Nguoithay.vn

Nguoithay.vn
1
50 Bài tp v bt đng thc
Bài 1: Cho
3a 
, tìm giá tr nh nht ca
1
S a
a


Gii:
1 8a 1 24 1 10
( ) 2 .
9 9 9 9 3
aa
Sa
a a a
       

Bài 2: Cho
2a 
, tìm giá tr nh nht ca
2
1
S a
a








Bài 4: Cho a,b,c>0 và
3
2
abc  
. Tìm giá tr nh nht ca
2 2 2
2 2 2
1 1 1
S a b c
b c a
     

Gii:
Cách 1:

Cách 2:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
22
1 1 1
S
1 1 1 1 4
(1 4 )( ) (1. 4. ) ( )
17

S a b c a b c
a b c a b c
abc
a b c a b c
         


     

   


Bài 5: Cho x,y,z là ba s thc dng và
1x y z
  
. Chng minh rng:

2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
y z x
     

Gii:
2 2 2 2 2
22
22
22
1 1 1 1 9

Bài 6: Cho a,b,c>0 và
2 3 20a b c  
. Tìm giá tr nh nht ca
3 9 4
2
S a b c
a b c
     

Gii: D đoán a=2,b=3,c=4
12 18 16 12 18 16
4 4 4 4 2 3 3a 2
20 3.2.2 2.2.3 2.4 52 13
S a b c a b c b c
a b c a b c
S
     
               
     
     
     

Bài 7: Cho x,y,z> 0 và
1 1 1
4
x y z
  
. Tìm giá tr ln nht ca
1 1 1
2x 2 2z

   
   

   


Bài 8
Nguoithay.vn

Nguoithay.vn
3
Chng minh rng vi mi
x R
, ta có
12 15 20
345
5 4 3
x x x
x x x
     
    
     
     

Gii:
12 15 12 15 20 15 20 12
2 . 2.3 ; 2.5 ; 2.4
5 4 5 4 3 4 3 5
x x x x x x x x
x x x

8 8 8 3 8 .8 .8 3 8 .8 .8 192
x x x x x
y y y y y
z z z z z
x y z x y z
   
   
   
    

Cng các kt qu trên => đpcm.
Bài 10:
Cho x,y,z>0 và xyz = 1. Hãy chng minh rng
3 3 3 3
33
11
1
33
x y y z
zx
xy yz zx
   

  

Gii:
     
3 3 3 3
3
3 3 3 3

Cho x, y là hai s thc không âm thay đi. Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht
ca biu thc
  
   
22
1
11
x y xy
P
xy




Gii:
  
   
  
   
 
2
2 2 2 2 2
1
11
1 1 1
2
4 4 4
1 1 1 1 1
x y xy
x y xy x y xy

3 3 3 4 4 4 2 2 2 2
()
ab bc ac
a b c a b c a b c
ab bc ac
b c a ab bc ca ab bc ac ab bc ac


         
   

Cách 2:
3 3 3
2 2 2
2a ; 2 ; 2a
a b c
ab bc b ca
b c a
     3 3 3
2 2 2
2( )
abc
a b c ab bc ac ab bc ac
b c a
          


Bài 14: Cho x,y>0 và x+y = 1. Chng minh rng
33
11
4 2 3P
x y xy
   


Gii: Ta có
 
3
3 3 3 3
3 3 3 3
33
33
33
3xy(x+y) 3xy=1
3xy 3xy
P= 4 4
xy
23
3
x y x y x y
x y x y
x y x
xyy
xy
yx

y z yz
x y z y z y z y z
xz xy
TT
y x z z x y
         
        

     

Nhân các v ca 3 BT => đpcm
Bài 16: Cho x,y,z>0 và x+y+z = 1. Tìm giá tr ln nht ca
1 1 1
x y z
S
x y z
  
  

Gii:
1 1 1 9 9 3
3 3 3
1 1 1 1 1 1 3 4 4
x y z
S
x y z x y z x y z

           

        

5 5 3 3
5 1 10 20; 3 1 6 12
1 1 1 1
a
aa
a a a a
bc
b c dpcm
b b c c

          
   
          
   

Bài 18
Cho a,b,c >0, chng ming rng :
1 1 1 1 1 1
3
2 2 2aa b c a b b c c

    

  


Gii:
1 1 1 9 1 1 1 9 1 1 1 9
;;
2 2 2a b b a b b c c b c c a a c a

a b c a b c a b c d a b c d
    
      
Cn nh:

 
2
2 2 2
abc
abc
x y z x y z

  


Bài 21
Vi a,b,c>0 chng minh rng:
4 5 3 3 2 1
4
a b c a b b c c a

    

  


Gii.


