SỞ GD& ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013

(Đề thi gồm 01 trang)
Môn thi: TOÁN - THPT BẢNG A
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I: (3,0 điểm)
Cho hàm số
2x 1
y
x 1



có đồ thị
(C)
và điểm


P 2;5
.
Tìm các giá trị của tham số
m
để đường thẳng
d : y x m
  
cắt đồ thị



1 1
x y 5
x y
x,y
xy 1 x y 2

   




   



Câu III: (6,0 điểm)
1. Cho lăng trụ
ABC.A'B'C'
có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
điểm
A'
lên mặt phẳng
(ABC)
trùng với trọng tâm tam giác
ABC
. Biết khoảng cách giữa
hai đường thẳng
AA'
và
BC

lần lượt là khoảng cách từ các điểm
A, B, C, D
đến mặt phẳng



.
Chứng minh rằng:
2 2 2
2
B C D
A
h h h
h
3
 

.
Câu IV: (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, cho điểm


A 1; 1
 
và đường tròn




3
2 3
P .
a ab abc a b c
 
   - - Hết - -
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Đ
ề thi chính thức

1

SỞ GD& ĐT NGHỆ ANKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN THPT- BẢNG A
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

Câu

Nội dung Điểm

I.

x 1
 

0,5
Đường thẳng
d
cắt đồ thị
(C)
tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi
phương
trình


1
có hai nghiệm phân biệt khác
1
2
m 2m 13 0
0.m 3 0

  


 

(đúng
m

 
2
1 2
AB 2 x x
 

       
2 2 2 2
1 1 1 2
PA x 2 x m 5 x 2 x 2
          ,

       
2 2 2 2
2 2 2 1
PB x 2 x m 5 x 2 x 2
         
Suy ra
PAB

cân tại
P

0,5
Do đó
PAB

đều
2 2
PA AB

.
0,5
II.
1,
(3,0đ)

ĐKXĐ:
x 1
x 13
 





Phương trình đã cho tương đương với
 


3
x 2 x 1 2 2x 1 3
     

0,5




3 3
Pt(1) f x 1 f 2x 1 x 1 2x 1
       

0,5
2
   
3 2
3 2
1
x
1
2
x 0
1
x
x
2
x 0
2
1 5
x
x x x 0
x 1 2x 1
1 5
2
x
2

 




0,5
Đối chiếu ĐKXĐ được nghiệm của phương trình đã cho là:
1 5
x
2

 và
x 0


0,5
II.
2,
(3,0đ)

ĐKXĐ:
x 0
y 0






Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với:
   
2

x . y 2
x y

 
 
   

 
 
 
 


 
 

  
 
 

 
 

, đặt
1
u x
x
1
v y
y






0,5
u v 3
uv 2
 





(I) hoặc
u v 3
uv 2
  




(II)
Ta có:
 






 


Vì
1
u x u 2
x
   
nên chỉ có
u 2
v 1





và
u 2
v 1
 


 

thỏa mãn.
0,5
u 2
v 1



0,5
u 2
v 1
 


 

ta có
1
x 1
x 2
x
1 5
1
y
y 1
2
y

 
  


 

 
 

 

       
.
III.
1,
(3,0đ)
Diện tích đáy là
2
ABC
a 3
S
4
 .
Gọi
G
là trọng tâm tam giác
ABC

0,5

là khoảng cách giữa hai đường thẳng
AA'
và
BC

0,5
Tam giác
ADE
vuông tại
D
suy ra
 
0
DE 1
sinDAE DAE 30
AE 2
   
0,5
Xét tam giác
A'AG
vuông tại
G
ta có
0
a
A'G AG.tan30
3
 

0,5

0,5
Vì
AB'C'D' AIB'C' AIC'D' AID'B'
V V V V
  
và (*) nên
AB'C'D' AIB'C' AIC'D'
AID'B'
ABCD AGBC AGCD AGDB
V V V V
V 3V 3V 3V
  

0,5
AB'.AC'.AD' AI.AB'.AC' AI.AC'.AD' AI.AD'.AB
'
AB.AC.AD 3.AG.AB.AC 3.AG.AC.AD 3.AG.AD.AB
   

AB AC AD AG
3. 6
AB' AC' AD' AI
    
BB' CC' DD'
3
AB' AC' AD'
   

0,5
I

0,5
Ta có:




2
2 2 2
B C D B C D
h h h 3 h h h
    







2 2
2
B C C D D B
h h h h h h 0
      
( luôn đúng )
Kết hợp với (**) ta được




2

R 5


Ta có
AI:x y 0
 
, khi đó đường thẳng
AI

cắt đường tròn


T
tại
A'
(
A'
khác
A
) có tọa
độ là nghiệm của hệ
   
2 2
x 1
x 3 y 2 25
y 1
x y 0

 
   


)



A'BC BAI

(1) (Vì cùng bằng

IAC
)
Mặt khác ta có


ABI IBC

(2)
Từ (1) và (2) ta có:

 



BIA' ABI BAI IBC A'BC IBA'
    

Suy ra tam giác
BA'I
cân tại
A'

0,5
Suy ra tọa độ B, C là nghiệm của hệ
   
   
2 2
2 2
x 3 y 2 25
x 6 y 6 50

   


   



Nên tọa độ các điểm
B,C
là :
(7; 1),( 1;5)
 

0,5
Khi đó
I
nằm trong tam giác
ABC
(TM) .
Vậy phương trình đường thẳng
BC: 3x 4y 17 0

 
 

0,5
K
A
I
B
C
A'
5
Đặt
t a b c, t 0
   
. Khi đó ta có:
3 3
P
2t
t
 

Xét hàm số
 
3 3
f t
2t
t
 
với
t 0





f ' t

0
+


f t

0

3
2


Do đó ta có
 
t 0


  


 
 
 






.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
3
2

khi và chỉ khi
 
16 4 1
a,b,c , ,
21 21 21
 

 
 
.
0,5