 1 2 3
=(a ;a ;a )
đ n
a a a i a j a k
II. Các công thức và đònh lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :
☞Đònh lý 1: Nếu
B
( ; ; ) và B(x ; ; )
A A A B B
A x y z y z
thì

( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur
☞Đònh lý 2: Nếu
1 2 3 1 2 3
( ; ; ) và ( ; ; )a a a a b b b b= =
r r
thì
*

( )k ∈¡
III. Sự cùng phương của hai véc tơ:
108
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Nhắc lại
• Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng
song song .
• Đònh lý về sự cùng phương của hai véc tơ:
☞ Đònh lý 3 : Cho hai véc tơ
và với 0a b b ≠
r r r r cùng phương !k sao cho .a b a k b⇔ ∃ ∈ =
r r r r
¡
Nếu
0a ≠
r r
thì số k trong trường hợp này được xác đònh như sau:
k > 0 khi
a
r
cùng hướng
b
r
k < 0 khi
a
r
ngược hướng



⇔ = ⇔ =


=

r r

IV. Tích vô hướng của hai véc tơ:
Nhắc lại:

. . .cos( , )a b a b a b=
r r r r r r

2
2
a a=
r r

. 0a b a b⊥ ⇔ =
r r r r
☞ Đònh lý 6: Cho hai véc tơ
1 2 2 1 2 3
( ; ; ) và ( ; ; )a a a a b b b b= =
r r
ta có :

1 1 2 2 3 3
.a b a b a b a b= + +

r r
ta có :

1 1 2 2 3 3
a 0a b b a b a b⊥ ⇔ + + =
r r

☞ Đònh lý 10: Cho hai véc tơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ) và ( ; ; )a a a a b b b b= =
r r
ta có :

+ +
= =
+ + + +
r r
r r
r r
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos( , )
.
.
a b a b a b
a b
a b
a b

.
1
.
1
.
1
A B
M
A B
M
A B
M
x k x
x
k
y k y
y
k
z k z
z
k
−

=

−

−

=



+

=


+

=


Định lý 12: Cho tam giác ABC biết
B C
( ; ; ) , B(x ; ; ), C(x ; ; )
A A A B B C C
A x y z y z y z
110
A BM
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
G là trọng tâm tam giác ABC
⇔

3
3
3
+ +

=


VI. Tích có hướng của hai véc tơ:
1. Đònh nghóa: Tích có hướng của hai véc tơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ) và ( ; ; )a a a a b b b b= =
r r
là một véc tơ được
ký hiệu :
;a b
 
 
r r
có tọa độ là :2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
; ; ;
a a a a a a
a b
b b b b b b
 
 
=
 
 
 
r r
Cách nhớ:

;
ABCD
S AB AD
 
=
 
Y
uuur uuur
•
' ' ' '
'
.
; .
ABCD A B C D
V AB AD AA
 
=
 
uuur
uuur uuur
•
1
. ; .
6
ABCD
V AB AC AD
 
=
 
uuur uuur uuur

D
A
B
C
D
A
B
C
D
'A
'B
'C
'D
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)
a. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng
b. Tính diện tích tam giác ABC
c. Tính thể tích tứ diện ABCD
Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)
Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7: Cho tứ diện ABCD với
A(2; 1;6),B( 3; 1; 4),C(5; 1;0),D(1;2;1)− − − − −
. Chứng minh tam giác ABC vng.

∆
) hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một VTCP của nó.
2. Cặp VTCP của mặt phẳng:

Cho mặt phẳng
α
xác đònh bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b . Gọi
a
r
là VTCP của đường
thẳng a và
b
r
là VTVP của đường thẳng b. Khi đó :
Cặp
( , )a b
uruur
được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng
α
Chú ý :
• Một mặt phẳng
α
hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTCP của nó.
3. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng :

n
r
là VTPT của mặt phẳng
α
đn

a
b
n

Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Đònh lý: Giả sử mặt phẳng
α
có cặp VTCP là :
1 2 3
1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
a a a a
b b b b

=


=


r
r
thì mp
α
có một VTPT là :

2 3 3 1
1 2
2 3 3 1

M x;y;z

•

0 0 0
( ) ( ) ( ) 0− + − + − =x y zC zA yBx
Đònh lý 2: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình dạng :

0+ + + =A B Cx y z D
với
2 2 2
0A B C+ + ≠
là phương trình tổng quát của một mặt phẳng .
Chú ý :
• Nếu
( ): 0+ + + =x y CzB DA
α
thì
( )
α
có một VTPT là
( ; ; )n A B C=
r
•
0 0 0 0 0 0 0
( ; ; ) ( ): 0 Ax 0M x y z Ax By Cz D By Cz D
α
∈ + + + = ⇔ + + + =
Các trường hợp đặc biệt:
1. Phương trình các mặt phẳng tọa độ:

=

);;(
0000
zyxM
0
M
α
x
y
z
);;( CBAn
=

)(Oxz
)(Oxy
)(Oyz
z
y
x
O
A
B
C
a
b
c
O
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
là:

và
( )
Q
.
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm
M(9;1;1)
, cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao
cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
III. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng :
1. Một số quy ước và ký hiệu:
Hai bộ n số :
1 2
1 2
( , , , )
( , , , )
n
n
a a a
b b b



được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số
0t ≠
sao cho
1 1
2 2
.
.
n n

2. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng
,
α β
xác đònh bởi phương trình :

1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
( ): 0 có VTPT ( ; ; )
( ): 0 có VTPT ( ; ; )
A x B y C z D n A B C
A x B y C z D n A B C
α
β
+ + + = =
+ + + = =
uur
uur

1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
A
( ) cắt ( ) A : : : : (hay: )
A
A

n

2
n

β
α
1
n

2
n

Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Đặc biệt:

1 2 1 2 1 2
A 0A B B C C
α β
⊥ ⇔ + + =
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình của đường thẳng:
1.Phương trình tham số của đường thẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình tham số của đường thẳng
( )∆
đi qua điểm
0 0 0 0
( ; ; )M x y z

và nhận

( ; ; )a a a a=
r
làm VTCP là :0 0 0
1 2 3
( ):
x x y y z z
a a a
− − −
∆ = =
Ví du 1ï:
Ví du 2ï:
Ví du 3:
Cho điểm M(-2;1;1) và đường thẳng
x 1 2t
(d): y 1 t
z 3 t
= +


= − −


= +

. Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm
M và vuông góc với đường thẳng (d).
Ví dụ 4: Cho điểm M(1;2;3) và đường thẳng

có VTCP
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
và qua
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
và mặt phẳng
( ): 0 Ax By Cz D
α
+ + + =
có VTPT
( ; ; )n A B C=
r
Khi đó :

1 2 3
1 2 3
0 0 0
1 2 3
0 0 0
( ) cắt ( ) Aa 0
Aa 0
( ) // ( )
0
Aa 0
( ) ( )
0
Ba Ca
Ba Ca

( )
pt
pt
α
∆



tìm x,y,z
Suy ra: M(x,y,z)
Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0
Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình:
x 2y 3z 14 0+ − + =
. Tìm tọa độ hình
chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P).
Ví dụ 3: Cho đường thhẳng
x 1 y 2 z 2
(d):
1 5 4
− + −
= =
− −
và mặt phẳng
2
(P):x 3y 4m z m 0− − + =
. Tìm m
để đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P).
2. Vò trí tương đối của hai đường thẳng :
117

M
a

1
∆
2
∆
b

0
M
u

'u

1
∆
2
∆
'
0
M
0
M
'
0
M
u

'u

u a b c x y z
a b c
x x y y z z
u a b c x y z
a b c
− − −
∆ = = =
− − −
∆ = = =
r
ur

 
• ∆ ∆ ⇔ =
 
 

 
=

 
 
• ∆ ∆ ⇔


≠

• ∆ ∆ ⇔ =
ur uuuuuuur
r

1 2 0 0
: : ( ):( ):( )
( ) ( ) : : : : ( ):( ):( )
( ) và ( ) chéo nhau , . 0
a b c x x y y z z
a b c a b c x x y y z z
u u M M
Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của
1 2
( ) và ( )∆ ∆
ta giải hệ phương trình :
1
2
( )
( )
pt
pt
∆


∆

tìm x,y,z
Suy ra: M(x,y,z)
III. Góc trong không gian:
1. Góc giữa hai mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng
,
α β
xác đònh bởi phương trình :

Ví dụ: Cho hai mặt phẳng
(P):x y 2 0&(Q): x z 3 0+ + = − + + =
. Xác đònh góc giữa hai mặt phẳng
(P) và (Q).
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng
− − −
∆ = =
0 0 0
( ):
x x y y z z
a b c

và mặt phẳng
( ): 0 Ax By Cz D
α
+ + + =

Gọi
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng
( ) & ( )
α
∆
ta có công thức:2 2 2 2 2 2
sin
.

3.Góc giữa hai đường thẳng :
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

− − −
∆ = =
− − −
∆ = =
0 0 0
1
0 0 0
2
' ' '
( ):
( ):
x x y y z z
a b c
x x y y z z
a b c

Gọi
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng
1 2
( ) & ( )∆ ∆
ta có công thức:

' ' '
2 2 2 '2 '2 '2
cos
.

+ + +
∆ =
+ +

Ví du ï: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8)
Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D.
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (
∆
) đi qua điểm
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
và có VTCP

( ; ; )u a b c=
r
. Khi đó khoảng cách từ điểm M
1
đến
( )∆
được tính bởi công thức:0 1
1
;
( , )
M M u
d M
u

0000
zyxM
1
M
)(∆
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Ví dụ: Cho đường thẳng :
1 3
( ):
3 4 1
x y z
d
− +
= =
và điểm A(1;2;1)
Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d).
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau :

1 0 0 0 0
' ' ' ' ' ' ' '
2 0 0 0 0
( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )
( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )
u a b c x y z
u a b c x y z
∆ =
∆ =
r
ur

2
x t
x y z
d y t
z t

= +
+ + −

= = = −

−

= −

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
).
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: (A-2012)
Bài 2: (B-2012)
120
0
M
'
0
M
u


− + − + − =
2 2 2 2
( ):( ) ( ) ( )S x a y b z c R
(1)

Phương trình (1) được gọi là phương trình
chính tắc của mặt cầu

Đặc biệt: Khi I
≡
O thì
+ + =
2 2 2 2
( ):C x y z R

122
z
y
x
O
R
);;( zyxM
)(S
I
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
2. Phương trình tổng quát:
Đònh lý : Trong Kg(Oxyz). Phương trình :

+ + − − − + =

α
) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng
α
Ta có :

α α
α α
α α
⇔
⇔
⇔
1. ( ) cắt mặt cầu (S) d(I; ) < R
2. ( ) tiếp xúc mặt cầu (S) d(I; ) =R
3. ( ) không cắt mặt cầu (S) d(I; ) > R
Chú ý:
Khi
α
cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường tròn (C). Đường tròn (C) này có:
• Phương trình là:
( ) ( ) ( )
+ + + =



− + − + − =


0
2 2 2
2

r
H
M
)(S
)(S
)(S
)(C
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Bài 2: (B-2012)
Bài 3: (D-2012)
Bài 4:
Bài 5:
Bài 6:
Bài 7:
Bài 8:
Bài 9:
124