        

             


Bài 23
Cho x,y,z>0 và
4x y x  
. Tìm giá tr nh nht ca
2 2 2
xyz
P
y z z x x y
  
  Gii:
Cách1:
 
 
2
2 2 2
4
2.
2 2 2
x y z
x y z x y z
P

     
  
  

Gii:

 
2 3z 5 3 5 2 5
1 1 2 1 3z
2 3z 5 3 5 2 5
1 1 1 3
1 1 2 1 3z
1 1 1 9
2 3z 6 3 24. 3
1 1 2 1 3z 2 3z 3
9 51
24. 3
21 7
y z x x y
xy
y z x x y
xy
xy
x y x y
     

  
     
      
  

. Tìm giá tr nh nht ca tng
11
A ab
ab
   

Gii:
1 1 15 1 15.4 1 17 21
2; 2.
16 16 16 4 4 4
bb
a b A
a b b

          



Bài 28
Chng minh rng
4 4 3 3
a b a b ab  

Gii:
          
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 3 3
a (1 1 ) 2a ab a b a b a b b a b b a b ab

            

9 9 9 9 3 3 3 3
a a a
A a A
a a a
           

Bài 30
Cho ba s thc
,,abc
đôi mt phân bit.
Chng minh
2 2 2
2 2 2
2
( ) ( ) ( )
a b c
b c c a a b
  
  

Gii:

2
. . . 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
( ) ( ) ( )
a b b c c a
b c c a c a a b a b b c
a b c

2 2 2
22
2 2 2
1 2009
1 1 1 2007 9 2007
670
3
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca
a b c a b c

   
      
       
   
Bài 32:
Cho a, b, c là các s thc dng thay đi tha mãn:
3abc  
.
Tìm giá tr nh nht ca biu thc
2 2 2
2 2 2
P
ab bc ca
abc
a b b c c a

   



2

Mà a
3
+ ab
2


2a
2
b ;b
3
+ bc
2


2b
2
c;c
3
+ ca
2


2c
2
a Suy ra 3(a
2
+ b
2

  
    


t = a
2
+ b
2
+ c
2
, vi t

3.
Suy ra
9 9 1 3 1
34
2 2 2 2 2 2 2
t t t
Pt
tt

         
 P  4 a = b = c = 1
Bài 33

Ch x,y,z là các s thc dng tha mãn x+y+z = 1. tìm giá tr nh nht ca
P =
1 1 1
16 4x y z


4
zy
yz

khi z=2y =>P

49/16
Min P = 49/16 vi x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7
Bài 34
Cho hai s thc dng x, y tha mãn:
45
23
xy


Tìm giá tr nh nht ca biu thc:
67
B 8x 18y
xy
   

Gii:
6 7 2 2 4 5
B 8x 18y 8x 18y 8 12 23 43
x y x y x y
   

             

   

+ y
2
+ z
2


9
Gi:
01x2x1 
và
0)2x)(1x(02x 

2x3x
2


Tng t
2y3y
2

và
2z3z
2


a a a a b b c c
a b c a b c
            
       

Bài 37
Cho các s dng a,b,c tha mãn
a2bc  
. Chng minh rng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1 97
2
a b c
b c a
     

Gii:
2
2 2 2
22
22
22
9 1 81 1 1 4 9
1. . 1 ;
4 16 4
97
1 4 9 1 4 9
;
44

p a p b p c p a p b p c p
   
       

Bài 39
Cho a,b,c là đ dài ba cnh ca mt tam giác có chu vi bng 6. Chng minh rng:
2 2 2
3( ) 2a 52a b c bc   

Gii:
    
