Đề thi Dự trữ khối A-năm 2007
Đề I
Câu I: Cho hàm số
2
x4x
y
x2
3
−
++
=
−

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị
hàm số đến các đường tiệm cận của nó là hằng số.
Câu II:
1. Giải phương trình:
11
sin 2x sin x 2cot g2x
2sin x sin 2x
+− − =
2. Tìm m để phương trình:
(
)
2
mx 2x21x(2x)0(2−+++ −≤ ) có
nghiệm x
0,1 3
⎡⎤
∈+


⎧
+=+−+
+=+−+
−
−

Câu Va (cho chương trình THPT không phân ban):
1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
= 1. Đường tròn (C')
tâm I (2,2) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho
AB 2= . Viết phương trình
đường thẳng AB.
2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ số
khác nhau?
Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban):
1. Giải bất phương trình:
2
x4 2
(log 8 log x )log 2x 0
+
≥
2. Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C

=
−+ ⇔ +−=
khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là
1
xy2
7
d
22x2
+−
=
=
−

khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là
2
dx2
=
−
Ta có
12
77
dd x 2
2x 2 2
=−
−
= : hằng số.
Câu II:
1. Giải phương trình :
11
sin 2x sin x 2cot g2x

3]

Khảo sát
với 1 ≤ t ≤ 2
2
t2
g(t)
t1
−
=
+
g'(t)
2
2
t2t2
0
(t 1)
++
=
+
>. Vậy g tăng trên [1,2]
Do đó, ycbt bpt ⇔
2
t2
m
t1
−
≤
+
có nghiệm t ∈ [1,2]

Mp (P). Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (P)
Pt AA' :
x1 y3 z2
211
+−+
==
−

AA' cắt (P) tại H, tọa độ H là nghiệm của

−++=
⎧
⎪
⇒−
⎨
+−+
==
⎪
−
⎩
2x y z 1 0
H(1,2, 1)
x1 y3 z2
211

Vì H là trung điểm của AA' nên ta có :

HAA'
HAA'
HAA'

⎨
==
⎪
−
⎩
2x y z 1 0
M(2,2, 3)
x3 y1 z
113

Câu IV:
2
t 2x 1 t 2x 1 2tdt 2dx dx tdt=+⇒=+⇔=⇔=1. Đặt
Đổi cận t(4) = 3, t(0) = 1
Vậy
433
2
011
2x 1 t 1
Idxdtt1
1t t1
12x1
+
⎛⎞
===−+
⎜⎟
++
++
⎝⎠
∫∫∫

yy2y23 1

Đặt u = x
− 1, v = y − 1
(I) thành
⎧
+
+=
⎪
⎨
⎪
+
+=
⎩
2v
2u
uu13
(II)
vv13

Xét hàm f(x)
2
xx1
=
++
f ´(x)
+
++
=+ = > ≥
+++

Đặt: g(u)
u2
3( u 1 u)=+−

⎛⎞
⇒= +−+ −
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
u2 u
2
u
g'(u) 3 ln3( u 1 u) 3 1
u1()
(
)
Ru,0
1u
1
3lnu1u3u'g
2
2u
∈∀>
⎟
⎟
⎠

Cách khác: phương trình AB có dạng: y = − x + m.
Pt hoành độ giao điểm của AB là
x
2
+ (− x + m)
2
= 1
⇔
−+−=
22
2x 2mx m 1 0 (2)
(2) có
Δ= −
/
2
2m, gọi x
1
, x
2
là nghiệm của (2) ta có :
=⇔ − =⇔ − =
22
12 12
AB 2 2(x x ) 2 (x x ) 1
2

Δ
⇔=⇔−=⇔=±
/
2

4
≠ 0 vì a
4
chẵn. Ta có : 4 cách chọn a
4

7 cách chọn a
1

8 cách chọn a
2

7 cách chọn a
3

Vậy ta có 4.7.8.7 = 1568 số n
Vậy cả 2 trường hợp ta có : 448 + 1568 = 2016 số n.

Câu Vb:
1. Điều kiện x > 0 , x ≠ 1
(1)
⎛⎞
⇔+
⎜⎟
⎝⎠
42
8
11
2 log x log 2x 0
log x 2

22
log x 1 log x 1
(log x 3) 0 0
log x log x
1
log x 1vlog x 0 0 x v x 1
2
≥

2.
(Bạn đọc tự vẽ hình)
Chọn hệ trục Axyz sao cho: A ≡ 0,
(
)
−C2a,0,0,
1
A (0,0,2a 5)

⎛⎞
⇒
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
aa3
A(0;0;0), B ; ; 0
22
và −M( 2a,0,a 5)

⎛⎞
⇒=−− =

BMA 1
1
1a
VAA.AB,AM
63
1
SMB,MA3
2
15
a3

Suy ra khoảng cách từ A đến mp (BMA
1
) bằng ==
3V a 5
d.
S3

Cách khác:
+ Ta có
=+ =
222
1111
AM AC CM 9a
2
2
2
2
=+− =
222 0

⇒==
1
MBA 1
1
3V 6V a 5
d(a,(MBA ))
SMB.MA
=
3 @
PHẠM HỒNG DANH
(Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và Luyện thi đại học Vĩnh Viễn)