     
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
8
( )( )( ) (6 2a) 6 2 6 2 24
3
16 36 ( ) 8
2a 48 ( ) 2 48 (1)
3 2 3
2 2 2 0 4 (2) (1) d(2)
3
abc a b c a b c a b c b c abc ab bc ac
abc
bc a b c abc
abc
a b c an dpcm
                 


22 2
()( )( )ccabcabcab
(3) . Du ‘=’ xy ra
abc  

Do a,b,c là đ dài 3 cnh ca tam giác nên các v ca (1), (2), (3) đu dng. Nhân v vi v ca (1),
(2), (3) ta có :
( )( )( )abcabcbcacab
(*)
T
2abc  
nên (*)
(22)(22)(22)abc a b c  

88( )8( )90abcabbccaabc

898( )098( )8abcabbccaabcabbcca
(*)
Ta có
333 3
()3()()386()3abcabcabcabbccaabcabbccaabc

T đó
 
333
4()152724()32398()32abcabcabcabbccaabcabbcca
(**)
Áp dng (*) vào (**) cho ta
333

ó 3 ( )( )
3 ( ) (1)
ó ( )( )( ) (1 2a)(1 2 )(1 2 )
28
1 4( ) 8a 6a (2)
33
(1) d(2)
P a b c abc
Ta c a b c abc a b c a b c ab bc ac
a b c abc a b c ab bc ac
c abc a b c a b c a b c b c
ab bc ca bc bc ab bc ca
an a
   
          
         
            

         

 
 
 
3 3 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
25
3

*3
( )( )( ) (1 2a)(1 2 )(1 2 ) 1 4( ) 8a 0
1
) 2a (3)
4
3 ( )( ) 6a
6a 3 6a
1
P a b c abc
abc a b c a b c a b c b c ab bc ca bc
ab bc ca bc
P a b c abc a b c a b c ab bc ac bc
a b c ab bc ac bc a b c ab bc ca bc
   
                  
    
            
             

 
11
3 2a 1 3.
44
ab bc ca bc     

Bài 42
Cho ba s dng,y,z tha mãn x+y+z =6 . Chng minh rng:

     
         
         
         
 
 
2
2 2 2
2
2 2 2
x)+ 36 3x 3 3xz
1
x xz 12 ( x) mà 3( x)
3
1 36
x xz 12 . 12 8
3 3 9
xy yz z y yz
xyz x y z y yz xy yz z x y z xy yz z
x y z
xyz x y z y yz
    
                

            
Bài 43
Cho
a 1342; 1342b
. Chng minh rng
 

a b a b a b
a b ab b
a b a b ab b
a b ab a b a b
a b a b
         
       
         
        
   
     
2.2013.1342 2013. 2013. 1342 1342 2013.a b a b a b        Bài 44
Tìm giá tr nh nht ca biu thc:
       
4 4 2 2
1 3 6 1 3A x x x x      

Gii:
Cách 1:

Cách 2 :
       
       
 
 
4 4 2 2
2


         
   

Bài 45:
Cho a,b,c là các s thc dng tha mãn a+b+c=1. Chng minh rng:
1
1 1 1 4
ab bc ca
c a b

  

Gii:
Nguoithay.vn

Nguoithay.vn
13

Bài 46
Cho x,y,z là ba s thc dng tha mãn điu kin xyz=1. Chng minh rng:
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1x y y z z x
  
     

Gii:
 

2
2a 2
2
ab
a b b b a

   

Gii:
       
2
1 1 1
2 2a 2
2 2 4 4
ab
a b a b a b a b a b ab a b b b a
  
     
              
     

     

Bài 48
Cho ba s thc a,b,c tha mãn điu kin:
3 3 3
1 1 1
1
1 8a 1 8b 1 8c
  

bc
VT
a b c a b c
   
   


  



     
       

Bài 49
Vi a,b,c là ba s thc dng . Chng minh rng :
3 3 3
2 2 2
abc
abc
b c a
    

Gii:
Cách 1:
 
  
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 4 4 4

2 2 2
1 1 1 3 3 3 3 3
; ; .3
1 4 1 4 1 4 4 4 4 4 2
x y y z z x
x y z VT x y z
y z x
  
             
